Produit matriciel : cours, propriétés et exercices corrigés

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L’addition de matrices opère coefficient par coefficient — une opération simple mais structurellement pauvre. Le produit matriciel, lui, encode la composition des applications linéaires : c’est cette richesse algébrique qui en fait l’outil central de l’algèbre linéaire. Ce chapitre développe la définition, démontre les propriétés fondamentales et détaille les techniques de calcul du produit de matrices, avec 8 exercices corrigés. Conforme au programme de terminale maths expertes et des CPGE scientifiques (MPSI, PCSI, MP, PC, PSI) — année 2025-2026. Les sections réservées à la prépa sont signalées par le badge 🟠.

I. Définition du produit matriciel

A. Condition de compatibilité des dimensions

Contrairement à l’addition (qui exige des matrices de même taille), le produit matriciel impose une condition d’une autre nature : le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde.

Plus précisément, si \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\), alors le produit \(AB\) est défini et appartient à \(\mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})\). Schématiquement :

\(\underbrace{A}_{n \times \,\boldsymbol{p}} \;\times\; \underbrace{B}_{\boldsymbol{p}\, \times q} \;=\; \underbrace{AB}_{n \times q}\)

Les deux dimensions intérieures (\(p\)) doivent coïncider ; les dimensions extérieures (\(n\) et \(q\)) donnent la taille du résultat.

B. Formule du coefficient \((i,j)\)

La définition formelle repose sur une somme indexée par l’indice « intérieur » \(k\).

Autrement dit, chaque coefficient \(c_{i,j}\) du produit est obtenu en « combinant » la \(i\)-ème ligne de \(A\) avec la \(j\)-ème colonne de \(B\).

C. Interprétation « ligne × colonne »

Concrètement, pour calculer le coefficient en position \((i,j)\) de \(AB\) :

1. Extrais la ligne \(i\) de \(A\) : \((a_{i,1},\; a_{i,2},\; \ldots,\; a_{i,p})\).
2. Extrais la colonne \(j\) de \(B\) : \(\begin{pmatrix} b_{1,j} \\ b_{2,j} \\ \vdots \\ b_{p,j} \end{pmatrix}\).
3. Calcule leur produit scalaire : \(c_{i,j} = a_{i,1}\,b_{1,j} + a_{i,2}\,b_{2,j} + \cdots + a_{i,p}\,b_{p,j}\).

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II. Propriétés algébriques du produit matriciel

Le produit matriciel possède une structure algébrique riche — mais aussi des « absences » par rapport au produit de scalaires. Cette section en dresse l’inventaire complet.

A. Bilinéarité

Démonstration. Les trois égalités se vérifient coefficient par coefficient à partir de la formule de définition. Traitons la distributivité à gauche : pour tout \((i,j)\),

\(\displaystyle \bigl(A(B+C)\bigr)_{i,j} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k}(b_{k,j} + c_{k,j}) = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\,b_{k,j} + \sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\,c_{k,j} = (AB)_{i,j} + (AC)_{i,j}\)

Les deux autres se traitent de la même façon. ■

En termes abstraits, l’application \((A,B) \mapsto AB\) est bilinéaire de \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \times \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\) dans \(\mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})\).

B. Associativité ⋆

Démonstration (⋆ exigible). Calculons le coefficient \((i,l)\) de chaque membre. D’une part :

\(\displaystyle \bigl((AB)C\bigr)_{i,l} = \sum_{j=1}^{q} (AB)_{i,j}\, c_{j,l} = \sum_{j=1}^{q} \left(\sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\, b_{k,j}\right) c_{j,l} = \sum_{j=1}^{q} \sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\, b_{k,j}\, c_{j,l}\)

D’autre part :

\(\displaystyle \bigl(A(BC)\bigr)_{i,l} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\, (BC)_{k,l} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k} \left(\sum_{j=1}^{q} b_{k,j}\, c_{j,l}\right) = \sum_{k=1}^{p} \sum_{j=1}^{q} a_{i,k}\, b_{k,j}\, c_{j,l}\)

Les deux sommes doubles portent sur le même terme général \(a_{i,k}\, b_{k,j}\, c_{j,l}\) et les mêmes ensembles d’indices finis. Par interversion des sommes finies, elles sont égales. ■

C. Élément neutre : la matrice identité

La matrice identité \(I_n = (\delta_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) (où \(\delta_{i,j}\) est le symbole de Kronecker) joue le rôle d’élément neutre pour le produit :

En particulier, \((\mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\, +,\, \times)\) est un anneau unitaire (non commutatif pour \(n \geq 2\)).

D. Non-commutativité

C’est la différence la plus frappante avec le produit de scalaires : le produit matriciel n’est pas commutatif.

Ce contre-exemple illustre un deuxième piège tout aussi important.

Quand \(AB = BA\) ? Deux matrices qui commutent sont dites permutables. Cas classiques : \(A\) commute toujours avec \(I_n\), avec elle-même (et donc avec ses puissances \(A^k\)), et avec tout polynôme en \(A\). L’ensemble des matrices qui commutent avec \(A\) s’appelle le commutant de \(A\).

E. Transposée d’un produit ⋆ 🟠 Prépa

Démonstration (⋆ exigible). Calculons le coefficient \((j,i)\) de \((AB)^T\) :

\(\displaystyle \bigl((AB)^T\bigr)_{j,i} = (AB)_{i,j} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\, b_{k,j}\)

Calculons le coefficient \((j,i)\) de \(B^T A^T\) :

\(\displaystyle (B^T A^T)_{j,i} = \sum_{k=1}^{p} (B^T)_{j,k}\, (A^T)_{k,i} = \sum_{k=1}^{p} b_{k,j}\, a_{i,k} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\, b_{k,j}\)

Les deux expressions coïncident pour tout \((j,i)\), d’où l’égalité. ■

Pour en savoir plus sur la transposée et ses propriétés, consulte le cours sur la transposée d’une matrice.

F. Compatibilité avec le déterminant et la trace 🟠 Prépa

Le produit se comporte de manière remarquable vis-à-vis de deux invariants fondamentaux des matrices carrées.

La démonstration complète repose sur les propriétés multilinéaires du déterminant — elle est développée dans le cours dédié. Retiens que cette propriété est l’outil-clé pour montrer qu’un produit de matrices inversibles est inversible.

Démonstration.

\(\displaystyle \mathrm{tr}(AB) = \sum_{i=1}^{n} (AB)_{i,i} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\, b_{k,i} = \sum_{k=1}^{p} \sum_{i=1}^{n} b_{k,i}\, a_{i,k} = \sum_{k=1}^{p} (BA)_{k,k} = \mathrm{tr}(BA)\)

On a simplement interverti les deux sommes finies (toujours licite). ■

Cette propriété, innocente en apparence, est redoutablement utile : elle permet par exemple de montrer que les matrices semblables ont la même trace.

Le tableau suivant récapitule les propriétés algébriques du produit matriciel.

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III. Méthode pas à pas : calculer un produit de matrices

Maîtriser le calcul du produit matriciel demande de la rigueur et de la méthode. Voici la procédure à suivre systématiquement, suivie de deux exemples détaillés et d’une technique avancée : le produit par blocs.

A. Procédure en 4 étapes

1. Vérifier la compatibilité : si \(A\) est \(n \times p\) et \(B\) est \(p^\prime \times q\), vérifier que \(p = p^\prime\). Sinon, le produit n’existe pas.
2. Déterminer la taille du résultat : \(AB \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})\). Préparer une matrice vide \(n \times q\).
3. Calculer chaque coefficient : pour chaque position \((i,j)\), effectuer le produit scalaire de la ligne \(i\) de \(A\) par la colonne \(j\) de \(B\).
4. Vérifier : contrôler au moins un coefficient en recalculant. Pour les matrices carrées, on peut vérifier \(\mathrm{tr}(AB) = \sum_i (AB)_{i,i}\).

B. Exemple complet : produit 2×2

C. Exemple complet : produit 3×3

D. Produit par blocs 🟠 Prépa

En CPGE, tu rencontreras fréquemment des matrices de grande taille qui se décomposent naturellement en sous-matrices (ou « blocs »). Le produit par blocs permet de calculer \(AB\) en traitant chaque bloc comme un « scalaire », à condition que le découpage soit compatible.

Le produit par blocs est omniprésent en algèbre linéaire : matrices triangulaires par blocs, matrices diagonales par blocs, et réduction sous forme canonique.

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IV. Applications du produit matriciel

Le produit matriciel n’est pas qu’une opération de calcul : il intervient dans presque tous les domaines de l’algèbre linéaire et au-delà. Voici les applications les plus importantes du programme de CPGE.

A. Écriture matricielle d’un système linéaire

Un système de \(n\) équations linéaires à \(p\) inconnues s’écrit de manière compacte sous la forme :

\(AX = B\)

où \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) est la matrice des coefficients, \(X \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})\) le vecteur colonne des inconnues, et \(B \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\) le second membre.

B. Puissances d’une matrice

L’associativité du produit permet de définir \(A^k = \underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k \text{ fois}}\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\) (avec la convention \(A^0 = I_n\)). Le calcul de \(A^n\) intervient dans les suites récurrentes linéaires : si \(U_{n+1} = AU_n\), alors \(U_n = A^n U_0\).

Pour calculer efficacement \(A^n\), on utilise la diagonalisation : si \(A = PDP^{-1}\) avec \(D\) diagonale, alors \(A^n = PD^nP^{-1}\) et \(D^n\) se calcule coefficient par coefficient. Les détails sont développés dans le cours sur les puissances de matrices.

C. Composition d’applications linéaires 🟠 Prépa

Le produit matriciel a été construit pour encoder la composition : si \(f\) a pour matrice \(A\) dans une base donnée et \(g\) a pour matrice \(B\), alors \(f \circ g\) a pour matrice \(AB\). C’est la raison profonde de la formule « ligne × colonne » et de la non-commutativité (la composition de fonctions n’est pas commutative non plus).

Cette interprétation est fondamentale en géométrie : les matrices de rotation composées donnent la matrice de la rotation composée. Par exemple, la composition de deux rotations du plan d’angles \(\theta\) et \(\varphi\) correspond au produit :

\(R(\theta) \cdot R(\varphi) = R(\theta + \varphi)\)

formule qu’on retrouve en multipliant les matrices :

\(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta+\varphi) & -\sin(\theta+\varphi) \\ \sin(\theta+\varphi) & \cos(\theta+\varphi) \end{pmatrix}\)

et en reconnaissant les formules d’addition de la trigonométrie dans chaque coefficient.

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V. Exercices corrigés

Voici 8 exercices classés par difficulté croissante. Les exercices ★ relèvent de l’application directe, les ★★ de l’approfondissement, les ★★★ sont de niveau concours.

Exercice 1 ★ — Produit 2×2 et non-commutativité ⏱ ~5 min

Soient \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(AB\).
2. Calculer \(BA\).
3. A-t-on \(AB = BA\) ?

Voir la correction

1. Calcul de \(AB\) :

\(AB = \begin{pmatrix} 1 \times 0 + 2 \times (-1) & 1 \times 1 + 2 \times 2 \\ 3 \times 0 + 4 \times (-1) & 3 \times 1 + 4 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ -4 & 11 \end{pmatrix}\)

2. Calcul de \(BA\) :

\(BA = \begin{pmatrix} 0 \times 1 + 1 \times 3 & 0 \times 2 + 1 \times 4 \\ (-1) \times 1 + 2 \times 3 & (-1) \times 2 + 2 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\)

3. On constate que \(AB = \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ -4 & 11 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = BA\). Le produit matriciel n’est pas commutatif.

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Exercice 2 ★ — Produit rectangulaire ⏱ ~5 min

Soient \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\) et \(B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})\).

1. Calculer \(AB\). Quelle est la taille du résultat ?
2. Calculer \(BA\). Quelle est la taille du résultat ?

Voir la correction

1. \(A\) est \(2 \times 3\) et \(B\) est \(3 \times 2\) : compatible, résultat \(2 \times 2\).

\(AB = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 0 \times 0 + (-1) \times 3 & 1 \times 1 + 0 \times (-1) + (-1) \times 4 \\ 2 \times 2 + 3 \times 0 + 1 \times 3 & 2 \times 1 + 3 \times (-1) + 1 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}\)

2. \(B\) est \(3 \times 2\) et \(A\) est \(2 \times 3\) : compatible, résultat \(3 \times 3\).

\(BA = \begin{pmatrix} 2 \times 1 + 1 \times 2 & 2 \times 0 + 1 \times 3 & 2 \times (-1) + 1 \times 1 \\ 0 \times 1 + (-1) \times 2 & 0 \times 0 + (-1) \times 3 & 0 \times (-1) + (-1) \times 1 \\ 3 \times 1 + 4 \times 2 & 3 \times 0 + 4 \times 3 & 3 \times (-1) + 4 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & -1 \\ -2 & -3 & -1 \\ 11 & 12 & 1 \end{pmatrix}\)

Remarque : \(AB \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) et \(BA \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\). Les deux produits ne sont même pas de la même taille !

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Exercice 3 ★★ — Produit 3×3 ⏱ ~10 min

Soient :

\(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}\)

Calculer \(AB\).

Voir la correction

On calcule ligne par ligne :

Ligne 1 :

• \(c_{1,1} = 2 \times 1 + (-1) \times (-1) + 0 \times 2 = 2 + 1 + 0 = 3\)
• \(c_{1,2} = 2 \times 0 + (-1) \times 2 + 0 \times (-1) = 0 – 2 + 0 = -2\)
• \(c_{1,3} = 2 \times 3 + (-1) \times 1 + 0 \times 0 = 6 – 1 + 0 = 5\)

Ligne 2 :

• \(c_{2,1} = 1 \times 1 + 3 \times (-1) + (-2) \times 2 = 1 – 3 – 4 = -6\)
• \(c_{2,2} = 1 \times 0 + 3 \times 2 + (-2) \times (-1) = 0 + 6 + 2 = 8\)
• \(c_{2,3} = 1 \times 3 + 3 \times 1 + (-2) \times 0 = 3 + 3 + 0 = 6\)

Ligne 3 :

• \(c_{3,1} = 0 \times 1 + 1 \times (-1) + 4 \times 2 = 0 – 1 + 8 = 7\)
• \(c_{3,2} = 0 \times 0 + 1 \times 2 + 4 \times (-1) = 0 + 2 – 4 = -2\)
• \(c_{3,3} = 0 \times 3 + 1 \times 1 + 4 \times 0 = 0 + 1 + 0 = 1\)

Résultat :

\(AB = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 \\ -6 & 8 & 6 \\ 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}\)

Vérification par la trace : \(\mathrm{tr}(AB) = 3 + 8 + 1 = 12\). On calcule \(\mathrm{tr}(BA)\) : le coefficient \((1,1)\) de \(BA\) vaut \(1 \times 2 + 0 \times 1 + 3 \times 0 = 2\), le \((2,2)\) vaut \((-1) \times (-1) + 2 \times 3 + 1 \times 1 = 8\), le \((3,3)\) vaut \(2 \times 0 + (-1) \times (-2) + 0 \times 4 = 2\). Donc \(\mathrm{tr}(BA) = 2 + 8 + 2 = 12 = \mathrm{tr}(AB)\). ✓

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Exercice 4 ★★ — Puissances d’une matrice nilpotente 🟠 Prépa ⏱ ~8 min

Soit \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(N^2\).
2. Calculer \(N^3\).
3. Que constate-t-on ? Justifier.

Voir la correction

1.

\(N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

2.

\(N^3 = N^2 \cdot N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_3\)

3. On constate que \(N^3 = 0_3\) : la matrice \(N\) est nilpotente d’indice 3. Cela se comprend en remarquant que \(N\) est strictement triangulaire supérieure : toute matrice strictement triangulaire de taille \(n\) est nilpotente d’indice au plus \(n\).

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Exercice 5 ★★ — Écriture matricielle et vérification ⏱ ~8 min

On considère le système linéaire :

\(\begin{cases} x + 2y – z = 3 \\ 2x – y + 3z = 1 \\ x + y + z = 4 \end{cases}\)

1. Écrire ce système sous la forme \(AX = B\).
2. Vérifier que \(X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) est solution en calculant le produit \(AX_0\).

Voir la correction

1. On pose :

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Le système s’écrit \(AX = B\).

2. Calculons \(AX_0\) :

\(AX_0 = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 2 \times 2 + (-1) \times 1 \\ 2 \times 1 + (-1) \times 2 + 3 \times 1 \\ 1 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 4 – 1 \\ 2 – 2 + 3 \\ 1 + 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Or \(B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(AX_0 = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \neq B\). Donc \(X_0\) n’est pas solution du système.

Note : c’est un piège volontaire. Toujours vérifier par le calcul plutôt que de « deviner » la solution.

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Exercice 6 ★★★ — Produit par blocs 🟠 Prépa ⏱ ~15 min

Soit \(M = \begin{pmatrix} I_2 & A \\ 0_2 & I_2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\), avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(M^2\) par blocs.
2. Calculer \(M^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) (on pourra conjecturer puis démontrer par récurrence).

Voir la correction

1. Par produit par blocs :

\(M^2 = \begin{pmatrix} I_2 & A \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} I_2^2 + A \cdot 0 & I_2 \cdot A + A \cdot I_2 \\ 0 \cdot I_2 + I_2 \cdot 0 & 0 \cdot A + I_2^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_2 & 2A \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}\)

2. Conjecture : \(M^n = \begin{pmatrix} I_2 & nA \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Démonstration par récurrence.

Initialisation : pour \(n = 0\), \(M^0 = I_4 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \cdot A \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}\). ✓

Hérédité : supposons \(M^n = \begin{pmatrix} I_2 & nA \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}\). Alors :

\(M^{n+1} = M^n \cdot M = \begin{pmatrix} I_2 & nA \\ 0 & I_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_2 & A \\ 0 & I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_2 & A + nA \\ 0 & I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_2 & (n+1)A \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}\)

La propriété est héréditaire. Par le principe de récurrence :

\(\displaystyle\forall\, n \in \mathbb{N}, \quad M^n = \begin{pmatrix} I_2 & nA \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}\)

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Exercice 7 ★★★ — Matrice idempotente 🟠 Prépa ⏱ ~10 min

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que \(A^2 = A\) (on dit que \(A\) est idempotente).

1. Montrer que \((I_n – A)^2 = I_n – A\).
2. En déduire que \(A(I_n – A) = 0_n\).
3. Déterminer les valeurs possibles de \(\mathrm{tr}(A)\) lorsque \(A \neq 0_n\) et \(A \neq I_n\).

Voir la correction

1. On développe en utilisant la distributivité et \(A^2 = A\) :

\((I_n – A)^2 = I_n^2 – I_n A – A I_n + A^2 = I_n – A – A + A = I_n – A\)

Donc \(I_n – A\) est aussi idempotente.

2. On calcule :

\(A(I_n – A) = A – A^2 = A – A = 0_n\)

Remarque : les matrices \(A\) et \(I_n – A\) sont toutes deux non nulles (puisque \(A \neq 0_n\) et \(A \neq I_n\)), pourtant leur produit est nul. C’est un exemple concret de diviseurs de zéro dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

3. On admet (ou on montre en utilisant les valeurs propres) que les seules valeurs propres d’une matrice idempotente sont \(0\) et \(1\). La trace, étant la somme des valeurs propres (comptées avec multiplicité), est un entier \(r\) avec \(0 \leq r \leq n\). Puisque \(A \neq 0_n\) et \(A \neq I_n\), on a \(r \in \{1, 2, \ldots, n-1\}\). En fait, \(r = \mathrm{rg}(A)\).

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Exercice 8 ★★★ — Diviseurs de zéro 🟠 Prépa ⏱ ~12 min

1. Trouver deux matrices \(A, B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), toutes deux non nulles, telles que \(AB = 0_2\).

2. Montrer que si \(AB = 0_n\) avec \(B \neq 0_n\), alors \(A\) n’est pas inversible.

3. Montrer que si \(A\) et \(B\) sont inversibles, alors \(AB\) est inversible et donner \((AB)^{-1}\).

Voir la correction

1. On peut prendre :

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)

Vérifions : \(AB = \begin{pmatrix} 1 \times 0 + 0 \times 1 & 1 \times 0 + 0 \times 0 \\ 0 \times 0 + 0 \times 1 & 0 \times 0 + 0 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_2\). ✓

Pourtant \(A \neq 0_2\) et \(B \neq 0_2\).

2. Raisonnement par l’absurde. Supposons \(A\) inversible. Alors on peut multiplier \(AB = 0_n\) à gauche par \(A^{-1}\) :

\(A^{-1}(AB) = A^{-1} \cdot 0_n \;\Rightarrow\; (A^{-1}A)B = 0_n \;\Rightarrow\; I_n B = 0_n \;\Rightarrow\; B = 0_n\)

Ceci contredit \(B \neq 0_n\). Donc \(A\) n’est pas inversible.

De même, on montre que \(B\) n’est pas inversible (multiplier à droite par \(B^{-1}\)).

3. Si \(A\) et \(B\) sont inversibles, posons \(C = B^{-1}A^{-1}\). Alors :

\((AB)C = A(BC) = A(B \cdot B^{-1}A^{-1}) = A(I_n A^{-1}) = AA^{-1} = I_n\)

De même \(C(AB) = I_n\). Donc \(AB\) est inversible et :

\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)

L’ordre est inversé, comme pour la transposée.

Tu veux t’entraîner davantage ? Découvre nos exercices corrigés sur les matrices — 20+ problèmes du calcul direct au concours.

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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Les copies de concours regorgent d’erreurs liées au produit matriciel. Voici les quatre pièges les plus fréquents, illustrés par des « copies fautives » commentées.

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VII. Questions fréquentes

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VIII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant le produit matriciel — sa définition, ses propriétés et les techniques de calcul. Pour progresser en algèbre linéaire, voici les étapes suivantes :

• 📖 Cours complet sur les matrices — le hub qui relie tous les chapitres d’algèbre linéaire
• Inverse d’une matrice : méthode de calcul et propriétés — l’opération « réciproque » du produit
• Déterminant d’une matrice : calcul, propriétés et applications — l’invariant multiplicatif fondamental
• Matrice puissance : calcul de \(A^n\) — exploiter le produit itéré via la diagonalisation
• Matrice d’une application linéaire — comprendre pourquoi le produit encode la composition
• Factorisation de Gauss (LU) — décomposer une matrice en produit de matrices triangulaires
• ✏️ 20+ exercices corrigés sur les matrices — du calcul direct au concours X/Mines/Centrale