Anneau intègre, principal, euclidien, factoriel : la hiérarchie

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En arithmétique élémentaire, une égalité comme \(ab = 0\) impose toujours \(a = 0\) ou \(b = 0\) : vous l’utilisez sans y penser pour résoudre une équation produit. Mais dans \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), on a \(2 \times 3 = 0\) sans qu’aucun des deux facteurs ne soit nul. Les anneaux où cette règle de bon sens survit portent un nom — les anneaux intègres — et ce sont eux qui ouvrent toute la hiérarchie de l’algèbre : euclidien, principal, factoriel.

La réponse en une phrase. Un anneau intègre est un anneau commutatif unitaire non nul dans lequel un produit n’est nul que si l’un de ses facteurs l’est : il ne possède aucun diviseur de zéro. C’est exactement la propriété qui autorise la règle de simplification et qui fonde toute la hiérarchie euclidien – principal – factoriel.

I. À quoi sert la notion d’anneau intègre

Avant la définition formelle, il faut comprendre pourquoi on isole cette classe d’anneaux. La raison tient en un geste que vous faites depuis le collège sans le nommer : simplifier par un facteur non nul.

Dans \(\mathbb{Z}\), si \(3a = 3b\), vous concluez immédiatement \(a = b\). Vous « barrez les 3 ». Ce réflexe repose sur une propriété non triviale de \(\mathbb{Z}\) : on peut simplifier par un élément non nul. Or cette propriété n’est pas garantie dans un anneau quelconque.

Prenez l’anneau \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\). On y a \(2 \times 3 = 6 = 0\). Les éléments \(2\) et \(3\), pourtant non nuls, ont un produit nul : ce sont des diviseurs de zéro. Conséquence directe : dans \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), l’égalité \(2 \times 3 = 2 \times 0\) est vraie, mais on ne peut pas en déduire \(3 = 0\). La simplification s’effondre.

Un anneau intègre est précisément un anneau où cet accident n’arrive jamais. On y récupère tous les réflexes de calcul de \(\mathbb{Z}\) : équations produit nul, simplification, factorisation. C’est le cadre minimal pour faire de l’arithmétique sérieuse, et le point de départ obligatoire avant de parler d’anneaux euclidiens, principaux ou factoriels.

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II. Définition et notation

On formalise maintenant l’intuition précédente. Fixons d’abord le vocabulaire des diviseurs de zéro, puis la définition officielle.

La seconde condition est le cœur de la définition. Elle s’énonce aussi par contraposée, sous une forme plus proche du calcul :

\(a \neq 0\) et \(b \neq 0\) \(\Longrightarrow\) \(ab \neq 0\).

Autrement dit : le produit de deux éléments non nuls est non nul.

A. Exemples fondamentaux

Trois familles à mémoriser, car elles reviennent partout :

• \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\) sont intègres.
• Si \(K\) est un corps, l’anneau des polynômes \(K[X]\) est intègre (le degré d’un produit est la somme des degrés, donc un produit de polynômes non nuls est non nul).
• Tout sous-anneau d’un anneau intègre est intègre — en particulier tout sous-anneau d’un corps l’est. C’est le cas de \(\mathbb{Z}[i]\) (entiers de Gauss) ou de \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\), vus comme sous-anneaux de \(\mathbb{C}\).

B. Contre-exemples de référence

Les anneaux non intègres sont tout aussi instructifs :

• \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) pour \(n\) non premier : on l’a vu avec \(n = 6\). Plus généralement, \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est intègre si et seulement si \(n\) est premier (démonstration au §III).
• L’anneau des matrices \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) pour \(n \geq 2\) : il n’est même pas commutatif, et possède des diviseurs de zéro. Voir le cocon des matrices en mathématiques.
• L’anneau produit \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) : \((1,0) \times (0,1) = (0,0)\), donc \((1,0)\) et \((0,1)\) sont des diviseurs de zéro.

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III. Propriétés et théorèmes

Quatre résultats structurent le cours. Le premier explique pourquoi l’intégrité rend le calcul agréable ; les deux suivants relient l’intégrité à la notion de corps, dans un sens toujours vrai puis dans un sens conditionnel.

A. La règle de simplification

Démonstration. Supposons \(ab = ac\) avec \(a \neq 0\). Alors \(a(b- c) = 0\). Comme \(A\) est intègre et \(a \neq 0\), le second facteur est nul : \(b- c = 0\), donc \(b = c\). \(\;\;\)∎

B. Tout corps est un anneau intègre 🟠

Démonstration. Soit \(K\) un corps. C’est par définition un anneau commutatif unitaire avec \(1 \neq 0\) : les deux premières exigences sont acquises. Reste à montrer l’absence de diviseur de zéro. Soient \(a, b \in K\) tels que \(ab = 0\), et supposons \(a \neq 0\). Alors \(a\) est inversible, et

\(b = 1 \cdot b = (a^{-1}a)b = a^{-1}(ab) = a^{-1} \cdot 0 = 0.\)

Donc \(a = 0\) ou \(b = 0\) : \(K\) est intègre. \(\;\;\)∎

C. Tout anneau intègre fini est un corps 🟠

Voici le résultat le plus élégant de ce cours, et une question d’oral classique. La réciproque du théorème précédent devient vraie… à condition d’ajouter la finitude.

Démonstration. Soit \(A\) un anneau intègre fini, et soit \(a \in A\) non nul. On considère l’application

\(\varphi : A \to A, \quad x \mapsto ax.\)

\(\varphi\) est injective. Si \(\varphi(x) = \varphi(y)\), alors \(ax = ay\), donc \(a(x- y) = 0\). Comme \(a \neq 0\) et \(A\) intègre, \(x- y = 0\), soit \(x = y\).

\(\varphi\) est surjective. \(A\) étant fini, une application injective de \(A\) dans lui-même est automatiquement surjective (principe des tiroirs).

En particulier \(1\) possède un antécédent : il existe \(b \in A\) tel que \(ab = 1\). Donc \(a\) est inversible. Tout élément non nul de \(A\) étant inversible, \(A\) est un corps. \(\;\;\)∎

D. Quand Z/nZ est-il intègre ? 🟠

Démonstration. Si \(n \geq 2\) n’est pas premier, on écrit \(n = kl\) avec \(1 < k, l < n\). Alors \(\overline{k}\) et \(\overline{l}\) sont non nuls dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), mais \(\overline{k}\,\overline{l} = \overline{n} = \overline{0}\) : ce sont des diviseurs de zéro, l’anneau n’est pas intègre.

Réciproquement, si \(n = p\) est premier et \(\overline{a}\,\overline{b} = \overline{0}\), alors \(p \mid ab\). D’après le théorème de Gauss (lemme d’Euclide), \(p\) premier divisant un produit divise l’un des facteurs : \(p \mid a\) ou \(p \mid b\), c’est-à-dire \(\overline{a} = \overline{0}\) ou \(\overline{b} = \overline{0}\). L’anneau est intègre, donc un corps par le théorème précédent. \(\;\;\)∎

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IV. Idéaux et idéaux principaux

Pour monter dans la hiérarchie (euclidien, principal, factoriel), il faut un outil : la notion d’idéal. C’est le bon objet pour parler de divisibilité de façon structurelle.

Exemple central : dans \(\mathbb{Z}\), tout idéal est de la forme \(n\mathbb{Z} = (n)\). C’est une conséquence de la division euclidienne, et c’est ce fait qui va servir de modèle à toute la suite. La divisibilité se lit alors sur les idéaux : \(a \mid b\) équivaut à \((b) \subset (a)\).

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V. La hiérarchie : euclidien, principal, factoriel, intègre 🟠🔴

On arrive au cœur de la page. Ces quatre classes s’emboîtent les unes dans les autres, avec des inclusions strictes. Seul « anneau intègre » est au programme de MPSI 🟠 ; euclidien, principal et factoriel relèvent de la L3 et de l’algèbre générale 🔴, mais les rencontrer tôt éclaire tout le chapitre.

A. Les quatre définitions en une ligne

• Anneau euclidien 🔴 : anneau intègre muni d’un stathme (une « taille » à valeurs entières) permettant une division euclidienne. Modèles : \(\mathbb{Z}\) (valeur absolue), \(K[X]\) (degré), \(\mathbb{Z}[i]\) (module au carré).
• Anneau principal 🔴 : anneau intègre dont tout idéal est principal.
• Anneau factoriel 🔴 : anneau intègre où tout élément non nul et non inversible s’écrit, de manière unique à l’ordre et aux inversibles près, comme produit d’éléments irréductibles.
• Anneau intègre 🟠 : anneau commutatif unitaire non nul sans diviseur de zéro.

B. La chaîne d’inclusions

Deux implications sont accessibles et méritent d’être connues :

Euclidien \(\Longrightarrow\) principal. Soit \(A\) euclidien de stathme \(\nu\), et \(I\) un idéal non nul. On choisit \(a \in I \setminus \{0\}\) de stathme minimal. Pour \(x \in I\), la division euclidienne donne \(x = aq + r\) avec \(r = 0\) ou \(\nu(r) < \nu(a)\). Or \(r = x- aq \in I\) ; la minimalité de \(\nu(a)\) force \(r = 0\). Donc \(x \in (a)\) et \(I = (a)\). \(\;\;\)∎

Principal \(\Longrightarrow\) factoriel. Résultat vrai mais dont la démonstration (existence par condition de chaîne ascendante, unicité par le lemme d’Euclide) dépasse le cadre de cette page ; on l’admet ici.

C. Tableau de synthèse et contre-exemples

Le tableau ci-dessous est l’élément à retenir. La dernière colonne donne, pour chaque classe, un anneau qui appartient à cette classe mais pas à la classe strictement au-dessus : c’est ce qui prouve que toutes les inclusions sont strictes.

Deux contre-exemples valent le détour car ils reviennent en colle :

• \(\mathbb{Z}[X]\) factoriel mais non principal. L’idéal \((2, X)\) n’est pas principal (voir l’exercice 4). Pourtant \(\mathbb{Z}[X]\) est factoriel — la factorialité passe des coefficients au polynôme.
• \(\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]\) intègre mais non factoriel. On y a deux décompositions distinctes de \(6\) : \(6 = 2 \times 3 = (1 + i\sqrt{5})(1- i\sqrt{5})\). L’unicité de la factorisation est perdue (voir la section « Erreurs classiques » : 2 est irréductible sans être premier).

Cette hiérarchie prolonge naturellement le cours sur l’anneau en mathématiques et prépare celui sur les corps.

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VI. Exercices corrigés

Quatre exercices gradués, du contrôle de définition au contre-exemple d’oral. Cherchez avant d’ouvrir la correction. Pour un entraînement complet sur tout le chapitre, voyez les exercices corrigés de structures algébriques (MPSI).

Exercice 1 — Diviseurs de zéro dans Z/12Z ★

Déterminer tous les diviseurs de zéro de l’anneau \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\). Cet anneau est-il intègre ?

Voir la correction de l’exercice 1

Un élément \(\overline{a}\) non nul est diviseur de zéro s’il existe \(\overline{b} \neq \overline{0}\) tel que \(12 \mid ab\). Cela se produit exactement quand \(a\) n’est pas premier avec \(12\), c’est-à-dire \(\gcd(a, 12) \neq 1\).

Les classes non nulles \(\overline{a}\) avec \(1 \leq a \leq 11\) et \(\gcd(a,12) \neq 1\) sont :

\(\overline{2}, \; \overline{3}, \; \overline{4}, \; \overline{6}, \; \overline{8}, \; \overline{9}, \; \overline{10}.\)

Vérification sur un cas : \(\overline{4} \times \overline{3} = \overline{12} = \overline{0}\) avec \(\overline{4}, \overline{3} \neq \overline{0}\). ✓

Les classes inversibles \(\overline{1}, \overline{5}, \overline{7}, \overline{11}\) (premières avec 12) ne sont jamais diviseurs de zéro.

\(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) possède des diviseurs de zéro, donc il n’est pas intègre (ce qui était attendu, \(12\) n’étant pas premier).

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Exercice 2 — Un sous-anneau d’un anneau intègre est intègre ★★

Soit \(A\) un anneau intègre et \(B\) un sous-anneau de \(A\) (contenant \(1_A\)). Montrer que \(B\) est intègre.

Voir la correction de l’exercice 2

Comme \(B\) est un sous-anneau, c’est un anneau commutatif unitaire, et \(1_B = 1_A \neq 0_A = 0_B\) : la condition \(1 \neq 0\) est héritée.

Soient \(a, b \in B\) tels que \(ab = 0\). Cette égalité a lieu dans \(A\) aussi, car \(B \subset A\) et les opérations coïncident. Comme \(A\) est intègre, \(a = 0\) ou \(b = 0\).

Donc \(B\) est sans diviseur de zéro : \(B\) est intègre. C’est ce mécanisme qui garantit que \(\mathbb{Z}[i]\) ou \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\), sous-anneaux de \(\mathbb{C}\), sont intègres. Voir la caractérisation des sous-anneaux.

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Exercice 3 — Caractéristique d’un anneau intègre ★★

Montrer que la caractéristique d’un anneau intègre est soit nulle, soit un nombre premier. (On rappelle que la caractéristique est le plus petit entier \(n \geq 1\) tel que \(n \cdot 1 = 0\), et \(0\) si un tel entier n’existe pas.)

Voir la correction de l’exercice 3

Soit \(A\) intègre de caractéristique \(n \geq 1\). Supposons par l’absurde que \(n\) ne soit pas premier : \(n = kl\) avec \(1 < k, l < n\).

Dans \(A\), on a \(n \cdot 1 = 0\), c’est-à-dire \((k \cdot 1)(l \cdot 1) = (kl) \cdot 1 = n \cdot 1 = 0\).

Comme \(A\) est intègre, \(k \cdot 1 = 0\) ou \(l \cdot 1 = 0\). Mais alors \(A\) aurait une caractéristique \(\leq k < n\) ou \(\leq l < n\), ce qui contredit la minimalité de \(n\).

Donc \(n\) est premier. Conclusion : la caractéristique d’un anneau intègre est \(0\) (cas de \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\)) ou un nombre premier (cas de \(\mathbb{F}_p\)).

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Exercice 4 — Z[X] n’est pas principal ★★★

Montrer que l’idéal \(I = (2, X)\) de \(\mathbb{Z}[X]\) n’est pas principal. En déduire que \(\mathbb{Z}[X]\) est un anneau factoriel non principal.

Voir la correction de l’exercice 4

L’idéal \(I = (2, X)\) est l’ensemble des polynômes de \(\mathbb{Z}[X]\) de terme constant pair. Supposons par l’absurde \(I = (P)\) pour un certain \(P \in \mathbb{Z}[X]\).

Étape 1 — \(P\) est constant. Comme \(2 \in I = (P)\), il existe \(Q\) tel que \(2 = PQ\). En prenant les degrés, \(\deg P + \deg Q = 0\), donc \(P\) est un entier constant qui divise \(2\) : \(P \in \{\pm 1, \pm 2\}\).

Étape 2 — \(P \neq \pm 1\). Si \(P = \pm 1\), alors \(I = \mathbb{Z}[X]\) tout entier. Or \(1 \notin I\) (son terme constant \(1\) est impair). Contradiction.

Étape 3 — \(P \neq \pm 2\). Si \(P = \pm 2\), alors \(X \in I = (2)\), donc \(X = 2R\) pour un \(R \in \mathbb{Z}[X]\). Le coefficient de \(X\) à gauche vaut \(1\), à droite un entier pair. Contradiction.

Conclusion. Aucun générateur \(P\) ne convient : \(I\) n’est pas principal, donc \(\mathbb{Z}[X]\) n’est pas un anneau principal. Il est pourtant factoriel (théorème de transfert de factorialité de \(A\) à \(A[X]\)). C’est le contre-exemple canonique de l’inclusion stricte principal ⊊ factoriel.

Ce que le correcteur attend : une caractérisation explicite de \(I\) (terme constant pair), puis l’élimination de chaque valeur possible de \(P\) par un argument de degré et de coefficient. Sauter l’étape « \(P\) constant » fait perdre l’essentiel des points.

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VII. Erreurs classiques

Ces confusions coûtent des points en colle et à l’écrit. Chacune est présentée sous forme d’affirmation fautive à corriger.

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VIII. Questions fréquentes

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IX. D’où ça vient, où ça mène

Situer l’anneau intègre dans le parcours aide à comprendre son rôle exact.

• En amont (Terminale → MPSI) : tout part de la structure d’anneau et des congruences. L’intégrité est la première qualité fine qu’on demande à un anneau après ses axiomes de base.
• Ici (MPSI 🟠 → L3 🔴) : l’intégrité fonde la règle de simplification, l’étude de Z/nZ et l’entrée dans la hiérarchie euclidien-principal-factoriel.
• En aval (L3, arithmétique avancée) : les anneaux principaux et factoriels généralisent le théorème de Gauss et le théorème fondamental de l’arithmétique ; le corps des fractions d’un anneau intègre étend ensuite \(\mathbb{Z}\) en \(\mathbb{Q}\).

Pour aller plus loin

Vous maîtrisez la hiérarchie des anneaux. Pour poursuivre le cocon d’algèbre :

• Espace vectoriel : cours complet avec démonstrations et exercices corrigés
• Matrices en Mathématiques : Cours, Méthodes et Exercices Corrigés
• 20 Exercices Corrigés : Applications Linéaires — Prépa MPSI/PCSI/MP
• 20 exercices corrigés d’ensembles, applications et relations (Prépa)

Les anneaux principaux, euclidiens et factoriels sont au cœur de l’algèbre générale enseignée en L3. Pour un accompagnement à ce niveau :