Sais-tu que l’année 2025 était une année spéciale en mathématiques ? En effet, \(45 \times 45 = 2025\) : 2025 est un carré parfait. Il faut remonter à 1936 (\(44 \times 44\)) pour trouver le précédent, et attendre 2116 (\(46 \times 46\)) pour le suivant ! Reconnaître les carrés parfaits, c’est une compétence qui te sert à calculer des racines carrées de tête et à simplifier tes calculs. Dans ce cours, tu vas comprendre ce qu’est un carré parfait, apprendre à les repérer et t’entraîner avec des exercices corrigés.
I. Qu’est-ce qu’un carré parfait ?
Un carré parfait est un nombre entier que l’on obtient en multipliant un nombre entier par lui-même. Par exemple, 49 est un carré parfait car \(7 \times 7 = 49\). Autrement dit, sa racine carrée est un nombre entier « rond », sans virgule.
Définition — Carré parfait
Un carré parfait est un nombre entier égal au carré d’un nombre entier. En clair : c’est un nombre de la forme \(n \times n\), où \(n\) est un entier.
Exemples : \(1 = 1\times 1\), \(4 = 2\times 2\), \(9 = 3\times 3\), \(16 = 4\times 4\)…
Le mot « carré » n’est pas là par hasard. Si tu ranges 16 billes, tu peux former un carré de 4 rangées de 4 billes. Avec 9 billes, tu formes un carré de 3 sur 3. Mais avec 10 billes, impossible de faire un carré parfait : il te manquerait des billes ou il t’en resterait. C’est exactement l’idée géométrique cachée derrière ces nombres.
Le carré parfait est donc le résultat direct de le carré d’un nombre : c’est ce que tu obtiens quand tu élèves un entier au carré.
II. La liste des carrés parfaits
Voici les carrés parfaits de 1 à 20. Ce sont ceux qu’il faut connaître par cœur pour aller vite en contrôle : ils te servent à calculer des racines carrées de tête.
| Nombre \(n\) | Carré \(n \times n\) | Nombre \(n\) | Carré \(n \times n\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Au collège, on te demande surtout de connaître les carrés parfaits jusqu’à \(144\) (soit \(12 \times 12\)), car ce sont les tables de multiplication « carrées ». Si tu veux la liste complète et les racines carrées associées, va voir le tableau des racines carrées.
La fiche mémo « Carrés parfaits » à imprimer
Toute la liste jusqu’à 144, l’astuce pour reconnaître un carré parfait et la méthode en 3 étapes, résumées sur une seule page.
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Comment retenir : apprends les carrés parfaits par blocs de cinq (1, 4, 9, 16, 25), puis (36, 49, 64, 81, 100), puis (121, 144). En les récitant chaque jour pendant une semaine, ils rentrent tout seuls.
III. Comment reconnaître un carré parfait ?
Comment savoir si un grand nombre, comme 324 ou 2025, est un carré parfait ? Tu ne connais pas forcément la liste par cœur aussi loin. Voici une méthode fiable en 3 étapes.
Méthode — Reconnaître un carré parfait sans calculatrice
- Regarde le dernier chiffre. Un carré parfait se termine toujours par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. S’il finit par 2, 3, 7 ou 8, ce n’est jamais un carré parfait.
- Encadre le nombre. Cherche entre quels deux carrés parfaits connus il se situe.
- Teste l’entier trouvé. Multiplie-le par lui-même : si tu retombes sur le nombre, c’est gagné !
Exemple : Le nombre 324 est-il un carré parfait ?
Il se termine par 4 : possible. On sait que \(17 \times 17 = 289\) et \(18 \times 18 = 324\). Donc oui : \(324\) est un carré parfait, et sa racine carrée est \(18\).
Une deuxième méthode, très puissante, utilise la décomposition en facteurs premiers : un nombre est un carré parfait quand tous les exposants de sa décomposition sont pairs. Par exemple \(36 = 2^2 \times 3^2\) : les deux exposants valent 2, donc 36 est bien un carré parfait. Cette astuce te servira aussi pour simplifier une racine carrée.
Un carré parfait est directement lié à la racine carrée : quand tu prends la racine carrée d’un carré parfait, tu obtiens un nombre entier. C’est pour cela que \(\sqrt{81} = 9\) tombe juste, alors que \(\sqrt{80}\) donne un nombre à virgule qui ne s’arrête jamais.
IV. Propriétés et cas particuliers
Quelques faits utiles à connaître sur les carrés parfaits, qui reviennent souvent en exercice.
- 0 et 1 sont des carrés parfaits : \(0 = 0\times 0\) et \(1 = 1\times 1\).
- Un carré parfait n’est jamais négatif : multiplier un nombre par lui-même donne toujours un résultat positif ou nul.
- Il existe aussi les cubes parfaits : ce sont les nombres de la forme \(n\times n\times n\), comme \(8 = 2^3\) ou \(27 = 3^3\). À ne pas confondre avec les carrés !
🟡 Pour aller un peu plus loin (3ème) : il existe une expression appelée trinôme carré parfait. Grâce aux identités remarquables, on peut écrire \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\). Le membre de droite est le carré d’une expression : c’est cette forme qui permet de factoriser une expression à la fin du collège.
V. Exercices corrigés
À toi de jouer ! Essaie de résoudre chaque exercice sur ton cahier avant de regarder la correction.
Exercice 1 — Repérer les carrés parfaits ★
Parmi ces nombres, lesquels sont des carrés parfaits ? 36 — 50 — 81 — 90 — 100.
Voir la correction de l’exercice 1
On teste chaque nombre : \(36 = 6\times 6\) ✓, \(81 = 9\times 9\) ✓, \(100 = 10\times 10\) ✓.
En revanche, 50 est entre \(49 = 7\times 7\) et \(64 = 8\times 8\) : ce n’est pas un carré parfait. Et 90 est entre \(81\) et \(100\) : non plus.
Les carrés parfaits sont donc 36, 81 et 100.
Exercice 2 — Racine carrée d’un carré parfait ★
Calcule sans calculatrice : \(\sqrt{49}\), \(\sqrt{121}\) et \(\sqrt{144}\).
Voir la correction de l’exercice 2
Ces trois nombres sont des carrés parfaits, donc leurs racines carrées sont des entiers.
\(\sqrt{49} = 7\) car \(7\times 7 = 49\).
\(\sqrt{121} = 11\) et \(\sqrt{144} = 12\).
Exercice 3 — L’année 2025 ★★
2025 est-il un carré parfait ? Justifie ta réponse.
Voir la correction de l’exercice 3
2025 se termine par 5 : c’est possible. On encadre : \(40\times 40 = 1600\) et \(50\times 50 = 2500\). Le nombre cherché est donc entre 40 et 50.
On teste 45 : \(45\times 45 = 2025\) ✓.
Donc oui, 2025 est un carré parfait et \(\sqrt{2025} = 45\).
Exercice 4 — Reconnaître avec les facteurs premiers ★★
Le nombre 196 est-il un carré parfait ? Utilise sa décomposition \(196 = 2^2 \times 7^2\).
Voir la correction de l’exercice 4
Dans la décomposition \(196 = 2^2 \times 7^2\), les deux exposants (2 et 2) sont pairs. C’est le signe qu’il s’agit d’un carré parfait.
On peut le vérifier : \(2\times 7 = 14\) et \(14\times 14 = 196\). Donc \(\sqrt{196} = 14\).
Exercice 5 — Un peu de réflexion ★★★
Combien y a-t-il de carrés parfaits compris entre 50 et 200 ? Donne-les tous.
Voir la correction de l’exercice 5
On cherche les entiers dont le carré tombe entre 50 et 200.
\(7\times 7 = 49\) est trop petit, mais \(8\times 8 = 64\) convient. On continue : \(9\times 9 = 81\), \(10\times 10 = 100\), \(11\times 11 = 121\), \(12\times 12 = 144\), \(13\times 13 = 169\), \(14\times 14 = 196\).
Ensuite \(15\times 15 = 225\) dépasse 200.
Il y a donc 7 carrés parfaits entre 50 et 200 : 64, 81, 100, 121, 144, 169 et 196.
VI. Erreurs fréquentes et pièges
Voici les confusions les plus courantes chez les élèves. Repère-les pour ne plus les faire.
Erreur classique n°1 : confondre « carré parfait » et « nombre pair ». 36 est un carré parfait et il est pair, mais 25 est un carré parfait impair, et 20 est pair sans être un carré parfait. Les deux notions n’ont rien à voir.
Erreur classique n°2 : croire que la racine carrée de tout nombre entier est un entier. C’est faux : \(\sqrt{81} = 9\) tombe juste seulement parce que 81 est un carré parfait. Pour \(\sqrt{80}\), le résultat n’est pas entier.
Erreur classique n°3 : écrire que \(12\) est le carré parfait de 144. C’est l’inverse ! 144 est le carré parfait ; 12 est sa racine carrée. Le carré parfait, c’est le grand nombre, pas le petit.
VII. Questions fréquentes
Quels sont les carrés parfaits de 1 à 20 ?
Ce sont les carrés des entiers de 1 à 20 : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 et 400. Au collège, on retient surtout ceux jusqu’à 144.
Comment reconnaître un carré parfait sans calculatrice ?
Regarde d’abord son dernier chiffre : un carré parfait finit toujours par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. Ensuite, encadre-le entre deux carrés parfaits que tu connais, puis teste l’entier trouvé en le multipliant par lui-même. Si tu retombes sur le nombre, c’est un carré parfait.
2025 est-il un carré parfait ?
Oui. On a \(45 \times 45 = 2025\), donc 2025 est un carré parfait et sa racine carrée vaut 45. C’était le premier « carré parfait » depuis 1936 (\(44^2\)) et le prochain sera 2116 (\(46^2\)).
Quelle est la différence entre un carré parfait et le carré d’un nombre ?
Le carré d’un nombre, c’est le résultat d’une multiplication du nombre par lui-même, même s’il a une virgule : \(2{,}5 \times 2{,}5 = 6{,}25\). Un carré parfait est plus précis : c’est le carré d’un nombre entier, donc toujours un entier. Tous les carrés parfaits sont des carrés, mais tous les carrés ne sont pas des carrés parfaits.
Zéro est-il un carré parfait ?
Oui, car \(0 = 0 \times 0\). Zéro est le carré d’un entier, il fait donc partie des carrés parfaits, au même titre que 1.
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant reconnaître un carré parfait et t’en servir pour calculer des racines carrées de tête. Pour continuer à progresser :
- Calculer une racine carrée sans calculatrice : toutes les méthodes
- Équations et Inéquations : Cours, Méthodes et Exercices Corrigés
- 15 exercices corrigés sur les racines carrées (4ème et 3ème)
- Les puissances de 2 : tableau de 2⁰ à 2²⁰, calcul et exemples
- Règles des puissances : toutes les formules de calcul (4e, 3e)
- Au lycée, ces notions débouchent sur le calcul de dérivées : découvre le Tableau des dérivées usuelles : formules, règles et exemples.
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le collège.
