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Vous avez manipulé les congruences en Terminale : additionner des restes, calculer modulo 7, vérifier une clé de contrôle. En prépa, on change de regard. Ces restes ne sont plus des « astuces de calcul », ils deviennent les éléments d’un nouvel ensemble, noté \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), que l’on munit d’une addition et d’une multiplication. Cet ensemble est simultanément un groupe, un anneau, et parfois un corps : c’est l’exemple fondamental sur lequel s’appuie tout le chapitre « Structures algébriques » et une bonne partie de l’arithmétique dans \(\mathbb{Z}\).
Une précision de périmètre avant de commencer : cette page traite \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) comme structure quotient (niveau MPSI, MP2I, PCSI). Le calcul modulaire pour lui-même — congruences, critères de divisibilité, petit théorème de Fermat au niveau lycée — est traité en détail dans le cours dédié aux congruences. Ici, on construit l’objet et on démontre ses propriétés structurelles.
I. Z/nZ en une réponse directe
Avant la construction formelle, l’idée essentielle en une phrase.
L’ensemble \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est l’ensemble des \(n\) classes de restes dans la division par \(n\). Muni de l’addition et de la multiplication héritées de \(\mathbb{Z}\), c’est un anneau commutatif fini à \(n\) éléments ; il est même un corps lorsque, et seulement lorsque, \(n\) est un nombre premier.
À quoi sert Z/nZ ?
\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est le premier exemple non trivial de structure algébrique finie qu’un étudiant rencontre. Son intérêt est triple.
- Un laboratoire d’exemples. C’est là qu’on voit vivre les notions abstraites du chapitre : un groupe cyclique concret, un anneau qui n’est pas intègre, un corps fini. Chaque fois qu’un énoncé demande « donnez un exemple d’anneau possédant des diviseurs de zéro », la réponse est \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) avec \(n\) composé.
- Un outil d’arithmétique. Résoudre une équation de congruence, calculer une puissance modulaire, appliquer le lemme chinois : tout cela se lit naturellement dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).
- Une porte vers l’algèbre. \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est le quotient de \(\mathbb{Z}\) par le sous-groupe \(n\mathbb{Z}\) : c’est l’exemple fondateur de la notion de structure quotient, qui structure toute l’algèbre générale.
II. Construire Z/nZ : classes de congruence
La construction repose entièrement sur une relation d’équivalence : la congruence modulo \(n\).
Fixons un entier \(n \geq 1\). Deux entiers \(a\) et \(b\) sont dits congrus modulo \(n\), ce qu’on note \(a \equiv b \ [n]\), lorsque \(n\) divise \(b- a\). Cette relation est réflexive, symétrique et transitive : c’est une relation d’équivalence sur \(\mathbb{Z}\).
Définition — L’ensemble Z/nZ
La classe d’un entier \(a\) est l’ensemble \(\bar{a} = \{ a + kn \mid k \in \mathbb{Z} \}\) de tous les entiers congrus à \(a\) modulo \(n\). L’ensemble \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est l’ensemble de ces classes :
\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{ \bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \ldots, \overline{n-1} \}.\)
Il possède exactement \(n\) éléments, car chaque entier est congru modulo \(n\) à un unique reste de la division euclidienne, compris entre \(0\) et \(n-1\).
Des opérations héritées de Z
On définit l’addition et la multiplication sur les classes en passant par des représentants :
\(\bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b} \qquad \text{et} \qquad \bar{a} \times \bar{b} = \overline{a \times b}.\)Ces formules ne vont pas de soi : le résultat ne doit pas dépendre du représentant choisi. C’est précisément le point qu’un correcteur attend de voir vérifié.
Le réflexe « opération bien définie »
Si \(\bar{a} = \overline{a'}\) et \(\bar{b} = \overline{b'}\), alors \(a \equiv a' \ [n]\) et \(b \equiv b' \ [n]\). La compatibilité de la congruence avec les opérations de \(\mathbb{Z}\) donne \(a+b \equiv a'+b' \ [n]\) et \(ab \equiv a'b' \ [n]\), donc \(\overline{a+b} = \overline{a'+b'}\) et \(\overline{ab} = \overline{a'b'}\). Les opérations sont bien définies.
À partir de maintenant, \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un ensemble muni de deux lois internes. On va l’examiner successivement comme groupe, comme anneau, puis comme corps.
Toute la structure de Z/nZ sur une seule fiche
Groupe cyclique, anneau, corps, inversibles par Bézout : l’essentiel synthétisé pour réviser avant les concours.
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III. Le groupe additif (Z/nZ, +)
La première structure, la plus simple, est celle de groupe pour l’addition.
Propriété — (Z/nZ, +) est un groupe cyclique
\((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) est un groupe abélien fini d’ordre \(n\). Il est cyclique, engendré par \(\bar{1}\) : tout élément s’écrit \(\bar{k} = k \cdot \bar{1}\) pour un certain \(k\).
L’associativité et la commutativité proviennent de celles de \(\mathbb{Z}\). L’élément neutre est \(\bar{0}\), et l’opposé de \(\bar{a}\) est \(\overline{-a} = \overline{n-a}\). Tout groupe monogène fini d’ordre \(n\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) : c’est le modèle universel du groupe cyclique.
Ordre d’un élément dans (Z/nZ, +)
L’ordre d’un élément \(\bar{k}\) est le plus petit entier \(d \geq 1\) tel que \(d \cdot \bar{k} = \bar{0}\), c’est-à-dire \(dk \equiv 0 \ [n]\). Le résultat se retient sous forme de formule.
Formule de l’ordre
L’ordre de \(\bar{k}\) dans \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) vaut
\(\mathrm{ord}(\bar{k}) = \displaystyle\frac{n}{\mathrm{pgcd}(k, n)}.\)
En particulier, \(\bar{k}\) engendre le groupe entier si et seulement si \(\mathrm{pgcd}(k,n) = 1\).
Démonstration. Posons \(d = \mathrm{pgcd}(k,n)\). On a \(dk \equiv 0 \ [n] \Longleftrightarrow n \mid dk\). Écrivons \(k = d k'\) et \(n = d n'\) avec \(\mathrm{pgcd}(k', n') = 1\). Alors \(n \mid mk\) pour un entier \(m\) équivaut à \(n' \mid m k'\), donc, par le théorème de Gauss (puisque \(n'\) et \(k'\) sont premiers entre eux), à \(n' \mid m\). Le plus petit tel \(m\) est \(n' = n/d\). ∎
Sous-groupes de Z/nZ
C’est une propriété remarquable : la structure des sous-groupes est entièrement gouvernée par les diviseurs de \(n\).
Théorème — Sous-groupes de Z/nZ
Pour chaque diviseur \(d\) de \(n\), il existe un unique sous-groupe de \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) d’ordre \(d\) : c’est le groupe cyclique engendré par \(\overline{n/d}\). Réciproquement, tout sous-groupe est de cette forme. Il y a donc exactement autant de sous-groupes que de diviseurs de \(n\).
Par exemple, \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) possède exactement six sous-groupes, correspondant aux diviseurs \(1, 2, 3, 4, 6, 12\) de \(12\). Le sous-groupe d’ordre \(4\) est engendré par \(\bar{3}\), c’est \(\{\bar 0, \bar 3, \bar 6, \bar 9\}\).
IV. L’anneau Z/nZ et ses diviseurs de zéro
En ajoutant la multiplication, on obtient une structure d’anneau — mais un anneau qui réserve une surprise.
Propriété — (Z/nZ, +, ×) est un anneau commutatif
\((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)\) est un anneau commutatif unitaire, d’élément unité \(\bar{1}\). Toutes les règles de calcul de \(\mathbb{Z}\) (distributivité, associativité de \(\times\)) se transmettent par passage au quotient.
La grande différence avec \(\mathbb{Z}\), c’est que \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) n’est pas toujours intègre : un produit de deux classes non nulles peut être nul.
Exemple — Diviseurs de zéro dans Z/6Z
Dans \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), on a \(\bar{2} \neq \bar{0}\) et \(\bar{3} \neq \bar{0}\), pourtant :
\(\bar{2} \times \bar{3} = \overline{6} = \bar{0}.\)
Les classes \(\bar{2}\) et \(\bar{3}\) sont des diviseurs de zéro. L’anneau \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) n’est donc pas intègre.
De manière générale, \(\bar{a}\) est un diviseur de zéro si et seulement si \(\mathrm{pgcd}(a, n) > 1\) (avec \(\bar a \neq \bar 0\)). Ce critère se relie directement à la question des inversibles, qui est le cœur méthodologique de cette page.
V. Inversibles de Z/nZ et structure de corps
La question « quels éléments possèdent un inverse ? » est celle qui revient le plus souvent en exercice. La réponse est un théorème arithmétique pur.
Théorème — Éléments inversibles de Z/nZ
La classe \(\bar{a}\) est inversible dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) si et seulement si \(\mathrm{pgcd}(a, n) = 1\). Le groupe des inversibles, noté \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\), possède \(\varphi(n)\) éléments, où \(\varphi\) est l’indicatrice d’Euler.
Démonstration. Supposons \(\mathrm{pgcd}(a,n) = 1\). Le théorème de Bézout fournit deux entiers \(u, v\) tels que \(au + nv = 1\). En passant aux classes, \(\overline{au} = \bar{1}\), soit \(\bar{a} \times \bar{u} = \bar{1}\) : \(\bar{u}\) est l’inverse de \(\bar{a}\). Réciproquement, si \(\bar{a}\) est inversible, il existe \(\bar{u}\) tel que \(au \equiv 1 \ [n]\), donc \(au- 1 = kn\) pour un entier \(k\), et la relation \(au- kn = 1\) montre que \(\mathrm{pgcd}(a,n)\) divise \(1\). ∎
Méthode : calculer un inverse par Bézout
C’est la manipulation technique la plus fréquente. Voici les étapes.
- Vérifier l’inversibilité : calculer \(\mathrm{pgcd}(a, n)\). S’il vaut \(1\), l’inverse existe ; sinon, s’arrêter.
- Dérouler l’algorithme d’Euclide pour obtenir une relation de Bézout \(au + nv = 1\) (par remontée des divisions successives, ou par l’algorithme d’Euclide étendu).
- Lire l’inverse : le coefficient \(u\) donne \(\bar{a}^{-1} = \bar{u}\).
- Réduire \(u\) modulo \(n\) pour l’exprimer entre \(0\) et \(n-1\).
Exemple — Inverse de 7 dans Z/26Z
On a \(\mathrm{pgcd}(7, 26) = 1\), donc \(\bar{7}\) est inversible. Algorithme d’Euclide : \(26 = 3 \times 7 + 5\), \(7 = 1 \times 5 + 2\), \(5 = 2 \times 2 + 1\). Remontée :
\(1 = 5- 2 \times 2 = 5- 2(7- 5) = 3 \times 5- 2 \times 7 = 3(26- 3 \times 7)- 2 \times 7 = 3 \times 26- 11 \times 7.\)
Donc \(-11 \times 7 \equiv 1 \ [26]\), soit \(\bar{7}^{-1} = \overline{-11} = \overline{15}\). Vérification : \(7 \times 15 = 105 = 4 \times 26 + 1\). ✓
Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier
C’est le théorème structurel majeur de la page, et une démonstration classique d’oral.
Théorème — Caractérisation du corps
Pour \(n \geq 2\), l’anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier. Dans ce cas, on le note souvent \(\mathbb{F}_p\).
Démonstration.
\(\Longrightarrow\) Supposons \(n\) non premier, \(n = ab\) avec \(1 < a, b < n\). Alors \(\bar{a} \neq \bar{0}\) et \(\bar{b} \neq \bar{0}\), mais \(\bar{a} \times \bar{b} = \bar{n} = \bar{0}\) : \(\bar{a}\) est un diviseur de zéro, donc non inversible. \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) n’est pas un corps.
\(\Longleftarrow\) Supposons \(n = p\) premier. Soit \(\bar{a} \neq \bar{0}\), c’est-à-dire \(a\) non multiple de \(p\). Comme \(p\) est premier et ne divise pas \(a\), on a \(\mathrm{pgcd}(a, p) = 1\), donc \(\bar{a}\) est inversible par le théorème précédent. Tout élément non nul est inversible : \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) est un corps. ∎
Attention — Corps \(\Longrightarrow\) intègre, mais la réciproque est fausse en général (\(\mathbb{Z}\) est intègre sans être un corps) ; elle devient vraie en présence de finitude. Un anneau fini intègre est toujours un corps, ce qui explique pourquoi « intègre » et « corps » coïncident pour \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). Ce résultat général est démontré dans le cours sur les anneaux intègres.
VI. Tableau de synthèse et hiérarchie
Ce tableau résume comment la nature de \(n\) dicte la structure de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).
| Nature de \(n\) | Groupe \((+)\) | Anneau \((+,\times)\) | Corps ? | Nombre d’inversibles |
|---|---|---|---|---|
| \(n\) premier \(p\) | cyclique, ordre \(p\) | intègre | oui, \(\mathbb{F}_p\) | \(p-1\) |
| \(n\) composé | cyclique, ordre \(n\) | non intègre | non | \(\varphi(n) < n-1\) |
| \(n = 1\) | trivial | nul \(\{\bar 0\}\) | non (par convention) | \(1\) (\(\varphi(1) = 1\)) |
Dans la hiérarchie générale des anneaux — intègre, factoriel, principal, euclidien, corps — l’anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) occupe une place claire : il est un corps quand \(n\) est premier, et n’est même pas intègre sinon. Cette classification complète est détaillée dans le cours sur les anneaux intègres, principaux et euclidiens.
VII. Exercices corrigés
Six exercices gradués, du calcul direct au raisonnement structurel. Cherchez avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Table d’addition de Z/4Z ★
Dresser la table d’addition de \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) et vérifier que \(\bar{1}\) engendre le groupe.
Voir la correction de l’exercice 1
Les éléments sont \(\bar 0, \bar 1, \bar 2, \bar 3\). La table d’addition (chaque somme réduite modulo \(4\)) donne par exemple \(\bar 2 + \bar 3 = \bar 5 = \bar 1\) et \(\bar 3 + \bar 3 = \bar 6 = \bar 2\).
En itérant \(\bar 1\) : \(\bar 1, \ \bar 1 + \bar 1 = \bar 2, \ \bar 2 + \bar 1 = \bar 3, \ \bar 3 + \bar 1 = \bar 0\). On obtient tous les éléments, donc \(\bar 1\) est un générateur et le groupe est cyclique d’ordre \(4\).
Exercice 2 — Inversibles de Z/8Z ★
Déterminer tous les éléments inversibles de \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\) et en donner le cardinal.
Voir la correction de l’exercice 2
\(\bar a\) est inversible si et seulement si \(\mathrm{pgcd}(a, 8) = 1\), donc si \(a\) est impair.
Les inversibles sont \(\bar 1, \bar 3, \bar 5, \bar 7\), soit \((\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times = \{\bar 1, \bar 3, \bar 5, \bar 7\}\).
Le cardinal est \(\varphi(8) = 4\). On remarque que chacun est son propre inverse : \(3^2 = 9 \equiv 1\), \(5^2 = 25 \equiv 1\), \(7^2 = 49 \equiv 1\). Ce groupe n’est pas cyclique (il est isomorphe à un produit de deux groupes d’ordre 2).
Exercice 3 — Inverse par Bézout ★★
Calculer l’inverse de \(\bar{11}\) dans \(\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}\).
Voir la correction de l’exercice 3
\(\mathrm{pgcd}(11, 30) = 1\), l’inverse existe. Euclide : \(30 = 2 \times 11 + 8\), \(11 = 1 \times 8 + 3\), \(8 = 2 \times 3 + 2\), \(3 = 1 \times 2 + 1\). Remontée :
\(1 = 3- 2 = 3- (8- 2\times 3) = 3\times 3- 8 = 3(11- 8)- 8 = 3 \times 11- 4 \times 8\) \(= 3 \times 11- 4(30- 2\times 11) = 11 \times 11- 4 \times 30.\)Ainsi \(11 \times 11 \equiv 1 \ [30]\), donc \(\bar{11}^{-1} = \overline{11}\). Vérification : \(121 = 4 \times 30 + 1\). ✓
La fiche méthode Z/nZ à garder sous la main
Toutes les propriétés, la formule de l’ordre et la méthode d’inverse par Bézout, condensées en une page.
📄 Télécharger la fiche PDFParfaite pour réviser avant une colle ou un DS.
Exercice 4 — Ordre et sous-groupes de Z/10Z ★★
Déterminer l’ordre de \(\bar{4}\) dans \((\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}, +)\), puis lister tous les sous-groupes.
Voir la correction de l’exercice 4
Ordre : \(\mathrm{ord}(\bar 4) = \displaystyle\frac{10}{\mathrm{pgcd}(4,10)} = \displaystyle\frac{10}{2} = 5\). En effet \(\bar 4, \bar 8, \overline{12}=\bar 2, \bar 6, \overline{10}=\bar 0\) : cinq itérations.
Les sous-groupes correspondent aux diviseurs de \(10\), à savoir \(1, 2, 5, 10\) :
- ordre \(1\) : \(\{\bar 0\}\) ;
- ordre \(2\) : \(\langle \bar 5\rangle = \{\bar 0, \bar 5\}\) ;
- ordre \(5\) : \(\langle \bar 2\rangle = \{\bar 0, \bar 2, \bar 4, \bar 6, \bar 8\}\) ;
- ordre \(10\) : \(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\) tout entier.
Exercice 5 — Résoudre une équation dans Z/7Z ★★
Résoudre l’équation \(\bar 3 \, \bar x = \bar 2\) dans \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\).
Voir la correction de l’exercice 5
\(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) est un corps (7 premier), donc \(\bar 3\) est inversible. On cherche \(\bar 3^{-1}\) : \(3 \times 5 = 15 \equiv 1 \ [7]\), donc \(\bar 3^{-1} = \bar 5\).
En multipliant par \(\bar 5\) : \(\bar x = \bar 5 \times \bar 2 = \overline{10} = \bar 3\).
L’unique solution est \(\bar x = \bar 3\). Vérification : \(3 \times 3 = 9 \equiv 2 \ [7]\). ✓
Exercice 6 — Morphismes de Z/nZ dans Z/mZ ★★★
Soit \(n, m \geq 1\). Montrer que la donnée d’un morphisme de groupes \(f : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) revient à choisir la valeur \(f(\bar 1) = \bar c\) avec \(\bar c\) d’ordre divisant \(n\). En déduire le nombre de tels morphismes.
Voir la correction de l’exercice 6
Comme \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est engendré par \(\bar 1\), un morphisme \(f\) est entièrement déterminé par \(f(\bar 1) = \bar c\), car \(f(\bar k) = k \, \bar c\). La seule contrainte est la cohérence : puisque \(n \cdot \bar 1 = \bar 0\), il faut \(n \, \bar c = \bar 0\) dans \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\), soit \(m \mid nc\).
Cette condition \(m \mid nc\) équivaut à \(\displaystyle\frac{m}{\mathrm{pgcd}(m,n)} \mid c\). Posons \(d = \mathrm{pgcd}(m, n)\). Les valeurs admissibles de \(c\) modulo \(m\) sont les multiples de \(m/d\), au nombre de \(d\).
Il y a donc exactement \(\mathrm{pgcd}(m, n)\) morphismes de groupes de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) vers \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\).
Ce que le correcteur attend : justifier que \(f\) est déterminé par l’image du générateur, expliciter la condition de bonne définition \(m \mid nc\) (c’est le point qui rapporte les points), puis dénombrer proprement. Ne pas oublier de vérifier que chaque choix admissible donne bien un morphisme.
VIII. Erreurs classiques à éviter
Ces quatre erreurs coûtent régulièrement des points en copie.
Erreur 1 — Confondre l’entier et sa classe
❌ Copie fautive : « dans \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\), \(7 = 2\) ».
Diagnostic : \(7\) et \(2\) sont des entiers distincts.
✅ Correction : ce sont les classes qui sont égales, \(\bar 7 = \bar 2\). La barre n’est pas décorative : elle distingue l’objet de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) de l’entier représentant.
Erreur 2 — Croire tout élément non nul inversible
❌ « Dans \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), \(\bar 2\) a un inverse ».
Diagnostic : \(\mathrm{pgcd}(2,6) = 2 \neq 1\).
✅ \(\bar 2\) est un diviseur de zéro, pas un inversible. L’inversibilité n’est automatique que si \(n\) est premier.
Erreur 3 — Oublier la bonne définition
Définir une opération « sur les classes » sans vérifier qu’elle ne dépend pas du représentant est une faute de fond. Dès qu’on manipule \(\overline{f(a)}\), se demander : « si \(\bar a = \overline{a'}\), a-t-on bien \(\overline{f(a)} = \overline{f(a')}\) ? »
Erreur 4 — Décomposer Z/nZ sans condition de coprimalité
❌ « \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) ».
Diagnostic : le lemme chinois exige \(\mathrm{pgcd}(4,6) = 1\), ce qui est faux.
✅ La décomposition correcte est \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\), car \(\mathrm{pgcd}(4,3) = 1\).
IX. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Sur les épreuves écrites comme aux oraux (CCINP, Mines-Ponts, X-ENS), la manipulation de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) suit des attendus précis.
- Notation nette classe / représentant. Utilisez systématiquement la barre \(\bar a\) (ou \(\dot a\)) pour la classe. Un correcteur pénalise l’ambiguïté dès qu’un calcul mélange entiers et classes sans distinction.
- Justifier la bonne définition. Toute application définie « sur les classes » doit être accompagnée d’une ligne prouvant l’indépendance du représentant. C’est le réflexe le plus valorisé.
- Bézout, pas la table. Pour un inverse dans un anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) avec \(n\) grand, on attend l’algorithme d’Euclide étendu, pas une recherche par essais. Explicitez la relation \(au + nv = 1\).
- Le passage « corps ⟺ premier » se rédige par équivalence. Montrez les deux implications séparément : diviseur de zéro si \(n\) composé, inversibilité via Bézout si \(n\) premier.
- Formulation orale attendue. « \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est le quotient du groupe \(\mathbb{Z}\) par le sous-groupe \(n\mathbb{Z}\) » — cette phrase de cadrage rassure immédiatement l’examinateur sur votre compréhension de la construction.
X. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre Z/nZ et les congruences ?
Les congruences sont une relation sur les entiers : elles disent quand deux entiers ont le même reste. \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un ensemble muni de deux opérations, construit à partir de cette relation en regroupant les entiers en classes. Autrement dit, la congruence est l’outil, \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est la structure algébrique qu’elle permet de bâtir. Le calcul modulaire est détaillé dans le cours sur les congruences.
Pourquoi Z/nZ est-il un corps seulement si n est premier ?
Un corps exige que tout élément non nul soit inversible. Or \(\bar a\) est inversible si et seulement si \(\mathrm{pgcd}(a,n)=1\). Si \(n\) est composé, il possède un diviseur \(a\) avec \(1 < a < n\) tel que \(\mathrm{pgcd}(a,n) > 1\) : cet élément n’est pas inversible. Seul \(n\) premier garantit que tous les entiers de \(1\) à \(n-1\) sont premiers avec \(n\).
Comment calculer l’inverse d’un élément dans Z/nZ ?
On applique l’algorithme d’Euclide étendu à \(a\) et \(n\) pour obtenir une relation de Bézout \(au + nv = 1\). Le coefficient \(u\) réduit modulo \(n\) est l’inverse de \(\bar a\). Si \(\mathrm{pgcd}(a,n) \neq 1\), l’inverse n’existe pas.
Le groupe additif Z/nZ est-il toujours cyclique ?
Oui : \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) est toujours cyclique, engendré par \(\bar 1\), quel que soit \(n\). Attention à ne pas confondre avec le groupe multiplicatif des inversibles \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\), qui, lui, n’est pas toujours cyclique (par exemple \((\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times\) ne l’est pas).
Combien Z/nZ a-t-il d’éléments inversibles ?
Exactement \(\varphi(n)\), où \(\varphi\) est l’indicatrice d’Euler : c’est le nombre d’entiers entre \(1\) et \(n\) premiers avec \(n\). Pour \(n = p\) premier, ce nombre vaut \(p-1\).
XI. D’où ça vient, où ça mène
Situez \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) dans votre parcours mathématique :
- En amont (Terminale, maths expertes) : vous avez appris à calculer avec les congruences et à appliquer le théorème de Gauss. C’était le calcul ; ici, c’est la structure.
- Au niveau de cette page (MPSI, MP2I, PCSI) : \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est votre exemple de référence pour le chapitre « Structures algébriques usuelles » — groupe cyclique, anneau non intègre, corps fini. Reliez-le au cours général sur les structures algébriques.
- En aval (L3, agrégation) : \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) se généralise en groupe quotient \(G/H\) et en anneau quotient \(A/I\), au cœur de l’algèbre générale.
XII. Pour aller plus loin
Vous maîtrisez la structure de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). Pour approfondir l’algèbre de prépa :
- Espace vectoriel : cours complet avec démonstrations et exercices corrigés
- Matrices en Mathématiques : Cours, Méthodes et Exercices Corrigés
- 20 Exercices Corrigés : Applications Linéaires — Prépa MPSI/PCSI/MP
- 25 Exercices de Polynômes Corrigés (Prépa) — PDF
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