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Un chiffre d’affaires augmente-t-il vraiment avec le budget publicitaire ? La taille d’un individu est-elle liée à sa pointure ? Dès que l’on manipule deux mesures relevées sur les mêmes individus, la statistique à une seule variable ne suffit plus : il faut étudier la liaison entre ces deux grandeurs. Le nuage de points est le premier outil, à la fois visuel et rigoureux, qui permet de la voir apparaître. Dans cet article, tu vas apprendre à construire un nuage de points, à calculer son point moyen et sa covariance, à lire la nature de la liaison observée, et à préparer le terrain pour l’ajustement affine.
I. Série statistique double et nuage de points
Tout part d’une idée simple : au lieu de relever une caractéristique sur une population, on en relève deux simultanément sur chaque individu. On obtient alors une série statistique à deux variables, aussi appelée série statistique double.
A. Définition de la série double
Définition — Série statistique à deux variables
Une série statistique double associe, à chaque individu \(i\) d’une population de taille \(n\), un couple de valeurs \((x_i\,;\,y_i)\), où \(x\) et \(y\) sont deux caractères quantitatifs relevés sur cet individu. On la note \(\left((x_i\,;\,y_i)\right)_{1 \leq i \leq n}\).
La variable \(x\) est souvent appelée variable explicative (ou variable de contrôle), et \(y\) variable expliquée (ou variable à prédire). Ce vocabulaire n’a rien d’automatique : c’est le contexte, et non les données, qui décide laquelle joue quel rôle.
Exemple : On relève sur 6 magasins d’une enseigne le budget publicitaire mensuel \(x\) (en milliers d’euros) et le chiffre d’affaires \(y\) (en milliers d’euros).
\((2\,;\,18),\ (3\,;\,23),\ (5\,;\,30),\ (6\,;\,29),\ (8\,;\,40),\ (10\,;\,45)\)
Chaque magasin est un individu, décrit par un couple. La série double compte \(n = 6\) couples.
B. Le nuage de points
Pour visualiser cette série, on place chaque couple comme un point dans un repère.
Définition — Nuage de points
Dans un repère orthogonal, le nuage de points associé à une série double \(\left((x_i\,;\,y_i)\right)_{1 \leq i \leq n}\) est l’ensemble des \(n\) points \(M_i\) de coordonnées \((x_i\,;\,y_i)\). Il donne une représentation graphique de la liaison éventuelle entre \(x\) et \(y\).
Chaque observation se place à partir de deux coordonnées ; revois comment lire son abscisse et son ordonnée.
C. Série à une variable ou série à deux variables ?
C’est la confusion la plus fréquente en début de chapitre. Voici de quoi la lever définitivement.
| Critère | Série à une variable | Série à deux variables |
|---|---|---|
| Donnée par individu | Une valeur \(x_i\) | Un couple \((x_i\,;\,y_i)\) |
| Question posée | Comment se répartit \(x\) ? | \(x\) et \(y\) sont-elles liées ? |
| Indicateurs | Moyenne, médiane, écart-type | Point moyen, covariance, corrélation |
| Représentation | Histogramme, diagramme en boîte | Nuage de points |
Retiens l’essentiel : passer d’une variable à deux variables, ce n’est pas décrire une variable de plus, c’est changer d’objectif. On ne cherche plus à résumer une répartition, mais à mettre en évidence un lien. Pour réviser les indicateurs de la série simple, tu peux revenir sur la moyenne d’une série statistique ou sur l’écart-type.
II. Le point moyen, centre de gravité du nuage
Une fois le nuage tracé, le premier réflexe rigoureux consiste à le résumer par un point unique : son centre. Ce point condense « la position moyenne » du nuage et servira de pivot à tout l’ajustement.
A. Définition et calcul
Définition — Point moyen
Le point moyen \(G\) d’une série double est le point de coordonnées \(\left(\bar{x}\,;\,\bar{y}\right)\), où \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) sont les moyennes des deux variables :
\(\bar{x} = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \qquad \text{et} \qquad \bar{y} = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i\)
Le point moyen est aussi appelé centre de gravité du nuage : si l’on affectait à chaque point une masse identique, \(G\) serait exactement le point d’équilibre. Cette lecture barycentrique n’est pas anecdotique — elle explique pourquoi \(G\) jouera un rôle central dans la droite d’ajustement.
Exemple (reprise des 6 magasins) :
\(\bar{x} = \displaystyle\frac{2+3+5+6+8+10}{6} = \displaystyle\frac{34}{6} \approx 5{,}67\)
\(\bar{y} = \displaystyle\frac{18+23+30+29+40+45}{6} = \displaystyle\frac{185}{6} \approx 30{,}83\)
Le point moyen est \(G\left(5{,}67\,;\,30{,}83\right)\). Il se situe visuellement « au milieu » du nuage.
La fiche méthode « Statistiques à deux variables » en 1 page
Nuage de points, point moyen, covariance et formule développée : tout l’essentiel condensé, prêt à réviser avant un DS.
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B. Une propriété fondamentale
À retenir : le point moyen \(G\) est invariant par translation du repère et se comporte comme une vraie moyenne. En particulier, si l’on partage le nuage en deux sous-nuages de points moyens \(G_1\) et \(G_2\) et d’effectifs \(n_1\) et \(n_2\), alors \(G\) est le barycentre de \((G_1\,;\,n_1)\) et \((G_2\,;\,n_2)\).
Cette propriété est la porte d’entrée de la méthode de Mayer (ajustement par deux points moyens partiels), que tu retrouveras dans le cours sur la méthode des moindres carrés.
III. Mesurer la liaison : la covariance
Le nuage montre une liaison ; la covariance la mesure. C’est l’indicateur numérique qui transforme une impression visuelle (« ça monte ») en une quantité manipulable.
A. Définition de la covariance
Définition — Covariance
La covariance de la série double est le nombre :
\(\mathrm{cov}(x,y) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)\left(y_i - \bar{y}\right)\)
On dispose aussi de la formule développée, plus rapide en pratique :
\(\mathrm{cov}(x,y) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i y_i \;-\; \bar{x}\,\bar{y}\)
La formule développée est l’analogue exact de la formule de König-Huygens pour la variance : on remplace « moyenne des carrés moins carré de la moyenne » par « moyenne des produits moins produit des moyennes ». D’ailleurs, la covariance d’une variable avec elle-même redonne sa variance : \(\mathrm{cov}(x,x) = V(x)\).
B. Interprétation du signe
La grande force de la covariance tient dans son signe.
| Signe de \(\mathrm{cov}(x,y)\) | Forme du nuage | Interprétation |
|---|---|---|
| Positif | Orienté vers le haut ↗ | \(x\) et \(y\) varient dans le même sens |
| Négatif | Orienté vers le bas ↘ | \(x\) et \(y\) varient en sens opposé |
| Proche de \(0\) | Diffus, sans direction | Pas de liaison affine visible |
Piège classique : la covariance dépend des unités. Passer des euros aux milliers d’euros divise la covariance par 1000 — sa valeur n’est donc pas comparable d’un contexte à l’autre. Pour obtenir une mesure sans unité, comprise entre \(-1\) et \(1\), on normalise la covariance : c’est le rôle du coefficient de corrélation linéaire.
Nous ne détaillons pas ici le coefficient de corrélation ni la droite de régression : chacun fait l’objet d’une page dédiée du cocon. Le nuage et la covariance sont les prérequis ; l’ajustement en est la suite naturelle.
IV. Construire et lire un nuage de points, pas à pas
Savoir ce qu’est un nuage ne suffit pas : il faut le tracer proprement, car une échelle mal choisie peut inventer ou masquer une tendance. Voici la méthode.
A. Construire un nuage sur papier
- Repérer les étendues. Note les valeurs minimale et maximale de \(x\), puis de \(y\).
- Choisir les échelles. Adapte chaque axe à son étendue pour que le nuage occupe la majeure partie de la feuille. Les deux axes n’ont pas besoin de la même échelle.
- Graduer les axes en indiquant clairement la grandeur et l’unité de chacun.
- Placer chaque couple \((x_i\,;\,y_i)\) comme un point, sans les relier.
- Marquer le point moyen \(G\) d’une couleur distincte : il guide la lecture de la tendance.
Astuce : un nuage n’est jamais relié par une ligne brisée. Relier les points est l’erreur qui trahit une confusion avec une courbe de fonction. Un nuage de points est une constellation, pas un graphe.
B. Lire la forme du nuage
Une fois tracé, on décrit le nuage selon trois critères :
- La direction : le nuage monte, descend, ou n’a pas de direction nette.
- La forme : les points s’alignent-ils approximativement le long d’une droite (liaison affine) ou d’une courbe (liaison non linéaire, par exemple exponentielle) ?
- La dispersion : les points sont-ils resserrés autour d’une tendance, ou très dispersés ?
Ces trois observations décident de la suite : si les points sont sensiblement alignés, un ajustement affine a du sens et l’on cherchera la droite qui « passe au mieux » dans le nuage — c’est l’objet de la régression linéaire, dont la droite passe toujours par \(G\).
C. Et sur Excel ou sur calculatrice ?
En pratique professionnelle, le nuage se trace en un clic. Sur un tableur, on sélectionne les deux colonnes puis on insère un graphique de type Nuage de points (option « XY, nuage de points ou dispersion »). Sur calculatrice, le menu statistique à deux variables affiche directement le nuage et calcule \(\bar{x}\), \(\bar{y}\) et la covariance. Ces outils ne dispensent jamais de savoir lire le résultat : c’est là toute la valeur du raisonnement statistique.
V. Pour aller plus loin : pourquoi la droite passe par G
🔵 Approfondissement — Le point moyen appartient toujours à la droite de régression
La droite des moindres carrés de \(y\) en \(x\) a pour équation \(y = a x + b\) avec \(a = \displaystyle\frac{\mathrm{cov}(x,y)}{V(x)}\) et \(b = \bar{y} - a\,\bar{x}\). En évaluant l’ordonnée de la droite au point d’abscisse \(\bar{x}\) :
\(a\,\bar{x} + b = a\,\bar{x} + \left(\bar{y} - a\,\bar{x}\right) = \bar{y}\)
Le point \(G\left(\bar{x}\,;\,\bar{y}\right)\) vérifie donc l’équation de la droite : il lui appartient toujours. C’est pourquoi on peut tracer la droite d’ajustement dès que l’on connaît \(G\) et une seule autre information (la pente).
Cette propriété élégante fait du point moyen bien plus qu’un simple résumé : c’est le point d’ancrage géométrique de tout l’ajustement affine.
VI. Exercices corrigés
Passons à la pratique. Les exercices suivent une difficulté croissante, du calcul direct au raisonnement.
Exercice 1 — Point moyen d’une petite série ★
On relève sur 5 semaines le nombre d’heures de révision \(x\) et la note obtenue \(y\) d’un étudiant : \((4\,;\,8),\ (6\,;\,11),\ (7\,;\,12),\ (9\,;\,15),\ (10\,;\,14)\). Déterminer les coordonnées du point moyen \(G\).
Voir la correction de l’exercice 1
On calcule les deux moyennes :
\(\bar{x} = \displaystyle\frac{4+6+7+9+10}{5} = \displaystyle\frac{36}{5} = 7{,}2\) \(\bar{y} = \displaystyle\frac{8+11+12+15+14}{5} = \displaystyle\frac{60}{5} = 12\)Le point moyen est \(G\left(7{,}2\,;\,12\right)\).
Exercice 2 — Lire un nuage de points ★
Trois nuages de points sont décrits ci-dessous. Associe chacun à la bonne interprétation : liaison positive, liaison négative, absence de liaison.
(a) Les points montent régulièrement de la gauche vers la droite.
(b) Les points sont dispersés sans direction visible.
(c) Plus \(x\) augmente, plus \(y\) diminue.
Voir la correction de l’exercice 2
(a) → liaison positive : covariance positive, le nuage est orienté vers le haut.
(b) → absence de liaison : covariance proche de \(0\).
(c) → liaison négative : covariance négative, le nuage est orienté vers le bas.
Exercice 3 — Calcul de covariance ★★
Reprends la série de l’exercice 1 : \((4\,;\,8),\ (6\,;\,11),\ (7\,;\,12),\ (9\,;\,15),\ (10\,;\,14)\). Calculer \(\mathrm{cov}(x,y)\) avec la formule développée, sachant que \(\bar{x} = 7{,}2\) et \(\bar{y} = 12\).
Voir la correction de l’exercice 3
On calcule d’abord la moyenne des produits \(x_i y_i\) :
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5} x_i y_i = 4\times 8 + 6\times 11 + 7\times 12 + 9\times 15 + 10\times 14\) \(= 32 + 66 + 84 + 135 + 140 = 457\) \(\displaystyle\frac{1}{n}\sum x_i y_i = \displaystyle\frac{457}{5} = 91{,}4\)Puis on applique la formule développée :
\(\mathrm{cov}(x,y) = 91{,}4 - 7{,}2 \times 12 = 91{,}4 - 86{,}4 = 5\)La covariance vaut \(5\). Elle est positive : plus l’étudiant révise, meilleure est sa note.
Exercice 4 — Effet d’un changement d’unité ★★
Une entreprise a calculé la covariance entre son budget publicitaire (en euros) et son chiffre d’affaires (en euros) : \(\mathrm{cov}(x,y) = 4{,}2 \times 10^{6}\). Un collègue exprime maintenant les deux grandeurs en milliers d’euros. Que devient la covariance ? Que peut-on en conclure sur la comparaison de covariances entre études différentes ?
Voir la correction de l’exercice 4
Diviser \(x\) par 1000 et \(y\) par 1000 divise chaque produit \((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) par \(10^{6}\). Donc :
\(\mathrm{cov}(x',y') = \displaystyle\frac{\mathrm{cov}(x,y)}{10^{6}} = \displaystyle\frac{4{,}2 \times 10^{6}}{10^{6}} = 4{,}2\)La covariance passe de \(4{,}2\times 10^{6}\) à \(4{,}2\) : elle dépend des unités. On ne peut donc pas comparer deux covariances brutes issues d’unités différentes. Pour comparer l’intensité des liaisons, il faut normaliser via le coefficient de corrélation, qui, lui, est sans unité et compris entre \(-1\) et \(1\).
Exercice 5 — Le point moyen appartient à la droite ★★★
Une droite d’ajustement de \(y\) en \(x\) a pour équation \(y = 1{,}5 x + b\). Le point moyen du nuage est \(G\left(8\,;\,17\right)\). Sans aucun autre calcul, déterminer \(b\), puis justifier la méthode employée.
Voir la correction de l’exercice 5
La droite d’ajustement des moindres carrés passe toujours par le point moyen \(G\). Ses coordonnées vérifient donc l’équation :
\(17 = 1{,}5 \times 8 + b\) \(17 = 12 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 5\)L’équation de la droite est \(y = 1{,}5 x + 5\).
Justification : puisque \(G\) appartient à la droite, il suffit d’y injecter \(x = \bar{x}\) et \(y = \bar{y}\) pour retrouver l’ordonnée à l’origine. C’est un raccourci puissant, à condition de savoir que la propriété est valable pour la droite de régression et non pour n’importe quel ajustement graphique à main levée.
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Trois erreurs reviennent systématiquement dans les copies. Les connaître, c’est déjà les éviter.
❌ Relier les points du nuage. Un nuage de points n’est jamais une courbe : on ne joint pas les points par des segments. La tendance se traduit par une droite d’ajustement, tracée à part, pas par une ligne brisée reliant les données.
❌ Confondre covariance et corrélation. La covariance mesure le sens de la liaison mais dépend des unités : sa valeur ne dit rien, seul son signe est directement interprétable. L’intensité de la liaison se lit sur le coefficient de corrélation, compris entre \(-1\) et \(1\).
❌ Conclure à une causalité. Un nuage bien aligné signale une corrélation, pas une cause. Deux variables peuvent varier ensemble à cause d’un troisième facteur caché. « Corrélation n’est pas causalité » : cette prudence est attendue dans toute interprétation rédigée.
VIII. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un nuage de points en statistiques ?
Un nuage de points est la représentation graphique d’une série statistique à deux variables : chaque individu, décrit par un couple de valeurs \((x_i\,;\,y_i)\), est placé comme un point dans un repère. La forme d’ensemble du nuage renseigne sur la liaison éventuelle entre les deux variables \(x\) et \(y\).
Comment construire un nuage de points sur papier ?
On repère d’abord l’étendue de chaque variable pour choisir les échelles des deux axes, puis on gradue les axes en précisant grandeur et unité. On place ensuite chaque couple comme un point, sans relier les points entre eux. On marque enfin le point moyen \(G\left(\bar{x}\,;\,\bar{y}\right)\) d’une couleur distincte pour repérer la tendance.
Quelle est la différence entre une série à une variable et une série à deux variables ?
Une série à une variable associe une seule valeur à chaque individu et on la résume par sa moyenne, sa médiane ou son écart-type. Une série à deux variables associe un couple à chaque individu : on ne cherche plus à décrire une répartition, mais à mesurer la liaison entre les deux grandeurs, avec le point moyen, la covariance et la corrélation.
À quoi sert le point moyen d'un nuage de points ?
Le point moyen \(G\left(\bar{x}\,;\,\bar{y}\right)\) résume la position centrale du nuage : c’est son centre de gravité. Il sert surtout d’ancrage à l’ajustement affine, car la droite de régression des moindres carrés passe toujours par \(G\).
Peut-on tracer un nuage de points sur Excel ?
Oui. On sélectionne les deux colonnes de données, puis on insère un graphique de type « Nuage de points » (aussi appelé « XY, nuage de points ou dispersion »). Le tableur peut ensuite ajouter la droite d’ajustement et afficher son équation. Cela ne remplace pas la lecture statistique : savoir interpréter le nuage reste indispensable.
Comment interpréter le signe de la covariance ?
Une covariance positive indique que \(x\) et \(y\) varient dans le même sens (nuage orienté vers le haut) ; une covariance négative indique des sens opposés (nuage orienté vers le bas) ; une covariance proche de zéro signale l’absence de liaison affine. Sa valeur, en revanche, dépend des unités et n’est pas comparable d’une étude à l’autre.
IX. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant construire un nuage de points, calculer son point moyen et sa covariance, et lire la liaison qu’il révèle. Pour poursuivre vers l’ajustement et la mesure de son intensité :
