Ton contrôle de géométrie approche et tu bloques sur le périmètre d’un triangle ? Bonne nouvelle : c’est l’une des formules les plus simples de tout le collège. Le périmètre d’un triangle, c’est la longueur de son tour, autrement dit la somme de ses trois côtés. Dans ce cours, tu vas apprendre la formule, la reconnaître dans les cas particuliers (équilatéral, isocèle, rectangle), calculer un périmètre pas à pas et même retrouver un côté manquant.
I. Qu’est-ce que le périmètre d’un triangle ?
Le périmètre d’un triangle est la longueur totale de son contour. Comme un triangle a exactement trois côtés, il suffit d’additionner les longueurs de ces trois côtés pour obtenir le périmètre. Le résultat est une longueur, donc il s’exprime toujours dans une unité de longueur : cm, m, km…
Définition — Périmètre d’un triangle
Le périmètre d’un triangle est la somme des longueurs de ses trois côtés. Si les côtés mesurent \(a\), \(b\) et \(c\), alors :
\(P = a + b + c\)
Le principe est toujours le même : additionner les trois longueurs exprimées dans une unité commune. C’est vrai pour n’importe quel triangle, quelle que soit sa forme.
Exemple : un triangle a pour côtés 3 cm, 4 cm et 6 cm. Son périmètre vaut :
\(P = 3 + 4 + 6 = 13\) cm.
Le tour de ce triangle mesure donc 13 cm.
II. Les cas particuliers du triangle
La formule \(P = a + b + c\) marche toujours. Mais dans certains triangles, deux ou trois côtés sont égaux : on peut alors calculer plus vite grâce à une multiplication.
A. Le triangle équilatéral
Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur. Si chaque côté mesure \(a\), on additionne trois fois la même longueur, donc :
Périmètre d’un triangle équilatéral : \(P = 3 \times a\).
Exemple : un triangle équilatéral de côté 5 cm a pour périmètre \(P = 3 \times 5 = 15\) cm.
B. Le triangle isocèle
Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Si les deux côtés égaux mesurent \(a\) et la base mesure \(b\), alors :
\(P = a + a + b = 2 \times a + b\)Exemple : un triangle isocèle dont les deux côtés égaux mesurent 7 cm et la base 4 cm a pour périmètre \(P = 2 \times 7 + 4 = 18\) cm.
C. Le triangle rectangle
Le triangle rectangle possède un angle droit. Son périmètre se calcule toujours par la somme des trois côtés, mais il arrive qu’un côté (souvent l’hypoténuse) soit inconnu : on le retrouve alors avec le théorème de Pythagore. Ce cas est détaillé sur la page dédiée au périmètre d’un triangle rectangle.
À retenir : dès que tu vois des côtés égaux, remplace l’addition par une multiplication. C’est plus rapide et tu fais moins d’erreurs.
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III. Calculer le périmètre d’un triangle pas à pas
Pour ne rien oublier, suis toujours ces trois étapes, même quand le calcul te paraît facile.
- Repère les trois côtés et note leur longueur.
- Vérifie que toutes les longueurs sont dans la même unité. Si l’une est en cm et une autre en mm, convertis d’abord (voir la page pour convertir des unités de mesure).
- Additionne les trois longueurs et écris le résultat avec son unité.
Exemple guidé : un triangle a pour côtés 25 mm, 3 cm et 4 cm. Calcule son périmètre.
Étape 2 — même unité : \(25\) mm \(= 2{,}5\) cm.
Étape 3 — addition : \(P = 2{,}5 + 3 + 4 = 9{,}5\) cm.
Le périmètre vaut 9,5 cm.
Erreur classique : additionner 25 + 3 + 4 = 32 sans convertir. On mélange alors des millimètres et des centimètres, et le résultat n’a aucun sens. On convertit toujours avant d’additionner.
IV. Retrouver un côté manquant
Parfois, l’énoncé te donne le périmètre et te demande de retrouver un côté. Ou bien il te donne deux côtés et te demande de vérifier si le troisième est possible. Voici comment faire.
A. Le périmètre est connu
Si tu connais le périmètre et deux côtés, il suffit de soustraire. C’est l’opération inverse de l’addition.
Exemple : un triangle a un périmètre de 20 cm. Deux de ses côtés mesurent 6 cm et 7 cm. Quelle est la longueur du troisième côté ?
\(20- 6- 7 = 7\) cm.
Le troisième côté mesure 7 cm.
B. L’astuce du plus grand côté (inégalité triangulaire)
Pour qu’un triangle non aplati existe, les longueurs doivent être strictement positives et le plus grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres. L’égalité donne un triangle aplati.
Par exemple, avec des côtés de 2 cm, 3 cm et 10 cm : on a \(2 + 3 = 5\) et \(5\) < \(10\). Les deux petits côtés sont trop courts pour se rejoindre : ce triangle n’existe pas.
V. Exercices corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice sur ton cahier avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Périmètre d’un triangle quelconque ★
Un triangle a pour côtés 8 cm, 5 cm et 11 cm. Calcule son périmètre.
Voir la correction de l’exercice 1
On additionne les trois côtés :
\(P = 8 + 5 + 11 = 24\) cm.
Le périmètre vaut 24 cm.
Exercice 2 — Triangle équilatéral ★
Un triangle équilatéral a un côté de 9 cm. Quel est son périmètre ?
Voir la correction de l’exercice 2
Les trois côtés sont égaux, on multiplie par 3 :
\(P = 3 \times 9 = 27\) cm.
Le périmètre vaut 27 cm.
Exercice 3 — Triangle isocèle ★★
Un triangle isocèle a deux côtés égaux de 6,5 cm et une base de 4 cm. Calcule son périmètre.
Voir la correction de l’exercice 3
On utilise la formule \(P = 2 \times a + b\) :
\(P = 2 \times 6{,}5 + 4 = 13 + 4 = 17\) cm.
Le périmètre vaut 17 cm.
Exercice 4 — Retrouver un côté ★★
Le périmètre d’un triangle est de 30 cm. Deux de ses côtés mesurent 12 cm et 9 cm. Quelle est la longueur du troisième côté ?
Voir la correction de l’exercice 4
On soustrait les deux côtés connus au périmètre :
\(30- 12- 9 = 9\) cm.
Le troisième côté mesure 9 cm.
Exercice 5 — Ce triangle existe-t-il ? ★★★
Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 4 cm, 5 cm et 12 cm ? Explique.
Voir la correction de l’exercice 5
Le plus grand côté mesure 12 cm. On additionne les deux autres :
\(4 + 5 = 9\) cm.
On compare : \(9\) < \(12\). Le plus grand côté est plus long que la somme des deux autres.
Ce triangle est impossible : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.
VI. Les erreurs fréquentes
Voici les pièges qui coûtent des points en contrôle. Repère-les pour ne plus les commettre.
Confondre aire et périmètre. Le périmètre est une longueur (le tour), l’aire est une surface (l’intérieur). Le périmètre s’additionne, l’aire se calcule avec la formule base × hauteur ÷ 2. Pour l’aire, va voir la page aire d’un triangle. Cette confusion est l’confusion fréquente en géométrie, avec d’autres détaillées dans nos erreurs de géométrie au collège.
❌ Copie fautive : « Périmètre du triangle isocèle de côtés 7 cm et base 4 cm : \(P = 7 + 4 = 11\) cm. »
🔎 Diagnostic : l’élève a oublié qu’il y a deux côtés de 7 cm, pas un seul. Un triangle a toujours trois côtés.
✅ Correction : \(P = 7 + 7 + 4 = 18\) cm.
Oublier l’unité. Un résultat de périmètre sans unité (« P = 18 ») est incomplet. Écris toujours « 18 cm », et vérifie que tes longueurs étaient bien dans la même unité avant d’additionner.
VII. Questions fréquentes
Comment calculer le périmètre d’un triangle ?
Pour calculer le périmètre d’un triangle, additionne les longueurs de ses trois côtés. Si les côtés mesurent \(a\), \(b\) et \(c\), alors \(P = a + b + c\). Pense à mettre toutes les longueurs dans la même unité avant d’additionner, et à écrire l’unité dans le résultat.
Quelle est la formule du périmètre d’un triangle ?
La formule est \(P = a + b + c\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont les longueurs des trois côtés. Pour un triangle équilatéral, elle se simplifie en \(P = 3 \times a\) ; pour un triangle isocèle, en \(P = 2 \times a + b\).
Comment calculer le périmètre d’un triangle équilatéral ?
Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux. Son périmètre est donc trois fois la longueur d’un côté : \(P = 3 \times a\). Par exemple, un côté de 5 cm donne \(P = 3 \times 5 = 15\) cm.
Quelle est la différence entre l’aire et le périmètre d’un triangle ?
Le périmètre mesure le tour du triangle (une longueur, en cm) : on additionne les trois côtés. L’aire mesure la surface à l’intérieur (en cm²) : on utilise la formule base × hauteur ÷ 2. Ce sont deux grandeurs différentes qu’il ne faut jamais mélanger.
Comment trouver un côté quand on connaît le périmètre ?
Il suffit de soustraire au périmètre les longueurs des côtés connus. Par exemple, si le périmètre vaut 20 cm et que deux côtés mesurent 6 cm et 7 cm, le troisième côté mesure \(20- 6- 7 = 7\) cm.
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer le périmètre de n’importe quel triangle. Pour continuer à progresser en géométrie :
