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Le mot « morphisme » revient dans presque tous les chapitres d’algèbre de MPSI : morphismes de groupes, d’anneaux, de corps, applications linéaires. C’est le même concept à chaque fois, décliné selon la structure. Une fois que tu as compris ce qu’est un morphisme et comment on le manipule, tu as la clé qui ouvre l’algèbre linéaire, l’arithmétique modulaire et la théorie des groupes. Cet article te donne la définition rigoureuse, les propriétés à connaître par cœur (noyau, image, caractérisation de l’injectivité), la méthode de rédaction attendue aux concours et des exercices corrigés.
En bref : un morphisme est une application entre deux structures algébriques de même nature qui « respecte » les opérations. Pour un morphisme de groupes \(f : (G,*) \to (H,\cdot)\), cela signifie \(f(x*y) = f(x) \cdot f(y)\) pour tous \(x, y\) de \(G\). Le morphisme transporte la structure de départ vers la structure d’arrivée sans la déformer.
I. À quoi sert un morphisme
Avant le formalisme, il faut comprendre l’intuition. En algèbre, on étudie des structures algébriques : des ensembles munis d’une ou plusieurs lois. Un morphisme est l’outil qui permet de comparer deux structures et de transporter des propriétés de l’une vers l’autre.
L’exemple fondateur est le logarithme. La fonction \(\ln\) envoie \((\mathbb{R}_+^*, \times)\) vers \((\mathbb{R}, +)\) et vérifie \(\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)\). Elle transforme un produit en somme : c’est exactement pour cela qu’elle servait à faire des calculs avec des tables avant les calculatrices. Le logarithme est un morphisme, et ce morphisme transporte la structure multiplicative des réels positifs en la structure additive des réels.
Concrètement, un morphisme te permet de faire trois choses en prépa :
- Prouver que deux structures ont la même forme : quand un morphisme est bijectif, on parle d’isomorphisme, et les deux structures sont « les mêmes » à un renommage près.
- Mesurer un défaut d’injectivité : le noyau d’un morphisme dit exactement ce qui est « écrasé » vers l’élément neutre.
- Construire des sous-structures : l’image d’un morphisme est automatiquement un sous-groupe (ou un sous-anneau), sans avoir à le vérifier à la main.
Une fois cette intuition en place, la définition formelle devient naturelle.
II. Définition et notation
La définition d’un morphisme dépend de la structure considérée, mais l’idée est toujours la même : l’application respecte les lois. Commençons par le cas des groupes, le plus courant en début de prépa.
Définition — Morphisme de groupes
Soient \((G, *)\) et \((H, \cdot)\) deux groupes. Une application \(f : G \to H\) est un morphisme de groupes (ou homomorphisme) lorsque :
\(\forall (x, y) \in G^2, \quad f(x * y) = f(x) \cdot f(y).\)
Le mot homomorphisme est un synonyme strict de morphisme : historiquement on disait « homomorphisme », l’usage moderne raccourcit en « morphisme ». Il n’y a aucune différence de sens (nous y revenons dans la FAQ).
A. Morphisme d’anneaux et de corps
Pour un anneau, il y a deux lois : il faut donc que l’application respecte l’addition et la multiplication, et envoie l’unité sur l’unité.
Définition — Morphisme d’anneaux
Soient \((A, +, \times)\) et \((B, +, \times)\) deux anneaux. Une application \(f : A \to B\) est un morphisme d’anneaux lorsque, pour tous \(x, y \in A\) :
- \(f(x + y) = f(x) + f(y)\) ;
- \(f(x \times y) = f(x) \times f(y)\) ;
- \(f(1_A) = 1_B\).
Piège — la condition \(f(1_A) = 1_B\) n’est pas automatique. Contrairement au cas des groupes où \(f(e_G) = e_H\) se démontre, la condition sur l’unité doit être imposée dans la définition d’un morphisme d’anneaux. Sans elle, l’application nulle \(x \mapsto 0\) respecterait l’addition et la multiplication tout en n’étant pas un morphisme d’anneaux. C’est une convention du programme français : un morphisme d’anneaux est unitaire.
Un morphisme de corps est simplement un morphisme d’anneaux entre deux corps. On démontre qu’un tel morphisme est toujours injectif : son noyau est un idéal du corps \(K\), donc \(\{0\}\) ou \(K\) tout entier, et comme \(f(1) = 1 \neq 0\), c’est \(\{0\}\).
B. Notations usuelles
On note souvent un morphisme \(f : G \to H\). Quand \(G = H\), on parle d’endomorphisme ; quand \(f\) est de plus bijectif, d’isomorphisme ; un morphisme bijectif d’un groupe dans lui-même est un automorphisme. Nous détaillons ces quatre notions et leurs relations dans une section dédiée.
Maintenant que la définition est posée, voyons les propriétés qui en découlent — ce sont elles qui font tout le travail dans les exercices.
Toutes les définitions et propriétés du morphisme en 1 page
Définitions (groupes, anneaux), noyau, image, caractérisation de l’injectivité et méthode de rédaction : la fiche de synthèse à imprimer.
📄 Télécharger la fiche cours + méthodeLe réflexe « injectivité = noyau » enfin acquis.
III. Noyau, image et propriétés fondamentales
Toutes les propriétés qui suivent se démontrent directement à partir de la définition. Elles sont exigibles en prépa et reviennent constamment.
A. Propriétés élémentaires
Proposition ⋆ — Image du neutre et des inverses
Soit \(f : (G, *) \to (H, \cdot)\) un morphisme de groupes. Alors :
- \(f(e_G) = e_H\) ;
- \(\forall x \in G, \quad f(x^{-1}) = \left(f(x)\right)^{-1}\).
Démonstration. Pour le neutre, on part de \(e_G * e_G = e_G\). En appliquant \(f\) :
\(f(e_G) \cdot f(e_G) = f(e_G).\)
En multipliant à gauche par \(\left(f(e_G)\right)^{-1}\) dans \(H\), on obtient \(f(e_G) = e_H\).
Pour l’inverse, on écrit \(x * x^{-1} = e_G\), donc \(f(x) \cdot f(x^{-1}) = f(e_G) = e_H\). Par unicité de l’inverse dans \(H\), \(f(x^{-1}) = \left(f(x)\right)^{-1}\). ∎
B. Le noyau
Définition — Noyau
Soit \(f : (G, *) \to (H, \cdot)\) un morphisme de groupes. Le noyau de \(f\) est l’ensemble des éléments envoyés sur le neutre de \(H\) :
\(\ker f = \{ x \in G \mid f(x) = e_H \}.\)
Proposition ⋆ — Le noyau est un sous-groupe
\(\ker f\) est un sous-groupe de \(G\). De plus, il est distingué (stable par conjugaison).
Démonstration (sous-groupe). D’abord \(e_G \in \ker f\) car \(f(e_G) = e_H\), donc \(\ker f\) est non vide. Soient \(x, y \in \ker f\). Alors :
\(f(x * y^{-1}) = f(x) \cdot f(y)^{-1} = e_H \cdot e_H^{-1} = e_H,\)
donc \(x * y^{-1} \in \ker f\). Le critère de sous-groupe est vérifié. ∎
C. L’image
Définition et proposition ⋆ — Image
L’image de \(f\) est \(\mathrm{Im} f = f(G) = \{ f(x) \mid x \in G \}\). C’est un sous-groupe de \(H\).
Plus généralement, l’image directe d’un sous-groupe de \(G\) est un sous-groupe de \(H\), et l’image réciproque d’un sous-groupe de \(H\) est un sous-groupe de \(G\).
D. Caractérisation de l’injectivité par le noyau
C’est le résultat le plus utilisé de tout le chapitre. En pratique, on ne montre presque jamais l’injectivité d’un morphisme « à la main » : on calcule son noyau.
Théorème ⋆ — Injectivité et noyau
Un morphisme de groupes \(f : G \to H\) est injectif si et seulement si \(\ker f = \{ e_G \}\).
Démonstration. Supposons \(f\) injectif. Si \(x \in \ker f\), alors \(f(x) = e_H = f(e_G)\), donc par injectivité \(x = e_G\) : ainsi \(\ker f = \{e_G\}\).
Réciproquement, supposons \(\ker f = \{e_G\}\) et soient \(x, y \in G\) tels que \(f(x) = f(y)\). Alors :
\(f(x * y^{-1}) = f(x) \cdot f(y)^{-1} = e_H,\)
donc \(x * y^{-1} \in \ker f = \{e_G\}\), d’où \(x * y^{-1} = e_G\), c’est-à-dire \(x = y\). Donc \(f\) est injectif. ∎
Réflexe de prépa : face à « montrer que \(f\) est injectif » avec \(f\) morphisme, ne reviens jamais à la définition \(f(x) = f(y) \Rightarrow x = y\). Calcule \(\ker f\) et prouve qu’il est réduit au neutre. C’est plus rapide et c’est ce que le correcteur attend.
Ces propriétés valent leur pesant d’or, mais elles ne prennent tout leur sens qu’appliquées à des morphismes concrets. Passons à ceux qu’il faut connaître.
IV. Morphismes remarquables
Certains morphismes reviennent si souvent qu’ils ont un nom. Les connaître te fait gagner du temps : tu les reconnais au lieu de tout redémontrer.
A. Morphisme trivial et morphisme canonique
Le morphisme trivial de \(G\) vers \(H\) est l’application constante \(x \mapsto e_H\). C’est bien un morphisme : \(f(x*y) = e_H = e_H \cdot e_H = f(x) \cdot f(y)\). Son noyau est \(G\) tout entier et son image \(\{e_H\}\).
Le morphisme canonique (ou projection canonique) est la surjection \(\pi : G \to G/N\) qui envoie un élément sur sa classe modulo un sous-groupe distingué \(N\). Son noyau est exactement \(N\). C’est la brique de base des théorèmes d’isomorphisme, développés sur la page groupe quotient.
B. Le morphisme de Frobenius
Proposition — Endomorphisme de Frobenius
Soit \(A\) un anneau commutatif de caractéristique un nombre premier \(p\). L’application \(\varphi : A \to A\) définie par \(\varphi(x) = x^p\) est un morphisme d’anneaux, appelé morphisme de Frobenius.
Point clé de la démonstration. La compatibilité multiplicative \((xy)^p = x^p y^p\) vient de la commutativité. La compatibilité additive repose sur la formule du binôme :
\((x+y)^p = \sum_{k=0}^{p} {p \choose k} x^k y^{p-k}.\)
Comme \(p\) est premier, \(p\) divise \({p \choose k}\) pour \(1 \leq k \leq p-1\). En caractéristique \(p\), ces termes s’annulent et il reste \((x+y)^p = x^p + y^p\). ∎
C. Morphismes injectif, surjectif, bijectif
Ces qualificatifs se lisent directement sur le noyau et l’image :
| Qualificatif | Caractérisation | Conséquence |
|---|---|---|
| Injectif (monomorphisme) | \(\ker f = \{e_G\}\) | \(f\) identifie \(G\) à un sous-groupe de \(H\) |
| Surjectif (épimorphisme) | \(\mathrm{Im} f = H\) | tout élément de \(H\) est atteint |
| Bijectif (isomorphisme) | \(\ker f = \{e_G\}\) et \(\mathrm{Im} f = H\) | \(G\) et \(H\) sont isomorphes |
Erreur classique : un morphisme n’est pas injectif ou bijectif par défaut. Le morphisme trivial et la projection \(\pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) sont des morphismes parfaitement valides et pourtant non injectifs. La confusion « morphisme = bijection » fait perdre des points chaque année.
Un morphisme bijectif ouvre la porte à la notion d’isomorphisme, que nous ne développons pas ici : cette page reste centrée sur le morphisme général. Voyons plutôt comment prouver qu’une application donnée est bien un morphisme.
V. Méthode : montrer que f est un morphisme
C’est la question la plus fréquente en DS et en colle. Voici la méthode en 3 étapes, valable pour les groupes comme pour les anneaux.
A. Les trois étapes
- Vérifier que \(f\) est bien définie et qu’elle va bien de la structure de départ vers celle d’arrivée (souvent trivial, mais à mentionner quand l’ensemble d’arrivée est contraint, par exemple \(\mathbb{R}_+^*\)).
- Prendre deux éléments quelconques \(x, y\) de la structure de départ et calculer \(f(x * y)\) d’un côté, \(f(x) \cdot f(y)\) de l’autre, puis conclure à l’égalité. Pour un anneau, faire les deux lois et vérifier \(f(1_A) = 1_B\).
- Conclure explicitement : « donc \(f\) est un morphisme de groupes (resp. d’anneaux) de … dans … ».
À écrire sur la copie :
« Soit \((x, y) \in G^2\). On a \(f(x*y) = \ldots = f(x) \cdot f(y)\). Ceci étant vrai pour tout couple \((x,y)\), \(f\) est un morphisme de groupes de \(G\) dans \(H\). »
Le « pour tout couple » n’est pas décoratif : c’est lui qui transforme un calcul particulier en preuve valable pour tous les éléments.
B. Exemple modèle entièrement rédigé
Exemple : montrer que \(\det : (GL_n(\mathbb{R}), \times) \to (\mathbb{R}^*, \times)\) est un morphisme de groupes, et déterminer son noyau.
Bonne définition : si \(M \in GL_n(\mathbb{R})\) alors \(\det M \neq 0\), donc \(\det M \in \mathbb{R}^*\). L’application arrive bien dans \(\mathbb{R}^*\).
Compatibilité : pour toutes matrices \(M, N \in GL_n(\mathbb{R})\),
\(\det(M \times N) = \det(M) \times \det(N).\)
Conclusion : \(\det\) est un morphisme de groupes.
Noyau : \(\ker(\det) = \{ M \in GL_n(\mathbb{R}) \mid \det M = 1 \} = SL_n(\mathbb{R})\), le groupe spécial linéaire. Pour \(n \geq 2\), ce noyau n’est pas réduit à l’identité (il contient les matrices de transvection), donc \(\det\) n’est pas injectif.
Cette méthode est mécanique une fois assimilée. Reste à ne pas confondre le morphisme avec ses cousins — c’est l’objet de la section suivante.
VI. Morphisme, endomorphisme, isomorphisme, automorphisme
Ces quatre mots se ressemblent et l’on s’y perd facilement. La règle est simple : on part du morphisme, puis on ajoute des conditions sur les ensembles ou sur la bijectivité.
| Notion | Condition | Départ et arrivée |
|---|---|---|
| Morphisme | compatible avec les lois | \(E \to F\) |
| Endomorphisme | morphisme | \(E \to E\) |
| Isomorphisme | morphisme bijectif | \(E \to F\) |
| Automorphisme | morphisme bijectif | \(E \to E\) |
Autrement dit : un endomorphisme est un morphisme d’une structure dans elle-même ; un isomorphisme est un morphisme bijectif ; un automorphisme cumule les deux (morphisme bijectif d’une structure dans elle-même). La version complète de ce tableau, avec une colonne « erreur classique » et des exemples types, est développée sur la page automorphisme.
Moyen mnémotechnique : les préfixes grecs. Endo- (dedans) = même structure au départ et à l’arrivée. Iso- (égal) = bijection, les deux structures sont identiques. Auto- (soi-même) = même structure et bijection.
Assez de théorie : passons à la pratique avec des exercices corrigés gradués.
VII. Exercices corrigés
Cinq exercices classés par difficulté, du calcul direct à la question type concours. Cherche avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — L’exponentielle comme morphisme ★
Montrer que \(\exp : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \times)\) est un morphisme de groupes. Est-il injectif ?
Voir la correction de l’exercice 1
Pour tout réel \(x\), \(\exp(x)\) > \(0\), donc l’application arrive bien dans \(\mathbb{R}_+^*\).
Pour tous réels \(x, y\) : \(\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)\). C’est exactement la relation de morphisme entre \((\mathbb{R}, +)\) et \((\mathbb{R}_+^*, \times)\).
Noyau : \(\ker(\exp) = \{ x \in \mathbb{R} \mid \exp(x) = 1 \} = \{0\}\). Le noyau est réduit au neutre, donc \(\exp\) est injectif. (Il est de plus surjectif, c’est donc un isomorphisme de \((\mathbb{R},+)\) sur \((\mathbb{R}_+^*, \times)\).)
Exercice 2 — Un morphisme de noyau non trivial ★
On considère \(f : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{C}^*, \times)\) définie par \(f(x) = e^{ix}\). Montrer que \(f\) est un morphisme et déterminer \(\ker f\).
Voir la correction de l’exercice 2
Pour tous réels \(x, y\) :
\(f(x+y) = e^{i(x+y)} = e^{ix} \times e^{iy} = f(x) \times f(y).\)Donc \(f\) est un morphisme de groupes.
Noyau : \(f(x) = 1 \iff e^{ix} = 1 \iff x \in 2\pi\mathbb{Z}\). Ainsi \(\ker f = 2\pi\mathbb{Z}\).
Ce noyau n’est pas réduit à \(\{0\}\) : \(f\) n’est pas injectif. Son image est le cercle unité \(\mathbb{U}\).
Exercice 3 — Morphismes issus de (ℤ, +) ★★
Soit \((G, \cdot)\) un groupe et \(a \in G\). Montrer qu’il existe un unique morphisme \(f : (\mathbb{Z}, +) \to (G, \cdot)\) tel que \(f(1) = a\), et l’expliciter.
Voir la correction de l’exercice 3
Analyse (unicité). Si \(f\) est un morphisme avec \(f(1) = a\), alors par récurrence \(f(n) = a^n\) pour \(n \geq 0\), et \(f(-n) = f(n)^{-1} = a^{-n}\). Donc \(f\) est nécessairement \(n \mapsto a^n\) : au plus un morphisme convient.
Synthèse (existence). Posons \(f(n) = a^n\). Grâce aux règles sur les puissances dans un groupe, \(f(n + m) = a^{n+m} = a^n \cdot a^m = f(n) \cdot f(m)\) pour tous \(n, m \in \mathbb{Z}\). Donc \(f\) est bien un morphisme, et \(f(1) = a\).
Conclusion : l’unique morphisme est \(f : n \mapsto a^n\). Son image est le sous-groupe engendré par \(a\), et son noyau est de la forme \(d\mathbb{Z}\) où \(d\) est l’ordre de \(a\) (ou \(\{0\}\) si \(a\) est d’ordre infini).
Exercice 4 — Morphismes de Z/nZ dans Z/mZ ★★
Soient \(n, m\) deux entiers naturels non nuls. Combien y a-t-il de morphismes de groupes de \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) dans \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, +)\) ? On pourra caractériser un morphisme par l’image de \(\bar{1}\).
Voir la correction de l’exercice 4
Comme \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est engendré par \(\bar{1}\), un morphisme \(f\) est entièrement déterminé par \(f(\bar{1}) = \bar{a}\). La contrainte vient de \(n \cdot \bar{1} = \bar{0}\) : on doit avoir \(f(n \cdot \bar{1}) = n \bar{a} = \bar{0}\) dans \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\), c’est-à-dire \(m \mid na\).
Cette condition équivaut à \(\displaystyle\frac{m}{\gcd(m,n)} \mid a\). Le nombre de valeurs de \(a\) modulo \(m\) vérifiant cette divisibilité est exactement \(\gcd(m, n)\).
Conclusion : il y a \(\gcd(m, n)\) morphismes de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\). Pour approfondir la structure de ces groupes, voir la page Z/nZ.
La fiche méthode « montrer qu’une application est un morphisme »
Les 3 étapes de rédaction, le réflexe injectivité = noyau et un exemple entièrement rédigé, condensés sur une page à garder sous la main.
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Exercice 5 — Morphismes de GL_n(ℂ) dans ℂ* ★★★
Type concours. Déterminer tous les morphismes de groupes \(\chi : (GL_n(\mathbb{C}), \times) \to (\mathbb{C}^*, \times)\) continus, en admettant que tout morphisme continu de \((\mathbb{C}^*, \times)\) dans lui-même s’exprime à l’aide de la puissance et du module.
Voir la correction de l’exercice 5
Idée directrice. On admet (résultat classique, hors programme MPSI) que le groupe dérivé de \(GL_n(\mathbb{C})\) est \(SL_n(\mathbb{C})\) : c’est-à-dire que \(SL_n(\mathbb{C})\) est engendré par les commutateurs. Or l’image d’un commutateur par un morphisme à valeurs dans un groupe abélien est le neutre. Donc tout morphisme \(\chi\) vérifie \(SL_n(\mathbb{C}) \subset \ker \chi\).
Factorisation. \(\chi\) se factorise donc à travers le quotient \(GL_n(\mathbb{C}) / SL_n(\mathbb{C})\), qui est isomorphe à \(\mathbb{C}^*\) via le déterminant. Autrement dit, \(\chi\) est de la forme \(\chi = \psi \circ \det\) où \(\psi : \mathbb{C}^* \to \mathbb{C}^*\) est un morphisme.
Conclusion : les morphismes recherchés sont exactement les \(M \mapsto \psi(\det M)\), où \(\psi\) parcourt les morphismes de \(\mathbb{C}^*\) dans lui-même. Reste à exploiter la continuité : \(\psi\) est continu, car \(\psi(\lambda) = \chi(\mathrm{diag}(\lambda, 1, \dots, 1))\). D’après le résultat admis dans l’énoncé, \(\psi(z) = \vert z \vert^{c} \left( z / \vert z \vert \right)^{k}\) avec \(c \in \mathbb{C}\) et \(k \in \mathbb{Z}\). Les morphismes continus cherchés sont donc exactement \(\chi(M) = \vert \det M \vert^{c} \left( \displaystyle\frac{\det M}{\vert \det M \vert} \right)^{k}\). Le déterminant est le morphisme structurant de \(GL_n(\mathbb{C})\) vers un groupe abélien.
Envie de t’entraîner davantage ? Retrouve une série complète et graduée sur la page 25 exercices de structures algébriques MPSI.
Ces exercices révèlent les erreurs les plus fréquentes : voyons-les de face pour ne plus les commettre.
VIII. Erreurs fréquentes et pièges
❌ Copie fautive : « \(f\) est un morphisme et \(f(x)=f(y)\) donc \(x=y\), donc \(f\) est injectif. »
Diagnostic : l’élève suppose ce qu’il veut démontrer. Rien ne garantit qu’un morphisme soit injectif.
✅ Correction : pour l’injectivité, on calcule le noyau. \(f\) est injectif si et seulement si \(\ker f = \{e_G\}\).
❌ Copie fautive : pour un morphisme d’anneaux, ne vérifier que \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) et \(f(xy)=f(x)f(y)\).
Diagnostic : on oublie la condition \(f(1_A) = 1_B\), qui fait partie de la définition d’un morphisme d’anneaux et n’est pas automatique.
✅ Correction : toujours ajouter la vérification de l’unité.
❌ Copie fautive : écrire \(f(x^{-1}) = f(x)\) ou oublier l’inverse dans les manipulations.
Diagnostic : la propriété correcte est \(f(x^{-1}) = \left(f(x)\right)^{-1}\). Le morphisme respecte l’inversion, il ne la supprime pas.
✅ Correction : \(f(x^{-1})\) est l’inverse de \(f(x)\) dans la structure d’arrivée.
❌ Erreur de calcul : croire que \(f(x*y) = f(y*x)\) toujours. C’est vrai si le groupe de départ (ou d’arrivée) est abélien, faux en général.
✅ Correction : respecte l’ordre des facteurs, sauf commutativité explicitement établie.
Ces réflexes acquis, il reste à savoir comment rédiger proprement, car aux concours la forme compte autant que le fond.
IX. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Sur une question « montrer que \(f\) est un morphisme », le barème valorise trois choses précises. Les oublier coûte des points même si le résultat est juste.
- La quantification. Écris « Soit \((x,y) \in G^2\) » avant le calcul, et conclus par « ceci vaut pour tout couple ». Un calcul sans quantificateur est jugé comme une vérification sur un exemple.
- La justification de la bonne définition quand l’ensemble d’arrivée est contraint. Envoyer dans \(\mathbb{R}_+^*\) ou \(\mathbb{C}^*\) exige de vérifier que l’image n’est jamais nulle : c’est une ligne, mais elle est attendue.
- La caractérisation par le noyau pour l’injectivité. À l’oral de CCINP ou Mines-Ponts, un candidat qui repart de \(f(x)=f(y) \Rightarrow x=y\) alors qu’il dispose d’un morphisme perd du temps et signale un réflexe non installé. La phrase attendue est : « \(f\) étant un morphisme, il est injectif si et seulement si \(\ker f = \{e_G\}\) ; or… ».
Plan type d’une démonstration de morphisme (à l’oral) : (1) je vérifie que \(f\) arrive bien dans la bonne structure ; (2) je prends deux éléments quelconques et je montre la compatibilité avec les lois ; (3) je conclus. Pour l’injectivité ensuite : je calcule \(\ker f\). Trois blocs nets, annoncés, valent mieux qu’un long calcul continu.
Terminons par les questions que se posent le plus souvent les étudiants sur cette notion.
X. Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un morphisme en algèbre ?
Un morphisme est une application entre deux structures algébriques de même nature qui respecte les opérations. Pour deux groupes, \(f : (G,*) \to (H,\cdot)\) est un morphisme si \(f(x*y) = f(x)\cdot f(y)\) pour tous \(x, y\). Le morphisme transporte la structure de départ vers celle d’arrivée sans la déformer.
Quelle est la différence entre morphisme et homomorphisme ?
Aucune : ce sont deux mots pour le même objet. « Homomorphisme » est le terme historique et complet ; « morphisme » en est l’abréviation moderne, dominante en prépa. On réserve « homomorphisme » à certains contextes universitaires, mais le sens est identique.
Quelle est la différence entre un morphisme et un isomorphisme ?
Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Tout isomorphisme est un morphisme, mais la réciproque est fausse : le morphisme trivial ou la projection \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) sont des morphismes non bijectifs. Le détail est sur la page isomorphisme.
Comment montrer qu’une application est un morphisme ?
On prend deux éléments quelconques \(x, y\) de la structure de départ, on calcule \(f(x*y)\) et \(f(x)\cdot f(y)\) et on montre leur égalité. Pour un morphisme d’anneaux, on vérifie l’addition, la multiplication et \(f(1_A) = 1_B\). On conclut en précisant que le calcul vaut pour tout couple.
Un morphisme est-il toujours injectif ?
Non. Un morphisme est injectif si et seulement si son noyau est réduit au neutre : \(\ker f = \{e_G\}\). De nombreux morphismes ont un noyau plus gros (le morphisme trivial a pour noyau \(G\) entier). L’injectivité est une propriété supplémentaire, pas une donnée de la définition.
Qu’est-ce que le morphisme de Frobenius ?
Dans un anneau commutatif de caractéristique un nombre premier \(p\), l’application \(x \mapsto x^p\) est un morphisme d’anneaux, appelé morphisme de Frobenius. Sa compatibilité additive repose sur le fait que \(p\) divise les coefficients binomiaux \({p \choose k}\) intermédiaires.
XI. D’où ça vient, où ça mène
Le morphisme s’inscrit dans une progression claire :
- Prérequis : la notion de structures algébriques (lois de composition, groupes, anneaux) et les bases sur les applications (injection, surjection, bijection).
- À ce niveau : le morphisme, ses propriétés (noyau, image, caractérisation de l’injectivité) et la méthode de démonstration, au programme de « Structures algébriques usuelles » en MPSI, MP2I et PCSI (programme CPGE 2026-2027).
- Prolongements : le morphisme bijectif conduit à l’isomorphisme et à l’automorphisme ; le noyau conduit aux groupes quotients et aux théorèmes d’isomorphisme ; les applications linéaires sont les morphismes des espaces vectoriels.
XII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le morphisme, son noyau, son image et la méthode de démonstration. Pour poursuivre :
