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Quand tu lances une pièce dix fois, tu peux très bien tomber sur 7 piles. Mais lance-la dix mille fois et tu obtiendras presque toujours autour de 50 %. Cette régularité qui émerge du hasard porte un nom : la loi des grands nombres. C’est elle qui permet aux assureurs de fixer leurs tarifs, aux casinos de gagner à coup sûr, et à un sondage sur 1 000 personnes de renseigner sur 67 millions de Français.
La loi des grands nombres affirme que la moyenne d’un grand nombre de tirages indépendants et identiques se rapproche de l’espérance théorique. Concrètement, plus on répète une expérience aléatoire, plus la fréquence observée d’un événement s’approche de sa probabilité : lancer une pièce 10 000 fois donne environ 50 % de piles.
I. Énoncé et intuition de la loi des grands nombres
La loi des grands nombres relie deux mondes : celui de la théorie (l’espérance, la probabilité d’un événement) et celui de l’observation (la moyenne mesurée, la fréquence obtenue). Elle dit qu’à mesure que l’on multiplie les expériences, l’observation rejoint la théorie.
A. L’idée simple : la fréquence rejoint la probabilité
Reprenons la pièce équilibrée. La probabilité de « pile » vaut \(0{,}5\). Si tu notes la fréquence de piles après \(n\) lancers, cette fréquence n’est jamais exactement \(0{,}5\)… mais elle s’en approche de plus en plus quand \(n\) grandit.
Comment le retenir : une expérience isolée est imprévisible, mais un très grand nombre d’expériences devient prévisible. Le hasard « individuel » se transforme en régularité « collective ».
B. L’énoncé formel
Pour formaliser, on considère une même expérience répétée \(n\) fois, de façon indépendante. On note \(X_1, X_2, \dots, X_n\) les variables aléatoires correspondantes, toutes de même loi, d’espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\). La moyenne empirique est :
\(M_n = \displaystyle\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}\)Loi (faible) des grands nombres
Soit \(X_1, \dots, X_n\) des variables aléatoires indépendantes de même loi, d’espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\). On note \(M_n\) leur moyenne. Alors, pour tout réel \(\delta > 0\) :
\(P\left(\vert M_n- \mu \vert \geq \delta\right) \leq \displaystyle\frac{\sigma^2}{n\,\delta^2}\)
Cette probabilité tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) : la moyenne \(M_n\) se concentre autour de l’espérance \(\mu\).
Autrement dit : la probabilité que la moyenne observée s’écarte de l’espérance de plus d’un seuil \(\delta\) devient aussi petite que l’on veut, à condition de prendre \(n\) assez grand.
Ce résultat s’inscrit dans une chaîne : l’inégalité de Markov donne la majoration de base, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev l’applique à l’écart à la moyenne, et la loi des grands nombres en découle en l’appliquant à la moyenne d’un échantillon.
II. Démonstration pas à pas
La beauté de ce théorème, c’est qu’au lycée il se démontre en trois lignes, à partir de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Chaque étape est justifiée ci-dessous.
Démonstration au programme
Étape 1 — Espérance de la moyenne. Par linéarité de l’espérance :
\(E(M_n) = \displaystyle\frac{1}{n}\big(E(X_1) + \dots + E(X_n)\big) = \displaystyle\frac{1}{n}\cdot n\mu = \mu\)
Étape 2 — Variance de la moyenne. Les variables étant indépendantes, la variance d’une somme est la somme des variances. De plus \(V(aX) = a^2 V(X)\) :
\(V(M_n) = \displaystyle\frac{1}{n^2}\big(V(X_1) + \dots + V(X_n)\big) = \displaystyle\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 = \displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\)
Étape 3 — Application de Bienaymé-Tchebychev. On applique l’inégalité à la variable \(M_n\), d’espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2/n\). Pour tout \(\delta > 0\) :
\(P\left(\vert M_n- \mu \vert \geq \delta\right) \leq \displaystyle\frac{V(M_n)}{\delta^2} = \displaystyle\frac{\sigma^2}{n\,\delta^2}\)
Conclusion. Comme \(\sigma^2\) et \(\delta\) sont fixés, le membre de droite tend vers \(0\) quand \(n \to +\infty\). La probabilité d’un écart supérieur à \(\delta\) s’écrase donc vers \(0\). ∎
Le point clé de cette preuve : c’est le \(n\) au dénominateur de \(V(M_n) = \sigma^2/n\) qui fait tout le travail. Plus on répète l’expérience, plus la variance de la moyenne diminue, donc plus la moyenne devient « stable ».
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III. Ce que le résultat dit vraiment
La formule majore une probabilité, mais elle ne dit pas à quelle vitesse ni ce qui se passe concrètement pour un tirage donné. Précisons.
A. Une convergence, pas une garantie
Interprétation correcte : la loi des grands nombres ne garantit jamais que la moyenne égale l’espérance. Elle affirme que l’écart devient improbable. Sur une expérience précise, un écart reste toujours possible — il devient simplement de plus en plus rare quand \(n\) augmente.
B. Visualiser la convergence
Si l’on simule plusieurs séries de lancers de pièce et que l’on trace la fréquence de piles au fil des lancers, on voit toutes les trajectoires se resserrer autour de \(0{,}5\) : c’est la loi des grands nombres à l’œuvre.
C. Simuler en Python
Le programme officiel de spécialité inclut l’algorithmique. Voici une simulation courte, avec le seul module random, qui illustre la convergence.
import random
n = 10000
piles = 0
for lancer in range(1, n + 1): # on répète n lancers
if random.random() < 0.5: # pile avec probabilité 1/2
piles += 1 # on compte les piles
frequence = piles / lancer # fréquence observée à cet instant
print(frequence) # affiche une valeur proche de 0.5
Exécute ce code plusieurs fois : tu obtiendras des valeurs comme 0.4987, 0.5031, 0.4996… toujours très proches de \(0{,}5\). Réduis n à 10 et tu verras au contraire des écarts bien plus grands (par exemple 0.7).
IV. Double lecture : au lycée, en prépa
Une même notion, deux niveaux d'exigence. Voici précisément ce qui est attendu de toi selon que tu es en Terminale ou en classe préparatoire.
🟢 Au lycée (Terminale)
Est exigible : la définition de la moyenne \(M_n\), le calcul de \(E(M_n) = \mu\) et \(V(M_n) = \sigma^2/n\), et l'inégalité de concentration qui en découle via Bienaymé-Tchebychev. La formulation attendue dans une copie parle de « la probabilité que \(M_n\) s'écarte de \(\mu\) de plus de \(\delta\) ». On ne parle pas encore de « convergence en probabilité » avec ce vocabulaire.
🔴 En prépa
La loi des grands nombres se scinde en deux énoncés distincts. La loi faible exprime une convergence en probabilité : \(M_n \stackrel{P}{\longrightarrow} \mu\), démontrée exactement comme au lycée. La loi forte exprime une convergence presque sûre : \(P\!\left(\lim_{n\to+\infty} M_n = \mu\right) = 1\), résultat bien plus profond dont la démonstration relève de la théorie de la mesure. Cette distinction fait l'objet d'une page dédiée : loi faible et loi forte des grands nombres.
Retiens l'essentiel : ce que tu apprends en Terminale est déjà la loi faible. La prépa ne renie rien, elle ajoute une couche de finesse (le mode de convergence) et un second théorème.
V. Applications concrètes : assurance, sondage, casino
La loi des grands nombres n'est pas qu'un objet théorique : c'est le fondement d'industries entières. Trois exemples chiffrés.
A. L'assurance : mutualiser le risque
Une compagnie ne peut pas prévoir si toi tu auras un accident cette année. Mais sur ses 500 000 assurés, la fréquence des sinistres est remarquablement stable d'une année sur l'autre. Elle calcule sa prime à partir du coût moyen par assuré, qui, par la loi des grands nombres, se comporte de façon quasi certaine. C'est ce qui rend l'assurance possible : l'imprévisible individuel devient prévisible à grande échelle.
B. Le sondage : d'un échantillon à une population
Interroger 1 000 personnes pour estimer une opinion nationale repose entièrement sur cette loi : la fréquence observée dans l'échantillon approche la proportion réelle dans la population. C'est aussi le point de départ de la marge d'erreur d'un sondage et de l'intervalle de confiance.
C. Le casino : pourquoi la banque gagne toujours
À la roulette européenne, l'espérance de gain du joueur est négative (à cause du zéro). Sur un pari isolé, le joueur peut gagner gros. Mais sur des millions de mises, la moyenne des gains du casino converge vers cette espérance positive pour lui. Le casino n'a pas besoin de « tricher » : la loi des grands nombres travaille pour lui.
VI. La loi des grands nombres n'est pas la loi des séries
C'est le contresens le plus répandu, celui qui ruine les joueurs et qu'aucune fiche de révision classique ne traite frontalement. Réglons-le une fois pour toutes.
| Critère | Loi des grands nombres (vraie) | « Loi des séries » (fausse croyance) |
|---|---|---|
| Sur quoi elle porte | La moyenne ou la fréquence globale | Le prochain tirage individuel |
| Ce qu'elle prédit | La moyenne se rapproche de l'espérance | Un « rattrapage » dû aux tirages passés |
| Rôle du passé | Aucun : les tirages sont indépendants | Le passé « influencerait » le futur |
| Statut | Théorème démontré | Sophisme (erreur du joueur) |
À retenir : après 10 « pile » d'affilée, la probabilité d'obtenir « pile » au 11ᵉ lancer reste exactement \(0{,}5\). La convergence de la moyenne ne vient pas d'une compensation, mais du fait que les nouveaux tirages « noient » les anciens.
Les erreurs classiques à éviter
Erreur n°1 — Croire qu'un écart va se « rattraper ». « Ça fait longtemps que le rouge n'est pas sorti, il va sortir. » Faux. Les tirages sont indépendants : le passé n'influence pas le prochain résultat. La moyenne converge parce que le nombre de tirages augmente, pas parce qu'une force corrige les écarts.
Erreur n°2 — Confondre valeur exacte et convergence. Écrire « donc \(M_n = \mu\) » est faux. La loi dit que \(M_n\) se rapproche de \(\mu\) avec une probabilité proche de 1, jamais qu'elle l'atteint.
Erreur n°3 — Oublier les hypothèses. La loi exige des variables indépendantes, de même loi, et de variance finie. Sans variance (finie), la démonstration par Bienaymé-Tchebychev ne tient plus.
VII. Applications corrigées
Voici quatre applications pour ancrer le cours. Pour un entraînement complet, va sur la page 20 exercices corrigés : Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres.
Exercice 1 — Fréquence d'un dé ★
On lance un dé équilibré \(n\) fois et on note la fréquence d'apparition du 6. Vers quelle valeur cette fréquence se rapproche-t-elle quand \(n\) devient très grand ? Justifie.
Voir la correction de l’exercice 1
La probabilité d'obtenir un 6 à chaque lancer vaut \(\displaystyle\frac{1}{6}\). Chaque lancer peut être modélisé par une variable de Bernoulli d'espérance \(\displaystyle\frac{1}{6}\).
La fréquence observée est la moyenne \(M_n\) de ces variables. Par la loi des grands nombres, \(M_n\) se rapproche de l'espérance quand \(n\) grandit.
La fréquence tend donc vers \(\displaystyle\frac{1}{6} \approx 0{,}167\).
Exercice 2 — Combien de lancers pour être précis ? ★★
On lance une pièce équilibrée. On veut que la probabilité que la fréquence de piles s'écarte de \(0{,}5\) de plus de \(0{,}05\) soit inférieure à \(0{,}05\). Combien de lancers \(n\) suffisent, d'après l'inégalité de concentration ? (On rappelle que pour une Bernoulli de paramètre \(0{,}5\), \(\sigma^2 = 0{,}25\).)
Voir la correction de l’exercice 2
On applique l'inégalité de concentration avec \(\delta = 0{,}05\) et \(\sigma^2 = 0{,}25\) :
\(P\left(\vert M_n- 0{,}5 \vert \geq 0{,}05\right) \leq \displaystyle\frac{0{,}25}{n \times 0{,}05^2} = \displaystyle\frac{0{,}25}{0{,}0025\,n} = \displaystyle\frac{100}{n}\)On veut que ce majorant soit inférieur à \(0{,}05\) :
\(\displaystyle\frac{100}{n} \leq 0{,}05 \quad\Longleftrightarrow\quad n \geq \displaystyle\frac{100}{0{,}05} = 2000\)Il suffit donc de 2 000 lancers. (En pratique la convergence réelle est bien plus rapide : Bienaymé-Tchebychev donne une majoration prudente, pas la valeur exacte.)
Exercice 3 — Raisonnement : le joueur pressé ★★
Après 8 « rouge » consécutifs à la roulette, un joueur affirme : « Le noir est sûr de sortir maintenant, la loi des grands nombres l'exige. » Explique pourquoi ce raisonnement est faux, en citant l'hypothèse essentielle de la loi.
Voir la correction de l’exercice 3
La loi des grands nombres suppose des tirages indépendants. Chaque tour de roulette ne « garde aucune mémoire » des tours précédents : la probabilité du noir reste identique, quel que soit le passé.
La loi ne prédit pas le prochain tirage, mais le comportement de la moyenne sur un très grand nombre de tours. Il n'y a aucune force de « rattrapage » : le joueur confond la loi des grands nombres avec la fausse « loi des séries ».
Conclusion : la probabilité du noir au prochain tour reste inchangée. Le raisonnement du joueur est un sophisme classique.
Exercice 4 — Convergence en probabilité (prépa) ★★★
🔴 Soit \((X_k)\) une suite de variables indépendantes de même loi, d'espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\). Démontre que \(M_n\) converge en probabilité vers \(\mu\), c'est-à-dire que pour tout \(\varepsilon > 0\), \(P(\vert M_n- \mu \vert \geq \varepsilon) \to 0\).
Voir la correction de l’exercice 4
On calcule d'abord \(E(M_n) = \mu\) et \(V(M_n) = \displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\) (indépendance).
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à \(M_n\). Pour tout \(\varepsilon > 0\) :
\(P\left(\vert M_n- \mu \vert \geq \varepsilon\right) \leq \displaystyle\frac{V(M_n)}{\varepsilon^2} = \displaystyle\frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2}\)Comme \(\sigma^2\) et \(\varepsilon\) sont fixés, \(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2} \to 0\) quand \(n \to +\infty\). Par encadrement (la probabilité est positive), on obtient :
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} P\left(\vert M_n- \mu \vert \geq \varepsilon\right) = 0\)Ce que le correcteur attend : l'énoncé propre des hypothèses (indépendance, même loi, variance finie), le calcul explicite de \(V(M_n)\), et la conclusion par le mode de convergence en probabilité. C'est la loi faible des grands nombres. ∎
VIII. Questions fréquentes
C’est quoi la loi des grands nombres en une phrase ?
C'est le théorème qui affirme que la moyenne d'un grand nombre d'expériences aléatoires indépendantes et de même loi se rapproche de l'espérance théorique. Plus tu répètes une expérience, plus la fréquence observée approche la probabilité réelle.
Quelle est la différence entre la loi des grands nombres et la loi des séries ?
La loi des grands nombres est un vrai théorème qui porte sur la moyenne globale d'un grand nombre de tirages. La « loi des séries » est une fausse croyance selon laquelle un tirage passé influencerait le prochain (par exemple qu'un « rouge » deviendrait plus probable après plusieurs « noirs »). Les tirages étant indépendants, cette idée est un sophisme.
La loi des grands nombres est-elle au programme du bac ?
Oui. Le chapitre « Concentration, loi des grands nombres » fait partie de la spécialité mathématiques de Terminale (voie générale) et est intégralement évaluable à l'épreuve écrite. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et l'inégalité de concentration, qui servent à la démontrer, figurent régulièrement aux sujets.
Comment démontre-t-on la loi des grands nombres au lycée ?
On calcule l'espérance et la variance de la moyenne \(M_n\) : on trouve \(E(M_n)=\mu\) et \(V(M_n)=\sigma^2/n\). On applique ensuite l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à \(M_n\), ce qui majore \(P(\vert M_n-\mu\vert\geq\delta)\) par \(\sigma^2/(n\delta^2)\), quantité qui tend vers 0.
Faut-il beaucoup de tirages pour que la loi s’applique ?
Il n'y a pas de seuil magique : la convergence est progressive. En pratique, quelques centaines à quelques milliers de tirages suffisent pour une bonne précision. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne un nombre de tirages « garanti », mais toujours surestimé par rapport à la réalité.
Quel est le lien entre la loi des grands nombres et le théorème central limite ?
La loi des grands nombres dit vers quoi tend la moyenne (l'espérance). Le théorème central limite, dont le théorème de Moivre-Laplace est un cas particulier, dit comment elle fluctue autour de cette limite : les écarts suivent approximativement une loi normale. Le premier donne la cible, le second la forme de la dispersion.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la loi des grands nombres. Pour approfondir :
- Loi Normale : Cours Complet, Propriétés et Exercices Corrigés
- Écart-type (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- 20 exercices corrigés : inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres (Terminale)
- Loi Binomiale : Cours, Formules et Exercices — du Lycée à la Prépa
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