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Parmi les invariants de similitude d’une matrice, la trace est le plus simple et le plus utile. Somme des coefficients diagonaux, elle encode une information spectrale profonde : la somme des valeurs propres. Ce cours démontre les propriétés fondamentales, établit le lien trace–spectre et formalise la trace d’un endomorphisme, avec 8 exercices corrigés et une méthode pour les concours. Conforme au programme officiel des CPGE scientifiques (MPSI, PCSI, MP, PC, PSI) — 2025-2026.
I. Définition et contexte
A. Définition formelle de la trace
Définition — Trace d’une matrice
Soit \(\mathbb{K}\) un corps (\(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)). Pour toute matrice \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on appelle trace de \(A\) le scalaire :
\(\displaystyle \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}\)
C’est la somme des coefficients diagonaux de \(A\).
Autrement dit, on ne retient de la matrice que sa diagonale principale et on additionne les termes qui s’y trouvent. Tous les coefficients hors diagonale sont ignorés.
Notation. La trace est notée \(\mathrm{tr}(A)\) ou parfois \(\mathrm{Tr}(A)\) selon les ouvrages. En CPGE scientifique, la convention minuscule \(\mathrm{tr}\) est standard.
B. Exemples fondamentaux de calcul
Exemple 1 — Matrice 2×2
Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}\). Alors :
\(\mathrm{tr}(A) = 3 + 5 = 8\)
Exemple 2 — Matrice 3×3
Soit \(B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \end{pmatrix}\). Alors :
\(\mathrm{tr}(B) = 2 + 5 + (-3) = 4\)
Exemple 3 — Matrice dépendant d’un paramètre
Soit \(A(t) = \begin{pmatrix} t & 1 \\ 0 & t^2 \end{pmatrix}\) pour \(t \in \mathbb{R}\). Alors \(\mathrm{tr}(A(t)) = t + t^2 = t(1+t)\). On obtient une fonction polynomiale de \(t\).
C. Trace de matrices particulières
Les résultats suivants découlent immédiatement de la définition.
| Matrice | Trace | Justification |
|---|---|---|
| Matrice identité \(I_n\) | \(\mathrm{tr}(I_n) = n\) | Tous les coeff. diag. valent 1 |
| Matrice nulle \(0_n\) | \(\mathrm{tr}(0_n) = 0\) | Tous les coeff. valent 0 |
| Matrice diagonale \(\mathrm{diag}(d_1, \ldots, d_n)\) | \(\mathrm{tr}(D) = d_1 + \cdots + d_n\) | Les coeff. diag. sont les \(d_i\) |
| Matrice triangulaire | \(\mathrm{tr}(T) = t_{11} + \cdots + t_{nn}\) | Diagonale inchangée |
| Matrice élémentaire \(E_{ij}\) | \(\mathrm{tr}(E_{ij}) = \delta_{ij}\) | Seul coeff. non nul : position \((i,j)\) |
| Matrice scalaire \(\lambda I_n\) | \(\mathrm{tr}(\lambda I_n) = n\lambda\) | \(n\) fois \(\lambda\) sur la diag. |
Retenir. La trace d’une matrice diagonale ou triangulaire est toujours la somme de ses coefficients diagonaux — c’est le même calcul. La forme triangulaire ne « cache » rien de plus que la forme diagonale du point de vue de la trace.
II. Propriétés algébriques de la trace
La trace est bien plus qu’un simple calcul de somme : c’est une forme linéaire sur l’espace des matrices, dotée de propriétés algébriques remarquables. Nous démontrons ici les quatre propriétés fondamentales.
A. Linéarité de la trace
Propriété — Linéarité
L’application \(\mathrm{tr} : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}\) est une forme linéaire. Autrement dit, pour tous \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et tous \(\alpha, \beta \in \mathbb{K}\) :
\(\mathrm{tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha\,\mathrm{tr}(A) + \beta\,\mathrm{tr}(B)\)
Démonstration. Notons \(A = (a_{ij})\) et \(B = (b_{ij})\). Le coefficient diagonal d’indice \(i\) de \(\alpha A + \beta B\) est \(\alpha a_{ii} + \beta b_{ii}\). Donc :
\(\displaystyle \mathrm{tr}(\alpha A + \beta B) = \sum_{i=1}^{n}(\alpha a_{ii} + \beta b_{ii}) = \alpha \sum_{i=1}^{n} a_{ii} + \beta \sum_{i=1}^{n} b_{ii} = \alpha\,\mathrm{tr}(A) + \beta\,\mathrm{tr}(B)\)
■
Conséquence immédiate. La trace est un élément du dual \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})^*\). Son noyau \(\ker(\mathrm{tr}) = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mid \mathrm{tr}(M) = 0\}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et, comme la trace est non nulle (par exemple \(\mathrm{tr}(I_n) = n \neq 0\)), c’est un hyperplan de dimension \(n^2 – 1\).
B. Trace d’un produit — permutation circulaire
C’est la propriété la plus puissante de la trace, et celle qui intervient dans la majorité des exercices de concours.
Propriété — Trace d’un produit ⋆
Pour tous \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) :
\(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\)
Démonstration (au programme) ⋆. Notons \(A = (a_{ij})\) et \(B = (b_{ij})\). Le coefficient d’indice \((i,i)\) du produit \(AB\) est \(\displaystyle (AB)_{ii} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{ji}\). Donc :
\(\displaystyle \mathrm{tr}(AB) = \sum_{i=1}^{n}(AB)_{ii} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{ji}\)
Cette double somme est finie, on peut intervertir les sommations :
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{ji} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n} b_{ji}a_{ij} = \sum_{j=1}^{n}(BA)_{jj} = \mathrm{tr}(BA)\)
■
Corollaire — Permutation circulaire
Pour tous \(A, B, C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) :
\(\mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(BCA) = \mathrm{tr}(CAB)\)
Plus généralement, pour \(A_1, \ldots, A_k \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) :
\(\mathrm{tr}(A_1 A_2 \cdots A_k) = \mathrm{tr}(A_2 \cdots A_k A_1)\)
Démonstration. Il suffit d’appliquer \(\mathrm{tr}(XY) = \mathrm{tr}(YX)\) avec \(X = A\) et \(Y = BC\) : on obtient \(\mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(BCA)\). Puis avec \(X = B\) et \(Y = CA\) : \(\mathrm{tr}(BCA) = \mathrm{tr}(CAB)\). ■
Attention — Deux erreurs classiques sur le produit
Erreur 1 : la trace n’est PAS multiplicative. En général, \(\mathrm{tr}(AB) \neq \mathrm{tr}(A) \cdot \mathrm{tr}(B)\). Contre-exemple : \(A = B = I_n\) donne \(\mathrm{tr}(AB) = n\) mais \(\mathrm{tr}(A)\cdot\mathrm{tr}(B) = n^2\).
Erreur 2 : la permutation circulaire n’est PAS une permutation quelconque. En général, \(\mathrm{tr}(ABC) \neq \mathrm{tr}(ACB)\). Seules les permutations circulaires (décalage de la première matrice à la fin) conservent la trace.
C. Trace de la transposée
Propriété — Trace et transposition
Pour toute \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) :
\(\mathrm{tr}(A^\top) = \mathrm{tr}(A)\)
Démonstration. Par définition, \((A^\top)_{ii} = a_{ii}\) pour tout \(i\). La transposition ne modifie pas la diagonale, donc la trace est inchangée. ■
Conséquence directe. Pour tout \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) : \(\mathrm{tr}(A^\top A) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}^2\). En effet, \((A^\top A)_{ii} = \displaystyle\sum_{j=1}^{n} a_{ji}^2\). On retrouve la somme des carrés de tous les coefficients de \(A\).
D. Invariance par similitude ⋆
Cette propriété est la clé de voûte de la trace : elle justifie que la trace soit un invariant de similitude et permet de définir la trace d’un endomorphisme.
Théorème — Invariance par similitude ⋆
Soient \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et \(P \in GL_n(\mathbb{K})\). Alors :
\(\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(A)\)
Autrement dit, deux matrices semblables ont même trace.
Démonstration (au programme) ⋆. On applique la propriété \(\mathrm{tr}(XY) = \mathrm{tr}(YX)\) avec \(X = P^{-1}\) et \(Y = AP\) :
\(\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}\bigl((P^{-1})(AP)\bigr) = \mathrm{tr}\bigl((AP)(P^{-1})\bigr) = \mathrm{tr}(A \cdot PP^{-1}) = \mathrm{tr}(AI_n) = \mathrm{tr}(A)\)
■
Pourquoi c’est fondamental. L’invariance par similitude signifie que la trace ne dépend pas de la base dans laquelle on écrit la matrice, mais uniquement de l’endomorphisme sous-jacent. C’est ce qui fait de la trace un outil intrinsèque, au même titre que le déterminant ou le polynôme caractéristique.
Remarque. La réciproque est fausse : deux matrices de même trace ne sont pas nécessairement semblables. Par exemple, \(I_2\) et \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) ont toutes deux pour trace 2, mais elles ne sont pas semblables (l’une est inversible, l’autre non).
Fiche de synthèse — Trace d’une matrice
Définition, 4 propriétés clés, lien trace–spectre et les réflexes concours. Le cours condensé en une page recto-verso.
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III. Trace et spectre
L’invariance par similitude est une propriété algébrique. Le lien avec les valeurs propres en révèle la signification spectrale profonde.
A. Théorème : la trace est la somme des valeurs propres
Théorème fondamental ⋆
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) de valeurs propres \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \overline{\mathbb{K}}\) comptées avec multiplicité algébrique. Alors :
\(\mathrm{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n\)
De même : \(\det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n\).
Ce théorème lie deux objets de natures très différentes : la trace, qui est un calcul sur les coefficients de la matrice, et les valeurs propres, qui sont les racines de son polynôme caractéristique. La trace « capture » l’information de la somme du spectre.
B. Démonstration via le polynôme caractéristique ⋆
Démonstration (au programme) ⋆. On raisonne par double identification du coefficient de \(X^{n-1}\) dans le polynôme caractéristique \(\chi_A(X) = \det(XI_n – A)\).
Étape 1 — Développement par la formule de Leibniz.
Par définition du déterminant :
\(\displaystyle \chi_A(X) = \det(XI_n – A) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n}(XI_n – A)_{i,\sigma(i)}\)
Pour \(\sigma = \mathrm{id}\), chaque facteur vaut \((X – a_{ii})\), de degré 1. Le produit correspondant est :
\(\displaystyle \prod_{i=1}^{n}(X – a_{ii}) = X^n – \left(\sum_{i=1}^{n} a_{ii}\right)X^{n-1} + \cdots = X^n – \mathrm{tr}(A)\,X^{n-1} + \cdots\)
Pour \(\sigma \neq \mathrm{id}\), la permutation \(\sigma\) a au plus \(n-2\) points fixes (car une permutation non triviale déplace au moins 2 éléments). Chaque point fixe fournit un facteur de degré 1, chaque point mobile un facteur de degré 0. Le produit est donc de degré \(\leq n-2\) en \(X\).
Conclusion de l’étape 1 : dans \(\chi_A(X)\), le coefficient de \(X^{n-1}\) est \(-\mathrm{tr}(A)\).
Étape 2 — Factorisation sur \(\overline{\mathbb{K}}\).
Les valeurs propres \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) sont les racines de \(\chi_A\) dans la clôture algébrique, comptées avec multiplicité. Donc :
\(\displaystyle \chi_A(X) = \prod_{i=1}^{n}(X – \lambda_i) = X^n – \left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\right)X^{n-1} + \cdots\)
Étape 3 — Identification.
En identifiant les coefficients de \(X^{n-1}\) :
\(\displaystyle -\mathrm{tr}(A) = -\sum_{i=1}^{n}\lambda_i \quad \Longrightarrow \quad \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i\)
■
Retenir le binôme trace–déterminant. Le polynôme caractéristique en dimension \(n\) s’écrit \(\chi_A(X) = X^n – \mathrm{tr}(A)\,X^{n-1} + \cdots + (-1)^n\det(A)\). La trace donne le coefficient de \(X^{n-1}\) (au signe près), le déterminant donne le terme constant (au signe près). En dimension 2, c’est encore plus explicite : \(\chi_A(X) = X^2 – \mathrm{tr}(A)\,X + \det(A)\).
Applications immédiates.
- Retrouver une valeur propre manquante : si \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) a pour valeurs propres \(2\), \(-1\) et \(\lambda_3\), alors \(\lambda_3 = \mathrm{tr}(A) – 2 – (-1) = \mathrm{tr}(A) – 1\).
- Condition nécessaire de nilpotence : si \(A\) est nilpotente, toutes ses valeurs propres sont nulles, donc \(\mathrm{tr}(A) = 0\). (La réciproque est fausse !)
- Obstruction à la similitude : si \(\mathrm{tr}(A) \neq \mathrm{tr}(B)\), alors \(A\) et \(B\) ne sont pas semblables. (Mais \(\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(B)\) ne suffit pas.)
C. Trace d’un endomorphisme
L’invariance par similitude permet de dépasser le cadre matriciel.
Définition — Trace d’un endomorphisme
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(f \in \mathcal{L}(E)\). On définit :
\(\mathrm{tr}(f) = \mathrm{tr}\bigl(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(f)\bigr)\)
où \(\mathcal{B}\) est une base quelconque de \(E\). Cette définition est indépendante du choix de \(\mathcal{B}\).
Justification. Si \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}^\prime\) sont deux bases de \(E\), la formule de changement de base donne \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}^\prime}(f) = P^{-1}\,\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(f)\,P\) où \(P\) est la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^\prime\). Par invariance de la trace par similitude, les deux matrices ont même trace. ■
D. Trace d’un projecteur et d’une symétrie
Ce sont deux résultats classiques et fréquents en concours.
Théorème — Trace d’un projecteur ⋆
Soit \(p\) un projecteur de \(E\) (c’est-à-dire \(p^2 = p\)). Alors :
\(\mathrm{tr}(p) = \mathrm{rg}(p)\)
Démonstration. Puisque \(p\) est un projecteur, on a la décomposition en somme directe \(E = \mathrm{Im}(p) \oplus \ker(p)\). Notons \(r = \mathrm{rg}(p) = \dim(\mathrm{Im}(p))\). Choisissons une base \(\mathcal{B}\) adaptée à cette décomposition (les \(r\) premiers vecteurs dans \(\mathrm{Im}(p)\), les \(n-r\) derniers dans \(\ker(p)\)).
Dans cette base :
\(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(p) = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0_{n-r} \end{pmatrix}\)
La trace de cette matrice vaut \(r = \mathrm{rg}(p)\). Par indépendance de la base : \(\mathrm{tr}(p) = \mathrm{rg}(p)\). ■
Corollaire — Trace d’une symétrie
Soit \(s = 2p – \mathrm{id}_E\) la symétrie associée au projecteur \(p\). Alors :
\(\mathrm{tr}(s) = 2\,\mathrm{rg}(p) – \dim(E)\)
Démonstration. Par linéarité : \(\mathrm{tr}(s) = 2\,\mathrm{tr}(p) – \mathrm{tr}(\mathrm{id}_E) = 2\,\mathrm{rg}(p) – n\). ■
Exemple — Projection orthogonale dans \(\mathbb{R}^3\)
Soit \(p\) la projection orthogonale sur le plan d’équation \(z = 0\). Alors \(\mathrm{rg}(p) = 2\) et \(\mathrm{tr}(p) = 2\). La symétrie associée \(s = 2p – \mathrm{id}\) vérifie \(\mathrm{tr}(s) = 2 \times 2 – 3 = 1\).
IV. Méthode — exploiter la trace dans un exercice
La trace n’est pas seulement un objet théorique : c’est un outil opérationnel qui intervient régulièrement en DS et en concours. Voici les réflexes à automatiser.
A. Les quatre réflexes
| Situation | Réflexe | Formule clé |
|---|---|---|
| La matrice est donnée explicitement | Calcul direct : sommer les coefficients diagonaux | \(\mathrm{tr}(A) = \sum a_{ii}\) |
| On connaît une matrice semblable (diagonale, triangulaire…) | Similitude : la trace est la même | \(\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(A)\) |
| On connaît les valeurs propres | Spectre : sommer les valeurs propres | \(\mathrm{tr}(A) = \sum \lambda_i\) |
| La matrice est une combinaison linéaire ou un produit | Linéarité + permutation circulaire | \(\mathrm{tr}(\alpha A + \beta B)\), \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\) |
Stratégie concours. La trace est souvent utilisée comme condition nécessaire pour réfuter une propriété. Si l’on te demande « montrer qu’il n’existe pas de matrice \(M\) telle que… », penser immédiatement à prendre la trace des deux membres. Si les traces ne coïncident pas, c’est terminé.
B. Exemples résolus progressifs
Exemple résolu 1 — Réflexe « spectre »
Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) diagonalisable de valeurs propres \(1, -2, 4\). Calculer \(\mathrm{tr}(A^2)\).
Solution. Les valeurs propres de \(A^2\) sont \(1^2, (-2)^2, 4^2 = 1, 4, 16\). Donc \(\mathrm{tr}(A^2) = 1 + 4 + 16 = 21\).
Exemple résolu 2 — Réflexe « permutation circulaire »
Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Simplifier \(\mathrm{tr}(ABA^{-1}B^{-1})\) lorsque \(A\) et \(B\) sont inversibles.
Solution. On ne peut pas simplifier en général ! La permutation circulaire donne \(\mathrm{tr}(ABA^{-1}B^{-1}) = \mathrm{tr}(BA^{-1}B^{-1}A)\), mais pas \(\mathrm{tr}(I_n)\). Il faudrait \(AB = BA\) pour conclure. Sans commutativité, la trace du commutateur \(ABA^{-1}B^{-1}\) n’est pas nécessairement \(n\).
Exemple résolu 3 — Réflexe « condition nécessaire »
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 = A + 3I_n\). Que vaut \(\mathrm{tr}(A^2)\) en fonction de \(\mathrm{tr}(A)\) ?
Solution. On prend la trace des deux membres : \(\mathrm{tr}(A^2) = \mathrm{tr}(A) + 3\,\mathrm{tr}(I_n) = \mathrm{tr}(A) + 3n\).
Application en théorie des graphes (culture). Si \(A\) est la matrice d’adjacence d’un graphe non orienté à \(n\) sommets, alors \(\mathrm{tr}(A^k)\) compte le nombre de chemins fermés de longueur \(k\). En particulier, \(\mathrm{tr}(A^2)\) est le double du nombre d’arêtes, et \(\displaystyle\frac{\mathrm{tr}(A^3)}{6}\) est le nombre de triangles du graphe. La trace encode la structure combinatoire du graphe.
V. Exercices corrigés
Voici 8 exercices classés par difficulté croissante, couvrant toutes les propriétés du cours. Chaque exercice est corrigé pas à pas.
Exercice 1 ★ — Calcul direct
Calculer la trace des matrices suivantes :
\(A = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 7 \\ -4 & 6 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} \pi & e \\ -\sqrt{2} & \pi \end{pmatrix}\)
Voir la correction
On somme les coefficients diagonaux :
- \(\mathrm{tr}(A) = 5 + 3 + (-1) = 7\)
- \(\mathrm{tr}(B) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0\) (la matrice \(B\) est nilpotente : c’est cohérent avec le fait que toutes ses VP sont nulles)
- \(\mathrm{tr}(C) = \pi + \pi = 2\pi\)
Exercice 2 ★ — Trace d’un produit et multiplicativité
Soient \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). Calculer \(\mathrm{tr}(AB)\), \(\mathrm{tr}(BA)\) et \(\mathrm{tr}(A) \cdot \mathrm{tr}(B)\). Que constate-t-on ?
Voir la correction
On calcule les produits :
\(AB = \begin{pmatrix} 1 \times 3 + 2 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 0 \times 3 + (-1) \times 1 & 0 \times 0 + (-1) \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\) \(BA = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)Donc :
- \(\mathrm{tr}(AB) = 5 + (-2) = 3\)
- \(\mathrm{tr}(BA) = 3 + 0 = 3\) ✓ On retrouve bien \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\)
- \(\mathrm{tr}(A) \cdot \mathrm{tr}(B) = (1+(-1))(3+2) = 0 \times 5 = 0 \neq 3\)
Conclusion : \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\), mais \(\mathrm{tr}(AB) \neq \mathrm{tr}(A)\cdot\mathrm{tr}(B)\) en général.
Exercice 3 ★★ — Retrouver une valeur propre manquante
Soit \(A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\). On sait que \(2\) et \(3\) sont des valeurs propres de \(A\). Déterminer la troisième valeur propre sans calculer le polynôme caractéristique.
Voir la correction
Par le théorème \(\mathrm{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3\).
On calcule : \(\mathrm{tr}(A) = 4 + 5 + 0 = 9\).
Donc \(\lambda_3 = \mathrm{tr}(A) – \lambda_1 – \lambda_2 = 9 – 2 – 3 = 4\).
La troisième valeur propre est \(\lambda_3 = 4\).
Exercice 4 ★★ — Le noyau de la trace est un hyperplan
Soit \(\mathcal{H} = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mid \mathrm{tr}(M) = 0\}\).
- Montrer que \(\mathcal{H}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).
- Déterminer \(\dim(\mathcal{H})\).
- Donner une base de \(\mathcal{H}\) lorsque \(n = 2\).
Voir la correction
1. \(\mathcal{H} = \ker(\mathrm{tr})\). Or la trace est une forme linéaire (application linéaire de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) dans \(\mathbb{K}\)). Le noyau d’une application linéaire est un sous-espace vectoriel. Donc \(\mathcal{H}\) est un sous-espace vectoriel.
2. La trace est une forme linéaire non nulle (car \(\mathrm{tr}(I_n) = n \neq 0\)). Donc \(\mathrm{tr}\) est surjective (toute forme linéaire non nulle d’un espace de dimension finie est surjective). Par le théorème du rang :
\(\dim(\mathcal{H}) = \dim(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})) – \dim(\mathrm{Im}(\mathrm{tr})) = n^2 – 1\)
\(\mathcal{H}\) est un hyperplan de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).
3. Pour \(n = 2\), \(\dim(\mathcal{M}_2(\mathbb{K})) = 4\) et \(\dim(\mathcal{H}) = 3\). On cherche 3 matrices de trace nulle, linéairement indépendantes :
\(E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad F = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
On vérifie : \(\mathrm{tr}(E_{12}) = 0\), \(\mathrm{tr}(E_{21}) = 0\), \(\mathrm{tr}(F) = 1 + (-1) = 0\). Ces trois matrices sont clairement indépendantes (coefficients sur des positions distinctes ou combinaison évidente). Donc \((E_{12}, E_{21}, F)\) est une base de \(\mathcal{H}\).
Exercice 5 ★★ — Trace et matrice symétrique
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) une matrice symétrique. Montrer que \(\mathrm{tr}(A^2) \geq 0\), et déterminer le cas d’égalité.
Voir la correction
Méthode 1 — Par les valeurs propres. \(A\) est symétrique réelle, donc diagonalisable dans \(\mathbb{R}\) (théorème spectral). Soient \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}\) ses valeurs propres. Les valeurs propres de \(A^2\) sont \(\lambda_1^2, \ldots, \lambda_n^2\). Donc :
\(\displaystyle \mathrm{tr}(A^2) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i^2 \geq 0\)
Égalité si et seulement si \(\lambda_i = 0\) pour tout \(i\), c’est-à-dire \(A = 0_n\).
Méthode 2 — Par les coefficients (directe). Puisque \(A\) est symétrique, \(A^\top = A\), donc \(A^2 = A^\top A\). On a :
\(\displaystyle \mathrm{tr}(A^2) = \mathrm{tr}(A^\top A) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}^2 \geq 0\)
C’est une somme de carrés de réels. Égalité si et seulement si tous les \(a_{ij} = 0\), soit \(A = 0_n\).
Remarque : la méthode 2 ne nécessite pas le théorème spectral et fonctionne même pour une matrice quelconque (pas forcément symétrique). En effet, \(\mathrm{tr}(A^\top A) = \displaystyle\sum_{i,j} a_{ij}^2 \geq 0\) pour toute matrice réelle \(A\).
Exercice 6 ★★★ — L’impossibilité \(AB – BA = I_n\)
Montrer qu’il n’existe pas de matrices \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telles que \(AB – BA = I_n\).
Voir la correction
Raisonnons par l’absurde. Supposons qu’il existe \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telles que \(AB – BA = I_n\).
Prenons la trace des deux membres :
\(\mathrm{tr}(AB – BA) = \mathrm{tr}(I_n)\)
Par linéarité de la trace :
\(\mathrm{tr}(AB) – \mathrm{tr}(BA) = n\)
Or, par la propriété fondamentale : \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\). Donc le membre de gauche vaut \(0\).
On obtient : \(0 = n\), ce qui est absurde car \(n \geq 1\).
Conclusion : il n’existe aucun couple \((A, B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})^2\) vérifiant \(AB – BA = I_n\). ■
Commentaire concours. Cet exercice est un grand classique. Il illustre la puissance de la trace comme obstruction : on obtient une contradiction en une seule ligne de calcul. Il faut penser « trace » dès qu’une relation fait intervenir \(AB – BA\) (le commutateur de \(A\) et \(B\)).
Exercice 7 ★★★ — Nilpotence en dimension 2
Soit \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telle que \(\mathrm{tr}(A) = 0\) et \(\mathrm{tr}(A^2) = 0\). Montrer que \(A^2 = 0\) (c’est-à-dire que \(A\) est nilpotente d’ordre au plus 2).
Voir la correction
Étape 1 — Polynôme caractéristique. Pour une matrice \(2 \times 2\), le polynôme caractéristique s’écrit :
\(\chi_A(X) = X^2 – \mathrm{tr}(A)\,X + \det(A)\)
Étape 2 — Exploiter les hypothèses. On sait que \(\mathrm{tr}(A) = 0\). Pour le déterminant, utilisons l’identité (valable en dimension 2) :
\(\mathrm{tr}(A^2) = (\mathrm{tr}(A))^2 – 2\det(A)\)
En effet, si les valeurs propres de \(A\) sont \(\lambda_1, \lambda_2\), alors \(\mathrm{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2\), \(\det(A) = \lambda_1\lambda_2\), et \(\mathrm{tr}(A^2) = \lambda_1^2 + \lambda_2^2 = (\lambda_1 + \lambda_2)^2 – 2\lambda_1\lambda_2\).
Avec \(\mathrm{tr}(A) = 0\) et \(\mathrm{tr}(A^2) = 0\) :
\(0 = 0 – 2\det(A) \quad \Longrightarrow \quad \det(A) = 0\)
Étape 3 — Cayley-Hamilton. Le polynôme caractéristique est donc \(\chi_A(X) = X^2\). Par le théorème de Cayley-Hamilton : \(\chi_A(A) = A^2 = 0\).
Conclusion : \(A\) est nilpotente d’ordre au plus 2. ■
Exercice 8 ★★★ — Type concours : \(A^3 = A\)
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(A^3 = A\). Déterminer toutes les valeurs possibles de \(\mathrm{tr}(A)\).
Voir la correction
Étape 1 — Spectre de \(A\). La relation \(A^3 = A\) s’écrit \(A^3 – A = 0\), donc le polynôme \(P(X) = X^3 – X = X(X-1)(X+1)\) annule \(A\). Le polynôme minimal \(\mu_A\) divise \(P\).
Comme \(P\) est scindé à racines simples dans \(\mathbb{R}\), le polynôme minimal \(\mu_A\) est aussi scindé à racines simples. Donc \(A\) est diagonalisable dans \(\mathbb{R}\), et ses valeurs propres appartiennent à \(\{-1, 0, 1\}\).
Étape 2 — Expression de la trace. Puisque \(A\) est diagonalisable avec valeurs propres dans \(\{-1, 0, 1\}\), notons :
- \(p\) = multiplicité de la valeur propre \(1\)
- \(q\) = multiplicité de la valeur propre \(0\)
- \(r\) = multiplicité de la valeur propre \(-1\)
avec \(p + q + r = n\) et \(p, q, r \geq 0\).
La trace vaut \(\mathrm{tr}(A) = p \cdot 1 + q \cdot 0 + r \cdot (-1) = p – r\).
Étape 3 — Valeurs possibles. On a \(p \geq 0\), \(r \geq 0\), et \(p + r \leq n\). Pour tout entier \(t\) avec \(-n \leq t \leq n\), on peut trouver \((p, r)\) convenable :
- Si \(t \geq 0\) : prendre \(p = t\), \(r = 0\), \(q = n – t\).
- Si \(t\) < \(0\) : prendre \(p = 0\), \(r = -t\), \(q = n + t\).
Conclusion : les valeurs possibles de \(\mathrm{tr}(A)\) sont exactement les entiers \(t \in \{-n, -n+1, \ldots, n-1, n\}\), soit \(2n+1\) valeurs possibles. ■
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Piège 1 — Croire que la trace est multiplicative
❌ Copie fautive : « \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(A) \times \mathrm{tr}(B) = 2 \times 3 = 6\) »
→ Diagnostic : confusion entre les propriétés de la trace et celles du déterminant. Le déterminant est multiplicatif (\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)), mais pas la trace.
✅ Correction : la trace vérifie \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\), pas \(\mathrm{tr}(A)\cdot\mathrm{tr}(B)\). Il faut calculer le produit \(AB\) puis sommer la diagonale.
Piège 2 — Croire que \(\mathrm{tr}(A^2) = (\mathrm{tr}(A))^2\)
C’est un cas particulier du piège 1. La trace de \(A \cdot A\) n’est pas le carré de la trace de \(A\). Contre-exemple : \(A = I_2\) donne \(\mathrm{tr}(A^2) = 2\) mais \((\mathrm{tr}(A))^2 = 4\).
Piège 3 — « Trace nulle implique matrice nilpotente »
❌ Copie fautive : « \(\mathrm{tr}(A) = 0\), donc \(A\) est nilpotente. »
→ Diagnostic : c’est une condition nécessaire mais pas suffisante. La matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) a pour trace 0, mais ses valeurs propres sont \(1\) et \(-1\), donc elle n’est pas nilpotente.
✅ Correction : \(A\) nilpotente \(\Rightarrow\) \(\mathrm{tr}(A) = 0\) (car VP toutes nulles). Mais la réciproque est fausse.
Piège 4 — Confondre invariance par similitude et « la trace factorise »
❌ Copie fautive : « \(\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(P^{-1})\cdot\mathrm{tr}(A)\cdot\mathrm{tr}(P)\) »
→ Diagnostic : on applique une fausse « multiplicativité » (piège 1 en version triple). La bonne propriété est \(\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(A)\), démontrée via \(\mathrm{tr}(XY) = \mathrm{tr}(YX)\), pas par « factorisation ».
VII. Questions fréquentes
Comment calculer la trace d'une matrice ?
Pour calculer la trace d’une matrice, on additionne les coefficients situés sur la diagonale principale, c’est-à-dire les coefficients \(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}\). Par exemple, pour une matrice \(3 \times 3\) : \(\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}\). Si la matrice n’est pas donnée explicitement mais que ses valeurs propres sont connues, on peut aussi utiliser \(\mathrm{tr}(A) = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n\).
Quelle est la relation entre la trace et les valeurs propres ?
La trace d’une matrice est égale à la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité algébrique : \(\mathrm{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n\). Cette égalité découle de l’identification des coefficients du polynôme caractéristique. Elle est l’un des deux invariants scalaires fondamentaux avec le déterminant (qui est le produit des valeurs propres).
Quelle est la trace d'une somme de matrices ?
La trace est une application linéaire. Donc \(\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)\) et plus généralement \(\mathrm{tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha\,\mathrm{tr}(A) + \beta\,\mathrm{tr}(B)\). La trace commute avec les combinaisons linéaires.
Quelle est la différence entre trace et déterminant ?
La trace et le déterminant sont deux invariants de similitude, mais leurs propriétés algébriques sont très différentes. La trace est linéaire (\(\mathrm{tr}(A+B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)\)) et correspond à la somme des valeurs propres. Le déterminant est multiplicatif (\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)) et correspond au produit des valeurs propres. En dimension 2, ils déterminent entièrement le polynôme caractéristique : \(\chi_A(X) = X^2 – \mathrm{tr}(A)\,X + \det(A)\).
Pourquoi la trace est-elle invariante par changement de base ?
Parce que \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\) pour toutes matrices carrées \(A, B\). En effet, si \(P\) est une matrice de passage, alors \(\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}((P^{-1})(AP)) = \mathrm{tr}((AP)(P^{-1})) = \mathrm{tr}(A)\). C’est cette invariance qui permet de définir la trace d’un endomorphisme, indépendamment du choix de base.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la trace d’une matrice, ses propriétés fondamentales et son lien avec le spectre. Pour approfondir, voici les pages du cocon à explorer :
- Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice — le cours complet sur le spectre, indispensable pour exploiter pleinement le théorème \(\mathrm{tr}(A) = \sum \lambda_i\).
- Diagonalisation d’une matrice — quand \(A = PDP^{-1}\), la trace se lit directement sur \(D\).
- Déterminant d’une matrice — l’autre invariant fondamental, cette fois multiplicatif.
- Transposée d’une matrice — lien avec \(\mathrm{tr}(A^\top) = \mathrm{tr}(A)\) et le produit scalaire matriciel \(\mathrm{tr}(A^\top B)\).
- Matrice nilpotente — toutes les valeurs propres sont nulles, donc trace nulle : c’est une condition nécessaire utile.
- Matrice d’une application linéaire — la trace comme invariant intrinsèque d’un endomorphisme.
- Exercices corrigés sur les matrices — entraînement supplémentaire sur l’ensemble du chapitre.
