Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique. Découvrir le professeur
Comment majorer la probabilité qu’une variable aléatoire prenne une grande valeur, quand on ne connaît que sa moyenne ? C’est exactement ce que fait l’inégalité de Markov : à partir de la seule espérance, elle plafonne le risque d’un « débordement ». C’est aussi la première pierre d’une chaîne d’outils — Markov, puis Bienaymé-Tchebychev, puis la loi des grands nombres — qui explique pourquoi un sondage sur un échantillon renseigne sur toute une population. Dans cet article, tu vas comprendre l’énoncé, savoir le démontrer proprement, et surtout éviter le piège n°1 : l’appliquer à une variable qui peut être négative.
La réponse en bref. L’inégalité de Markov affirme que pour une variable aléatoire \(X\) positive d’espérance \(E(X)\), et pour tout réel \(a\) > \(0\), on a \(P(X \geq a) \leq \displaystyle\frac{E(X)}{a}\). Elle borne le risque d’une grande valeur à partir de la seule connaissance de la moyenne.
I. Énoncé et décodage de la formule
L’inégalité de Markov donne une majoration universelle : quelle que soit la loi de la variable aléatoire positive \(X\), la probabilité de dépasser un seuil \(a\) ne peut pas excéder \(E(X)/a\). Elle s’inscrit dans le chapitre « Concentration, loi des grands nombres » de la spécialité mathématiques de Terminale.
A. Énoncé formel
Inégalité de Markov
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs positives ou nulles, d’espérance \(E(X)\). Alors, pour tout réel \(a\) > \(0\) :
\(P(X \geq a) \leq \displaystyle\frac{E(X)}{a}\)
On rencontre souvent une forme équivalente très utile en pratique, obtenue en posant \(a = k\,E(X)\) avec \(k\) > \(0\) :
\(P\big(X \geq k\,E(X)\big) \leq \displaystyle\frac{1}{k}\)Autrement dit : la probabilité qu’une variable positive dépasse \(k\) fois sa moyenne est au plus \(1/k\). Par exemple, une variable positive dépasse rarement 5 fois sa moyenne : au plus une fois sur cinq.
B. Ce que chaque terme signifie
Décodons la formule terme à terme, car c’est là que la plupart des erreurs se glissent.
- \(X\) : la variable aléatoire, obligatoirement à valeurs positives (par exemple un temps d’attente, un nombre d’objets, une durée, une somme d’argent).
- \(a\) : le seuil qu’on cherche à dépasser. C’est un réel strictement positif fixé.
- \(P(X \geq a)\) : la probabilité de l’événement « X atteint ou dépasse le seuil ». C’est la quantité qu’on veut contrôler.
- \(E(X)\) : l’espérance, la valeur moyenne de \(X\). C’est la seule information sur la loi dont l’inégalité a besoin.
L’idée intuitive : si la moyenne \(E(X)\) est petite, alors \(X\) ne peut pas « souvent » prendre de grandes valeurs, sinon la moyenne serait tirée vers le haut. Markov quantifie exactement ce bon sens.
C. Conditions d’application
Deux conditions sont non négociables : \(X \geq 0\) et \(a\) > \(0\). La positivité de \(X\) est le cœur de la démonstration ; sans elle, l’inégalité est tout simplement fausse.
Erreur classique n°1 : appliquer Markov à une variable qui peut être négative. Si \(X\) prend des valeurs négatives, \(E(X)/a\) peut devenir négatif alors qu’une probabilité est toujours positive : l’inégalité perd tout sens. Avant d’écrire Markov, vérifie toujours que \(X \geq 0\). Pour une variable quelconque, on applique Markov à \(|X|\) ou à \(X^2\), jamais à \(X\) directement.
II. Démonstration pas à pas
La démonstration de Markov tient en trois lignes une fois qu’on connaît l’astuce : encadrer la variable par une fonction indicatrice, puis passer à l’espérance. C’est une preuve exigible en Terminale et un grand classique de colle en prépa.
A. La démonstration ligne à ligne
Démonstration au programme — L’idée : construire une variable auxiliaire simple qui minore \(X\), puis exploiter la croissance de l’espérance.
Étape 1 — Introduire l’indicatrice. On note \(\mathbf{1}_{\{X \geq a\}}\) la variable qui vaut \(1\) si l’événement \(\{X \geq a\}\) est réalisé, et \(0\) sinon. Son espérance est exactement la probabilité qu’on cherche :
\(E\big(\mathbf{1}_{\{X \geq a\}}\big) = P(X \geq a)\)Étape 2 — L’inégalité clé. Comparons \(X\) et \(a\,\mathbf{1}_{\{X \geq a\}}\) cas par cas :
- Si \(X \geq a\) : l’indicatrice vaut \(1\), donc \(a\,\mathbf{1}_{\{X \geq a\}} = a\), et comme \(X \geq a\), on a bien \(X \geq a\,\mathbf{1}_{\{X \geq a\}}\).
- Si \(X\) < \(a\) : l’indicatrice vaut \(0\), donc \(a\,\mathbf{1}_{\{X \geq a\}} = 0\), et comme \(X \geq 0\) (c’est ici qu’on utilise la positivité !), on a encore \(X \geq a\,\mathbf{1}_{\{X \geq a\}}\).
Dans les deux cas : \(X \geq a\,\mathbf{1}_{\{X \geq a\}}\).
Étape 3 — Passer à l’espérance. L’espérance conserve les inégalités (croissance de l’espérance) :
\(E(X) \geq E\big(a\,\mathbf{1}_{\{X \geq a\}}\big) = a\,E\big(\mathbf{1}_{\{X \geq a\}}\big) = a\,P(X \geq a)\)Conclusion. En divisant par \(a\) > \(0\) (qui ne change pas le sens de l’inégalité) :
\(P(X \geq a) \leq \displaystyle\frac{E(X)}{a}\)La démonstration montre exactement où sert la positivité : dans le deuxième cas de l’étape 2. C’est la ligne que la plupart des fiches sautent, et c’est pourtant le cœur du raisonnement.
La fiche cours-méthode « Inégalité de Markov » en 1 page
Énoncé, démonstration en 3 étapes, conditions et pièges : tout l’essentiel condensé, prêt à imprimer pour tes révisions.
📄 Télécharger la fiche PDFLe mémo parfait pour ne plus jamais oublier l’hypothèse de positivité.
B. Version rigoureuse et généralisation (prépa) 🔴
En prépa, on distingue proprement le cas discret et le cas continu, et on généralise à un moment d’ordre quelconque.
Cas discret. Si \(X\) prend les valeurs \(x_i \geq 0\) avec probabilités \(p_i\), alors
\(E(X) = \displaystyle\sum_i x_i\,p_i \geq \sum_{i \,:\, x_i \geq a} x_i\,p_i \geq \sum_{i \,:\, x_i \geq a} a\,p_i = a\,P(X \geq a)\)
Cas continu. Si \(X\) admet une densité \(f\) nulle sur \(]-\infty ; 0[\), alors
\(E(X) = \displaystyle\int_0^{+\infty} t\,f(t)\,dt \geq \int_a^{+\infty} t\,f(t)\,dt \geq a\int_a^{+\infty} f(t)\,dt = a\,P(X \geq a)\)
Généralisation (inégalité de Markov d’ordre r). Soit \(Y\) une variable aléatoire quelconque et \(r\) > \(0\). En appliquant l’inégalité précédente à la variable positive \(X = |Y|^r\) et au seuil \(a^r\) :
\(P\big(|Y| \geq a\big) = P\big(|Y|^r \geq a^r\big) \leq \displaystyle\frac{E\big(|Y|^r\big)}{a^r}\)Le cas \(r = 2\) appliqué à \(Y = X- E(X)\) donne directement l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : c’est le pont vers la suite du chapitre, qu’on détaille dans la section VI et sur la page dédiée à l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
III. Ce que le résultat dit vraiment
Markov est une inégalité très générale, donc mécaniquement très grossière : elle ne connaît rien de la loi de \(X\) à part sa moyenne. Comprendre cette faiblesse, c’est comprendre pourquoi Bienaymé-Tchebychev existe.
A. Interprétation
Comment lire l’inégalité. Markov répond à la question : « avec pour seule information la moyenne, quelle est la pire probabilité de dépassement possible ? » La réponse est une borne supérieure. La vraie probabilité est presque toujours bien plus petite — car dans la réalité, la loi impose des contraintes (variance faible, forme de la distribution) que Markov ignore.
B. Borne théorique contre probabilité réelle
Prenons un exemple chiffré, angle que la plupart des concurrents oublient : comparons la borne de Markov et la vraie probabilité, pour un lancer de dé équilibré. On note \(X\) le résultat (valeurs de \(1\) à \(6\), toutes positives), avec \(E(X) = 3{,}5\).
| Seuil \(a\) | Borne de Markov \(E(X)/a\) | Probabilité réelle \(P(X \geq a)\) |
|---|---|---|
| \(a = 4\) | \(3{,}5 / 4 \approx 0{,}875\) | \(3/6 = 0{,}5\) |
| \(a = 5\) | \(3{,}5 / 5 = 0{,}70\) | \(2/6 \approx 0{,}333\) |
| \(a = 6\) | \(3{,}5 / 6 \approx 0{,}583\) | \(1/6 \approx 0{,}167\) |
La borne majore bien la vraie valeur à chaque ligne (c’est ce que garantit l’inégalité), mais elle est presque deux à trois fois trop grande. Markov ne ment jamais, mais il est prudent à l’excès : il donne le « pire cas » compatible avec la seule moyenne.
IV. Ta fiche cours-méthode à imprimer
Avant d’aller plus loin, garde l’essentiel sous la main : énoncé, démonstration en 3 étapes, conditions et pièges, tout condensé sur une page recto-verso.
📄 L’essentiel du cours en 1 page
V. Double lecture : au lycée, en prépa
La même inégalité ne se raconte pas de la même façon selon ton niveau. Voici ce qui est attendu de toi dans chaque cas.
🟢 Au lycée (Terminale)
Ce qui est exigible : connaître l’énoncé \(P(X \geq a) \leq E(X)/a\) pour \(X\) positive, savoir refaire la démonstration par l’indicatrice, et l’appliquer sur un exemple numérique simple. La formulation attendue dans une copie précise toujours « \(X\) variable aléatoire à valeurs positives » et « pour tout \(a\) > \(0\) ». Markov sert surtout de tremplin vers l’inégalité de concentration et la loi des grands nombres.
🔴 En prépa (CPGE)
On distingue cas discret et cas continu, on démontre la généralisation à l’ordre \(r\) : \(P(|Y| \geq a) \leq E(|Y|^r)/a^r\), et on l’utilise comme brique de base pour Bienaymé-Tchebychev, la loi faible des grands nombres et les inégalités de concentration plus fines. Le vocabulaire change : on parle de « moment d’ordre \(r\) » et de « convergence en probabilité ».
VI. Applications concrètes
À quoi sert concrètement une majoration aussi grossière ? À garantir des bornes « quoi qu’il arrive », sans hypothèse sur la loi. Un serveur informatique dont le temps de réponse moyen est de \(0{,}2\) seconde : Markov garantit que la proportion de requêtes dépassant \(2\) secondes est au plus \(0{,}2/2 = 10\%\), quelle que soit la distribution des temps. C’est une garantie de service inconditionnelle.
A. Simuler en Python 🟡
Vérifions expérimentalement à quel point Markov surestime la réalité, sur la somme de deux dés (variable positive, \(E(X) = 7\)).
import random
import statistics
# On simule 100 000 sommes de deux dés (variable positive)
n = 100000
tirages = [random.randint(1, 6) + random.randint(1, 6) for _ in range(n)]
esperance = statistics.mean(tirages) # ≈ 7.0
a = 10
proba_reelle = sum(1 for x in tirages if x >= a) / n
print("E(X) ≈", round(esperance, 3)) # ≈ 7.0
print("Borne de Markov E(X)/a =", round(esperance / a, 3)) # ≈ 0.70
print("P(X ≥ 10) réelle ≈", round(proba_reelle, 3)) # ≈ 0.167
La borne de Markov annonce au plus \(0{,}70\), alors que la vraie probabilité tourne autour de \(0{,}167\) : un facteur 4 d’écart. Markov reste vrai, mais c’est un garde-fou, pas une estimation précise.
VII. Markov ou Bienaymé-Tchebychev : laquelle utiliser ?
C’est la question qui piège le plus d’élèves : les deux inégalités se ressemblent, mais elles ne mesurent pas la même chose. Markov contrôle une grande valeur de la variable ; Bienaymé-Tchebychev contrôle l’écart à la moyenne.
| Critère | Inégalité de Markov | Inégalité de Bienaymé-Tchebychev |
|---|---|---|
| Ce qu’elle contrôle | Une grande valeur : \(P(X \geq a)\) | Un écart à la moyenne : \(P(|X- E(X)| \geq a)\) |
| Hypothèse sur \(X\) | \(X \geq 0\) | \(X\) de variance finie (signe quelconque) |
| Information utilisée | L’espérance \(E(X)\) | Espérance et variance \(V(X)\) |
| Borne obtenue | \(\displaystyle\frac{E(X)}{a}\) | \(\displaystyle\frac{V(X)}{a^2}\) |
| Précision | Grossière (une seule info) | Plus fine (décroît en \(a^2\)) |
En une phrase : Markov est le socle qui borne une grande valeur d’une variable positive ; Bienaymé-Tchebychev en découle et borne l’éloignement à la moyenne. Utilise Markov quand tu ne connais que la moyenne d’une variable positive, Bienaymé-Tchebychev dès que tu disposes de la variance.
À ne pas confondre — les chaînes de Markov. Le nom « Markov » désigne aussi un tout autre objet : les chaînes de Markov, qui décrivent des suites d’états où le futur ne dépend que du présent (marches aléatoires, modèles de langage, files d’attente). Ça n’a rien à voir avec l’inégalité présentée ici : même mathématicien, deux notions distinctes.
A. Les erreurs classiques
❌ Copie fautive : « On note \(X\) le gain d’un joueur, d’espérance \(E(X) = -2\). Par Markov, \(P(X \geq 10) \leq -2/10 = -0{,}2\). »
Diagnostic : \(X\) est un gain, il peut être négatif. Markov ne s’applique pas, et on aboutit à une « probabilité négative » absurde.
✅ Correction : appliquer Markov uniquement à une variable positive, par exemple \(|X|\) ou \(X^2\).
❌ Copie fautive : « Markov donne \(P(X \geq a) \leq E(X)/a\), donc \(P(X \geq a) = E(X)/a\). »
Diagnostic : confusion entre une majoration et une égalité. Markov donne un plafond, jamais la valeur exacte.
✅ Correction : conserver le symbole \(\leq\) ; la vraie probabilité est généralement bien plus petite (cf. la comparaison chiffrée).
❌ Copie fautive : « Pour \(a = 0\), Markov donne \(P(X \geq 0) \leq E(X)/0\). »
Diagnostic : division par zéro. L’hypothèse \(a\) > \(0\) est indispensable.
✅ Correction : ne jamais prendre \(a = 0\) ; le seuil doit être strictement positif.
VIII. Applications corrigées
Passons à la pratique. Pour un entraînement complet type bac (concentration et loi des grands nombres), retrouve la page dédiée : 20 exercices corrigés sur l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi des grands nombres.
Exercice 1 — Application directe ★
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs positives d’espérance \(E(X) = 3\). Majore \(P(X \geq 12)\).
Voir la correction de l’exercice 1
La variable \(X\) est positive et \(a = 12\) > \(0\) : les conditions de Markov sont réunies.
\(P(X \geq 12) \leq \displaystyle\frac{E(X)}{12} = \displaystyle\frac{3}{12} = \displaystyle\frac{1}{4}\)La probabilité que \(X\) dépasse \(12\) est au plus \(0{,}25\). On ne peut rien dire de plus précis sans connaître la loi de \(X\).
Exercice 2 — Raisonner sur le seuil ★★
Le temps d’attente \(T\) (en minutes) à un guichet est une variable positive d’espérance \(E(T) = 4\). Un client affirme : « il y a moins d’une chance sur cinq d’attendre plus de 20 minutes ». A-t-il raison, sans connaître la loi de \(T\) ?
Voir la correction de l’exercice 2
On applique Markov avec \(a = 20\) :
\(P(T \geq 20) \leq \displaystyle\frac{E(T)}{20} = \displaystyle\frac{4}{20} = \displaystyle\frac{1}{5} = 0{,}2\)Markov garantit que \(P(T \geq 20) \leq 0{,}2\). Le client affirme « moins d’une chance sur cinq », donc une inégalité stricte. Or Markov ne donne qu’une inégalité large : la borne \(0{,}2\) pourrait théoriquement être atteinte.
Conclusion : on peut garantir « au plus une chance sur cinq », pas « moins d’une chance sur cinq ». Le client est un peu trop optimiste dans sa formulation — même si en pratique la vraie probabilité est presque toujours strictement inférieure.
Exercice 3 — De Markov à Bienaymé-Tchebychev ★★★
Soit \(Y\) une variable aléatoire de variance \(V(Y)\) finie et d’espérance \(\mu = E(Y)\). En appliquant l’inégalité de Markov à une variable bien choisie, démontre l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout \(a\) > \(0\), \(P(|Y- \mu| \geq a) \leq \displaystyle\frac{V(Y)}{a^2}\).
Voir la correction de l’exercice 3
Idée : transformer l’écart à la moyenne en une variable positive, pour pouvoir appliquer Markov.
Posons \(X = (Y- \mu)^2\). Cette variable est bien positive (c’est un carré), et son espérance est par définition la variance :
\(E(X) = E\big((Y- \mu)^2\big) = V(Y)\)Remarquons que l’événement \(\{|Y- \mu| \geq a\}\) équivaut à \(\{(Y-\mu)^2 \geq a^2\}\), c’est-à-dire \(\{X \geq a^2\}\). On applique Markov à \(X\) avec le seuil \(a^2\) > \(0\) :
\(P(X \geq a^2) \leq \displaystyle\frac{E(X)}{a^2}\)En réécrivant avec \(Y\) :
\(P\big(|Y- \mu| \geq a\big) \leq \displaystyle\frac{V(Y)}{a^2}\)Conclusion : Bienaymé-Tchebychev n’est rien d’autre que Markov appliqué au carré de l’écart à la moyenne. C’est ce que le correcteur attend : justifier la positivité de \(X\) et l’équivalence des deux événements.
Exercice 4 — Optimiser avec le moment d’ordre 2 (prépa) ★★★
Soit \(X\) une variable positive telle que \(E(X) = 2\) et \(E(X^2) = 6\). Compare la majoration de \(P(X \geq 6)\) obtenue par Markov d’ordre 1 et par Markov d’ordre 2. Laquelle est la meilleure ?
Voir la correction de l’exercice 4
Markov d’ordre 1 (directement sur \(X\)) :
\(P(X \geq 6) \leq \displaystyle\frac{E(X)}{6} = \displaystyle\frac{2}{6} = \displaystyle\frac{1}{3} \approx 0{,}333\)Markov d’ordre 2 : comme \(X \geq 0\), l’événement \(\{X \geq 6\}\) équivaut à \(\{X^2 \geq 36\}\). On applique Markov à la variable positive \(X^2\) au seuil \(36\) :
\(P(X \geq 6) = P(X^2 \geq 36) \leq \displaystyle\frac{E(X^2)}{36} = \displaystyle\frac{6}{36} = \displaystyle\frac{1}{6} \approx 0{,}167\)Conclusion : la borne d’ordre 2 (\(1/6\)) est deux fois plus fine que celle d’ordre 1 (\(1/3\)). Utiliser un moment d’ordre supérieur, quand on le connaît, resserre la majoration : c’est exactement le principe qui mène des inégalités de Markov aux inégalités de concentration exponentielles (Chernoff, Hoeffding) en spé.
IX. Questions fréquentes
C’est quoi l’inégalité de Markov, simplement ?
C’est une majoration qui borne la probabilité qu’une variable aléatoire positive prenne une grande valeur, à partir de sa seule moyenne. Concrètement : pour \(X \geq 0\) et \(a\) > \(0\), on a \(P(X \geq a) \leq E(X)/a\). Plus la moyenne est petite, moins les grandes valeurs sont probables.
Pourquoi la variable doit-elle être positive ?
Parce que la démonstration utilise la positivité à une étape précise : quand \(X\) < \(a\), on a besoin de \(X \geq 0\) pour garder \(X \geq a\,\mathbf{1}_{\{X \geq a\}}\). Sans cette hypothèse, \(E(X)/a\) peut devenir négatif, ce qui est absurde pour une probabilité. Pour une variable de signe quelconque, on applique Markov à \(|X|\) ou à \(X^2\).
Quelle est la différence entre l’inégalité de Markov et celle de Bienaymé-Tchebychev ?
Markov borne la probabilité d’une grande valeur \(P(X \geq a)\) et n’utilise que l’espérance, avec \(X\) positive. Bienaymé-Tchebychev borne un écart à la moyenne \(P(|X- E(X)| \geq a)\), utilise aussi la variance, et s’applique à une variable de signe quelconque. Bienaymé-Tchebychev se démontre d’ailleurs à partir de Markov, appliqué à \((X- E(X))^2\).
L’inégalité de Markov est-elle au programme du bac ?
Oui. Elle figure dans le chapitre « Concentration, loi des grands nombres » de la spécialité mathématiques de Terminale (voie générale). L’exclusion de l’épreuve écrite ne concernait que la session 2022, dans le cadre des aménagements sanitaires : depuis, tout le chapitre est évaluable et le thème de la concentration tombe régulièrement aux sujets.
Pourquoi la borne de Markov est-elle si loin de la vraie probabilité ?
Parce qu’elle n’utilise qu’une seule information : la moyenne. Elle ignore complètement la forme de la loi et la variance. C’est le prix de sa généralité : Markov donne le « pire cas » compatible avec la moyenne, donc une borne toujours valable mais souvent très prudente. Pour resserrer, on passe à Bienaymé-Tchebychev (avec la variance) ou aux inégalités de concentration.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’inégalité de Markov, sa démonstration et sa place dans la chaîne des inégalités de concentration. Pour continuer :
- Loi Normale : Cours Complet, Propriétés et Exercices Corrigés
- Écart-type (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- 20 exercices corrigés : inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres (Terminale)
- 18 Exercices de Statistiques en Seconde Corrigés (PDF)
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour la prépa scientifique.
