Une boîte de céréales, un aquarium, une brique, une valise ou un simple dé : tous ces objets ont la même forme mathématique. En géométrie, c’est un pavé droit (et le dé, lui, est un cube). Savoir reconnaître ce solide et calculer son volume, c’est répondre à des questions très concrètes : combien de litres d’eau tient dans cet aquarium ? Combien de sucres dans cette boîte ? Dans ce cours, tu vas apprendre le vocabulaire du pavé droit, retenir sa formule de volume une fois pour toutes, et t’entraîner sur des exemples corrigés pas à pas.
I. Pavé droit, parallélépipède rectangle, cube : le vocabulaire
Avant de calculer quoi que ce soit, il faut savoir de quel solide on parle. Un pavé droit est un solide dont toutes les faces sont des rectangles. C’est le nom mathématique de la « boîte » de tous les jours : boîte à chaussures, réfrigérateur, livre, immeuble.
A. Définition et éléments
Définition — Pavé droit
Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide qui possède :
- 6 faces, qui sont toutes des rectangles ;
- 12 arêtes (les « bords » où deux faces se rencontrent) ;
- 8 sommets (les « coins »).
Les faces opposées sont identiques, et elles vont deux par deux : une face devant / une derrière, une dessus / une dessous, une à gauche / une à droite.
Pour te repérer, retiens ces trois nombres avec l’exemple d’une boîte que tu peux poser devant toi : compte les faces (les surfaces plates), les arêtes (les segments) et les sommets (les pointes). Un pavé droit en aura toujours 6, 12 et 8.
B. D’où vient le mot « parallélépipède » ?
« Parallélépipède » désigne un solide dont les faces sont des parallélogrammes. Dans un parallélépipède rectangle, ou pavé droit, les six faces sont des rectangles. Pour l’orthographe, repère les deux « é » et le « è » de parallélépipède.
C. Pavé, parallélépipède, cube : quelle différence ?
Ces trois mots sont proches mais ne veulent pas dire exactement la même chose. Le tableau ci-dessous fait le tri.
| Solide | Ses faces | Particularité |
|---|---|---|
| Pavé droit | 6 rectangles | Le solide « boîte » de base |
| Parallélépipède rectangle | 6 rectangles | Exactement le même solide que le pavé droit : deux noms pour une seule figure |
| Cube | 6 carrés | Un pavé droit très spécial dont les 12 arêtes ont la même longueur |
Retiens l’essentiel : « pavé droit » et « parallélépipède rectangle » désignent le même solide. Le cube est un cas particulier de pavé droit dont toutes les arêtes sont égales, donc toutes les faces sont des carrés. Pour bien reconnaître et nommer tous les solides, tu peux revoir la page les solides et les polyèdres.
II. La formule du volume du pavé droit
Le volume d’un pavé droit mesure la place qu’il occupe dans l’espace : combien de « petits cubes » de 1 cm de côté on pourrait ranger à l’intérieur. La bonne nouvelle, c’est qu’une seule formule suffit.
Formule — Volume d’un pavé droit
\(V = L \times l \times h\)
où \(L\) est la longueur, \(l\) la largeur et \(h\) la hauteur. On multiplie tout simplement les trois dimensions entre elles.
Pourquoi ça marche ? Parce que multiplier la longueur par la largeur donne l’aire de la base (le rectangle du dessous), et multiplier encore par la hauteur revient à empiler cette base sur toute la hauteur du solide. C’est le principe « aire de base × hauteur », que tu retrouveras plus tard pour le prisme droit et pour le cylindre.
Exemple : une boîte mesure 8 cm de long, 5 cm de large et 4 cm de haut. Quel est son volume ?
On applique la formule : 8 × 5 × 4 = 160.
Le volume vaut donc 160 cm³ (on lit « 160 centimètres cubes »).
Attention à l’unité : un volume s’exprime toujours avec une unité « au cube » : cm³, dm³, m³. Comme on a multiplié trois longueurs, l’unité porte un petit 3. Écrire « 160 cm » au lieu de « 160 cm³ » est une erreur qui coûte des points.
La fiche mémo du pavé droit et du cube
Toutes les définitions, la formule du volume, celle de l’aire et la méthode pour retrouver une dimension — sur une seule page à imprimer.
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III. Le cas du cube : pourquoi c’est la même formule
Le cube n’a pas besoin d’une nouvelle formule. Comme ses trois dimensions sont égales (appelons cette longueur commune \(a\), la longueur de l’arête), la formule \(V = L \times l \times h\) devient simplement :
Formule — Volume d’un cube
\(V = a \times a \times a = a^3\)
où \(a\) est la longueur d’une arête. On dit qu’on calcule « \(a\) au cube », et c’est exactement de là que vient le mot cube en mathématiques.
Exemple : un dé a une arête de 2 cm. Son volume vaut 2 × 2 × 2 = 8, soit 8 cm³.
IV. L’aire du pavé droit et du cube
Attention à ne pas confondre le volume (la place à l’intérieur) et l’aire (la surface extérieure, par exemple la quantité de papier pour emballer la boîte). L’aire d’un pavé droit, c’est la somme de l’aire de ses 6 faces.
Comme les faces vont par paires identiques, on calcule l’aire des trois faces différentes, puis on multiplie par 2 :
Méthode pour l’aire totale d’un pavé droit :
- aire du dessus et du dessous : \(L \times l\) ;
- aire de l’avant et de l’arrière : \(L \times h\) ;
- aire des deux côtés : \(l \times h\).
Aire totale : \(A = 2 \times (L \times l + L \times h + l \times h)\).
Pour un cube, c’est encore plus simple : ses 6 faces sont des carrés identiques d’aire \(a \times a\), donc l’aire totale vaut \(A = 6 \times a^2\).
Exemple : pour la boîte de 8 cm × 5 cm × 4 cm, l’aire totale vaut :
2 × (8 × 5 + 8 × 4 + 5 × 4) = 2 × (40 + 32 + 20) = 2 × 92 = 184 cm².
Remarque l’unité : une aire s’exprime « au carré » (cm²), car on a multiplié deux longueurs.
V. Retrouver une dimension manquante
Au brevet comme en contrôle, on ne te demande pas toujours le volume : parfois on te le donne et on te demande de retrouver une longueur, une largeur ou une hauteur. La méthode est de faire l’opération inverse de la multiplication : la division.
Idée clé : si \(V = L \times l \times h\), alors la hauteur se retrouve par \(h = \displaystyle\frac{V}{L \times l}\). On divise le volume par le produit des deux dimensions connues.
Exemple : un aquarium en forme de pavé droit a un volume de 48 000 cm³. Sa base mesure 40 cm sur 30 cm. Quelle est sa hauteur ?
On calcule d’abord l’aire de la base : 40 × 30 = 1 200.
Puis on divise : 48 000 ÷ 1 200 = 40.
La hauteur de l’aquarium est de 40 cm.
VI. Le patron du pavé droit
Le patron d’un pavé droit, c’est le dessin à plat qui, une fois découpé et plié, redonne le solide. Il est formé de 6 rectangles, organisés en trois paires identiques. Le savoir tracer est un grand classique de 6ème.
Comme ce sujet mérite un cours à part entière (les faux patrons, les languettes, un PDF à imprimer), il est détaillé sur la page dédiée : les 11 patrons du cube et du pavé droit.
VII. 3 exemples résolus pas à pas
Voici trois exemples d’application corrigés pour t’entraîner. Cherche d’abord seul, puis déplie la correction. Pour une série complète classée par difficulté, va sur les exercices de volumes en 6ème.
Exercice 1 — Volume d’une boîte ★
Une boîte de sucres a la forme d’un pavé droit de 12 cm de long, 6 cm de large et 9 cm de haut. Calcule son volume.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique la formule du volume du pavé droit : longueur × largeur × hauteur.
12 × 6 × 9 = 648.
Le volume de la boîte est de 648 cm³.
Exercice 2 — Volume d’un cube et conversion ★★
Un récipient a la forme d’un cube de 10 cm d’arête. Calcule son volume en cm³, puis donne sa contenance en litres (on rappelle que 1 dm³ = 1 L).
Voir la correction de l’exercice 2
Le volume du cube vaut 10 × 10 × 10 = 1 000, soit 1 000 cm³.
Or 10 cm = 1 dm, donc l’arête vaut 1 dm et le volume vaut aussi 1 × 1 × 1 = 1 dm³.
Comme 1 dm³ = 1 L, la contenance du récipient est de 1 litre.
Pour maîtriser ce type de passage, va voir la page calculer un volume en litres et en m³.
Exercice 3 — Retrouver une dimension ★★
Un carton en forme de pavé droit a un volume de 90 cm³. Sa longueur est de 6 cm et sa largeur de 3 cm. Sans essayer au hasard, explique comment retrouver sa hauteur, puis calcule-la.
Voir la correction de l’exercice 3
On sait que volume = longueur × largeur × hauteur. Pour trouver la hauteur, on fait l’opération inverse : on divise le volume par le produit de la longueur et de la largeur.
Aire de la base : 6 × 3 = 18.
Hauteur : 90 ÷ 18 = 5.
La hauteur du carton est de 5 cm. On peut vérifier : 6 × 3 × 5 = 90 cm³. ✓
VIII. Les erreurs fréquentes
Voici les pièges qui reviennent le plus souvent dans les copies. Les connaître, c’est déjà les éviter.
Erreur 1 — Confondre volume et aire. Le volume mesure l’intérieur (unité en cm³, multiplication de trois longueurs), l’aire mesure la surface extérieure (unité en cm², deux longueurs). Relis toujours la question : « combien tient dedans » = volume, « quelle surface » = aire.
Erreur 2 — Mélanger les unités. Si une dimension est en mètres et une autre en centimètres, il faut d’abord tout convertir dans la même unité avant de multiplier. Sinon le résultat n’a aucun sens. Pour t’entraîner, va voir les pièges classiques en géométrie.
Erreur 3 — Oublier le petit 3 de l’unité. Écrire 648 cm au lieu de 648 cm³ transforme un volume en longueur. Vérifie l’unité dans la dernière ligne de ta réponse ; la sanction éventuelle dépend du barème.
IX. 🟠 Pour aller plus loin : le pavé droit en prépa
Cette section s’adresse aux plus curieux, ou à ceux qui veulent voir où mène cette formule bien après le collège. Elle n’est pas au programme de 6ème.
En classe préparatoire, un pavé droit devient un cas particulier de parallélépipède construit sur trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\). Son volume se calcule alors avec un outil puissant, le déterminant (ou produit mixte) :
\(V = \vert \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \vert\)Quand les trois vecteurs sont perpendiculaires deux à deux et de longueurs L, l et h, la valeur absolue de leur déterminant vaut \(L\times l\times h\). Le signe du déterminant dépend de l’orientation et de l’ordre des vecteurs ; le volume, lui, est positif. On retrouve ainsi la formule du collège.
X. Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un pavé droit ?
Un pavé droit est un solide dont les 6 faces sont toutes des rectangles. Il possède 12 arêtes et 8 sommets. C’est la forme mathématique d’une boîte : réfrigérateur, brique, livre ou boîte à chaussures. On l’appelle aussi parallélépipède rectangle.
Quelle est la formule du volume d’un pavé droit ?
Le volume d’un pavé droit est le produit de ses trois dimensions : \(V = L \times l \times h\), c’est-à-dire longueur × largeur × hauteur. Le résultat s’exprime dans une unité « au cube » : cm³, dm³ ou m³. Par exemple, un pavé de 8 × 5 × 4 cm a un volume de 160 cm³.
Quelle est la différence entre un pavé droit et un cube ?
Un cube est un pavé droit très particulier : ses 12 arêtes ont toutes la même longueur, donc ses 6 faces sont des carrés. Un pavé droit ordinaire a des faces rectangulaires de tailles différentes. Autrement dit, tout cube est un pavé droit, mais tout pavé droit n’est pas un cube.
Combien de faces, d’arêtes et de sommets a un pavé droit ?
Un pavé droit a toujours 6 faces (des rectangles), 12 arêtes (les segments où deux faces se rejoignent) et 8 sommets (les coins). Ces nombres sont les mêmes pour le cube, puisque le cube est un pavé droit particulier.
Un pavé droit et un parallélépipède rectangle, est-ce pareil ?
« Parallélépipède » désigne un solide dont les faces sont des parallélogrammes. Dans un parallélépipède rectangle, ou pavé droit, les six faces sont des rectangles. Pour l’orthographe, repère les deux « é » et le « è » de parallélépipède.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant reconnaître un pavé droit, calculer son volume et son aire, et retrouver une dimension manquante. Pour continuer :
- Les 11 patrons du cube et du pavé droit : la méthode pour tous les reconnaître (avec PDF à imprimer)
- Les solides en CM1-CM2 : exercices et évaluation à imprimer
- Les solides en 6ème : 14 exercices corrigés pas à pas
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