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Deux classes obtiennent la même moyenne de 12 à un contrôle. Pourtant, dans l’une les notes sont toutes serrées autour de 12, dans l’autre elles vont de 3 à 20. La moyenne ne raconte que la moitié de l’histoire : elle ne dit rien sur la dispersion des notes. Les quartiles, eux, découpent la série en quatre paquets égaux et révèlent comment les valeurs se répartissent. C’est l’outil central du programme de Seconde pour comparer deux séries, et la clé pour construire un diagramme en boîte.
Définition — Les quartiles
Les quartiles d’une série statistique ordonnée sont trois valeurs \(Q_1\), \(Q_2\) et \(Q_3\) qui partagent la série en quatre parties de même effectif. Le premier quartile \(Q_1\) est la plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales ; le troisième quartile \(Q_3\) est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % le soient. Le deuxième quartile \(Q_2\) est la médiane de la série.
Dans cet article, tu vas comprendre ce que représentent vraiment \(Q_1\), \(Q_2\) et \(Q_3\), apprendre à les calculer pas à pas (sur une petite série comme sur un tableau d’effectifs), mesurer la dispersion avec l’écart interquartile, et éviter les erreurs classiques qui coûtent des points au contrôle.
I. Qu’est-ce qu’un quartile ?
Le mot « quartile » vient de « quart ». L’idée est simple : une fois les données rangées de la plus petite à la plus grande, on cherche les trois valeurs qui coupent la série en quatre groupes de même taille. Chaque groupe contient donc environ un quart des données.
A. Ce que représentent Q1, Q2 et Q3
Imagine une file de 100 élèves rangés par taille. Le premier quartile \(Q_1\) est la taille de l’élève situé au niveau du premier quart : 25 élèves sont plus petits ou de même taille que lui. Le troisième quartile \(Q_3\) correspond aux trois quarts : 75 élèves sont plus petits ou de même taille. Entre les deux, \(Q_2\) est exactement au milieu : c’est la médiane, qui coupe la série en deux moitiés.
À retenir : le deuxième quartile \(Q_2\) est toujours égal à la médiane. On l’écrit rarement « \(Q_2\) » : dans la pratique, on parle simplement de médiane. Retiens donc surtout \(Q_1\) (le quart inférieur) et \(Q_3\) (le quart supérieur).
B. À quoi servent les quartiles
Les quartiles servent à décrire la dispersion d’une série, c’est-à-dire l’étalement des données. Contrairement à la moyenne, ils ne sont presque pas influencés par les valeurs extrêmes. Reprends nos deux classes de moyenne 12 : si dans la première \(Q_1 = 11\) et \(Q_3 = 13\), et dans la seconde \(Q_1 = 6\) et \(Q_3 = 17\), tu vois immédiatement que les notes de la seconde classe sont beaucoup plus dispersées. La moyenne ne le montrait pas.
C’est aussi pour cette raison que les quartiles sont partout dans la vie réelle : salaires (le premier quartile des salaires), résultats à un examen, prix de l’immobilier, ou encore poids et taille des enfants sur les courbes de croissance.
II. Quartiles, déciles et quantiles : ne pas confondre
Avant de calculer, clarifions un point de vocabulaire qui piège beaucoup d’élèves. Les quartiles ne sont qu’un cas particulier d’une famille plus large.
| Terme | Nombre de parts | Valeurs de partage | Niveau |
|---|---|---|---|
| Médiane | 2 parts égales | 1 valeur | 4ème → 3ème |
| Quartiles | 4 parts égales | 3 valeurs (\(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\)) | Seconde |
| Déciles | 10 parts égales | 9 valeurs (\(D_1\) à \(D_9\)) | Post-bac / statistique publique |
| Quantiles | terme général | toute proportion | Supérieur |
Autrement dit : la médiane partage en 2, les quartiles en 4, les déciles en 10. Le mot quantile est le terme générique qui les englobe tous. En Seconde, tu ne travailles que la médiane et les quartiles ; les déciles apparaissent plutôt dans les études économiques (déciles de revenus) et dans le supérieur.
Retiens aussi le lien direct : \(Q_2\) n’est rien d’autre que la médiane de la série. Si tu maîtrises déjà le calcul de la médiane, tu as fait la moitié du chemin.
La fiche-méthode complète sur les quartiles, en 1 page
Définitions, méthode de calcul en 3 étapes, écart interquartile et pièges à éviter : tout le cours résumé pour réviser vite avant le contrôle.
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III. Comment calculer Q1, Q2 et Q3
Voici la méthode officielle du programme de Seconde. Elle tient en trois étapes et fonctionne dans tous les cas.
Méthode en 3 étapes
- Ranger les \(N\) valeurs dans l’ordre croissant.
- Calculer le rang de \(Q_1\) : on calcule \(\displaystyle\frac{N}{4}\). Si le résultat est un entier, le rang de \(Q_1\) est ce nombre. Sinon, on arrondit à l’entier supérieur.
- Calculer le rang de \(Q_3\) : on calcule \(\displaystyle\frac{3N}{4}\). Même règle : entier → on garde, sinon → entier supérieur. La valeur à ce rang est \(Q_3\).
Le deuxième quartile \(Q_2\) se calcule comme la médiane.
A. Exemple sur une série de notes
Exemple : voici les 11 notes d’un élève au trimestre, déjà rangées :
\(5 \;;\; 8 \;;\; 9 \;;\; 10 \;;\; 11 \;;\; 12 \;;\; 12 \;;\; 14 \;;\; 15 \;;\; 17 \;;\; 19\)
On a \(N = 11\).
Premier quartile : \(\displaystyle\frac{N}{4} = \displaystyle\frac{11}{4} = 2{,}75\). Ce n’est pas un entier, on arrondit à l’entier supérieur : rang 3. La 3ᵉ note est \(9\), donc \(Q_1 = 9\).
Médiane : avec 11 valeurs, la médiane est la 6ᵉ note, soit \(Q_2 = 12\).
Troisième quartile : \(\displaystyle\frac{3N}{4} = \displaystyle\frac{33}{4} = 8{,}25\). On arrondit au supérieur : rang 9. La 9ᵉ note est \(15\), donc \(Q_3 = 15\).
Lecture : un quart des notes sont inférieures ou égales à 9, la moitié à 12, et trois quarts à 15.
B. Exemple avec un tableau d’effectifs
Au contrôle, les données sont souvent regroupées dans un tableau d’effectifs. Le principe ne change pas : on utilise l’effectif total \(N\) et la colonne des effectifs cumulés croissants pour repérer le bon rang.
Exemple : on interroge 40 familles sur leur nombre d’enfants.
| Nombre d’enfants | Effectif | Effectif cumulé croissant |
|---|---|---|
| 0 | 6 | 6 |
| 1 | 10 | 16 |
| 2 | 14 | 30 |
| 3 | 7 | 37 |
| 4 | 3 | 40 |
Ici \(N = 40\).
\(Q_1\) : \(\displaystyle\frac{40}{4} = 10\) (entier), donc rang 10. La 10ᵉ valeur : les rangs 7 à 16 correspondent à « 1 enfant » (effectif cumulé de 6 à 16). Donc \(Q_1 = 1\).
\(Q_3\) : \(\displaystyle\frac{3 \times 40}{4} = 30\) (entier), donc rang 30. Les rangs 17 à 30 correspondent à « 2 enfants ». Donc \(Q_3 = 2\).
Astuce de lecture du tableau : pour trouver la valeur de rang \(k\), on cherche la première ligne dont l’effectif cumulé croissant est supérieur ou égal à \(k\).
IV. L’écart interquartile : mesurer la dispersion
Une fois \(Q_1\) et \(Q_3\) connus, on peut mesurer l’étalement de la « moitié centrale » de la série grâce à l’écart interquartile.
Définition — Écart interquartile
L’écart interquartile d’une série est le nombre :
\(\displaystyle \mathrm{EI} = Q_3 – Q_1\)
Il représente l’étendue de l’intervalle qui contient les 50 % de valeurs situées au centre de la série.
Dans l’exemple des notes, \(\mathrm{EI} = Q_3 – Q_1 = 15 – 9 = 6\). Cela signifie que la moitié centrale des notes est contenue dans un intervalle de longueur 6 points.
Pourquoi préférer l’écart interquartile à l’étendue (max − min) ? Parce qu’il ignore les valeurs extrêmes. Une seule note catastrophique ou une seule note parfaite peut gonfler énormément l’étendue, alors que l’écart interquartile reste stable. C’est un indicateur robuste.
Comparer deux séries : plus l’écart interquartile est petit, plus les valeurs sont regroupées (série régulière). Plus il est grand, plus elles sont dispersées. C’est l’argument à utiliser au contrôle quand on te demande de comparer deux classes ou deux séries de mesures.
L’écart interquartile n’est pas le seul indicateur de dispersion du programme de Seconde. Il travaille en binôme avec l’écart-type, l’autre grand indicateur qui, lui, mesure la dispersion autour de la moyenne.
V. Représenter les quartiles : le diagramme en boîte
Les quartiles prennent tout leur sens quand on les dessine. La représentation adaptée est le diagramme en boîte (aussi appelé « boîte à moustaches »). Il résume une série avec cinq nombres : le minimum, \(Q_1\), la médiane, \(Q_3\) et le maximum.
Sur ce diagramme, la boîte va de \(Q_1\) à \(Q_3\) : sa longueur est exactement l’écart interquartile. Le trait à l’intérieur marque la médiane. Les moustaches rejoignent le minimum et le maximum. En un coup d’œil, on voit où se concentrent les données et si la série est symétrique ou non.
Nous ne détaillons pas ici toute la construction pas à pas : elle fait l’objet d’une page dédiée. Pour apprendre à tracer proprement une boîte et lire toutes ses informations, consulte le cours sur le diagramme en boîte.
VI. 🔵 Pour aller plus loin : pourquoi la calculatrice ne donne pas le même Q1
Voici un point que presque aucun manuel n’explique, et qui déroute chaque année des élèves : ta calculatrice, ton professeur et un tableur peuvent donner trois valeurs différentes pour \(Q_1\) sur la même série. Personne ne s’est trompé.
La raison : il n’existe pas une seule définition du quartile, mais plusieurs conventions de calcul.
- La méthode du programme français (celle de ce cours) : on prend directement une valeur de la série, via le rang \(N/4\) arrondi au supérieur. \(Q_1\) est toujours une valeur réellement présente dans les données.
- La méthode par interpolation : lorsque le rang « tombe entre deux valeurs », on calcule une moyenne pondérée entre elles. Le quartile obtenu peut alors être un nombre qui n’appartient pas à la série.
- Les méthodes des tableurs : le tableur propose deux fonctions distinctes,
QUARTILE.INCLUREetQUARTILE.EXCLURE, qui utilisent des interpolations différentes et donnent parfois des résultats distincts entre eux.
Ce qu’il faut faire au contrôle : applique toujours la méthode du programme (rang \(N/4\) arrondi au supérieur), celle qui donne une valeur de la série. Si ta calculatrice affiche autre chose, c’est qu’elle utilise une convention d’interpolation : c’est la méthode manuelle qui fait foi pour ta copie.
Cette pluralité n’est pas un défaut des mathématiques : elle rappelle qu’un indicateur statistique est un choix de description des données, pas une vérité unique. Un bon réflexe de statisticien.
VII. Exercices corrigés
Passons à la pratique. Cherche d’abord chaque réponse seul, puis déplie la correction. Les exercices sont classés par difficulté croissante.
Exercice 1 ★ — Série simple
On relève les tailles (en cm) de 9 plants de tomates : \(12 \;;\; 15 \;;\; 18 \;;\; 20 \;;\; 22 \;;\; 25 \;;\; 28 \;;\; 30 \;;\; 35\). Détermine \(Q_1\), la médiane et \(Q_3\).
Voir la correction de l’exercice 1
La série est déjà rangée, \(N = 9\).
\(Q_1\) : \(\displaystyle\frac{9}{4} = 2{,}25\) → rang 3. La 3ᵉ valeur est \(18\), donc \(Q_1 = 18\).
Médiane : 9 valeurs → la 5ᵉ, soit \(Q_2 = 22\).
\(Q_3\) : \(\displaystyle\frac{3 \times 9}{4} = 6{,}75\) → rang 7. La 7ᵉ valeur est \(28\), donc \(Q_3 = 28\).
Exercice 2 ★★ — Tableau d’effectifs
Une enseignante note le nombre de livres lus par ses 25 élèves pendant l’année.
| Nombre de livres | Effectif |
|---|---|
| 2 | 4 |
| 3 | 7 |
| 4 | 8 |
| 5 | 4 |
| 6 | 2 |
Calcule \(Q_1\), \(Q_3\) puis l’écart interquartile.
Voir la correction de l’exercice 2
On construit les effectifs cumulés croissants : 4 ; 11 ; 19 ; 23 ; 25. Donc \(N = 25\).
\(Q_1\) : \(\displaystyle\frac{25}{4} = 6{,}25\) → rang 7. Les rangs 5 à 11 correspondent à « 3 livres ». Donc \(Q_1 = 3\).
\(Q_3\) : \(\displaystyle\frac{3 \times 25}{4} = 18{,}75\) → rang 19. Les rangs 12 à 19 correspondent à « 4 livres ». Donc \(Q_3 = 4\).
Écart interquartile : \(\mathrm{EI} = 4 – 3 = 1\). La moitié centrale des élèves lit entre 3 et 4 livres : la série est très regroupée.
Exercice 3 ★★★ — Raisonnement et comparaison
Deux vendeurs, Alex et Sam, notent le montant (en €) de leurs 12 dernières ventes.
Alex : \(20 \;;\; 22 \;;\; 25 \;;\; 28 \;;\; 30 \;;\; 30 \;;\; 32 \;;\; 34 \;;\; 35 \;;\; 38 \;;\; 40 \;;\; 45\)
Sam : \(5 \;;\; 10 \;;\; 15 \;;\; 25 \;;\; 30 \;;\; 32 \;;\; 33 \;;\; 40 \;;\; 55 \;;\; 60 \;;\; 70 \;;\; 90\)
Calcule les quartiles de chaque série, puis dis lequel des deux vendeurs a des ventes les plus régulières. Justifie.
Voir la correction de l’exercice 3
Les deux séries ont \(N = 12\). Rangs : \(\displaystyle\frac{12}{4} = 3\) (rang 3 pour \(Q_1\)) et \(\displaystyle\frac{3 \times 12}{4} = 9\) (rang 9 pour \(Q_3\)).
Alex : \(Q_1 = 25\) (3ᵉ valeur) et \(Q_3 = 35\) (9ᵉ valeur). Écart interquartile : \(35 – 25 = 10\).
Sam : \(Q_1 = 15\) (3ᵉ valeur) et \(Q_3 = 55\) (9ᵉ valeur). Écart interquartile : \(55 – 15 = 40\).
Conclusion : l’écart interquartile d’Alex (10) est bien plus petit que celui de Sam (40). Les ventes d’Alex sont donc beaucoup plus régulières : la moitié centrale de ses montants est resserrée, alors que celle de Sam est très étalée. Remarque : les deux vendeurs peuvent avoir un montant total voisin, mais leur régularité est totalement différente — c’est précisément ce que les quartiles révèlent et que la moyenne cache.
VIII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les trois erreurs qui reviennent le plus souvent dans les copies.
Erreur n°1 — Oublier de ranger la série. Le calcul du rang n’a de sens que si les données sont ordonnées de la plus petite à la plus grande. Sur une série en désordre, tu obtiendras un \(Q_1\) faux. Range toujours avant de compter.
Erreur n°2 — Confondre le rang et la valeur. Quand \(\displaystyle\frac{N}{4} = 3\), cela veut dire « je cherche la valeur de rang 3 », pas « \(Q_1 = 3\) ». Beaucoup d’élèves écrivent le numéro de position à la place de la donnée. Repère bien la valeur qui se trouve à ce rang.
Erreur n°3 — Mal arrondir. On arrondit toujours à l’entier supérieur quand \(N/4\) n’est pas entier, jamais à l’entier le plus proche. Ainsi \(2{,}25\) donne le rang 3, et non 2. En revanche, si le résultat est déjà un entier, on le garde tel quel.
IX. Questions fréquentes
Comment calculer les quartiles Q1, Q2 et Q3 ?
On range d’abord la série par ordre croissant. Le rang de \(Q_1\) est \(N/4\) arrondi à l’entier supérieur (ou gardé tel quel s’il est entier). Le rang de \(Q_3\) est \(3N/4\) avec la même règle. \(Q_2\) est la médiane. La valeur située à chaque rang est le quartile cherché.
Que veut dire premier quartile ?
Le premier quartile \(Q_1\) est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales. Autrement dit, un quart des valeurs sont en dessous (ou égales) et trois quarts au-dessus.
Quelle est la différence entre la médiane et les quartiles ?
La médiane partage la série en 2 moitiés égales : c’est une seule valeur. Les quartiles partagent la série en 4 parts égales : ce sont trois valeurs \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\). Le point commun : \(Q_2\) est toujours égal à la médiane. Les quartiles sont donc un raffinement de la médiane.
Les quartiles sont-ils influencés par les valeurs extrêmes ?
Non, ou très peu. C’est leur grand avantage. Une seule valeur très grande ou très petite modifie fortement la moyenne et l’étendue, mais pas \(Q_1\) ni \(Q_3\), car ces quartiles dépendent uniquement de la position centrale des données. On dit qu’ils sont robustes.
Pourquoi ma calculatrice donne-t-elle un quartile différent du mien ?
Parce qu’il existe plusieurs conventions de calcul des quartiles. La calculatrice utilise souvent une interpolation, alors que le programme français prend une valeur réellement présente dans la série. Au contrôle, applique la méthode du cours (rang \(N/4\) arrondi au supérieur) : c’est elle qui fait foi.
C est quoi l écart interquartile ?
C’est la différence \(Q_3 – Q_1\). Il mesure l’étalement des 50 % de valeurs situées au centre de la série. Plus il est petit, plus les données sont regroupées ; plus il est grand, plus elles sont dispersées. C’est l’indicateur idéal pour comparer la régularité de deux séries.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le calcul des quartiles et de l’écart interquartile. Pour consolider tes bases en statistiques et faire le lien avec les autres notions du programme :
- Espérance (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- Taux de variation : définition, calcul et exemples simples
- Variable Aléatoire : Cours Complet du Lycée à la Prépa
- Fonction Affine et Linéaire (Seconde) : Cours et Méthodes
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