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Quand tu construis un morphisme de groupes qui « écrase » un sous-groupe entier sur l’élément neutre, tu perds de l’information — mais cette information perdue a une structure, et cette structure est exactement le groupe quotient. Le premier théorème d’isomorphisme dit alors quelque chose de spectaculaire : ce que le morphisme envoie réellement dans l’ensemble d’arrivée (son image) est une copie exacte de ce qu’il reste une fois qu’on a quotienté par ce qu’il a écrasé (son noyau). C’est l’un des résultats les plus puissants de l’algèbre : il transforme des questions de classification en simples calculs de noyau et d’image. Dans cet article, tu vas comprendre la construction du quotient, démontrer les trois théorèmes d’isomorphisme, et apprendre à les appliquer en rédaction de concours.
En bref. Étant donné un morphisme de groupes \(f : G \to G'\), le premier théorème d’isomorphisme affirme que le noyau \(\ker f\) est un sous-groupe distingué de \(G\) et que le groupe quotient \(G/\ker f\) est isomorphe à l’image \(\mathrm{Im}\, f\), l’isomorphisme étant induit par \(f\) lui-même. Les deuxième et troisième théorèmes en sont des conséquences directes.
I. À quoi sert le groupe quotient
Avant tout formalisme, il faut comprendre l’idée. Quotienter un groupe, c’est décider d’identifier certains éléments entre eux : on choisit un sous-groupe \(N\) et on décrète que deux éléments sont « les mêmes » dès qu’ils ne diffèrent que d’un élément de \(N\). Le groupe quotient \(G/N\) est le groupe des éléments de \(G\) « vus à \(N\) près ».
L’exemple que tu connais déjà est arithmétique : dans \(\mathbb{Z}\), si l’on décide d’ignorer les multiples de \(n\), deux entiers deviennent égaux quand ils ont le même reste modulo \(n\). On retrouve exactement \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), que tu manipules déjà dans le cours sur les congruences. Le groupe quotient est la généralisation de cette idée à n’importe quel groupe.
À quoi ça sert concrètement ? À trois choses. D’abord, à classifier : montrer que deux groupes sont isomorphes sans construire l’isomorphisme à la main. Ensuite, à simplifier une structure en supprimant l’information qui gêne (par exemple, rendre un groupe abélien en quotientant par son groupe dérivé). Enfin, à comprendre les morphismes : le premier théorème d’isomorphisme dit qu’un morphisme n’est rien d’autre qu’une projection sur un quotient suivie d’une injection.
II. Sous-groupe distingué et construction du quotient
Contrairement à ce que l’intuition « à \(N\) près » laisserait croire, on ne peut pas quotienter par n’importe quel sous-groupe. Il faut une condition, dite de normalité, sans laquelle le produit sur les classes n’est pas bien défini. C’est le point technique central de tout le chapitre.
A. Relation d’équivalence et ensemble quotient
Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\). On définit sur \(G\) la relation : \(x \sim y\) si et seulement si \(x^{-1}y \in H\). C’est une relation d’équivalence, dont la classe de \(x\) est la classe à gauche \(xH = \{xh \mid h \in H\}\). L’ensemble des classes est l’ensemble quotient, noté \(G/H\).
Ensemble quotient vs groupe quotient. À ce stade, \(G/H\) n’est qu’un ensemble de classes : rien ne garantit encore qu’on puisse y définir une loi de groupe. Il faudra pour cela que \(H\) soit distingué. Tant que ce n’est pas acquis, \(G/H\) désigne seulement une partition.
La fiche complète sur le groupe quotient et les 3 théorèmes d’isomorphisme
La construction du quotient, la normalité, les trois théorèmes démontrés et les pièges de rédaction — condensés sur une page imprimable.
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B. Sous-groupe distingué (normal)
Définition — Sous-groupe distingué. Un sous-groupe \(N\) de \(G\) est distingué (ou normal), noté \(N \triangleleft G\), si pour tout \(g \in G\), on a \(gNg^{-1} = N\). De façon équivalente : pour tout \(g \in G\), la classe à gauche et la classe à droite coïncident, \(gN = Ng\).
La caractérisation la plus commode en pratique est : \(N \triangleleft G\) si et seulement si pour tous \(g \in G\) et \(n \in N\), on a \(gng^{-1} \in N\). On n’a même pas besoin de l’égalité \(gNg^{-1} = N\) : l’inclusion \(gNg^{-1} \subseteq N\) pour tout \(g\) suffit, car on l’applique aussi à \(g^{-1}\).
Deux cas où la normalité est gratuite. Dans un groupe abélien, tous les sous-groupes sont distingués. Et dans n’importe quel groupe, un sous-groupe d’indice 2 est toujours distingué (tu le démontreras dans l’exercice 2).
C. Construction de G/N et projection canonique
Supposons désormais \(N \triangleleft G\). On munit l’ensemble quotient \(G/N\) de la loi définie sur les classes par \((xN)(yN) = (xy)N\).
Cette loi est bien définie précisément grâce à la normalité. Vérifions-le, car c’est le cœur de la théorie. Soit \(xN = x'N\) et \(yN = y'N\). Il existe \(n_1, n_2 \in N\) tels que \(x' = xn_1\) et \(y' = yn_2\). Alors :
\(x'y' = xn_1 y n_2 = xy\,(y^{-1}n_1 y)\,n_2\).
Comme \(N \triangleleft G\), on a \(y^{-1}n_1 y \in N\), donc \((y^{-1}n_1 y)\,n_2 \in N\), ce qui donne \(x'y' \in xy\,N\), soit \(x'y'N = xyN\). Le résultat ne dépend pas des représentants choisis : la loi est bien définie.
Sans normalité, tout s’effondre. Si \(N\) n’est pas distingué, le terme \(y^{-1}n_1 y\) peut sortir de \(N\), et le produit \((xN)(yN)\) dépend alors des représentants. Écrire « \(G/H\) » avec \(H\) non distingué est une faute lourde en copie : le quotient n’est pas un groupe.
Définition — Groupe quotient et projection canonique. Muni de la loi ci-dessus, \(G/N\) est un groupe d’élément neutre \(\bar{e} = N\) et d’inverse \((xN)^{-1} = x^{-1}N\). L’application \(\pi : G \to G/N\) définie par \(\pi(x) = xN\) est un morphisme surjectif, appelé projection canonique, de noyau \(\ker \pi = N\).
Cette dernière remarque est fondamentale : elle montre que tout sous-groupe distingué est le noyau d’un morphisme (à savoir sa propre projection canonique). La réciproque, que nous démontrons plus bas, est vraie aussi : tout noyau est distingué. Noyaux et sous-groupes distingués sont donc exactement les mêmes objets.
Lorsque \(G\) est fini, le théorème de Lagrange donne immédiatement le cardinal : \(\vert G/N \vert = \displaystyle\frac{\vert G \vert}{\vert N \vert}\). C’est l’indice de \(N\) dans \(G\).
III. Le premier théorème d’isomorphisme
C’est le résultat central, et de loin le plus utilisé. Il relie directement un morphisme, son noyau et son image, et remplace la construction fastidieuse d’un isomorphisme par une simple identification.
Théorème (premier théorème d’isomorphisme) ⋆. Soit \(f : G \to G'\) un morphisme de groupes. Alors \(\ker f \triangleleft G\) et l’application \(\bar{f} : G/\ker f \to \mathrm{Im}\, f\) définie par \(\bar{f}(x\,\ker f) = f(x)\) est un isomorphisme. Autrement dit :
\(G/\ker f \;\cong\; \mathrm{Im}\, f\).
Le petit rappel : un isomorphisme est un morphisme bijectif ; deux groupes isomorphes ont exactement la même structure. La définition complète et la méthode pour prouver un isomorphisme sont détaillées dans la page dédiée.
Démonstration. Elle se décompose en quatre étapes, dont chacune doit apparaître explicitement à l’oral et sur la copie.
Étape 1 — \(\ker f\) est distingué. Soit \(g \in G\) et \(x \in \ker f\). Alors :
\(f(gxg^{-1}) = f(g)f(x)f(g)^{-1} = f(g)\,e_{G'}\,f(g)^{-1} = e_{G'}\).
Donc \(gxg^{-1} \in \ker f\), ce qui prouve \(g\,(\ker f)\,g^{-1} \subseteq \ker f\) pour tout \(g\) : \(\ker f \triangleleft G\). Le quotient \(G/\ker f\) est donc bien un groupe.
Étape 2 — \(\bar{f}\) est bien définie. Notons \(K = \ker f\). Si \(xK = yK\), alors \(x^{-1}y \in K\), donc \(f(x^{-1}y) = e_{G'}\), c’est-à-dire \(f(x) = f(y)\). La valeur \(\bar{f}(xK) = f(x)\) ne dépend pas du représentant.
Étape 3 — \(\bar{f}\) est un morphisme. Pour tous \(x, y \in G\) :
\(\bar{f}(xK \cdot yK) = \bar{f}(xyK) = f(xy) = f(x)f(y) = \bar{f}(xK)\,\bar{f}(yK)\).
Étape 4 — \(\bar{f}\) est bijective. Elle est surjective sur \(\mathrm{Im}\, f\) par construction (tout élément de l’image est un \(f(x) = \bar{f}(xK)\)). Pour l’injectivité, il suffit de vérifier que son noyau est trivial : si \(\bar{f}(xK) = e_{G'}\), alors \(f(x) = e_{G'}\), donc \(x \in K\), donc \(xK = K\) est l’élément neutre de \(G/K\). Ainsi \(\ker \bar{f} = \{K\}\) et \(\bar{f}\) est injective.
\(\bar{f}\) est un morphisme bijectif de \(G/\ker f\) sur \(\mathrm{Im}\, f\) : c’est un isomorphisme. ∎
La lecture géométrique. Le diagramme dit que tout morphisme \(f\) se « factorise » : \(f = \bar{f} \circ \pi\). On projette d’abord \(G\) sur son quotient (on écrase le noyau), puis on injecte le quotient dans \(G'\). Un morphisme n’est jamais qu’une projection suivie d’une injection.
IV. Les deuxième et troisième théorèmes d’isomorphisme
Les deux autres théorèmes se déduisent du premier en construisant à chaque fois le bon morphisme. Ils sont moins spectaculaires mais indispensables pour manipuler les emboîtements de quotients.
A. Deuxième théorème d’isomorphisme
Théorème (deuxième théorème, dit « du parallélogramme »). Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\) et \(N \triangleleft G\). Alors \(HN\) est un sous-groupe de \(G\), \(H \cap N \triangleleft H\), et :
\(H/(H \cap N) \;\cong\; HN/N\).
Idée de démonstration. On considère la restriction de la projection canonique \(\pi : G \to G/N\) au sous-groupe \(H\), c’est-à-dire \(\varphi = \pi_{\mid H} : H \to G/N\). C’est un morphisme. Son image est \(\{hN \mid h \in H\} = HN/N\), et son noyau est \(\{h \in H \mid h \in N\} = H \cap N\). Le premier théorème appliqué à \(\varphi\) donne aussitôt \(H/(H \cap N) \cong HN/N\). ∎
B. Troisième théorème d’isomorphisme
Théorème (troisième théorème, dit « des quotients successifs »). Soit \(N \triangleleft G\) et \(K \triangleleft G\) avec \(N \subseteq K\). Alors \(K/N \triangleleft G/N\) et :
\((G/N)\big/(K/N) \;\cong\; G/K\).
Idée de démonstration. On définit \(\psi : G/N \to G/K\) par \(\psi(xN) = xK\). Cette application est bien définie car \(N \subseteq K\) (si \(xN = yN\), alors \(x^{-1}y \in N \subseteq K\), donc \(xK = yK\)). C’est un morphisme surjectif, de noyau \(\{xN \mid x \in K\} = K/N\). Le premier théorème conclut. ∎
Le tableau ci-dessous résume les trois énoncés, à garder sous les yeux jusqu’à ce qu’ils soient automatiques.
| Théorème | Hypothèses | Conclusion | Morphisme utilisé |
|---|---|---|---|
| Premier | \(f : G \to G'\) morphisme | \(G/\ker f \cong \mathrm{Im}\, f\) | \(f\) lui-même |
| Deuxième | \(H \leq G\), \(N \triangleleft G\) | \(H/(H\cap N) \cong HN/N\) | \(\pi_{\mid H} : H \to G/N\) |
| Troisième | \(N \triangleleft G\), \(K \triangleleft G\), \(N \subseteq K\) | \((G/N)/(K/N) \cong G/K\) | \(xN \mapsto xK\) |
V. Exemples classiques à connaître
La force du premier théorème se voit sur des exemples. Dans chacun, la démarche est identique : identifier le morphisme, calculer son noyau, calculer son image, puis conclure. Applique ce réflexe systématiquement.
A. Z/nZ comme quotient
Considère la projection \(\pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). Elle est surjective, de noyau \(n\mathbb{Z}\). Appliqué au morphisme \(k \mapsto e^{2i\pi k/n}\) de \(\mathbb{Z}\) sur le groupe \(\mathbb{U}_n\) des racines \(n\)-ièmes de l’unité, surjectif de noyau \(n\mathbb{Z}\), le premier théorème donne \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{U}_n\). Plus intéressant : tout groupe monogène infini est isomorphe à \(\mathbb{Z}\), et tout groupe cyclique d’ordre \(n\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). La structure quotient de Z/nZ est étudiée en détail dans la page qui lui est consacrée.
B. Le déterminant : GLₙ(K)/SLₙ(K) ≅ K*
Le déterminant \(\det : GL_n(K) \to K^*\) est un morphisme de groupes (car \(\det(AB) = \det A \det B\)), surjectif (toute valeur non nulle est atteinte par une matrice diagonale). Son noyau est par définition \(SL_n(K)\), le groupe spécial linéaire. Le premier théorème donne immédiatement :
\(GL_n(K)/SL_n(K) \;\cong\; K^*\).
On retrouve ici le lien avec les matrices et, pour le cas orthogonal, avec le groupe orthogonal O(n).
C. La signature : Sₙ/Aₙ ≅ Z/2Z
La signature \(\varepsilon : S_n \to \{-1, 1\}\) est un morphisme surjectif (pour \(n \geq 2\)), de noyau le groupe alterné \(A_n\). D’où \(S_n/A_n \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), ce qui prouve au passage que \(A_n\) est distingué et d’indice 2.
D. L’abélianisé : G/D(G)
Le groupe dérivé \(D(G)\) est le sous-groupe engendré par les commutateurs \(xyx^{-1}y^{-1}\). Il est distingué, et le quotient \(G/D(G)\), appelé abélianisé de \(G\), est toujours abélien. C’est le « plus grand quotient abélien » de \(G\) : tout morphisme de \(G\) vers un groupe abélien se factorise à travers \(G/D(G)\). Un exemple typique de la puissance du quotient : transformer un groupe quelconque en groupe abélien en tuant exactement ce qui l’empêchait de l’être.
VI. Exercices corrigés
Ces quatre exercices couvrent la gradation attendue : reconnaissance du morphisme, normalité, application du premier théorème, puis un raisonnement de synthèse classique à l’oral. Cherche chaque énoncé avant de dérouler la correction.
Exercice 1 — Le cercle unité R/Z ★
On note \(\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C} \mid \vert z \vert = 1\}\) le groupe multiplicatif des complexes de module 1. Montrer que \((\mathbb{R}, +)/(\mathbb{Z}, +) \cong (\mathbb{U}, \times)\).
Voir la correction de l’exercice 1
On considère \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{U}\) définie par \(f(t) = e^{2i\pi t}\).
Morphisme : \(f(t+s) = e^{2i\pi(t+s)} = e^{2i\pi t}e^{2i\pi s} = f(t)f(s)\).
Surjectivité : tout \(z \in \mathbb{U}\) s’écrit \(z = e^{i\theta}\), donc \(z = f\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2\pi}\right)\). Ainsi \(\mathrm{Im}\, f = \mathbb{U}\).
Noyau : \(f(t) = 1 \iff e^{2i\pi t} = 1 \iff t \in \mathbb{Z}\). Donc \(\ker f = \mathbb{Z}\).
Le premier théorème d’isomorphisme donne alors \(\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong \mathbb{U}\).
Exercice 2 — Sous-groupe d’indice 2 ★★
Soit \(G\) un groupe et \(H\) un sous-groupe d’indice 2. Montrer que \(H \triangleleft G\).
Voir la correction de l’exercice 2
\(H\) étant d’indice 2, il y a exactement deux classes à gauche : \(H\) et son complémentaire \(G \setminus H\). De même, deux classes à droite : \(H\) et \(G \setminus H\).
Soit \(g \in G\). Deux cas.
Si \(g \in H\), alors \(gH = H = Hg\).
Si \(g \notin H\), alors \(gH \neq H\), donc \(gH = G \setminus H\) (la seule autre classe à gauche). De même \(Hg \neq H\) donne \(Hg = G \setminus H\). Donc \(gH = Hg\).
Dans les deux cas \(gH = Hg\), donc \(H \triangleleft G\).
Exercice 3 — Application du premier théorème ★★
Soit \(f : (\mathbb{C}^*, \times) \to (\mathbb{R}^{+*}, \times)\) définie par \(f(z) = \vert z \vert\). Déterminer \(\ker f\) et en déduire un isomorphisme.
Voir la correction de l’exercice 3
Morphisme : \(f(zz') = \vert zz' \vert = \vert z \vert \vert z' \vert = f(z)f(z')\).
Surjectivité : pour \(r\) > \(0\), \(r = f(r)\), donc \(\mathrm{Im}\, f = \mathbb{R}^{+*}\).
Noyau : \(f(z) = 1 \iff \vert z \vert = 1 \iff z \in \mathbb{U}\). Donc \(\ker f = \mathbb{U}\).
Le premier théorème donne \(\mathbb{C}^*/\mathbb{U} \cong \mathbb{R}^{+*}\).
Interprétation : quotienter \(\mathbb{C}^*\) par le cercle unité revient à ne retenir que le module, c’est-à-dire une demi-droite multiplicative.
Toutes les méthodes du groupe quotient en 1 page
Construction du quotient, les 3 théorèmes démontrés, la trame de rédaction concours et les pièges à éviter — fiche imprimable.
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Exercice 4 — Le lemme G/Z(G) cyclique ★★★
Soit \(G\) un groupe et \(Z(G)\) son centre. Montrer que si \(G/Z(G)\) est cyclique, alors \(G\) est abélien.
Voir la correction de l’exercice 4
Rappelons que \(Z(G) \triangleleft G\) (le centre est toujours distingué), donc \(G/Z(G)\) est bien un groupe.
Supposons \(G/Z(G)\) cyclique, engendré par une classe \(gZ(G)\). Soit \(x, y \in G\). Leurs classes sont des puissances de \(gZ(G)\) : il existe \(i, j \in \mathbb{Z}\) et \(z_1, z_2 \in Z(G)\) tels que
\(x = g^i z_1\) et \(y = g^j z_2\).
Calculons le produit dans les deux ordres, en utilisant que \(z_1, z_2\) commutent avec tout :
\(xy = g^i z_1 g^j z_2 = g^{i+j} z_1 z_2\),
\(yx = g^j z_2 g^i z_1 = g^{i+j} z_2 z_1 = g^{i+j} z_1 z_2\).
Donc \(xy = yx\) pour tous \(x, y\) : \(G\) est abélien.
Ce que le correcteur attend : le point clé est de relever les classes en des éléments concrets \(x = g^i z_1\) — c’est là que le quotient sert vraiment. Ne pas oublier de justifier que \(z_1, z_2 \in Z(G)\) commutent avec \(g\). Une conséquence immédiate à citer : \(G/Z(G)\) n’est jamais cyclique non trivial, donc jamais d’ordre premier pour un groupe non abélien.
VII. Erreurs classiques et rédaction concours
Le quotient est l’un des chapitres où l’on perd le plus de points par étourderie de rédaction plutôt que par manque d’idées. Voici les fautes récurrentes en copie.
❌ Copie fautive : « Soit \(H \leq G\), on considère le groupe \(G/H\)… »
Diagnostic : rien ne garantit que \(H\) soit distingué, donc \(G/H\) n’est pas nécessairement un groupe.
✅ Correction : toujours justifier « \(H \triangleleft G\) » avant de parler du groupe quotient, ou invoquer le fait que c’est un noyau.
❌ Copie fautive : définir \(\bar{f}(xN) = f(x)\) et passer directement à la suite.
Diagnostic : on a oublié de vérifier que \(\bar{f}\) est bien définie (indépendance du représentant). C’est l’étape que les correcteurs traquent.
✅ Correction : écrire explicitement « si \(xN = yN\) alors \(f(x) = f(y)\) » avant tout le reste.
❌ Copie fautive : pour l’injectivité de \(\bar{f}\), vérifier laborieusement \(\bar{f}(a) = \bar{f}(b) \Rightarrow a = b\).
Diagnostic : correct mais inutilement long.
✅ Correction : un morphisme est injectif ssi son noyau est trivial. Calcule \(\ker \bar{f}\), c’est immédiat.
Rédaction concours — le plan attendu. Dès qu’un énoncé demande « montrer que deux groupes sont isomorphes » et qu’un morphisme naturel existe, le correcteur attend le réflexe « premier théorème d’isomorphisme ». Rédige toujours dans cet ordre : (1) « soit \(f\) le morphisme… je vérifie que c’est bien un morphisme » ; (2) « je calcule \(\mathrm{Im}\, f\) » ; (3) « je calcule \(\ker f\) » ; (4) « d’après le premier théorème d’isomorphisme, \(G/\ker f \cong \mathrm{Im}\, f\) ». Cette trame vaut la quasi-totalité des points : elle évite la construction manuelle de l’isomorphisme et de sa réciproque, source d’erreurs. À l’examen de L3 comme aux oraux de Mines-Ponts ou X-ENS, la surjectivité et le noyau sont les deux points où l’examinateur relance : prépare-les.
VIII. Questions fréquentes
Quels sont les 3 théorèmes d’isomorphisme ?
Le premier : pour un morphisme \(f : G \to G'\), on a \(G/\ker f \cong \mathrm{Im}\, f\). Le deuxième (dit du parallélogramme) : pour \(H \leq G\) et \(N \triangleleft G\), \(H/(H\cap N) \cong HN/N\). Le troisième (quotients successifs) : pour \(N \subseteq K\) distingués dans \(G\), \((G/N)/(K/N) \cong G/K\). Le premier est le plus important : les deux autres s’en déduisent.
Qu’est-ce que le principe d’isomorphisme ?
Le « principe d’isomorphisme » désigne l’idée que deux groupes isomorphes sont interchangeables du point de vue algébrique : toute propriété exprimable avec la seule loi de groupe se transporte de l’un à l’autre. Le premier théorème d’isomorphisme en est l’application la plus opératoire : il fournit un isomorphisme concret entre un quotient et une image, sans avoir à le construire à la main.
Quelle est la différence entre groupe quotient et groupe produit ?
Un groupe produit \(G \times H\) combine deux groupes en juxtaposant leurs éléments (couples). Un groupe quotient \(G/N\) fait l’inverse : il simplifie un seul groupe en identifiant des éléments. Il existe un lien : sous certaines conditions (sous-groupes distingués en somme directe interne), un groupe se décompose en produit de quotients — c’est le cadre du théorème de décomposition, mais quotient et produit restent deux opérations opposées.
Peut-on quotienter par n’importe quel sous-groupe ?
Non. Pour que la loi \((xN)(yN) = (xy)N\) soit bien définie, il faut que \(N\) soit distingué : \(gNg^{-1} = N\) pour tout \(g\). Si \(G\) est abélien, tout sous-groupe convient. Sinon, il faut le vérifier. Un sous-groupe non distingué ne donne qu’un ensemble de classes, sans structure de groupe.
Quelle est la formule du théorème du rang ?
Pour une application linéaire \(u : E \to F\) avec \(E\) de dimension finie, le théorème du rang s’écrit \(\dim E = \dim \ker u + \mathrm{rg}(u)\), où \(\mathrm{rg}(u) = \dim \mathrm{Im}\, u\). C’est l’analogue linéaire du premier théorème d’isomorphisme : \(E/\ker u \cong \mathrm{Im}\, u\) donne, en passant aux dimensions, exactement cette égalité. Le détail est traité dans le cours sur les espaces vectoriels.
IX. Pour aller plus loin
D’où ça vient, où ça mène. Le groupe quotient prolonge la notion de relation d’équivalence vue en début d’algèbre, et généralise l’exemple des congruences rencontré au lycée. Il s’appuie sur la notion de morphisme et d’isomorphisme et se relie aux structures algébriques du programme de première année. En aval, il ouvre sur les actions de groupe, les théorèmes de Sylow et la classification des groupes finis, au niveau L3 et agrégation.
Pour approfondir :
- Espace vectoriel : cours complet avec démonstrations et exercices corrigés
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- 25 Exercices de Polynômes Corrigés (Prépa) — PDF
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