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Morphisme, endomorphisme, isomorphisme, automorphisme : quatre mots qui se ressemblent, que l’on confond en début de MPSI, et sur lesquels on perd des points en colle faute de savoir lequel exige la bijectivité et lequel impose de rester dans le même ensemble. L’automorphisme est celui qui cumule les deux contraintes. Bien le comprendre, c’est aussi comprendre pourquoi l’ensemble des automorphismes d’une structure forme lui-même un groupe — un objet central quand on veut décrire les symétries. Dans cet article, tu vas fixer la définition, apprendre une méthode fiable pour démontrer qu’une application est un automorphisme, et surtout ne plus jamais confondre les quatre notions.
En une phrase : un automorphisme est un isomorphisme d’une structure algébrique dans elle-même, c’est-à-dire une bijection qui préserve les lois et dont l’ensemble de départ coïncide avec l’ensemble d’arrivée. C’est donc à la fois un endomorphisme (même départ et même arrivée) et un isomorphisme (morphisme bijectif). L’ensemble des automorphismes d’une structure \(G\) forme un groupe pour la composition, noté \(\mathrm{Aut}(G)\).
I. Étymologie et intuition : à quoi sert un automorphisme
Étymologie — Le mot vient du grec autos (soi-même) et morphê (forme). Un automorphisme est littéralement une transformation qui envoie une structure « sur sa propre forme » : elle réarrange les éléments sans jamais casser les relations qui les lient. Cette racine morphê est commune à morphisme, isomorphisme et automorphisme.
Un automorphisme, ce n’est pas une notion abstraite gratuite : c’est l’outil qui décrit les symétries internes d’un objet algébrique. Prends un carré. Les rotations et réflexions qui le laissent globalement inchangé forment un groupe. De la même façon, les bijections d’un groupe \(G\) qui respectent sa loi forment un groupe : ce sont exactement les automorphismes de \(G\). Étudier \(\mathrm{Aut}(G)\), c’est mesurer « à quel point \(G\) est symétrique ».
Concrètement, tu utiliseras les automorphismes pour trois choses. D’abord, pour transporter une propriété d’un élément vers un autre : si \(\varphi\) est un automorphisme, \(x\) et \(\varphi(x)\) jouent des rôles interchangeables. Ensuite, pour classer les structures : deux objets sont « les mêmes » à automorphisme près. Enfin, en théorie de Galois et en arithmétique, les automorphismes de corps encodent toute l’information sur les racines des polynômes.
Avant de manipuler cet objet, il faut le définir proprement — et bien voir en quoi il se distingue de ses trois cousins.
II. Définition et notation
La définition tient en une ligne, à condition de connaître les deux briques qui la composent : le morphisme (compatibilité avec les lois) et la bijectivité. Un automorphisme cumule ces deux exigences et impose que la structure de départ soit celle d’arrivée.
Définition — Automorphisme
Soit \((G, \star)\) une structure algébrique (groupe, anneau, corps, espace vectoriel…). On appelle automorphisme de \(G\) toute application \(\varphi : G \to G\) qui est à la fois :
- un morphisme : elle est compatible avec les lois, par exemple \(\varphi(x \star y) = \varphi(x) \star \varphi(y)\) pour tout \(x, y \in G\) ;
- une bijection de \(G\) sur \(G\).
Autrement dit : un automorphisme est un endomorphisme bijectif, ou de façon équivalente un isomorphisme de \(G\) dans lui-même.
Il faut adapter la condition de morphisme à la structure considérée. Pour un groupe, une seule loi à respecter. Pour un anneau \((A, +, \times)\), le morphisme doit respecter les deux lois et l’élément unité :
\(\varphi(x + y) = \varphi(x) + \varphi(y), \quad \varphi(x \times y) = \varphi(x) \times \varphi(y), \quad \varphi(1_A) = 1_A.\)Pour un espace vectoriel, l’automorphisme est une application linéaire bijective de \(E\) dans \(E\) — on parle alors aussi d’automorphisme d’espace vectoriel.
Notation. On note \(\mathrm{Aut}(G)\) l’ensemble des automorphismes de \(G\). Pour un espace vectoriel \(E\), on utilise la notation dédiée \(\mathrm{GL}(E)\) (groupe linéaire), qui désigne exactement les automorphismes de \(E\). Attention à ne pas confondre : \(\mathrm{End}(E)\) est l’ensemble de tous les endomorphismes (bijectifs ou non), tandis que \(\mathrm{GL}(E) = \mathrm{Aut}(E)\) ne contient que les inversibles.
Cette définition posée, une question naturelle surgit : quelle structure porte l’ensemble \(\mathrm{Aut}(G)\) lui-même ? La réponse est le premier théorème important du chapitre.
La fiche méthode « Automorphisme » condensée en 1 page
Définition, groupe Aut(G), les 3 étapes pour démontrer un automorphisme et le tableau des 4 notions à ne plus jamais confondre.
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III. Le groupe des automorphismes Aut(G)
Le résultat central à connaître : les automorphismes ne forment pas seulement un ensemble, mais un groupe. C’est ce qui fait de \(\mathrm{Aut}(G)\) un objet d’étude à part entière.
Théorème — \(\mathrm{Aut}(G)\) est un groupe ⋆
Soit \(G\) une structure algébrique. L’ensemble \(\mathrm{Aut}(G)\) des automorphismes de \(G\), muni de la composition \(\circ\), est un groupe. Son élément neutre est l’identité \(\mathrm{id}_G\), et l’inverse d’un automorphisme \(\varphi\) est son application réciproque \(\varphi^{-1}\).
Démonstration. Vérifions les axiomes de groupe. La composée de deux morphismes bijectifs est un morphisme bijectif, donc \(\circ\) est bien une loi interne sur \(\mathrm{Aut}(G)\). La composition des applications est associative. L’identité \(\mathrm{id}_G\) est un automorphisme et sert de neutre. Reste le point clé : si \(\varphi \in \mathrm{Aut}(G)\), alors \(\varphi^{-1}\) existe (car \(\varphi\) est bijective) et c’est encore un morphisme. En effet, pour \(a, b \in G\), posons \(x = \varphi^{-1}(a)\) et \(y = \varphi^{-1}(b)\). Alors :
\(\varphi\big(\varphi^{-1}(a) \star \varphi^{-1}(b)\big) = \varphi(x \star y) = \varphi(x) \star \varphi(y) = a \star b.\)En appliquant \(\varphi^{-1}\), on obtient \(\varphi^{-1}(a) \star \varphi^{-1}(b) = \varphi^{-1}(a \star b)\). Donc \(\varphi^{-1}\) est un morphisme, et il est bijectif : c’est bien un automorphisme. Tous les axiomes sont vérifiés. ∎
Attention : \(\mathrm{Aut}(G)\) est un groupe, mais il n’est pas commutatif en général. La composition de deux automorphismes ne commute pas plus que celle de deux applications quelconques. Ne jamais écrire \(\varphi \circ \psi = \psi \circ \varphi\) sans justification.
A. Exemple de référence : Aut(Z/nZ)
🟠 Prépa
C’est l’exemple à connaître par cœur. On considère le groupe additif \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\). Un automorphisme \(\varphi\) est entièrement déterminé par l’image de \(\bar{1}\), puisque tout élément s’écrit \(\bar{k} = k \cdot \bar{1}\) et que \(\varphi(\bar{k}) = k \cdot \varphi(\bar{1})\). On montre alors le résultat suivant.
Propriété — automorphismes de Z/nZ ⋆
Les automorphismes du groupe \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) sont exactement les applications \(\varphi_a : \bar{x} \mapsto a\,\bar{x}\) où \(a\) est inversible modulo \(n\). On a l’isomorphisme de groupes :
\(\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \;\cong\; (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}, \qquad \text{d'ordre } \varphi(n)\)
où \(\varphi(n)\) désigne l’indicatrice d’Euler.
Idée de preuve : \(\varphi_a\) est un endomorphisme pour tout \(a\). Il est bijectif si et seulement si \(\bar{a}\) engendre \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), c’est-à-dire si et seulement si \(a \wedge n = 1\), donc si \(a\) est inversible. L’application \(a \mapsto \varphi_a\) est alors un isomorphisme de \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\) vers \(\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\). Pour tous les détails sur la structure de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), vois notre page dédiée sur l’anneau Z/nZ et ses inversibles.
Concrètement, \(\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})\) est d’ordre \(\varphi(8) = 4\) : les automorphismes sont les \(\bar{x} \mapsto a\bar{x}\) pour \(a \in \{1, 3, 5, 7\}\).
IV. Les automorphismes intérieurs
🔴 L3 / agrégation
Une famille d’automorphismes apparaît systématiquement dans tout groupe non commutatif : ceux fabriqués par conjugaison. Ils constituent un sous-groupe remarquable de \(\mathrm{Aut}(G)\).
Définition — automorphisme intérieur
Soit \(G\) un groupe et \(g \in G\). L’application \(\iota_g : G \to G\) définie par \(\iota_g(x) = g\,x\,g^{-1}\) est un automorphisme de \(G\), appelé automorphisme intérieur associé à \(g\). L’ensemble de ces automorphismes est noté \(\mathrm{Inn}(G)\).
Vérifions rapidement que \(\iota_g\) est bien un morphisme :
\(\iota_g(xy) = g(xy)g^{-1} = (gxg^{-1})(gyg^{-1}) = \iota_g(x)\,\iota_g(y).\)Sa réciproque est \(\iota_{g^{-1}}\), donc \(\iota_g\) est bijectif : c’est un automorphisme. On démontre alors deux résultats structurants.
Propriété ⋆
L’application \(g \mapsto \iota_g\) est un morphisme de \(G\) dans \(\mathrm{Aut}(G)\), de noyau le centre \(Z(G)\). Par conséquent :
\(\mathrm{Inn}(G) \;\cong\; G / Z(G),\)
et \(\mathrm{Inn}(G)\) est un sous-groupe distingué de \(\mathrm{Aut}(G)\).
Le quotient \(\mathrm{Aut}(G)/\mathrm{Inn}(G)\) est le groupe des automorphismes extérieurs, noté \(\mathrm{Out}(G)\). Ces objets relèvent de l’algèbre L3 et se démontrent avec les outils du groupe quotient. Pour un groupe abélien, tous les \(\iota_g\) sont l’identité : \(\mathrm{Inn}(G) = \{\mathrm{id}\}\), ce qui explique que la conjugaison n’apporte rien dans le cas commutatif.
Exemple : un automorphisme involutif est un automorphisme \(\varphi\) tel que \(\varphi \circ \varphi = \mathrm{id}\) (il est son propre inverse). Dans un groupe abélien, l’application \(x \mapsto x^{-1}\) est un automorphisme involutif. Dans \(\mathbb{C}\) vu comme corps, la conjugaison complexe \(z \mapsto \bar{z}\) est un automorphisme de corps involutif.
V. Méthode : montrer qu’une application est un automorphisme
C’est la question qui tombe en colle et en DS. La démarche est toujours la même en trois étapes : morphisme, endomorphisme, bijectivité. L’erreur classique est d’oublier une des étapes ou de mal justifier la bijectivité.
Étape 1 — Vérifier que \(f\) est un endomorphisme. Contrôle d’abord que \(f\) va bien de \(G\) dans \(G\) (même ensemble de départ et d’arrivée). Puis vérifie la compatibilité avec la ou les lois : \(f(x \star y) = f(x) \star f(y)\). Pour un anneau, ne pas oublier \(f(1) = 1\).
Étape 2 — Démontrer la bijectivité. Trois stratégies au choix, selon le contexte :
Comment prouver la bijectivité — trois leviers :
- Exhiber la réciproque. Si tu trouves \(g : G \to G\) telle que \(f \circ g = g \circ f = \mathrm{id}\), c’est réglé (et le plus rapide).
- Noyau trivial + argument de finitude. Pour un morphisme de groupes, \(f\) est injective si et seulement si \(\ker f = \{e\}\). Si \(G\) est fini, injectivité \(\Longrightarrow\) bijectivité.
- Cas des espaces vectoriels de dimension finie. Une application linéaire de \(E\) dans \(E\) est un automorphisme si et seulement si son déterminant est non nul, ou de façon équivalente si son rang vaut \(\dim E\).
Étape 3 — Conclure. Une fois le morphisme et la bijectivité établis, énonce explicitement : « \(f\) est un endomorphisme bijectif de \(G\), c’est donc un automorphisme de \(G\). »
À écrire sur la copie
« \(f\) est une application de \(G\) dans \(G\). Pour tout \((x,y) \in G^2\), on a \(f(x \star y) = f(x) \star f(y)\), donc \(f\) est un morphisme. De plus \(f\) est bijective car [justification]. Par conséquent \(f\) est un automorphisme de \(G\). »
Cette méthode en tête, il devient possible de trancher rapidement entre les quatre notions voisines — ce qui est précisément le sujet le plus mal maîtrisé du chapitre.
VI. Distinction : morphisme, endomorphisme, isomorphisme, automorphisme
C’est la confusion récurrente en début de prépa. Deux critères indépendants suffisent à tout ranger : l’ensemble d’arrivée est-il le même que celui de départ ? et l’application est-elle bijective ?. Le tableau ci-dessous croise ces deux questions.
| Notion | Condition | Départ → arrivée | Exemple type | Erreur classique |
|---|---|---|---|---|
| Morphisme | compatible avec les lois | \(E \to F\) | \(\pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\ k \mapsto \bar{k}\) (non injectif) | croire qu’il faut la bijectivité |
| Endomorphisme | morphisme | \(E \to E\) | \(x \mapsto 2x\) dans \((\mathbb{Z},+)\) (injectif, non surjectif) | croire qu’il est bijectif |
| Isomorphisme | morphisme bijectif | \(E \to F\) | \(\ln : (\mathbb{R}_+^*, \times) \to (\mathbb{R},+)\) | oublier de vérifier la structure |
| Automorphisme | morphisme bijectif | \(E \to E\) | \(x \mapsto x^{-1}\) dans un groupe abélien | confondre avec endomorphisme |
La logique se lit en une phrase : endomorphisme = même ensemble, isomorphisme = bijectif, et automorphisme = les deux à la fois. Un automorphisme est donc l’intersection : le morphisme le plus contraint des quatre. Pour approfondir chacune des notions voisines, vois les pages morphisme (homomorphisme) et isomorphisme.
Erreur classique en copie : écrire « \(f\) est un endomorphisme bijectif donc un isomorphisme ». C’est vrai, mais imprécis dans ce contexte : quand départ et arrivée coïncident, le terme exact et attendu est automorphisme. Utiliser « isomorphisme » ici n’est pas faux, mais un correcteur exigeant préfère le mot le plus spécifique.
VII. Exemples et contre-exemples
Rien ne fixe mieux une notion que d’alterner cas positifs et cas où « ça ne marche pas ». Voici quatre situations à avoir en tête.
Exemple 1 — inversion dans un groupe abélien. Soit \((G, \cdot)\) un groupe. L’application \(\varphi : x \mapsto x^{-1}\) vérifie \(\varphi(xy) = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}\). Si \(G\) est abélien, \(y^{-1}x^{-1} = x^{-1}y^{-1} = \varphi(x)\varphi(y)\) : c’est un morphisme. Comme \(\varphi \circ \varphi = \mathrm{id}\), elle est bijective. Donc \(\varphi\) est un automorphisme (involutif).
Exemple 2 — conjugaison complexe. \(z \mapsto \bar{z}\) respecte l’addition et la multiplication de \(\mathbb{C}\) et fixe \(1\). C’est un automorphisme du corps \(\mathbb{C}\). C’est même un exemple fondateur en théorie de Galois.
Contre-exemple 1 : dans un groupe non abélien (par exemple \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\)), l’inversion \(x \mapsto x^{-1}\) n’est pas un morphisme, car \((xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} \neq x^{-1}y^{-1}\) en général. Ce n’est donc pas un automorphisme.
Contre-exemple 2 : l’application \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(x \mapsto 2x\) est un endomorphisme du groupe \((\mathbb{Z},+)\), mais elle n’est pas surjective (les impairs ne sont pas atteints). Ce n’est donc pas un automorphisme. On le démontre à l’exercice 2.
VIII. Automorphismes en algèbre linéaire
En algèbre linéaire, un automorphisme d’espace vectoriel n’est rien d’autre qu’une application linéaire bijective de \(E\) dans \(E\). Ils forment le groupe linéaire \(\mathrm{GL}(E)\). En dimension finie \(n\), après choix d’une base, \(\mathrm{GL}(E)\) s’identifie à \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\), l’ensemble des matrices inversibles. Un endomorphisme de matrice \(M\) est un automorphisme si et seulement si \(\det M \neq 0\). Les automorphismes qui conservent en plus un produit scalaire sont les automorphismes orthogonaux, étudiés en détail sur notre page dédiée aux matrices orthogonales et au groupe orthogonal O(n). Pour les bases sur les endomorphismes en dimension finie, vois aussi le cours sur les matrices et les espaces vectoriels.
IX. Exercices corrigés
Quatre exercices gradués, du contrôle direct de la définition au calcul complet d’un groupe d’automorphismes. Cherche chaque énoncé avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Inversion et commutativité ★
Soit \((G, \cdot)\) un groupe. Montrer que l’application \(\varphi : x \mapsto x^{-1}\) est un automorphisme de \(G\) si et seulement si \(G\) est abélien.
Voir la correction de l’exercice 1
Sens direct. Supposons \(\varphi\) morphisme. Alors pour tous \(x, y\) :
\(\varphi(xy) = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}, \qquad \varphi(x)\varphi(y) = x^{-1}y^{-1}.\)L’égalité impose \(y^{-1}x^{-1} = x^{-1}y^{-1}\) pour tous \(x, y\). En posant \(a = x^{-1}\), \(b = y^{-1}\) (qui parcourent tout \(G\)), on obtient \(ba = ab\) : \(G\) est abélien.
Réciproque. Si \(G\) est abélien, \(\varphi(xy) = y^{-1}x^{-1} = x^{-1}y^{-1} = \varphi(x)\varphi(y)\), donc \(\varphi\) est un morphisme. Comme \(\varphi \circ \varphi = \mathrm{id}\), \(\varphi\) est bijective.
Conclusion : \(\varphi\) est un automorphisme si et seulement si \(G\) est abélien.
Exercice 2 — Automorphismes de (Z, +) ★
Déterminer tous les automorphismes du groupe \((\mathbb{Z}, +)\).
Voir la correction de l’exercice 2
Un morphisme \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) est déterminé par \(f(1)\) : en effet \(f(n) = n\,f(1)\) pour tout \(n\). Posons \(a = f(1)\), donc \(f(n) = an\).
Pour que \(f\) soit surjective, il faut que \(1\) soit atteint : il existe \(n\) avec \(an = 1\) dans \(\mathbb{Z}\), donc \(a\) est inversible dans \(\mathbb{Z}\), soit \(a \in \{1, -1\}\).
Réciproquement, \(n \mapsto n\) et \(n \mapsto -n\) sont bien des automorphismes.
Conclusion : \(\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}, +) = \{\mathrm{id}, \; n \mapsto -n\}\), groupe à deux éléments isomorphe à \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).
Exercice 3 — Le groupe Aut(Z/8Z) ★★
Décrire tous les automorphismes de \((\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +)\) et donner l’ordre du groupe \(\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})\).
Voir la correction de l’exercice 3
Tout automorphisme \(\varphi\) de \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\) est de la forme \(\varphi_a : \bar{x} \mapsto a\bar{x}\), et est bijectif si et seulement si \(a\) est inversible modulo \(8\).
Les inversibles modulo \(8\) sont les \(a\) premiers avec \(8\) : \(a \in \{1, 3, 5, 7\}\). Il y a donc \(\varphi(8) = 4\) automorphismes :
\(\varphi_1 = \mathrm{id}, \quad \varphi_3, \quad \varphi_5, \quad \varphi_7.\)Ainsi \(\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times}\) est d’ordre 4. On peut préciser sa structure : tout élément non neutre y est d’ordre \(2\) (car \(3^2 = 9 \equiv 1\), \(5^2 = 25 \equiv 1\), \(7^2 = 49 \equiv 1\) mod \(8\)), donc ce groupe est isomorphe au groupe de Klein \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).
Exercice 4 — Inn(G) distingué dans Aut(G) ★★★
Soit \(G\) un groupe. Montrer que \(\mathrm{Inn}(G)\) est un sous-groupe distingué de \(\mathrm{Aut}(G)\).
Voir la correction de l’exercice 4
Sous-groupe. Notons \(\iota_g : x \mapsto gxg^{-1}\). On vérifie \(\iota_g \circ \iota_h = \iota_{gh}\) et \((\iota_g)^{-1} = \iota_{g^{-1}}\). Donc \(\mathrm{Inn}(G) = \{\iota_g : g \in G\}\) est stable par composition et par inverse, et contient \(\iota_e = \mathrm{id}\) : c’est un sous-groupe de \(\mathrm{Aut}(G)\).
Distingué. Soit \(\psi \in \mathrm{Aut}(G)\) et \(g \in G\). Calculons \(\psi \circ \iota_g \circ \psi^{-1}\). Pour tout \(x \in G\) :
\((\psi \circ \iota_g \circ \psi^{-1})(x) = \psi\big(g\,\psi^{-1}(x)\,g^{-1}\big) = \psi(g)\,x\,\psi(g)^{-1} = \iota_{\psi(g)}(x).\)Donc \(\psi \circ \iota_g \circ \psi^{-1} = \iota_{\psi(g)} \in \mathrm{Inn}(G)\). Le conjugué d’un automorphisme intérieur par un automorphisme quelconque reste intérieur : \(\mathrm{Inn}(G)\) est distingué dans \(\mathrm{Aut}(G)\).
Ce que le correcteur attend : la relation \(\psi \iota_g \psi^{-1} = \iota_{\psi(g)}\) doit apparaître explicitement, car c’est elle qui prouve la stabilité par conjugaison — le cœur de la notion de sous-groupe distingué. Ne pas se contenter de « c’est distingué car c’est naturel ».
X. Erreurs classiques
Trois fautes reviennent systématiquement en copie. Les identifier une fois, c’est ne plus les commettre.
Erreur 1 — confondre bijectivité et automorphisme.
❌ Copie fautive : « \(f\) est une bijection de \(G\), donc \(f\) est un automorphisme. »
Diagnostic : une bijection quelconque n’est pas un automorphisme ; il manque la compatibilité avec les lois.
✅ Correction : il faut établir et \(f(x\star y) = f(x)\star f(y)\) et la bijectivité.
Erreur 2 — oublier de vérifier que l’arrivée est \(G\).
❌ Copie fautive : traiter \(f : G \to H\) bijectif comme un automorphisme.
Diagnostic : si \(H \neq G\), c’est un isomorphisme, pas un automorphisme.
✅ Correction : un automorphisme impose \(G = H\). Vérifie toujours l’ensemble d’arrivée avant de nommer l’objet.
Erreur 3 — supposer \(\mathrm{Aut}(G)\) abélien.
❌ Copie fautive : écrire \(\varphi \circ \psi = \psi \circ \varphi\) sans justification.
Diagnostic : \(\mathrm{Aut}(G)\) est un groupe pour \(\circ\), mais généralement non commutatif.
✅ Correction : ne commuter deux automorphismes que si tu l’as démontré dans le cas précis.
XI. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Sur une question du type « montrer que \(f\) est un automorphisme », les points se répartissent presque toujours de la même façon. Le correcteur cherche trois choses distinctes et les note séparément.
- La structure de la preuve. Annonce clairement les trois étapes : morphisme, puis bijectivité, puis conclusion. Un correcteur repère immédiatement une copie qui « saute » directement à la conclusion.
- La justification exacte de la bijectivité. C’est le point le plus souvent bâclé. Exhiber la réciproque, ou invoquer \(\ker f = \{e\}\) avec la finitude, ou \(\det \neq 0\) : nomme précisément le levier utilisé. « \(f\) est clairement bijective » ne rapporte aucun point.
- Le mot juste. À l’oral (CCINP, Mines-Ponts), dire « endomorphisme bijectif » puis conclure « donc automorphisme » montre que tu maîtrises la hiérarchie des notions. Employer « isomorphisme » quand départ et arrivée coïncident est toléré mais moins précis.
Sur les questions portant sur \(\mathrm{Aut}(G)\) lui-même, l’attendu est de reconnaître la structure de groupe et, si possible, de l’identifier à un groupe connu (par exemple \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\) ou un groupe de Klein) plutôt que de rester au niveau du simple dénombrement.
XII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un automorphisme et un isomorphisme ?
Un isomorphisme est un morphisme bijectif entre deux structures \(E\) et \(F\) qui peuvent être différentes. Un automorphisme est le cas particulier où \(E = F\) : c’est un isomorphisme d’une structure dans elle-même. Tout automorphisme est un isomorphisme, mais l’inverse est faux dès que départ et arrivée diffèrent.
Quelle est la différence entre un endomorphisme et un automorphisme ?
Un endomorphisme est un morphisme d’une structure dans elle-même, sans condition de bijectivité. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. Par exemple, \(x \mapsto 2x\) sur \(\mathbb{Z}\) est un endomorphisme non bijectif : ce n’est pas un automorphisme.
Comment montrer qu’une application est un automorphisme ?
En trois étapes : vérifier que \(f\) va de \(G\) dans \(G\) et respecte les lois (morphisme), démontrer qu’elle est bijective (réciproque explicite, noyau trivial en dimension finie, ou déterminant non nul pour un espace vectoriel), puis conclure « \(f\) est un endomorphisme bijectif, donc un automorphisme ».
Qu’est-ce qu’un automorphisme intérieur ?
C’est un automorphisme de la forme \(\iota_g : x \mapsto gxg^{-1}\), obtenu par conjugaison par un élément \(g\) du groupe. L’ensemble des automorphismes intérieurs, noté \(\mathrm{Inn}(G)\), est un sous-groupe distingué de \(\mathrm{Aut}(G)\), isomorphe à \(G/Z(G)\). Dans un groupe abélien, ils se réduisent tous à l’identité.
Pourquoi Aut(G) est-il un groupe ?
Parce que la composée de deux automorphismes est un automorphisme, la composition est associative, l’identité est un automorphisme neutre, et surtout la réciproque d’un automorphisme est encore un automorphisme. Les quatre axiomes de groupe sont vérifiés, avec \(\circ\) comme loi.
Combien y a-t-il d’automorphismes de Z/nZ ?
Exactement \(\varphi(n)\), l’indicatrice d’Euler de \(n\). Les automorphismes sont les applications \(\bar{x} \mapsto a\bar{x}\) avec \(a\) inversible modulo \(n\), et \(\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) est isomorphe au groupe \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\).
XIII. D’où ça vient, où ça mène
L’automorphisme s’inscrit dans une progression claire. En amont, il repose sur la notion de morphisme et sur celle d’isomorphisme, elles-mêmes construites sur les structures algébriques fondamentales (groupes, anneaux, corps) et sur l’injection, surjection, bijection. À ce niveau, tu maîtrises \(\mathrm{Aut}(G)\) comme groupe de symétries d’une structure.
En aval, les automorphismes ouvrent sur trois directions de L3 et d’agrégation : les groupes quotients (via \(\mathrm{Inn}(G) \cong G/Z(G)\)), les actions de groupe (la conjugaison \(g \mapsto \iota_g\) définit une action de \(G\) sur lui-même par automorphismes), et la théorie de Galois, où les automorphismes de corps décrivent entièrement la résolubilité des équations polynomiales.
Pour t’entraîner, la page d’exercices corrigés de structures algébriques (MPSI) rassemble 25 exercices gradués couvrant tout le chapitre.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la notion d’automorphisme et le groupe \(\mathrm{Aut}(G)\). Pour poursuivre :
- Anneau intègre, principal, euclidien, factoriel : la hiérarchie
- Structures algébriques : lois, groupes, anneaux et corps
- 25 exercices corrigés de structures algébriques (MPSI)
- Tables de vérité et connecteurs logiques : cours, méthode et exercices
Dernière mise à jour : 02/09/2026. Conforme au programme officiel de CPGE 2026-2027 (chapitre « Structures algébriques usuelles »).
