20 exercices corrigés en maths : actions de groupe, quotients et Sylow

Réflexivité. \(e \cdot x = x\) donc \(x \sim x\).

Symétrie. Si \(g \cdot x = y\), alors \(g^{-1} \cdot y = g^{-1} \cdot (g \cdot x) = (g^{-1} g) \cdot x = e \cdot x = x\), donc \(y \sim x\).

Transitivité. Si \(g \cdot x = y\) et \(h \cdot y = z\), alors \((hg) \cdot x = h \cdot (g \cdot x) = h \cdot y = z\), donc \(x \sim z\).

La classe d’équivalence de \(x\) est exactement \(\mathrm{Orb}(x)\). Or les classes d’une relation d’équivalence forment une partition. Les orbites partitionnent donc \(X\). ∎

Sous-groupe. \(e \in \mathrm{Stab}(x)\) (non vide). Si \(a,b \in \mathrm{Stab}(x)\) : \((ab) \cdot x = a \cdot (b \cdot x) = a \cdot x = x\), donc \(ab \in \mathrm{Stab}(x)\) ; et \(a^{-1} \cdot x = a^{-1} \cdot (a \cdot x) = x\), donc \(a^{-1} \in \mathrm{Stab}(x)\). C’est un sous-groupe.

Conjugaison. On a la chaîne d’équivalences :

ce qui équivaut à \(h \in g \, \mathrm{Stab}(x) \, g^{-1}\). Les points d’une même orbite ont des stabilisateurs conjugués. ∎

On pose \(H = \mathrm{Stab}(x)\) et on considère \(\varphi : G/H \to \mathrm{Orb}(x)\), \(gH \mapsto g \cdot x\).

Bien définie et injective. \(gH = g'H \Longleftrightarrow g^{-1}g' \in H \Longleftrightarrow (g^{-1}g') \cdot x = x \Longleftrightarrow g \cdot x = g' \cdot x\).

Surjective par définition de l’orbite. C’est donc une bijection, d’où \(|\mathrm{Orb}(x)| = [G : H] = \displaystyle\frac{|G|}{|\mathrm{Stab}(x)|}\).

Pour la conjugaison, l’orbite de \(x\) est sa classe de conjugaison et \(\mathrm{Stab}(x) = C_G(x)\) (centralisateur). Ainsi \(|\text{classe}| = [G : C_G(x)]\) divise \(|G|\) par le théorème de Lagrange. ∎

Preuve. On compte de deux façons le cardinal de \(A = \{ (g,x) \mid g \cdot x = x \}\) :

Par la relation orbite–stabilisateur, \(|\mathrm{Stab}(x)| = \displaystyle\frac{|G|}{|\mathrm{Orb}(x)|}\). En regroupant par orbite \(O\) : \(\sum_{x \in O} \displaystyle\frac{|G|}{|O|} = |G|\). Comme il y a \(N\) orbites, \(\sum_{x} |\mathrm{Stab}(x)| = N |G|\), d’où la formule.

Application. \(X = \{ \text{blanc}, \text{noir} \}^4\) possède \(16\) éléments, \(G = C_4 = \{ \mathrm{id}, r, r^2, r^3 \}\).

• \(|\mathrm{Fix}(\mathrm{id})| = 16\)
• \(|\mathrm{Fix}(r)| = |\mathrm{Fix}(r^3)| = 2\) (colliers monochromes)
• \(|\mathrm{Fix}(r^2)| = 4\) (perles opposées égales : \(2 \times 2\))

\(N = \displaystyle\frac{16 + 2 + 4 + 2}{4} = \displaystyle\frac{24}{4} = 6\). Il existe 6 colliers distincts. ∎

Ce que le correcteur attend : le double comptage de \(|A|\) rédigé proprement, et pour l’application, le décompte correct de \(\mathrm{Fix}(r^2)\) (ne pas oublier les colorations invariantes par la rotation d’ordre 2, soit \(2^2 = 4\)).

Pour \(g \in G\), on pose \(\lambda_g : x \mapsto gx\). C’est une bijection de \(G\) (d’inverse \(\lambda_{g^{-1}}\)), donc \(\lambda_g \in S(G)\).

L’application \(\lambda : G \to S(G)\), \(g \mapsto \lambda_g\), est un morphisme : \(\lambda_{gh} = \lambda_g \circ \lambda_h\).

Noyau. Si \(\lambda_g = \mathrm{id}\), alors \(gx = x\) pour tout \(x\) ; en particulier \(g = ge = e\). Donc \(\mathrm{Ker}\,\lambda = \{ e \}\) : le morphisme est injectif.

Par le premier théorème d’isomorphisme, \(G \cong \mathrm{Im}\,\lambda\), sous-groupe de \(S(G) \cong S_n\). ∎

Voir aussi la construction du quotient dans les groupes quotients.

L’action correspond à un morphisme \(\rho : G \to S(X)\), \(g \mapsto (x \mapsto g \cdot x)\). Son noyau est \(K = \{ g \in G \mid g \cdot x = x \ \forall x \} = \bigcap_{x \in X} \mathrm{Stab}(x)\).

Comme noyau d’un morphisme, \(K\) est distingué dans \(G\).

\(G\) étant simple, ses seuls sous-groupes distingués sont \(\{e\}\) et \(G\).

• Si \(K = G\) : tout élément fixe tout point, l’action est triviale.
• Si \(K = \{e\}\) : l’action est fidèle.

Il n’y a pas d’autre possibilité. ∎

Ce que le correcteur attend : identifier explicitement le noyau de l’action comme noyau du morphisme vers \(S(X)\) (donc distingué), puis conclure par la définition de la simplicité. Oublier de justifier que \(K\) est distingué fait perdre l’essentiel des points.

On fait agir \(G\) sur lui-même par conjugaison et on écrit l’équation aux classes :

où la somme porte sur des représentants \(x_i\) des classes de conjugaison de cardinal \(\geq 2\) (les éléments non centraux).

Pour un tel \(x_i\), \(C_G(x_i) \neq G\), donc \([G : C_G(x_i)]\) est un diviseur de \(p^n\) strictement supérieur à \(1\) : c’est \(p^{k_i}\) avec \(k_i \geq 1\), donc divisible par \(p\).

Ainsi \(|Z(G)| = |G|- \sum_i [G : C_G(x_i)] \equiv 0 \ [p]\), car \(|G|\) et chaque terme de la somme sont divisibles par \(p\).

Comme \(e \in Z(G)\), on a \(|Z(G)| \geq 1\) ; combiné à \(p \mid |Z(G)|\), cela force \(|Z(G)| \geq p\) > \(1\). Le centre est non trivial. ∎

Ce que le correcteur attend : une écriture rigoureuse de l’équation aux classes, la justification que chaque indice non trivial est une puissance de \(p\) au moins égale à \(p\), et la conclusion par congruence modulo \(p\).

L’indice \(2\) donne deux classes à gauche : \(H\) et son complémentaire. Pour \(g \notin H\), on a donc \(gH = G \setminus H\). De même, à droite, \(Hg = G \setminus H\).

Ainsi \(gH = Hg\) pour tout \(g \in G\) (l’égalité est triviale si \(g \in H\)). \(H\) est distingué.

Le quotient \(G/H\) a \(2\) éléments, donc \(G/H \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\). ∎

Morphisme. \(\varphi(s + t) = e^{2i\pi(s+t)} = e^{2i\pi s} e^{2i\pi t} = \varphi(s)\varphi(t)\).

Surjectif. Tout \(z \in \mathbb{U}\) s’écrit \(z = e^{i\theta} = \varphi\!\left( \displaystyle\frac{\theta}{2\pi} \right)\).

Noyau. \(\varphi(t) = 1 \Longleftrightarrow e^{2i\pi t} = 1 \Longleftrightarrow t \in \mathbb{Z}\), donc \(\mathrm{Ker}\,\varphi = \mathbb{Z}\).

Le premier théorème d’isomorphisme donne \(\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong \mathbb{U}\). ∎

Ce raisonnement est l’application directe du procédé général : voir la méthode pour construire un isomorphisme.

Le déterminant \(\det : GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*\) est un morphisme de groupes, car \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\).

Surjectif : pour \(\lambda \in \mathbb{R}^*\), la matrice \(\mathrm{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)\) a pour déterminant \(\lambda\).

Noyau : \(\mathrm{Ker}(\det) = SL_n(\mathbb{R})\), qui est donc distingué (tout noyau l’est).

Premier théorème d’isomorphisme : \(GL_n(\mathbb{R}) / SL_n(\mathbb{R}) \cong \mathrm{Im}(\det) = \mathbb{R}^*\). ∎

Ce que le correcteur attend : rappeler que \(\det\) est multiplicatif (donc morphisme), prouver la surjectivité par une matrice explicite, et identifier proprement le noyau. Sur ce type de question, voir aussi le cours sur les matrices.

Distingué. Pour \(g \in G\), \(g[a,b]g^{-1} = [gag^{-1}, gbg^{-1}]\) est encore un commutateur. La conjugaison envoie donc les générateurs de \(D(G)\) sur des générateurs de \(D(G)\), d’où \(g D(G) g^{-1} = D(G)\).

Quotient abélien. Dans \(G/D(G)\), pour tous \(\bar{a}, \bar{b}\), le commutateur \([\bar{a}, \bar{b}]\) est l’image de \([a,b] \in D(G)\), donc vaut l’élément neutre. Ainsi \(\bar{a}\bar{b} = \bar{b}\bar{a}\) : le quotient est abélien. ∎

On considère \(\varphi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \(k \mapsto (\bar{k}, \bar{k})\). C’est un morphisme de groupes.

Noyau. \(k \in \mathrm{Ker}\,\varphi \Longleftrightarrow m \mid k \text{ et } n \mid k \Longleftrightarrow \mathrm{ppcm}(m,n) \mid k\). Comme \(\mathrm{pgcd}(m,n) = 1\), \(\mathrm{ppcm}(m,n) = mn\), donc \(\mathrm{Ker}\,\varphi = mn\mathbb{Z}\).

Le premier théorème d’isomorphisme donne \(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \cong \mathrm{Im}\,\varphi\). Or \(|\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}| = mn = |\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}|\), et l’image, isomorphe à un ensemble de cardinal \(mn\), remplit tout l’ensemble d’arrivée. \(\varphi\) est donc surjectif et l’isomorphisme est établi. ∎

Ce que le correcteur attend : l’identification du noyau comme \(mn\mathbb{Z}\) en utilisant \(\mathrm{pgcd}(m,n) = 1\) (donc \(\mathrm{ppcm} = mn\)), puis l’argument de surjectivité par égalité des cardinaux finis. Ce résultat structure l’étude de l’anneau Z/nZ.

Conditions. Pour \(|G| = p^a m\) avec \(p \not\mid m\) : \(n_p \equiv 1 \ [p]\) et \(n_p \mid m\).

Ici \(p = 5\), \(m = 4\). Donc \(n_5 \mid 4\) et \(n_5 \equiv 1 \ [5]\). Les diviseurs de \(4\) sont \(1, 2, 4\) ; le seul congru à \(1\) modulo \(5\) est \(n_5 = 1\).

Un unique \(5\)-Sylow est stable par conjugaison (tout conjugué d’un \(5\)-Sylow est un \(5\)-Sylow), donc distingué. ∎

Le q-Sylow. \(n_q \mid p\) et \(n_q \equiv 1 \ [q]\), donc \(n_q \in \{1, p\}\). Comme \(p\) < \(q\) et \(p \geq 2\), on a \(p \not\equiv 1 \ [q]\), donc \(n_q = 1\) : unique \(q\)-Sylow \(Q \cong \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\), distingué.

Le p-Sylow. \(n_p \mid q\) et \(n_p \equiv 1 \ [p]\), donc \(n_p \in \{1, q\}\). Si \(n_p = q\), alors \(q \equiv 1 \ [p]\), c’est-à-dire \(p \mid q- 1\) : contradiction. Donc \(n_p = 1\) : unique \(p\)-Sylow \(P \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), distingué.

Conclusion. \(P \cap Q = \{e\}\) (ordres premiers entre eux), \(|PQ| = pq = |G|\), et \(P, Q\) distingués. Donc \(G \cong P \times Q \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}\) : \(G\) est cyclique. ∎

Ce que le correcteur attend : l’ordre de traitement (\(n_q = 1\) puis \(n_p = 1\)), en soulignant que l’hypothèse \(p \not\mid q-1\) intervient précisément pour éliminer \(n_p = q\), puis le produit direct interne.

\(15 = 3 \cdot 5\).

\(5\)-Sylow : \(n_5 \mid 3\), \(n_5 \equiv 1 \ [5]\). Diviseurs de \(3\) : \(1, 3\) ; seul \(n_5 = 1\) convient.

\(3\)-Sylow : \(n_3 \mid 5\), \(n_3 \equiv 1 \ [3]\). Diviseurs de \(5\) : \(1, 5\) ; comme \(5 \equiv 2 \ [3]\), seul \(n_3 = 1\) convient.

Les deux Sylow \(P_3\) et \(P_5\) sont uniques donc distingués, d’intersection triviale, de produit d’ordre \(15\). Donc \(G \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\). \(G\) est cyclique. ∎

Ce que le correcteur attend : les deux calculs \(n_3 = n_5 = 1\) détaillés, et surtout ne pas confondre « unique Sylow » et « distingué » : justifier le passage de l’un à l’autre par la conjugaison des Sylow.

\(12 = 2^2 \cdot 3\). Les conditions de Sylow donnent \(n_3 \in \{1, 4\}\) et \(n_2 \in \{1, 3\}\).

Supposons \(G\) simple. Alors \(n_3 \neq 1\) (sinon le \(3\)-Sylow serait distingué), donc \(n_3 = 4\).

Ces quatre \(3\)-Sylow sont d’ordre \(3\), donc d’intersection deux à deux triviale (ordre premier). Ils fournissent \(4 \times (3- 1) = 8\) éléments d’ordre \(3\).

Il reste \(12- 8 = 4\) éléments (dont \(e\)) qui ne sont pas d’ordre \(3\). Or un \(2\)-Sylow a exactement \(4\) éléments : ces \(4\) éléments restants forment donc l’unique \(2\)-Sylow, d’où \(n_2 = 1\).

Ce \(2\)-Sylow est alors distingué, ce qui contredit la simplicité. Donc \(G\) n’est pas simple. ∎

Ce que le correcteur attend : le comptage précis des \(8\) éléments d’ordre \(3\) (avec justification de l’intersection triviale), puis l’argument « il ne reste la place que pour un seul \(2\)-Sylow ». C’est un raisonnement de dénombrement, pas seulement de congruences.

Soit \(r\) la rotation d’angle \(\displaystyle\frac{2\pi}{n}\) : \(r^n = e\) et \(r\) est d’ordre \(n\). Soit \(s\) une réflexion : \(s^2 = e\).

La relation. Conjuguer une rotation par une réflexion renverse le sens de rotation (la réflexion inverse l’orientation), donc \(srs^{-1} = r^{-1}\), soit \(srs = r^{-1}\) puisque \(s = s^{-1}\).

Cardinal. Grâce à cette relation, tout produit se ramène à la forme \(r^k\) ou \(r^k s\) avec \(0 \leq k \leq n-1\). Cela donne au plus \(2n\) éléments dans \(\langle r, s \rangle\), tous distincts (les \(r^k\) sont des rotations distinctes, les \(r^k s\) des réflexions distinctes). Réciproquement, une isométrie du polygone est déterminée par l’image du sommet \(A_1\) (\(n\) choix) et par son caractère direct ou indirect (2 choix) : \(|D_n| \leq 2n\). Les \(2n\) éléments \(r^k\) et \(r^k s\) épuisent donc \(D_n\) : \(D_n = \langle r, s \rangle\) et \(|D_n| = 2n\). ∎

Par Lagrange, tout élément de \(G\) a un ordre divisant \(4\) : donc \(1\), \(2\) ou \(4\).

Cas 1 : il existe un élément d’ordre \(4\). Alors \(G\) est engendré par cet élément : \(G \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\).

Cas 2 : tous les éléments \(\neq e\) sont d’ordre \(2\). Alors \(x^2 = e\) pour tout \(x\), ce qui entraîne que \(G\) est abélien. En prenant deux éléments distincts \(a, b\) d’ordre \(2\), on obtient \(G = \{e, a, b, ab\} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).

Le groupe \(V\) n’a aucun élément d’ordre \(4\) (tous ses éléments non triviaux sont d’ordre \(2\)), donc il n’est pas cyclique. ∎

On utilise \(s r^k s^{-1} = r^{-k}\), conséquence de \(srs^{-1} = r^{-1}\).

Rotations centrales. \(r^k\) commute avec \(s\) ssi \(r^k = s r^k s^{-1} = r^{-k}\), soit \(r^{2k} = e\), c’est-à-dire \(n \mid 2k\). Pour \(0 \leq k\) < \(n\) : \(k = 0\), ou bien \(k = \displaystyle\frac{n}{2}\) si \(n\) est pair.

Réflexions centrales. Une réflexion \(r^k s\) commute avec \(r\) ssi \(r(r^k s) = (r^k s) r\). Or \((r^k s) r = r^k (sr) = r^k r^{-1} s = r^{k-1} s\) et \(r(r^k s) = r^{k+1} s\). L’égalité impose \(r^2 = e\), impossible pour \(n \geq 3\). Aucune réflexion n’est centrale.

Conclusion : \(Z(D_n) = \{e\}\) si \(n\) est impair, et \(Z(D_n) = \{e, r^{n/2}\}\) si \(n\) est pair. ∎

Ce que le correcteur attend : traiter séparément les rotations et les réflexions, exploiter systématiquement la relation \(srs^{-1} = r^{-1}\), et bien distinguer les cas \(n\) pair / impair.

On écrit \(V = \{e, a, b, c\}\) où \(a, b, c\) sont les trois éléments d’ordre \(2\), avec la propriété remarquable : le produit de deux éléments non triviaux distincts est le troisième (\(ab = c\), \(bc = a\), \(ca = b\)).

Un automorphisme permute \(\{a,b,c\}\). Tout \(\varphi \in \mathrm{Aut}(V)\) fixe \(e\) et préserve l’ordre des éléments, donc envoie \(\{a,b,c\}\) sur lui-même. On obtient un morphisme \(\Phi : \mathrm{Aut}(V) \to S(\{a,b,c\}) \cong S_3\).

Injectif : un automorphisme est entièrement déterminé par son action sur les générateurs \(a, b\).

Surjectif : réciproquement, toute permutation \(\sigma\) de \(\{a,b,c\}\) est un automorphisme. En effet, \(V \cong (\mathbb{F}_2)^2\) et la relation « somme de deux non nuls distincts = le troisième » est symétrique en \(a, b, c\) : n’importe quelle permutation des trois vecteurs non nuls respecte la loi.

Donc \(\Phi\) est un isomorphisme : \(\mathrm{Aut}(V) \cong S_3\), d’ordre \(6\). ∎

Ce que le correcteur attend : montrer les deux inclusions — tout automorphisme permute les trois éléments d’ordre 2, ET réciproquement toute permutation en est un (c’est le point subtil, grâce à la relation additive). Conclure par l’égalité des cardinaux \(|\mathrm{Aut}(V)| = |S_3| = 6\).