Les hexagones réguliers peuvent paver le plan sans laisser de vide, comme sur certains carrelages. Pour calculer leur aire, une décomposition est particulièrement utile : un hexagone régulier convexe se partage en six triangles équilatéraux autour de son centre.
I. Qu’est-ce qu’un hexagone régulier ?
Un hexagone est un polygone à 6 côtés. C’est la seule information à retenir sur le mot lui-même : le préfixe « hexa » signifie « six » en grec. Mais tous les hexagones ne se ressemblent pas.
Définition — Hexagone régulier
Un hexagone régulier est un hexagone dont les 6 côtés ont la même longueur et les 6 angles la même mesure. Chacun de ses angles intérieurs mesure \(120^\circ\).
C’est ce cas particulier, le plus courant en géométrie, que tu rencontres dans les alvéoles d’abeilles ou les carrelages. Quand les côtés ne sont pas tous égaux, on parle d’hexagone irrégulier : sa formule d’aire n’existe pas telle quelle, il faut alors le découper (on verra comment dans la FAQ).
A. Régulier ou irrégulier : bien distinguer
Le mot « régulier » change tout. Toute la magie du calcul qui suit repose sur un fait remarquable de l’hexagone régulier : si tu relies son centre à chacun de ses sommets, tu obtiens six triangles absolument identiques, et ces triangles sont même équilatéraux. Ce petit miracle ne fonctionne que si la figure est régulière.
II. La formule de l’aire d’un hexagone régulier
L’aire d’un hexagone régulier de côté \(a\) se calcule avec la formule \(A = \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2} \times a^2\). Concrètement : tu élèves le côté au carré, tu multiplies par 3, puis par \(\sqrt{3}\) (environ 1,732), et tu divises par 2. Pour un côté de 4 cm, l’aire vaut environ 41,6 cm².
Formule — Aire de l’hexagone régulier
Pour un hexagone régulier de côté \(a\) :
\(A = \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2} \times a^2\)
où \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}598\). L’aire s’exprime dans l’unité au carré (cm², m²…).
D’où sort ce \(\sqrt{3}\) un peu mystérieux ? De la hauteur des six triangles équilatéraux, que l’on obtient grâce au théorème de Pythagore. La racine carrée de 3 apparaît partout dès qu’un triangle équilatéral est en jeu. Pas de panique : dans les calculs, tu remplaces simplement \(\sqrt{3}\) par 1,732.
Le formulaire des aires, périmètres et volumes — 2 pages
Les formules et les unités dans une fiche recto-verso, avec les longueurs et les hauteurs à utiliser.
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III. La méthode : découper en 6 triangles équilatéraux
Plutôt que d’apprendre la formule par cœur, comprends-la. La méthode tient en trois idées, et elle marche à tous les coups.
- Repère les 6 triangles. En reliant le centre aux sommets, l’hexagone se partage en six triangles équilatéraux de côté \(a\).
- Calcule l’aire d’un seul triangle. L’aire d’un triangle équilatéral de côté \(a\) vaut \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\).
- Multiplie par 6. \(6 \times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2} \times a^2\). On retombe bien sur la formule !
Exemple : Calculer l’aire d’un hexagone régulier de côté 4 cm.
On applique la formule avec \(a = 4\) :
\(A = \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4^2 = \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 16\)
\(A \approx 2{,}598 \times 16 \approx 41{,}6\)
L’aire de l’hexagone est d’environ 41,6 cm².
Astuce mémoire : retiens « six triangles ». Si tu oublies la formule le jour d’un contrôle, dessine l’hexagone, trace les six triangles, calcule l’aire d’un seul et multiplie par 6. Tu retrouves le résultat sans rien apprendre par cœur.
Et le périmètre, dans tout ça ? Il reste très simple : les six côtés étant égaux, le périmètre d’un hexagone régulier vaut \(P = 6 \times a\). Pour un côté de 4 cm, \(P = 24\) cm.
IV. Et les autres polygones réguliers ?
Le pentagone (5 côtés), l’octogone (8 côtés)… tous les polygones réguliers se calculent avec une seule et même formule, plus générale. Elle repose sur l’apothème, un mot savant pour une idée simple.
Définition — Apothème
L’apothème d’un polygone régulier est la distance entre son centre et le milieu d’un côté. On le note souvent \(a_p\).
Avec l’apothème, l’aire de n’importe quel polygone régulier se calcule ainsi :
Formule — Aire d’un polygone régulier
\(A = \displaystyle\frac{P \times a_p}{2}\)
où \(P\) est le périmètre et \(a_p\) l’apothème. Autrement dit : périmètre × apothème, divisé par 2.
C’est logique : le polygone se découpe en autant de triangles que de côtés, chacun de base « un côté » et de hauteur « l’apothème ». On additionne toutes ces bases (ce qui donne le périmètre) et on multiplie par la hauteur, divisée par 2.
🟡 Vers la Seconde Pour l’hexagone régulier, l’apothème vaut \(a_p = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \times a\). En reportant dans la formule générale, on retrouve exactement \(A = \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2} \times a^2\) : les deux méthodes sont cohérentes.
| Polygone régulier | Nombre de côtés | Aire (côté \(a\)) |
|---|---|---|
| Triangle équilatéral | 3 | \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2\) |
| Carré | 4 | \(a^2\) |
| Pentagone | 5 | \(\approx 1{,}720\,a^2\) |
| Hexagone | 6 | \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2 \approx 2{,}598\,a^2\) |
| Octogone | 8 | \(\approx 4{,}828\,a^2\) |
V. Exercices corrigés
Entraîne-toi maintenant. Fais chaque exercice sur ta feuille avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Aire directe ★
Calcule l’aire d’un hexagone régulier de côté 6 cm. Arrondis au dixième.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique la formule avec \(a = 6\) :
\(A = \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 6^2 \approx 2{,}598 \times 36\)L’aire vaut environ 93,5 cm².
Exercice 2 — Aire et périmètre ★
Un carrelage a la forme d’un hexagone régulier de côté 5 cm. Calcule son périmètre, puis son aire.
Voir la correction de l’exercice 2
Périmètre : \(P = 6 \times 5 = 30\) cm.
Aire : \(A = \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 5^2 \approx 2{,}598 \times 25 \approx 65{,}0\) cm².
Le périmètre est de 30 cm et l’aire d’environ 65 cm². Attention : l’un est en cm, l’autre en cm².
Exercice 3 — Hexagone inscrit dans un cercle ★★
Un hexagone régulier est tracé à l’intérieur d’un cercle de rayon 6 cm, ses six sommets touchant le cercle. Quelle est la longueur de son côté ? En déduis son aire.
Voir la correction de l’exercice 3
C’est la propriété clé de l’hexagone régulier : chacun des six triangles est équilatéral, donc le rayon (du centre à un sommet) est égal au côté. Le côté vaut donc 6 cm.
On calcule ensuite l’aire avec \(a = 6\) :
\(A = \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 6^2 \approx 93{,}5\) cm².
L’aire est d’environ 93,5 cm².
Exercice 4 — Pentagone avec apothème ★★
Un pentagone régulier a des côtés de 6 cm et un apothème d’environ 4,13 cm. Calcule son aire avec la formule générale.
Voir la correction de l’exercice 4
Périmètre : \(P = 5 \times 6 = 30\) cm.
On applique \(A = \displaystyle\frac{P \times a_p}{2}\) :
\(A \approx \displaystyle\frac{30 \times 4{,}13}{2} = \displaystyle\frac{123{,}9}{2} \approx 62\)L’aire du pentagone est d’environ 62 cm².
Exercice 5 — Le raisonnement du même périmètre ★★★
Un hexagone régulier et un carré ont exactement le même périmètre : 24 cm. Sans calculer, devine lequel a la plus grande aire, puis vérifie par le calcul.
Voir la correction de l’exercice 5
Intuition : plus un polygone régulier a de côtés, plus il « ressemble » à un cercle et plus il englobe d’aire pour un même périmètre. L’hexagone devrait donc gagner.
Carré : côté \(= 24 \div 4 = 6\) cm, donc aire \(= 6^2 = 36\) cm².
Hexagone : côté \(= 24 \div 6 = 4\) cm, donc aire \(= \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4^2 \approx 41{,}6\) cm².
À périmètre égal dans cet exemple, l’hexagone régulier a une aire plus grande que le carré : environ 41,6 cm² contre 36 cm². Cela ne suffit pas à expliquer à lui seul la forme biologique d’une alvéole.
VI. Les erreurs fréquentes
Trois pièges reviennent tout le temps sur l’hexagone. Repère-les une fois pour toutes.
Erreur n°1 — Confondre aire et périmètre. Le périmètre \(6a\) mesure le tour (en cm), l’aire mesure l’intérieur (en cm²). Ce sont deux grandeurs différentes : voir les 8 pièges classiques de géométrie.
Erreur n°2 — Oublier de mettre le côté au carré. On écrit parfois \(A \approx 2{,}598 \times a\) au lieu de \(A \approx 2{,}598 \times a^2\). Une aire fait toujours intervenir un carré. Sans lui, l’unité serait fausse.
Erreur n°3 — Appliquer la formule à un hexagone irrégulier. La formule \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2\) ne vaut que pour un hexagone régulier. Si les côtés sont différents, il faut découper la figure comme une figure composée.
VII. Questions fréquentes
Comment calculer l’aire d’un hexagone régulier ?
On utilise la formule \(A = \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2} \times a^2\), où \(a\) est le côté. En pratique : on met le côté au carré, on multiplie par 2,598, et le résultat est en unité de surface (cm², m²). L’astuce pour comprendre : un hexagone régulier, ce sont 6 triangles équilatéraux.
Quelle est la formule de l’aire d’un octogone régulier ?
Pour un octogone régulier de côté \(a\), l’aire vaut \(A = 2(1 + \sqrt{2})\,a^2 \approx 4{,}828 \times a^2\). On peut aussi utiliser la formule générale des polygones réguliers : \(A = \displaystyle\frac{P \times a_p}{2}\), avec le périmètre et l’apothème.
Comment calculer l’aire d’un hexagone irrégulier ?
Il n’existe pas de formule toute prête. On découpe l’hexagone irrégulier en figures connues (triangles, rectangles), on calcule l’aire de chaque morceau, puis on additionne le tout. C’est la méthode des figures composées.
Quelle est la différence entre un hexagone régulier et irrégulier ?
Un hexagone régulier a ses 6 côtés égaux et ses 6 angles égaux (120° chacun). Un hexagone irrégulier n’a pas cette propriété : ses côtés et/ou ses angles diffèrent. Seul l’hexagone régulier possède une formule d’aire simple ; l’irrégulier doit être découpé.
Quels sont les angles d’un hexagone régulier ?
Chaque angle intérieur d’un hexagone régulier mesure \(120^\circ\). La somme des six angles vaut donc \(6 \times 120 = 720^\circ\). Au centre, les six triangles se partagent le tour complet : chaque angle au centre mesure \(360 \div 6 = 60^\circ\), ce qui confirme que les triangles sont équilatéraux.
Un hexagone régulier peut-il être inscrit dans un cercle ?
Oui, et c’est même sa propriété la plus utile : les six sommets se posent exactement sur un cercle, et le côté de l’hexagone est alors égal au rayon de ce cercle. C’est pourquoi on construit facilement un hexagone au compas, en reportant six fois le rayon sur le cercle.
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer l’aire d’un hexagone et de tout polygone régulier. Pour continuer à progresser sur les aires et périmètres :
- L’aire d’un triangle rectangle : méthode, calcul et exemples
- Périmètre d’un triangle rectangle : méthode et calcul
- Agrandissement et Réduction en 3ème : Cours et Méthode — pour comprendre pourquoi agrandir un hexagone multiplie son aire par le carré du rapport.
- Angles adjacents et opposés par le sommet : cours de 5ème
- Au lycée, l’apothème et le \(\sqrt{3}\) de l’hexagone se retrouvent grâce à la trigonométrie : découvre les Formules de Trigonométrie (1ère) : Cours et Méthode.
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