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Le laplacien d’une fonction est la somme de ses dérivées partielles secondes : \(\Delta f = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\). Cet opérateur mesure de combien la valeur d’une fonction en un point s’écarte de sa moyenne sur un petit voisinage. Il est au cœur de l’équation de la chaleur, de l’électrostatique et de la mécanique quantique.
I. Définition et notations
Le laplacien est le troisième opérateur différentiel du second ordre que tu rencontres en analyse vectorielle, après le gradient et la divergence. Contrairement à eux, il prend une fonction scalaire et renvoie une fonction scalaire : c’est cette simplicité de type qui le rend omniprésent en physique. Commençons par la définition, puis nous démonterons la formule pour ne plus jamais avoir à l’apprendre par cœur.
A. Définition formelle
Définition — Laplacien scalaire
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert \(U\) de \(\mathbb{R}^n\). On appelle laplacien de \(f\) la fonction scalaire, notée \(\Delta f\) ou \(\nabla^2 f\), définie par :
\(\Delta f = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x_k^2}\)
En dimension 2 : \(\Delta f = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\). En dimension 3 : \(\Delta f = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\).
L’hypothèse \(\mathcal{C}^2\) n’est pas décorative : elle garantit l’existence et la continuité de toutes les dérivées partielles secondes. C’est aussi ce qui autorise, via le théorème de Schwarz, à ne pas se soucier de l’ordre de dérivation dans les calculs mixtes qui apparaissent en pratique.
B. Notation, vocabulaire et conventions
Deux notations coexistent, et les deux sont exigibles en concours :
- \(\Delta f\) — la notation des mathématiciens français et de la plupart des manuels de prépa ;
- \(\nabla^2 f\) — la notation des physiciens, qui insiste sur le lien avec l’opérateur nabla \(\nabla\) (\(\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla\)).
Une fonction dont le laplacien est nul porte un nom précis :
Définition — Fonction harmonique
Une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert \(U\) est dite harmonique sur \(U\) lorsque \(\Delta f = 0\) en tout point de \(U\). L’équation \(\Delta f = 0\) s’appelle l’équation de Laplace.
Attention à l’homonymie. En théorie des graphes, on appelle « matrice laplacienne » la matrice \(L = D- A\) (degrés moins adjacence). C’est un objet différent, sans lien avec l’opérateur différentiel étudié ici ; ne les confonds pas si tu croises le terme en informatique.
C. La formule à retenir
En pratique, tu n’as besoin que d’une seule chose : additionner les dérivées partielles secondes « pures » (jamais les croisées). Voici le récapitulatif dans les trois dimensions usuelles, en coordonnées cartésiennes.
| Dimension | Laplacien de \(f\) | Exemple harmonique |
|---|---|---|
| \(\mathbb{R}\) | \(\Delta f = f^{\prime\prime}(x)\) | \(f(x) = ax + b\) |
| \(\mathbb{R}^2\) | \(\Delta f = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\) | \(f(x,y) = x^2- y^2\) |
| \(\mathbb{R}^3\) | \(\Delta f = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\) | \(f(x,y,z) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) |
Ces formules ne valent qu’en coordonnées cartésiennes. Dès que le repérage change, des facteurs supplémentaires apparaissent : consulte l’expression du laplacien en coordonnées cylindriques et sphériques, où chaque formule est démontrée pas à pas.
II. Interprétation géométrique : l’écart à la moyenne locale
C’est le point que la plupart des cours escamotent, et c’est pourtant le plus important. Le laplacien n’est pas qu’une somme de dérivées : c’est un détecteur d’écart à la moyenne. Comprends cette idée une fois, et l’équation de la chaleur, les fonctions harmoniques et le principe du maximum deviennent évidents.
Considérons une fonction \(f\) de deux variables, un point \(a\) et le cercle \(C(a,r)\) de centre \(a\) et de rayon \(r\). Notons \(\overline{f}(a,r)\) la valeur moyenne de \(f\) sur ce cercle. Un développement de Taylor à l’ordre 2 donne le résultat suivant.
Propriété — Le laplacien comme écart à la moyenne
Pour \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\), la moyenne de \(f\) sur le cercle de centre \(a\) et de rayon \(r\) vérifie :
\(\overline{f}(a,r) = f(a) + \displaystyle\frac{r^2}{4}\,\Delta f(a) + o(r^2)\)
Autrement dit, \(\Delta f(a)\) est proportionnel à l’écart entre la moyenne des valeurs voisines et la valeur au centre.
La lecture concrète est limpide :
- \(\Delta f(a)\) > \(0\) : en moyenne, les voisins de \(a\) valent plus que \(f(a)\). Le point \(a\) est « en creux » — pense au fond d’une cuvette.
- \(\Delta f(a)\) < \(0\) : les voisins valent moins. Le point \(a\) est « en bosse » — un sommet.
- \(\Delta f(a) = 0\) : en moyenne, les voisins valent exactement \(f(a)\). C’est la propriété de la moyenne des fonctions harmoniques.
Cette interprétation explique l’équation de la chaleur \(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} = k\,\Delta u\) : là où la température est plus basse que la moyenne environnante (\(\Delta u \gt 0\)), elle augmente ; là où elle est plus haute (\(\Delta u \lt 0\)), elle diminue. Le système tend à lisser les écarts. Nous reviendrons sur ces équations dans la section méthode et dans le cours dédié aux équations aux dérivées partielles.
La fiche laplacien en 1 page
Définition, formules cartésiennes et curvilignes, interprétation géométrique et méthode de calcul — tout l’essentiel à garder sous la main.
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III. Propriétés et théorèmes
Trois résultats structurent le chapitre : le laplacien est linéaire, il s’écrit comme la divergence du gradient, et les fonctions harmoniques vérifient la propriété de la moyenne. Démontrons-les.
A. Linéarité
Propriété — Linéarité du laplacien
Pour \(f, g\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) :
\(\Delta(\lambda f + \mu g) = \lambda\,\Delta f + \mu\,\Delta g\)
La preuve est immédiate : la dérivation partielle est linéaire, donc la dérivation partielle seconde aussi, et une somme de termes linéaires reste linéaire. En revanche, le laplacien n’est pas multiplicatif : \(\Delta(fg) \neq \Delta f \cdot \Delta g\). La bonne formule fait intervenir le gradient (voir les pièges).
B. Le laplacien est la divergence du gradient
C’est l’identité fondamentale, celle qui donne son sens géométrique à l’opérateur et permet de passer d’un système de coordonnées à un autre.
Théorème — \(\Delta = \mathrm{div}\,(\mathrm{grad})\)
Pour toute fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) :
\(\Delta f = \mathrm{div}\big(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f\big) = \nabla \cdot (\nabla f)\)
Démonstration ⋆
Plaçons-nous en dimension 3 (le cas général est identique). Le gradient de \(f\) est le champ de vecteurs :
\(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f = \left( \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z} \right)\)
La divergence d’un champ \(\vec{V} = (V_1, V_2, V_3)\) est \(\mathrm{div}\,\vec{V} = \displaystyle\frac{\partial V_1}{\partial x} + \displaystyle\frac{\partial V_2}{\partial y} + \displaystyle\frac{\partial V_3}{\partial z}\). En appliquant cette formule à \(\vec{V} = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f\), c’est-à-dire \(V_1 = \partial_x f\), \(V_2 = \partial_y f\), \(V_3 = \partial_z f\) :
\(\mathrm{div}\big(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f\big) = \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right) + \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\right) + \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\right)\)
\(= \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = \Delta f\)
On reconnaît exactement la définition du laplacien. ∎
Cette décomposition n’est pas qu’une élégance formelle : elle est le lien direct avec les autres opérateurs de l’analyse vectorielle et la clé pour retrouver l’expression du laplacien dans n’importe quel système de coordonnées, en composant l’expression du gradient et celle de la divergence.
C. Propriété de la moyenne et principe du maximum
Théorème — Propriété de la moyenne (fonctions harmoniques)
Si \(f\) est harmonique sur un ouvert contenant le disque fermé de centre \(a\) et de rayon \(r\), alors \(f(a)\) est égale à la moyenne de \(f\) sur le cercle \(C(a,r)\) :
\(f(a) = \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f\big(a + r(\cos\theta, \sin\theta)\big)\,d\theta\)
C’est la version exacte de l’interprétation approchée de la section II : le terme en \(\Delta f\) étant nul, la moyenne coïncide avec la valeur au centre, quel que soit \(r\). On en déduit le principe du maximum : une fonction harmonique non constante sur un ouvert borné atteint ses valeurs extrêmes uniquement sur le bord. Physiquement, en régime stationnaire (\(\partial_t u = 0\) donc \(\Delta u = 0\)), il ne peut y avoir de point plus chaud que tout son environnement à l’intérieur d’une plaque : le maximum est toujours au bord.
IV. Méthode pas à pas : calculer un laplacien
La procédure est courte mais chaque étape a un piège attitré. Voici la méthode systématique, valable en toute dimension.
Étape 1 — Identifier les variables et vérifier la régularité. Assure-toi que \(f\) est bien \(\mathcal{C}^2\) sur le domaine considéré (attention aux points où \(f\) n’est pas définie, comme l’origine pour \(1/r\)).
Étape 2 — Calculer les dérivées partielles premières. On dérive \(f\) successivement par rapport à chaque variable, en traitant les autres comme des constantes.
Étape 3 — Dériver une seconde fois, uniquement les termes « purs ». Le laplacien ne fait intervenir que \(\partial^2 f / \partial x_k^2\). Les dérivées croisées \(\partial^2 f / \partial x \partial y\) n’y figurent jamais (elles interviennent dans la matrice hessienne, pas dans le laplacien).
Étape 4 — Sommer et conclure. On additionne les dérivées secondes pures. Si le résultat est nul, la fonction est harmonique — pense à le signaler explicitement, c’est souvent le but de l’exercice.
Réflexe utile : pour tester si une fonction de deux variables est harmonique, souviens-toi que les parties réelle et imaginaire de toute fonction holomorphe (comme \(z \mapsto z^n\) ou \(z \mapsto e^z\)) le sont automatiquement. \(x^2- y^2\) (partie réelle de \(z^2\)) ou \(e^x\cos y\) (partie réelle de \(e^z\)) sont harmoniques sans calcul.
V. Exemples résolus
Cinq applications, du calcul direct à la question de raisonnement. Cherche chaque réponse avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Laplacien d’un paraboloïde ★
Calculer le laplacien de \(f(x,y) = x^2 + y^2\). Interpréter le signe du résultat.
Voir la correction de l’exercice 1
Dérivées premières : \(\partial_x f = 2x\) et \(\partial_y f = 2y\).
Dérivées secondes pures : \(\partial_{xx} f = 2\) et \(\partial_{yy} f = 2\).
\(\Delta f = 2 + 2 = 4\)Le laplacien est constant et strictement positif. Cohérent avec l’interprétation : en tout point, les voisins valent en moyenne plus que le centre, car la surface est une cuvette qui s’ouvre vers le haut.
Exercice 2 — Une selle harmonique ★
Montrer que \(f(x,y) = x^2- y^2\) est harmonique sur \(\mathbb{R}^2\).
Voir la correction de l’exercice 2
\(\partial_{xx} f = 2\) et \(\partial_{yy} f = -2\).
\(\Delta f = 2 + (-2) = 0\)Donc \(f\) est harmonique sur \(\mathbb{R}^2\) tout entier. Remarque : c’est la partie réelle de \(z^2 = (x+iy)^2 = x^2- y^2 + 2ixy\), ce qui confirme le résultat sans calcul.
Exercice 3 — Exponentielle et cosinus ★★
La fonction \(f(x,y) = e^x \cos y\) est-elle harmonique ?
Voir la correction de l’exercice 3
Dérivons par rapport à \(x\) : \(\partial_x f = e^x \cos y\), puis \(\partial_{xx} f = e^x \cos y\).
Dérivons par rapport à \(y\) : \(\partial_y f = -e^x \sin y\), puis \(\partial_{yy} f = -e^x \cos y\).
\(\Delta f = e^x \cos y- e^x \cos y = 0\)Oui, \(f\) est harmonique. C’est la partie réelle de \(e^z = e^x(\cos y + i\sin y)\).
Exercice 4 — Le potentiel newtonien ★★★
Montrer que \(f(x,y,z) = \displaystyle\frac{1}{r}\), où \(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\), est harmonique sur \(\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\).
Voir la correction de l’exercice 4
Posons \(f = r^{-1}\) avec \(r = (x^2+y^2+z^2)^{1/2}\). On a \(\partial_x r = \displaystyle\frac{x}{r}\).
Dérivée première : \(\partial_x f = -r^{-2}\,\partial_x r = -\displaystyle\frac{x}{r^3}\).
Dérivée seconde par rapport à \(x\) :
\(\partial_{xx} f = -\displaystyle\frac{r^3- x \cdot 3r^2 \partial_x r}{r^6} = -\displaystyle\frac{r^3- 3x^2 r}{r^6} = -\displaystyle\frac{1}{r^3} + \displaystyle\frac{3x^2}{r^5}\)Par symétrie des rôles de \(x, y, z\) :
\(\partial_{yy} f = -\displaystyle\frac{1}{r^3} + \displaystyle\frac{3y^2}{r^5}, \qquad \partial_{zz} f = -\displaystyle\frac{1}{r^3} + \displaystyle\frac{3z^2}{r^5}\)En sommant :
\(\Delta f = -\displaystyle\frac{3}{r^3} + \displaystyle\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = -\displaystyle\frac{3}{r^3} + \displaystyle\frac{3r^2}{r^5} = -\displaystyle\frac{3}{r^3} + \displaystyle\frac{3}{r^3} = 0\)Donc \(1/r\) est harmonique sur \(\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\). C’est le potentiel gravitationnel (ou électrostatique) d’une masse ponctuelle : sa nullité du laplacien traduit l’absence de source hors de l’origine.
Exercice 5 — Raisonnement : combinaison de fonctions harmoniques ★★
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions harmoniques sur un ouvert \(U\). La fonction \(h = 3f- 5g\) est-elle harmonique ? Et le produit \(fg\) l’est-il en général ?
Voir la correction de l’exercice 5
Combinaison linéaire. Par linéarité du laplacien :
\(\Delta h = \Delta(3f- 5g) = 3\,\Delta f- 5\,\Delta g = 3 \times 0- 5 \times 0 = 0\)Donc \(h\) est harmonique. L’ensemble des fonctions harmoniques sur \(U\) est un espace vectoriel (sous-espace du \(\mathbb{R}\)-espace des fonctions \(\mathcal{C}^2\)).
Produit. En général, non. Prenons \(f(x,y) = x\) et \(g(x,y) = x\), toutes deux harmoniques (dérivées secondes nulles). Alors \(fg = x^2\) et \(\Delta(x^2) = 2 \neq 0\). Le produit de deux fonctions harmoniques n’est donc pas harmonique en général. C’est cohérent avec la formule \(\Delta(fg) = f\Delta g + g\Delta f + 2\,\overrightarrow{\mathrm{grad}} f \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}} g\) : même si \(\Delta f = \Delta g = 0\), le terme croisé des gradients subsiste.
Pour t’entraîner davantage, une série complète est disponible sur la page dédiée aux exercices corrigés d’analyse vectorielle.
VI. Pièges classiques
Trois erreurs reviennent en boucle sur les copies. Les connaître à l’avance te fait gagner des points.
Piège n°1 — Inclure les dérivées croisées. Beaucoup d’élèves confondent laplacien et hessienne et écrivent \(\Delta f = \partial_{xx} f + \partial_{xy} f + \partial_{yy} f\). C’est faux : le laplacien ne contient que les dérivées secondes pures. La dérivée mixte \(\partial_{xy} f\) n’apparaît jamais dans \(\Delta f\) (elle vit dans la matrice hessienne, sur les coefficients hors diagonale). En fait, \(\Delta f = \mathrm{tr}(H_f)\) : le laplacien est la trace de la hessienne.
Piège n°2 — Utiliser la formule cartésienne en coordonnées polaires. En polaires, le laplacien n’est pas \(\partial_{rr} f + \partial_{\theta\theta} f\). La bonne expression fait apparaître des facteurs dus à la variation de la base locale :
\(\Delta f = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial r} + \displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}\)
Oublier le terme \(\displaystyle\frac{1}{r}\partial_r f\) est l’erreur la plus fréquente. Toutes les formules curvilignes sont démontrées sur la page des opérateurs en coordonnées cylindriques et sphériques.
Piège n°3 — Croire que \(\Delta(fg) = \Delta f \cdot \Delta g\). Le laplacien est linéaire, pas multiplicatif. La formule correcte du produit est \(\Delta(fg) = f\,\Delta g + g\,\Delta f + 2\,\overrightarrow{\mathrm{grad}} f \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}} g\). En concours, si tu dois calculer le laplacien d’un produit, développe cette identité plutôt que d’espérer une simplification magique.
VII. Rédaction au concours
A. Ce que le correcteur attend
Sur une question portant sur le laplacien, le correcteur vérifie trois réflexes :
- Justifier la régularité avant de dériver. Avant tout calcul de dérivées secondes, précise que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur le domaine considéré. Pour \(1/r\), mentionne explicitement l’exclusion de l’origine.
- Nommer le système de coordonnées. Si tu utilises une formule curviligne, écris-la et cite qu’elle provient de \(\Delta = \mathrm{div}(\mathrm{grad})\). N’applique jamais la formule cartésienne à des variables \((r,\theta)\).
- Conclure sur l’harmonicité. Si \(\Delta f = 0\), écris la phrase « donc \(f\) est harmonique sur \(U\) » — c’est souvent la conclusion attendue, notée à part.
B. Au programme de quelle filière ?
| Filière | Attendu sur le laplacien |
|---|---|
| MPSI / PCSI (1re année) | Définition, calcul en cartésien, notion de fonction harmonique (souvent via la physique) |
| MP / PC / PSI (2e année) | Laplacien comme div(grad), expressions curvilignes, équation de la chaleur et de Laplace |
| Physique (toutes filières) | Omniprésent : équation de la chaleur, d’onde, de Poisson \(\Delta V = -\rho/\varepsilon_0\), Schrödinger |
Un dernier mot sur l’usage : le laplacien apparaît dans presque toutes les équations aux dérivées partielles de la physique. La suite naturelle de ce cours est donc l’étude de l’équation de la chaleur et de l’équation de Laplace Δu = 0.
VIII. Questions fréquentes
C’est quoi le laplacien en termes simples ?
Le laplacien d’une fonction en un point mesure de combien la valeur de la fonction en ce point s’écarte de la moyenne des valeurs voisines. S’il est positif, le point est « en creux » par rapport à son entourage ; s’il est négatif, il est « en bosse » ; s’il est nul, la valeur au point égale la moyenne locale (fonction harmonique). Mathématiquement, c’est la somme des dérivées partielles secondes.
Quelle est la différence entre le gradient et le laplacien ?
Le gradient prend une fonction scalaire et renvoie un vecteur (la direction de plus forte pente). Le laplacien prend une fonction scalaire et renvoie un scalaire. Le lien entre eux est l’identité \(\Delta f = \mathrm{div}(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f)\) : le laplacien est la divergence du gradient. Le gradient décrit la variation au premier ordre, le laplacien la courbure au second ordre.
Qu’est-ce qu’une fonction harmonique ?
Une fonction est harmonique lorsque son laplacien est nul partout : \(\Delta f = 0\). Ces fonctions ont une propriété remarquable, la propriété de la moyenne : leur valeur en un point égale exactement la moyenne de leurs valeurs sur tout cercle centré en ce point. Elles modélisent les régimes stationnaires (température d’équilibre, potentiel électrostatique dans le vide).
Pourquoi le laplacien apparaît-il dans l’équation de la chaleur ?
Parce qu’il mesure l’écart à la moyenne locale. L’équation \(\partial_t u = k\,\Delta u\) dit que la température augmente là où elle est plus froide que ses voisins (\(\Delta u \gt 0\)) et diminue là où elle est plus chaude (\(\Delta u \lt 0\)). Le système lisse les écarts jusqu’à l’équilibre, atteint quand \(\Delta u = 0\).
Le laplacien contient-il les dérivées croisées ?
Non. Le laplacien ne fait intervenir que les dérivées secondes pures (\(\partial_{xx}, \partial_{yy}, \partial_{zz}\)). Les dérivées mixtes comme \(\partial_{xy} f\) apparaissent dans la matrice hessienne, hors diagonale, mais pas dans le laplacien. On a d’ailleurs \(\Delta f = \mathrm{tr}(H_f)\), la trace de la hessienne.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la définition, l’interprétation et le calcul du laplacien. Pour consolider et élargir :
