Une suite arithmético-géométrique apparaît dès qu’un énoncé donne une relation de récurrence de la forme \(u_{n+1} = a \, u_n + b\). C’est un classique en Terminale et un outil fondamental en prépa : on peut en déduire la formule explicite, la limite, un seuil (à partir de quel rang la suite dépasse une valeur), et parfois une somme.

La méthode à retenir tient en une phrase : on calcule le point fixe, puis on se ramène à une suite géométrique. On obtient alors une expression en \(a^n\), ce qui rend les calculs très rapides.

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Définition d’une suite arithmético-géométrique

Forme standard et cas particuliers

Définition

Une suite \((u_n)\) est arithmético-géométrique si elle vérifie une relation de récurrence de la forme :

\(u_{n+1} = a \, u_n + b\)

où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles.

Cas particuliers à repérer immédiatement :

  • Si \(b = 0\) : \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(a\).
  • Si \(a = 1\) : \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(b\).

Comment reconnaître une suite arithmético-géométrique dans un énoncé

En pratique, tu la reconnais dès que :

  • l’énoncé donne une relation de récurrence affine : \(u_{n+1} = a \, u_n + b\) ;
  • ou une écriture équivalente : \(u_{n+1} – a \, u_n = b\) ;
  • ou un modèle financier « intérêts + versement constant » : \(C_{n+1} = (1+i) \, C_n + v\).

Ne pas confondre : suite arithmétique, suite géométrique, suite arithmético-géométrique

Comparaison des trois types de suites
Type de suite Relation de récurrence Réflexe
Suite arithmétique \(u_{n+1} = u_n + r\) La différence \(u_{n+1} – u_n\) est constante
Suite géométrique \(u_{n+1} = q \, u_n\) Le quotient \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant
Suite arithmético-géométrique \(u_{n+1} = a \, u_n + b\) Point fixe → se ramener à une suite géométrique

Piège classique : beaucoup d’élèves appliquent directement la méthode du point fixe sans vérifier si on est dans un cas simple. Avant toute manipulation, teste mentalement : \(b = 0\) (suite géométrique) ? \(a = 1\) (suite arithmétique) ?

Méthode du point fixe pour résoudre une suite arithmético-géométrique

C’est la méthode standard, attendue au Bac et en prépa. Elle donne une solution propre, courte, et réduit les erreurs d’indices. On suppose ici \(a \neq 1\).

Étape 1 : calculer le point fixe

On cherche une constante \(\ell\) telle que si \(u_n = \ell\), alors \(u_{n+1} = \ell\). Cette constante vérifie :

\(\ell = a \, \ell + b\)

Point fixe

Si \(a \neq 1\), le point fixe est \(\ell = \displaystyle\frac{b}{1 – a}\).

Étape 2 : poser la suite auxiliaire géométrique

On pose la suite auxiliaire \(v_n = u_n – \ell\). Alors :

\(v_{n+1} = u_{n+1} – \ell = (a \, u_n + b) – (a \, \ell + b) = a(u_n – \ell) = a \, v_n\)

Donc \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(a\), ce qui donne \(v_n = v_0 \cdot a^n\).

Étape 3 : revenir à \(u_n\)

Rédaction en 4 étapes (très efficace en contrôle)

  1. Calculer le point fixe : \(\ell = \displaystyle\frac{b}{1 – a}\).
  2. Poser \(v_n = u_n – \ell\).
  3. Montrer que \(v_{n+1} = a \, v_n\), donc \(v_n = v_0 \cdot a^n\).
  4. Conclure : \(u_n = \ell + v_n = \ell + (u_0 – \ell) \cdot a^n\).

Formule explicite d’une suite arithmético-géométrique

Formule avec premier terme \(u_0\)

Formule explicite

Si \(a \neq 1\) et \(\ell = \displaystyle\frac{b}{1 – a}\), alors :

\(u_n = \ell + (u_0 – \ell) \cdot a^n\)

Forme développée (utile si l’on veut éviter \(\ell\)) :

\(u_n = a^n \, u_0 + b \, \displaystyle\frac{1 – a^n}{1 – a}\)

Variante avec premier terme \(u_1\) (attention à l’indice)

Si l’énoncé démarre à \(u_1\), l’exposant change :

\(u_n = \ell + (u_1 – \ell) \cdot a^{n-1}\)

Piège d’indice : beaucoup d’erreurs viennent d’un décalage entre \(u_0\) et \(u_1\). Prends 10 secondes pour vérifier l’exposant sur une valeur-test (par exemple \(n = 1\)) : c’est un réflexe simple mais très rentable.

Cas \(a = 1\) : on retombe sur une suite arithmétique

Si \(a = 1\), la relation de récurrence devient \(u_{n+1} = u_n + b\) : c’est une suite arithmétique de raison \(b\), donc \(u_n = u_0 + n \, b\).

Pour un cours complet sur ce cas : Suites arithmétiques : cours et méthodes.

Calculer la somme d’une suite arithmético-géométrique

On rencontre parfois la question : calculer \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\) quand \(u_{n+1} = a \, u_n + b\). Comme \(u_n = \ell + (u_0 – \ell) \cdot a^n\), on sépare la somme en une partie constante et une somme géométrique.

Formule de la somme (cas \(a \neq 1\))

Somme des \(n + 1\) premiers termes

\(S_n = (n + 1) \, \ell + (u_0 – \ell) \cdot \displaystyle\frac{1 – a^{n+1}}{1 – a}\)

La formule utilise la somme géométrique \(1 + a + a^2 + \cdots + a^n = \displaystyle\frac{1 – a^{n+1}}{1 – a}\). Pour la démonstration complète et tous les cas particuliers, voir : Somme d’une suite géométrique : formule et démonstration.

Recherche de rang (seuil)

Question fréquente : « à partir de quel rang \(u_n\) dépasse une certaine valeur ? ». On part de \(u_n = \ell + (u_0 – \ell) \cdot a^n\), on isole \(a^n\), puis on passe au logarithme.

Méthode rapide pour isoler \(n\)

  1. Écrire \(a^n = \displaystyle\frac{u_n – \ell}{u_0 – \ell}\) (ou l’inégalité correspondante).
  2. Prendre le logarithme : \(n \, \ln(a) = \ln\left(\displaystyle\frac{u_n – \ell}{u_0 – \ell}\right)\).
  3. Diviser par \(\ln(a)\) (attention au sens de l’inégalité si \(\ln(a)\) < \(0\)).
  4. Prendre l’entier supérieur.

Pièges sur la somme et les indices

  • De \(u_0\) à \(u_n\), il y a \(n + 1\) termes (pas \(n\)).
  • Vérifie toujours si l’énoncé commence à \(u_0\) ou \(u_1\).
  • Cas \(a = 1\) : la formule de somme géométrique ne s’applique pas (division par 0). On utilise directement la somme arithmétique.

Exemples corrigés : du lycée à la prépa

Les exemples ci-dessous sont guidés pas à pas pour installer les bons automatismes sur la méthode du point fixe.

Exemple 1 — Trouver la formule explicite d’une suite arithmético-géométrique

On définit \((u_n)\) par \(u_{n+1} = 2 \, u_n + 3\) et \(u_0 = 1\). Déterminer \(u_n\).

Corrigé.

Point fixe : \(\ell = \displaystyle\frac{3}{1 – 2} = -3\). Posons \(v_n = u_n – (-3) = u_n + 3\).

Alors \(v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = 2 \, u_n + 6 = 2(u_n + 3) = 2 \, v_n\).

Donc \((v_n)\) est une suite géométrique de raison 2, avec \(v_0 = u_0 + 3 = 4\).

Ainsi \(v_n = 4 \times 2^n\), d’où \(u_n = v_n – 3 = 4 \times 2^n – 3\).

Exemple 2 — Calculer un terme \(u_n\) rapidement

\(u_{n+1} = 1{,}2 \, u_n – 5\), \(u_0 = 20\). Calculer \(u_6\).

Corrigé.

\(\ell = \displaystyle\frac{-5}{1 – 1{,}2} = \displaystyle\frac{-5}{-0{,}2} = 25\), donc \(u_n = 25 + (20 – 25) \times 1{,}2^n = 25 – 5 \times 1{,}2^n\).

Ainsi \(u_6 = 25 – 5 \times 1{,}2^6 \approx 25 – 5 \times 2{,}986 \approx 10{,}07\).

Exemple 3 — Recherche de seuil (à partir de quel rang ?)

\(u_{n+1} = 1{,}05 \, u_n + 3\), \(u_0 = 0\). À partir de quel rang a-t-on \(u_n\) > \(100\) ?

Corrigé.

\(\ell = \displaystyle\frac{3}{1 – 1{,}05} = \displaystyle\frac{3}{-0{,}05} = -60\), donc \(u_n = -60 + (0 + 60) \times 1{,}05^n = 60(1{,}05^n – 1)\).

On veut \(u_n\) > \(100\), soit \(60(1{,}05^n – 1)\) > \(100\), donc \(1{,}05^n\) > \(\displaystyle\frac{8}{3}\).

Logarithme : \(n\) > \(\displaystyle\frac{\ln(8/3)}{\ln(1{,}05)} \approx \displaystyle\frac{0{,}981}{0{,}0488} \approx 20{,}1\).

Le plus petit rang est \(n = 21\).

Exemple 4 — Suite convergente : formule explicite et limite

\(u_{n+1} = 0{,}8 \, u_n + 2\), \(u_0 = 0\). Déterminer \(u_n\) et la limite de la suite.

Corrigé.

\(\ell = \displaystyle\frac{2}{1 – 0{,}8} = 10\), donc \(u_n = 10 + (0 – 10) \times 0{,}8^n = 10(1 – 0{,}8^n)\).

Comme \(|0{,}8|\) < \(1\), on a \(0{,}8^n \to 0\), donc \(u_n \to 10\). La suite converge vers le point fixe \(\ell = 10\).

Exemple 5 — Raison \(a\) négative : oscillations et convergence

\(u_{n+1} = -0{,}5 \, u_n + 3\), \(u_0 = 0\). Déterminer la limite.

Corrigé.

\(\ell = \displaystyle\frac{3}{1 – (-0{,}5)} = \displaystyle\frac{3}{1{,}5} = 2\), donc \(u_n = 2 + (0 – 2)(-0{,}5)^n = 2 – 2(-0{,}5)^n\).

Comme \(|-0{,}5|\) < \(1\), la suite converge vers \(\ell = 2\), mais elle oscille autour de cette valeur (les termes alternent au-dessus et en dessous de 2).

Exemple 6 — Calculer la somme des termes d’une suite arithmético-géométrique

Avec la suite de l’exemple 1, \(u_n = 4 \times 2^n – 3\). Calculer \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\).

Corrigé.

\(S_n = \sum_{k=0}^{n} (4 \times 2^k – 3) = 4 \sum_{k=0}^{n} 2^k – 3(n+1)\)

Or \(\sum_{k=0}^{n} 2^k = \displaystyle\frac{1 – 2^{n+1}}{1 – 2} = 2^{n+1} – 1\).

Donc \(S_n = 4(2^{n+1} – 1) – 3(n+1) = 4 \times 2^{n+1} – 3n – 7\).

Exemple 7 — Cas \(a = 1\) : on retombe sur une suite arithmétique

\(u_{n+1} = u_n – 4\), \(u_0 = 10\). Déterminer \(u_n\).

Corrigé.

Ici \(a = 1\) : c’est une suite arithmétique de raison \(-4\), donc \(u_n = 10 – 4n\).

Pour t’entraîner sur ce cas : Exercices corrigés sur les suites arithmétiques.

Pour renforcer tes automatismes

La méthode de résolution d’une suite arithmético-géométrique se ramène toujours à manipuler une suite géométrique (suite auxiliaire, somme, puissances de \(a^n\)). Pour consolider ces bases :

Applications concrètes : intérêts composés, versements, crédits

Les suites arithmético-géométriques modélisent de nombreuses situations financières : un capital qui croît avec intérêts (multiplication) auquel on ajoute un versement fixe (addition). Ce sont les exercices les plus fréquents au Bac sur ce chapitre.

Application 1 — Épargne avec intérêts composés + versement mensuel

Chaque mois, on place 100 € sur un compte rémunéré à 1 % par mois. On note \(C_n\) le capital (en euros) juste après le \(n\)-ième versement, avec \(C_0 = 0\). La relation de récurrence est \(C_{n+1} = 1{,}01 \, C_n + 100\).

Corrigé.

Point fixe : \(\ell = \displaystyle\frac{100}{1 – 1{,}01} = -10\,000\). Posons \(v_n = C_n + 10\,000\).

Alors \(v_{n+1} = 1{,}01 \, v_n\), donc \(v_n = v_0 \times 1{,}01^n = 10\,000 \times 1{,}01^n\).

Ainsi \(C_n = 10\,000(1{,}01^n – 1)\).

Application 2 — Remboursement de crédit

Une dette suit \(D_{n+1} = 1{,}02 \, D_n – 150\) avec \(D_0 = 5\,000\) (2 % d’intérêt mensuel, remboursement de 150 € par mois). Donner \(D_n\) et estimer en combien de mois la dette est remboursée.

Corrigé.

\(\ell = \displaystyle\frac{-150}{1 – 1{,}02} = 7\,500\), donc \(D_n = 7\,500 + (5\,000 – 7\,500) \times 1{,}02^n = 7\,500 – 2\,500 \times 1{,}02^n\).

La dette est remboursée quand \(D_n\) < \(0\), soit \(7\,500 – 2\,500 \times 1{,}02^n\) < \(0\), donc \(1{,}02^n\) > \(3\).

Logarithme : \(n\) > \(\displaystyle\frac{\ln 3}{\ln(1{,}02)} \approx \displaystyle\frac{1{,}099}{0{,}0198} \approx 55{,}5\). La dette est remboursée au bout d’environ 56 mois.

Limite d’une suite arithmético-géométrique

Si \(|a|\) < \(1\) : la suite converge vers le point fixe

Avec \(u_n = \ell + (u_0 – \ell) \cdot a^n\), si \(|a|\) < \(1\) alors \(a^n \to 0\), donc \(u_n \to \ell\). La suite converge vers le point fixe \(\ell = \displaystyle\frac{b}{1 – a}\).

Si \(|a|\) > \(1\) : divergence

Si \(|a|\) > \(1\), alors \(|a^n| \to +\infty\) : sauf si \(u_0 = \ell\) (suite constante), la suite diverge. Si \(a\) < \(-1\), la suite oscille de plus en plus loin du point fixe.

Résumé en tableau

Convergence d'une suite arithmético-géométrique
Condition sur \(a\) Comportement de \(u_n\) Limite
\(|a|\) < \(1\) Converge \(\ell = \displaystyle\frac{b}{1 – a}\)
\(a = 1\) Suite arithmétique \(\pm\infty\) si \(b \neq 0\)
\(a\) > \(1\) Diverge \(\pm\infty\)
\(a\) < \(-1\) Diverge en oscillant Pas de limite

Questions fréquentes — Suite arithmético-géométrique


Qu'est-ce qu'une suite arithmético-géométrique ?

C’est une suite \((u_n)\) définie par une relation de récurrence affine \(u_{n+1} = a \, u_n + b\). Elle combine une partie multiplicative (via \(a\)) et une partie additive (via \(b\)).

Quelle est la méthode pour résoudre une suite arithmético-géométrique ?

Le réflexe est de calculer le point fixe \(\ell = \displaystyle\frac{b}{1 – a}\) (si \(a \neq 1\)), puis de poser \(v_n = u_n – \ell\). On obtient \(v_{n+1} = a \, v_n\), c’est-à-dire une suite géométrique. On en déduit \(u_n\).

Quelle est la formule explicite d'une suite arithmético-géométrique ?

Si \(a \neq 1\) et \(\ell = \displaystyle\frac{b}{1 – a}\) : \(u_n = \ell + (u_0 – \ell) \cdot a^n\). Forme équivalente : \(u_n = a^n \, u_0 + b \, \displaystyle\frac{1 – a^n}{1 – a}\).

Que faire si a = 1 dans la relation de récurrence ?

Alors \(u_{n+1} = u_n + b\) : c’est une suite arithmétique de raison \(b\), donc \(u_n = u_0 + n \, b\). Voir : Suites arithmétiques : cours complet.

Comment trouver le rang (seuil) d'une suite arithmético-géométrique ?

On part de \(u_n = \ell + (u_0 – \ell) \cdot a^n\) et on isole \(a^n\). Puis on passe au logarithme : \(n = \displaystyle\frac{\ln\left(\displaystyle\frac{u_n – \ell}{u_0 – \ell}\right)}{\ln(a)}\) (en adaptant si on a une inégalité).

Une suite arithmético-géométrique peut-elle converger ?

Oui, si \(|a|\) < \(1\) : la suite converge vers le point fixe \(\ell = \displaystyle\frac{b}{1 – a}\). Si \(|a|\) > \(1\), elle diverge (sauf si \(u_0 = \ell\)).

Où trouver des exercices corrigés pour s'entraîner ?

La méthode de résolution se ramène à manipuler une suite géométrique. Pour t’entraîner : exercices corrigés sur les suites géométriques et exercices corrigés sur les suites arithmétiques.


Pour aller plus loin

Les suites arithmético-géométriques sont souvent un point de bascule : une bonne méthode fait gagner beaucoup de points, mais une erreur d’indice peut coûter cher. Si tu veux un accompagnement structuré en mathématiques pour le lycée ou la prépa, découvre les cours particuliers Excellence Maths pour la Terminale.