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Derrière chaque chaîne de Markov, chaque calcul de PageRank et une bonne partie des sujets de maths appliquées en ECG se cache le même objet : la matrice stochastique. C’est elle qui encode l’évolution d’un système aléatoire d’un instant au suivant, et ses propriétés spectrales (1 est toujours valeur propre, le rayon spectral vaut 1) sont des réflexes attendus à l’écrit comme à l’oral. Dans ce cours, tu vas apprendre à la reconnaître, à démontrer ses propriétés fondamentales, à relier son spectre à l’état stable d’une chaîne, et à rédiger ces résultats comme un correcteur les attend.
Au programme
Ce chapitre relève des maths appliquées en ECG2 (graphes probabilistes, matrices de transition, chaînes de Markov, états stables — BO spécial n°1 du 11 février 2021) et apparaît régulièrement aux concours (ESSEC/HEC, CCINP PSI, oraux X/ENS) ainsi qu’à l’agrégation. Un premier palier 🔵 est accessible dès la Terminale maths expertes via la matrice de transition.
- 🔵 Lycée : matrice de transition d’une chaîne à 2 ou 3 états.
- 🟠 Prépa : spectre, stabilité par produit, état stable comme vecteur propre.
- 🔴 Concours : convergence, irréductibilité, matrices bistochastiques.
I. Définition d’une matrice stochastique
Une matrice stochastique est une matrice carrée à coefficients positifs ou nuls dont la somme de chaque ligne vaut 1. C’est la traduction matricielle du fait que, depuis un état donné, les probabilités de transition vers tous les états possibles se répartissent intégralement : elles somment à 1. On l’appelle aussi matrice de Markov ou, dans le contexte des chaînes, matrice de transition.
Définition — Matrice stochastique (convention lignes)
Une matrice \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est dite stochastique (ou stochastique en lignes) lorsque :
- tous ses coefficients sont positifs : \(a_{ij} \geq 0\) pour tout \((i,j)\) ;
- la somme de chaque ligne vaut 1 : \(\displaystyle\sum_{j=1}^{n} a_{ij} = 1\) pour tout \(i\).
A. Reformulation vectorielle
Notons \(e = (1, 1, \dots, 1)^{t}\) le vecteur colonne dont toutes les composantes valent 1. La condition « somme de chaque ligne égale à 1 » se traduit par une égalité d’une concision remarquable :
\(Ae = e\)En effet, la \(i\)-ème composante de \(Ae\) est \(\sum_{j} a_{ij} \times 1 = \sum_j a_{ij} = 1\). Cette écriture est le point de départ de presque toutes les démonstrations du chapitre : garde-la en tête.
B. Convention lignes ou convention colonnes
Il existe deux conventions dans la littérature, et les confondre est l’erreur n°1 des copies. Dans ce cours, nous adoptons la convention lignes, celle du programme de maths expertes et des maths appliquées en ECG : la distribution est un vecteur ligne et l’évolution s’écrit \(\pi^{(n+1)} = \pi^{(n)} A\).
Attention — deux conventions coexistent
Certains cours (dont notre page sur les valeurs propres) définissent une matrice stochastique par la somme de chaque colonne égale à 1. On passe de l’une à l’autre par transposition : si \(A\) est stochastique en lignes, alors \(A^{t}\) est stochastique en colonnes. Toutes les propriétés spectrales sont identiques puisque \(A\) et \(A^{t}\) ont le même spectre. Annonce toujours ta convention en début de copie.
Concrètement, avec la convention lignes, \(a_{ij}\) représente la probabilité de passer de l’état \(i\) à l’état \(j\). La distribution invariante \(\pi\) vérifie alors \(\pi A = \pi\) : c’est un vecteur propre à gauche, donc après transposition, un vecteur propre de \(A^{t}\) pour la valeur propre 1.
Cette définition posée, voyons d’abord d’où elle vient : le cas, familier dès le lycée, de la matrice de transition.
II. 🔵 Au lycée : la matrice de transition d’une chaîne
Au lycée, la matrice stochastique apparaît sans être nommée : c’est la matrice de transition d’une chaîne de Markov à 2 ou 3 états. Chaque ligne décrit « depuis cet état, où vais-je ensuite, et avec quelle probabilité ». Comprendre ce cas concret est le meilleur moyen de rendre les propriétés abstraites de la prépa intuitives.
Exemple — une habitude d’entraînement
Un sportif a deux états un jour donné : il s’entraîne (état E) ou il se repose (état R). On observe : s’il s’entraîne un jour, il recommence le lendemain avec probabilité 0,8 ; s’il se repose, il s’entraîne le lendemain avec probabilité 0,5. La matrice de transition (lignes = état du jour, colonnes = état du lendemain, ordre E puis R) est :
\(A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}\)
Chaque ligne somme bien à 1 et tous les coefficients sont positifs : \(A\) est stochastique.
Si \(\pi^{(0)} = (p_0, q_0)\) est la distribution initiale (probabilité d’être en E et en R au jour 0), la distribution au jour \(n\) vérifie :
\(\pi^{(n+1)} = \pi^{(n)} A \quad \text{d'où} \quad \pi^{(n)} = \pi^{(0)} A^{n}\)La distribution invariante \(\pi = (p, q)\) est celle qui vérifie \(\pi A = \pi\) avec \(p + q = 1\). On résout :
\(p = 0{,}8\,p + 0{,}5\,q\) soit \(0{,}2\,p = 0{,}5\,q\), d’où \(p = \displaystyle\frac{5}{2}\,q\).
Avec \(p + q = 1\) : \(\displaystyle\frac{5}{2}q + q = 1\), donc \(q = \displaystyle\frac{2}{7}\) et \(p = \displaystyle\frac{5}{7}\). La fréquence d’entraînement à long terme est donc 5/7 dans ce modèle ; cela ne signifie pas exactement cinq séances chaque semaine.
Ce calcul « à la main » reste praticable à 2 ou 3 états. Dès que la taille augmente, ou qu’on veut démontrer l’existence et l’unicité de \(\pi\), il faut passer par l’algèbre linéaire : c’est tout l’objet des sections suivantes.
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Définition, spectre, état stable et convergence : l’essentiel condensé, prêt à réviser avant un DS ou un concours.
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III. Stabilité par produit et par puissances
La première propriété structurante est que l’ensemble des matrices stochastiques est stable par produit : composer deux évolutions aléatoires en donne une troisième, elle aussi stochastique. C’est ce qui justifie que \(A^{n}\) reste stochastique, et donc que \(\pi^{(n)}\) reste bien une distribution de probabilité à chaque étape.
Proposition — Stabilité par produit
Si \(A\) et \(B\) sont deux matrices stochastiques de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), alors \(AB\) est stochastique. En particulier, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(A^{n}\) est stochastique.
Démonstration. Les coefficients de \(AB\) sont \((AB)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{kj}\), somme de produits de réels positifs, donc \((AB)_{ij} \geq 0\). Pour les sommes de lignes, le plus élégant est de passer par \(e\) :
\((AB)\,e = A(Be) = A e = e\)car \(Be = e\) (\(B\) stochastique) puis \(Ae = e\) (\(A\) stochastique). Donc les lignes de \(AB\) somment à 1 : \(AB\) est stochastique. La stabilité de \(A^{n}\) s’en déduit par une récurrence immédiate sur \(n\). ∎
Le réflexe à avoir : pour tout ce qui concerne les sommes de lignes, raisonne sur \(Ae = e\) plutôt que sur les sommes indicées \(\sum_j a_{ij}\). Les démonstrations deviennent des lignes de calcul au lieu de pavés d’indices — et le correcteur apprécie la concision.
Cette stabilité garantit que l’objet est bien défini à tout instant. Mais le cœur du chapitre — et des sujets de concours — est ailleurs : dans le spectre.
IV. Le spectre d’une matrice stochastique
Le spectre d’une matrice stochastique obéit à deux lois universelles : 1 est toujours valeur propre, et toutes les valeurs propres ont un module inférieur ou égal à 1. Autrement dit, le rayon spectral vaut exactement 1. Ces deux résultats, démontrables en quelques lignes, tombent très régulièrement aux concours — souvent en question de cours déguisée.
A. 1 est toujours valeur propre
Théorème — 1 appartient au spectre
Soit \(A\) une matrice stochastique. Alors \(1\) est valeur propre de \(A\), et \(e = (1, \dots, 1)^{t}\) est un vecteur propre associé.
Démonstration. On a vu que \(Ae = e\). Comme \(e \neq 0\), c’est exactement dire que \(e\) est un vecteur propre de \(A\) pour la valeur propre \(1\). Donc \(1 \in \mathrm{Sp}(A)\). ∎
La distribution invariante, elle, est vecteur propre à gauche : \(\pi A = \pi\), c’est-à-dire que \(\pi^{t}\) est vecteur propre de \(A^{t}\) pour la valeur propre 1. Comme \(A\) et \(A^{t}\) ont le même polynôme caractéristique, \(1\) est bien valeur propre des deux, mais les vecteurs propres diffèrent.
B. Le rayon spectral vaut 1
Théorème — Majoration des valeurs propres
Soit \(A\) stochastique et \(\lambda\) une valeur propre (réelle ou complexe) de \(A\). Alors \(\vert \lambda \vert \leq 1\). Combiné au résultat précédent, le rayon spectral de \(A\) vaut \(\rho(A) = 1\).
Démonstration. Soit \(\lambda\) une valeur propre et \(x = (x_1, \dots, x_n)^{t} \neq 0\) un vecteur propre associé : \(Ax = \lambda x\). Soit \(i\) un indice où \(\vert x_i \vert = \max_{k} \vert x_k \vert = \Vert x \Vert_{\infty}\) (ce maximum est strictement positif car \(x \neq 0\)). La \(i\)-ème ligne donne :
\(\vert\lambda\vert\,\vert x_i\vert=\vert(Ax)_i\vert\)
\(=\left\vert\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j\right\vert\)
\(\leq\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\vert x_j\vert\)
\(\leq\vert x_i\vert\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=\vert x_i\vert\)
La première inégalité est l’inégalité triangulaire ; la seconde utilise \(a_{ij} \geq 0\) et \(\vert x_j \vert \leq \vert x_i \vert\) ; la dernière égalité vient de \(\sum_j a_{ij} = 1\). En divisant par \(\vert x_i \vert\) > 0, on obtient \(\vert \lambda \vert \leq 1\). ∎
Deux pièges distincts. La matrice identité est stochastique, mais 1 n’y est pas une valeur propre simple dès que la taille dépasse 1. La matrice stochastique \(B=\begin{pmatrix}1&0&0\\1/2&1/2&0\\0&1/2&1/2\end{pmatrix}\) n’est pas diagonalisable : la valeur propre \(1/2\) est double et son espace propre n’a que la dimension 1. Enfin, l’irréductibilité garantit la simplicité de 1 ; c’est une condition suffisante, pas nécessaire.
C. Une caractérisation (type CCINP)
Un sujet de concours récurrent demande de caractériser les matrices stochastiques parmi les matrices positives. Voici l’énoncé, à connaître et à savoir démontrer.
Résultat — caractérisation par la valeur propre 1
Soit \(A\) une matrice à coefficients positifs ou nuls. Alors \(A\) est stochastique si et seulement si \(1\) est valeur propre de \(A\) et \(e = (1, \dots, 1)^{t}\) est un vecteur propre associé.
Preuve. Le sens direct a été démontré. Réciproquement, si \(Ae = e\), alors pour tout \(i\), \(\sum_j a_{ij} = (Ae)_i = e_i = 1\) : avec la positivité supposée, \(A\) est stochastique. ∎
Nous disposons maintenant de l’essentiel sur le spectre. Reste la question la plus riche — et la plus demandée : que devient \(A^{n}\) quand \(n \to +\infty\) ?
V. Puissances, irréductibilité et convergence
La question centrale des applications est le comportement asymptotique : est-ce que \(A^{n}\) converge, et vers quoi ? La réponse dépend de la structure du graphe associé à la matrice. Deux notions commandent tout : l’irréductibilité (le graphe est fortement connexe) et l’apériodicité.
Pour une chaîne irréductible, la période d’un état est le PGCD des longueurs possibles de retour à cet état. La chaîne est apériodique si cette période vaut 1. Dans ce cadre fini irréductible, cela équivaut à l’existence d’une puissance de la matrice dont tous les coefficients sont strictement positifs.
A. La méthode accessible : la diagonalisation
Lorsque \(A\) est diagonalisable, le comportement de \(A^{n}\) se lit directement sur les valeurs propres. C’est l’approche attendue en ECG et la plus fréquente à l’écrit.
Si \(A = PDP^{-1}\) avec \(D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\), alors \(A^{n} = PD^{n}P^{-1}\) avec \(D^{n} = \mathrm{diag}(\lambda_1^{n}, \dots, \lambda_n^{n})\). Comme \(\vert \lambda_k \vert \leq 1\) :
- si \(\vert \lambda_k \vert < 1\), alors \(\lambda_k^{n} \to 0\) ;
- la valeur propre \(\lambda = 1\) donne \(1^{n} = 1\) : c’est elle qui « survit » et porte le régime stationnaire.
Si \(1\) est valeur propre simple et que toutes les autres valeurs propres ont un module strictement inférieur à 1, alors \(A^{n}\) converge. Savoir diagonaliser une matrice est donc le prérequis technique de cette section.
Exemple — convergence sur l’exemple sportif
Pour \(A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}\), la trace vaut \(1{,}3\) et le déterminant \(0{,}3\). Les valeurs propres sont racines de \(\lambda^2- 1{,}3\lambda + 0{,}3 = 0\), soit \(\lambda_1 = 1\) et \(\lambda_2 = 0{,}3\). Comme \(\vert 0{,}3 \vert < 1\) et que \(1\) est simple, \(A^{n}\) converge. La limite a toutes ses lignes égales à la distribution invariante \(\left(\displaystyle\frac{5}{7}, \displaystyle\frac{2}{7}\right)\).
B. Irréductibilité et graphe fortement connexe
La bonne hypothèse structurelle, indépendante de la diagonalisabilité, est l’irréductibilité. Elle se lit sur le graphe de la chaîne.
Définition — Matrice irréductible
Une matrice stochastique \(A\) est irréductible lorsque son graphe probabiliste associé est fortement connexe : pour tout couple d’états \((i, j)\), il existe un chemin orienté de \(i\) vers \(j\). De façon équivalente, pour tout \((i,j)\), il existe \(m \in \mathbb{N}^{*}\) tel que \((A^{m})_{ij} > 0\).
La notion de connexité forte est détaillée dans notre cours sur le graphe fortement connexe. Son rôle ici est double : garantir l’unicité de la distribution invariante, et conditionner la convergence.
Théorème de Perron-Frobenius (cas stochastique)
Si \(A\) est stochastique, irréductible et apériodique (on dit aussi primitive : il existe \(m\) tel que toutes les entrées de \(A^{m}\) soient strictement positives), alors :
- \(1\) est valeur propre simple ;
- toutes les autres valeurs propres vérifient \(\vert \lambda \vert < 1\) ;
- \(A^{n}\) converge vers une matrice \(L\) dont toutes les lignes sont égales à l’unique distribution invariante \(\pi\) (à coefficients strictement positifs).
Ce théorème dépasse le strict programme ECG mais son énoncé est utile pour comprendre pourquoi la convergence a lieu, et il est explicitement mobilisé dans les problèmes de concours. En rédaction, on se ramène le plus souvent à la diagonalisation quand elle est possible.
Contre-exemple — pas de convergence sans apériodicité : la matrice \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) est stochastique et irréductible, mais \(A^{2} = I_2\), donc \(A^{n}\) alterne entre \(A\) et \(I_2\) : pas de limite. Ses valeurs propres sont \(1\) et \(-1\), toutes deux de module 1 : la périodicité se voit sur le spectre.
Un cas particulier mérite une section à part, car il donne immédiatement la distribution invariante : les matrices bistochastiques.
VI. Les matrices bistochastiques
Une matrice bistochastique est stochastique à la fois en lignes et en colonnes. Cette symétrie a une conséquence remarquable : la distribution uniforme est automatiquement invariante. C’est un cas de prédilection des sujets de concours, car il relie algèbre linéaire et combinatoire via le théorème de Birkhoff.
Définition — Matrice bistochastique (ou doublement stochastique)
Une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est bistochastique lorsqu’elle est à coefficients positifs ou nuls et que la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut 1. De façon équivalente : \(A \geq 0\), \(Ae = e\) et \(e^{t} A = e^{t}\).
Propriété — la distribution uniforme est invariante
Si \(A\) est bistochastique, le vecteur \(u = \left(\displaystyle\frac{1}{n}, \dots, \displaystyle\frac{1}{n}\right)\) est une distribution invariante : en effet \(e^{t} A = e^{t}\) donne, en divisant par \(n\), \(u A = u\).
Les matrices de permutation en sont l’exemple fondamental : chaque ligne et chaque colonne contiennent un seul 1. Le théorème suivant, hors programme mais classique à l’oral, décrit toutes les bistochastiques.
Théorème de Birkhoff-von Neumann
L’ensemble des matrices bistochastiques de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est un polytope convexe dont les sommets sont exactement les \(n!\) matrices de permutation. Toute matrice bistochastique est une combinaison convexe de matrices de permutation.
Nous avons parcouru toute la théorie. Place à l’entraînement : les exercices suivants couvrent chaque palier, du calcul direct au problème de concours.
VII. Exercices corrigés type concours
Sept exercices classés par difficulté, du simple contrôle de définition (★) au problème de concours (★★★★). Chaque correction détaille les étapes et signale ce qu’il faut rédiger sur la copie. Essaie avant de dérouler.
Exercice 1 — Reconnaître une matrice stochastique ★
Parmi les matrices suivantes, lesquelles sont stochastiques (convention lignes) ?
\(M_1 = \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}\), \(M_2 = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}8 & 0{,}3 \end{pmatrix}\), \(M_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -0{,}2 & 1{,}2 \end{pmatrix}\).
Voir la correction de l’exercice 1
On vérifie les deux conditions : coefficients positifs ou nuls et somme de chaque ligne égale à 1.
\(M_1\) : coefficients positifs ou nuls ; lignes \(0{,}3 + 0{,}7 = 1\) et \(0{,}6 + 0{,}4 = 1\). Stochastique.
\(M_2\) : deuxième ligne \(0{,}8 + 0{,}3 = 1{,}1 \neq 1\). Non stochastique.
\(M_3\) : le coefficient \(-0{,}2\) est négatif. Non stochastique (même si les lignes somment à 1).
Conclusion : seule \(M_1\) est stochastique.
Exercice 2 — Le produit reste stochastique ★★
Soit \(A\) et \(B\) deux matrices stochastiques de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Démontrer que \(AB\) est stochastique, en rédigeant proprement les deux conditions.
Voir la correction de l’exercice 2
Positivité. Pour tout \((i,j)\), \((AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\). Chaque \(a_{ik} \geq 0\) et \(b_{kj} \geq 0\), donc le produit et la somme sont positifs : \((AB)_{ij} \geq 0\).
Sommes de lignes. On utilise \(e = (1,\dots,1)^{t}\). Comme \(B\) est stochastique, \(Be = e\) ; comme \(A\) l’est, \(Ae = e\). Donc :
\((AB)e = A(Be) = Ae = e\)Cela signifie exactement que chaque ligne de \(AB\) somme à 1.
Conclusion : \(AB\) est stochastique. Ce qu’il faut rédiger : toujours mentionner les deux conditions séparément, et privilégier l’argument \((AB)e = e\) à un calcul d’indices.
Exercice 3 — Distribution invariante à 3 états ★★
Un abonné à un service est chaque mois dans l’un des états : actif (A), en pause (P), résilié (R). La matrice de transition est :
\(T = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}2 & 0{,}1 \\ 0{,}4 & 0{,}5 & 0{,}1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)Déterminer toutes les distributions invariantes \(\pi = (a, p, r)\).
Voir la correction de l’exercice 3
On cherche \(\pi T = \pi\) avec \(a + p + r = 1\) et \(a, p, r \geq 0\). Le système \(\pi T = \pi\) s’écrit colonne par colonne :
\(0{,}7a + 0{,}4p = a\) (colonne A) ; \(0{,}2a + 0{,}5p = p\) (colonne P) ; \(0{,}1a + 0{,}1p + r = r\) (colonne R).
La colonne P donne \(0{,}2a = 0{,}5p\), donc \(p = 0{,}4a\). La colonne A donne \(0{,}4p = 0{,}3a\), soit \(p = 0{,}75a\). Ces deux relations imposent \(0{,}4a = 0{,}75a\), donc \(a = 0\), puis \(p = 0\).
La contrainte \(a + p + r = 1\) donne alors \(r = 1\).
Conclusion : l’unique distribution invariante est \(\pi = (0, 0, 1)\). L’état R est absorbant (ligne \((0,0,1)\)) : à long terme, tout le monde finit résilié. Cohérent avec un graphe non fortement connexe.
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Exercice 4 — Majoration des valeurs propres ★★★
Soit \(A\) une matrice stochastique et \(\lambda\) une valeur propre complexe. Démontrer que \(\vert \lambda \vert \leq 1\). On détaillera le choix de l’indice.
Voir la correction de l’exercice 4
Soit \(x = (x_1, \dots, x_n)^{t} \neq 0\) tel que \(Ax = \lambda x\). On choisit un indice \(i\) réalisant le maximum : \(\vert x_i \vert = \max_k \vert x_k \vert\). Ce choix est crucial : il permet de majorer tous les \(\vert x_j \vert\) par \(\vert x_i \vert\).
On a \(x \neq 0\) donc \(\vert x_i \vert > 0\). La \(i\)-ème ligne de \(Ax = \lambda x\) s’écrit :
\(\vert\lambda\vert\,\vert x_i\vert=\vert(Ax)_i\vert\)
\(=\left\vert\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j\right\vert\)
\(\leq\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\vert x_j\vert\)
\(\leq\vert x_i\vert\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=\vert x_i\vert\)
On a successivement utilisé l’inégalité triangulaire, la positivité des \(a_{ij}\) avec \(\vert x_j \vert \leq \vert x_i \vert\), puis \(\sum_j a_{ij} = 1\).
Conclusion : en divisant par \(\vert x_i \vert > 0\), on obtient \(\vert \lambda \vert \leq 1\). Ce qu’il faut rédiger : justifier explicitement que \(\vert x_i \vert > 0\) et expliciter chaque inégalité.
Exercice 5 — Comportement de A^n par diagonalisation ★★★
Soit \(A = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}\). Diagonaliser \(A\), puis déterminer \(\lim_{n \to +\infty} A^{n}\).
Voir la correction de l’exercice 5
Valeurs propres. \(\mathrm{tr}(A) = 1{,}3\) et \(\det(A) = 0{,}42- 0{,}12 = 0{,}3\). Les valeurs propres sont racines de \(\lambda^2- 1{,}3\lambda + 0{,}3 = 0\), soit \(\lambda_1 = 1\) et \(\lambda_2 = 0{,}3\).
Vecteurs propres. Pour \(\lambda_1 = 1\) : \(e = (1,1)^{t}\). Pour \(\lambda_2 = 0{,}3\) : on résout \((A- 0{,}3 I)v = 0\), on trouve \(v = (4, -3)^{t}\) (à un facteur près).
La distribution invariante à gauche \(\pi = (a, 1-a)\) vérifie \(\pi A = \pi\) : \(0{,}6a + 0{,}3(1-a) = a\) donne \(a = \displaystyle\frac{3}{7}\), donc \(\pi = \left(\displaystyle\frac{3}{7}, \displaystyle\frac{4}{7}\right)\).
Limite. Comme \(\vert 0{,}3 \vert < 1\) et que 1 est simple, \(A^{n}\) converge vers la matrice dont les deux lignes valent \(\pi\) :
\(\lim_{n \to +\infty} A^{n} = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{3}{7} & \displaystyle\frac{4}{7} \\[4pt] \displaystyle\frac{3}{7} & \displaystyle\frac{4}{7} \end{pmatrix}\)Conclusion : la limite est indépendante de la distribution initiale. Pour une rédaction complète, écrire \(A^n = PD^nP^{-1}\) et faire tendre \(0{,}3^n \to 0\).
Exercice 6 — Les bistochastiques et le vecteur uniforme ★★★
Soit \(A\) bistochastique. Montrer que \(u = \left(\displaystyle\frac{1}{n}, \dots, \displaystyle\frac{1}{n}\right)\) vérifie \(uA = u\). Montrer ensuite que si \(A\) et \(B\) sont bistochastiques, alors \(AB\) l’est aussi.
Voir la correction de l’exercice 6
Vecteur uniforme. \(A\) bistochastique signifie \(Ae = e\) et \(e^{t}A = e^{t}\). En divisant la seconde égalité par \(n\) : \(\displaystyle\frac{1}{n}e^{t}A = \displaystyle\frac{1}{n}e^{t}\), c’est-à-dire \(uA = u\) avec \(u = \displaystyle\frac{1}{n}e^{t}\).
Stabilité par produit. \(AB\) est à coefficients positifs ou nuls (produit de positifs). Lignes : \((AB)e = A(Be) = Ae = e\). Colonnes : \(e^{t}(AB) = (e^{t}A)B = e^{t}B = e^{t}\).
Conclusion : \(AB\) vérifie les trois conditions, donc est bistochastique. L’ensemble des bistochastiques est stable par produit.
Exercice 7 — Caractérisation type concours ★★★★
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) à coefficients positifs ou nuls. Démontrer que \(A\) est stochastique si et seulement si \(1\) est valeur propre de \(A\) et \(e = (1,\dots,1)^{t}\) est un vecteur propre associé. En déduire que, pour une matrice stochastique irréductible et apériodique, la suite \(\pi^{(n)} = \pi^{(0)}A^{n}\) converge vers l’unique distribution invariante quelle que soit \(\pi^{(0)}\).
Voir la correction de l’exercice 7
Sens direct (⟹). Si \(A\) est stochastique, les lignes somment à 1, donc \(Ae = e\) : \(1\) est valeur propre, \(e\) vecteur propre.
Sens réciproque (⟸). Si \(Ae = e\), alors pour tout \(i\), \(\sum_j a_{ij} = (Ae)_i = e_i = 1\). Avec la positivité supposée des coefficients, \(A\) est stochastique.
Convergence. Sous hypothèse d’irréductibilité et d’apériodicité, le théorème de Perron-Frobenius assure que \(A^{n} \to L\), où \(L\) a toutes ses lignes égales à l’unique distribution invariante \(\pi\). Alors, pour toute distribution \(\pi^{(0)}\) (somme des composantes égale à 1) :
\(\pi^{(n)} = \pi^{(0)} A^{n} \longrightarrow \pi^{(0)} L\)Or \(\pi^{(0)} L\) a pour composante \(j\) la quantité \(\sum_i \pi^{(0)}_i \, \pi_j = \pi_j \sum_i \pi^{(0)}_i = \pi_j\). Donc \(\pi^{(0)} L = \pi\).
Conclusion : \(\pi^{(n)} \to \pi\) indépendamment de \(\pi^{(0)}\) : le système « oublie » son état initial. C’est le fondement de l’algorithme PageRank.
VIII. Erreurs fréquentes et rédaction concours
Les sujets de maths appliquées sanctionnent moins les erreurs de calcul que les imprécisions de raisonnement. Voici les pièges les plus coûteux et ce que le correcteur attend précisément.
❌ Copie fautive : « \(A\) est stochastique donc diagonalisable, et \(A^n \to L\). »
Diagnostic : une matrice stochastique n’est pas toujours diagonalisable et ses puissances ne convergent pas automatiquement. Pour une chaîne finie irréductible, l’apériodicité garantit la convergence ; la matrice d’échange montre ce qui peut se passer sans cette hypothèse.
✅ Correction : « \(A\) admet 1 pour valeur propre. Si \(A\) est diagonalisable avec 1 valeur propre simple et toutes les autres de module strictement inférieur à 1, alors \(A^n\) converge. »
Ce que le correcteur attend — réflexes gagnants
- Annoncer la convention (lignes) en début de problème, surtout si le sujet mélange \(A\) et \(A^t\).
- Pour les sommes de lignes, utiliser \(Ae = e\) plutôt que des sommes indicées.
- Pour la distribution invariante, bien distinguer vecteur propre à gauche (\(\pi A = \pi\)) et à droite (\(Ae = e\)).
- Ne jamais oublier la contrainte \(\sum \pi_i = 1\) : sans elle, le système \(\pi A = \pi\) a une infinité de solutions.
- Justifier \(\vert x_i \vert > 0\) avant de diviser dans la preuve du rayon spectral.
Ces réflexes acquis, voici les tableaux et questions qui reviennent le plus souvent.
IX. Tableau récapitulatif des propriétés
| Propriété | Énoncé | Hypothèse |
|---|---|---|
| Vecteur propre à droite | \(Ae = e\) | toute matrice stochastique |
| Valeur propre 1 | \(1 \in \mathrm{Sp}(A)\) | toute matrice stochastique |
| Rayon spectral | \(\rho(A) = 1\), toute \(\vert \lambda \vert \leq 1\) | toute matrice stochastique |
| Stabilité | \(AB\) et \(A^n\) stochastiques | produit de stochastiques |
| 1 valeur propre simple | unicité de la distribution invariante | irréductible |
| Convergence de \(A^n\) | lignes \(\to \pi\) | irréductible + apériodique |
| Distribution uniforme invariante | \(uA = u\) | bistochastique |
X. Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une matrice stochastique ?
C’est une matrice carrée à coefficients positifs ou nuls dont la somme de chaque ligne vaut 1 (convention lignes). Elle encode les probabilités de transition d’une chaîne de Markov : le coefficient \(a_{ij}\) est la probabilité de passer de l’état \(i\) à l’état \(j\). Elle admet toujours 1 pour valeur propre.
Que signifie le terme stochastique ?
« Stochastique » vient du grec stokhastikos (« qui vise, qui conjecture ») et signifie « aléatoire », « soumis au hasard ». Une matrice stochastique décrit donc un processus aléatoire ; le calcul stochastique, lui, désigne tout un domaine mathématique (mouvement brownien, intégrale d’Itô) qui dépasse largement le cadre des matrices — ne pas confondre les deux.
Quelle est la différence entre matrice stochastique et matrice de transition ?
Il n’y en a aucune au fond : « matrice de transition » est le nom qu’on donne à une matrice stochastique dans le contexte d’une chaîne de Markov. « Stochastique » insiste sur la propriété algébrique (lignes de somme 1), « transition » sur l’interprétation probabiliste.
Une matrice stochastique est-elle inversible ?
Pas nécessairement. La matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) est stochastique mais non inversible (ses lignes ne sont pas libres). En revanche, toutes ses valeurs propres ont un module inférieur ou égal à 1, et 1 en fait toujours partie.
Une matrice stochastique est-elle toujours diagonalisable ?
Non. La diagonalisabilité n’est pas garantie : il faut l’étudier au cas par cas via le polynôme caractéristique. Quand elle a lieu avec 1 pour valeur propre simple et les autres de module strictement inférieur à 1, elle permet de calculer facilement \(\lim A^n\). Pour les exercices de réduction, c’est le cas le plus fréquent.
Quel est le rapport avec l’inégalité de Markov ?
Aucun rapport direct, malgré le nom commun. L’inégalité de Markov est un résultat de probabilités qui majore \(P(X \geq a)\) pour une variable aléatoire positive. Les chaînes et matrices de Markov sont une autre contribution du même mathématicien, Andreï Markov. Même nom, théories distinctes.
XI. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la matrice stochastique, son spectre et son comportement asymptotique. Pour consolider et élargir :
- Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice : cours, propriétés et exercices corrigés
- Réussir les maths expertes en terminale et viser la prépa
- 24 Exercices Corrigés sur les Matrices : Maths Expertes, Prépa & Concours (PDF)
- Suite Arithmético-Géométrique (Terminale) : Formule
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