Une boîte de conserve, un verre, un tuyau, un rouleau d’essuie-tout : tous ont la même forme, celle d’un cylindre. Pour connaître la quantité qu’ils peuvent contenir, une seule formule suffit : \(V = \pi \times r^2 \times h\), où \(r\) est le rayon du disque de base et \(h\) la hauteur. Dans ce cours de 5ème, tu vas apprendre à utiliser cette formule sans te tromper, à convertir ton résultat en litres, et à éviter le piège classique qui coûte le plus de points : confondre le rayon et le diamètre.
I. La formule du volume d’un cylindre
Le volume d’un cylindre se calcule en multipliant l’aire de son disque de base par sa hauteur. En pratique, tu appliques la formule \(V = \pi \times r^2 \times h\) : tu élèves le rayon au carré, tu multiplies par \(\pi\) (environ 3,14), puis par la hauteur. Le résultat est un volume, exprimé dans une unité de volume comme le cm³ ou le m³.
A. La formule et ce que chaque lettre désigne
Formule — Volume d’un cylindre
Le volume \(V\) d’un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) est :
\(V = \pi \times r^2 \times h\)
- \(r\) : le rayon du disque de base (la distance du centre au bord)
- \(h\) : la hauteur du cylindre
- \(\pi\) : un nombre fixe, environ 3,14
Prenons une boîte de conserve de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm. On remplace chaque lettre par sa valeur :
\(V = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi\) cm³.
Donc \(V \approx 282{,}7\) cm³.
La boîte a donc un volume d’environ 283 cm³. Retiens l’ordre des opérations : on calcule d’abord \(r^2\), puis on multiplie par \(\pi\) et par \(h\).
B. Rayon ou diamètre : le piège à connaître
C’est l’erreur numéro un sur les cylindres. Dans un exercice, on te donne très souvent le diamètre du disque, pas son rayon. Or la formule utilise le rayon. Il faut donc diviser le diamètre par 2 avant de calculer.
Erreur classique : un énoncé indique « diamètre 8 cm, hauteur 5 cm ». Si tu écris \(V = \pi \times 8^2 \times 5\), ton résultat est 4 fois trop grand. Le rayon vaut \(8 \div 2 = 4\) cm. Le bon calcul est \(V = \pi \times 4^2 \times 5 = \pi \times 80 \approx 251{,}3 \text{ cm}^3\).
Le réflexe : avant de lancer le calcul, souligne dans l’énoncé le mot « rayon » ou « diamètre ». Si c’est le diamètre, écris tout de suite \(r = d \div 2\).
II. Pourquoi cette formule : l’aire de base × la hauteur
La formule n’est pas magique, elle se comprend. Un cylindre, c’est un empilement de disques identiques, comme une pile de pièces de monnaie ou une pile de galettes. Le volume, c’est l’aire d’un disque multipliée par le nombre de disques empilés, c’est-à-dire par la hauteur.
Or l’aire d’un disque de rayon \(r\) vaut \(\pi \times r^2\). On appelle cette valeur l’aire de base \(B\). Le volume s’écrit alors :
\(V = B \times h = (\pi \times r^2) \times h\)Une seule idée pour tous les solides « droits » : volume = aire de la base × hauteur. C’est la même règle pour le pavé droit, le prisme et le cylindre. Seule change la façon de calculer l’aire de la base (un rectangle pour le pavé, un disque pour le cylindre).
Cette idée d’empilement te servira pour comprendre d’autres solides, comme le volume d’un prisme droit, qui suit exactement le même principe.
Toute la méthode du volume du cylindre en une seule page
La formule, les 4 étapes, le piège du diamètre et les conversions en litres : une fiche claire à garder sous les yeux.
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III. La méthode pas à pas en 4 étapes
Pour calculer le volume d’un cylindre à coup sûr, suis toujours le même chemin. Cette méthode marche pour n’importe quel énoncé.
- Repère le rayon. Si l’énoncé donne le diamètre, divise-le par 2.
- Vérifie les unités. Le rayon et la hauteur doivent être dans la même unité (tout en cm, ou tout en m).
- Applique la formule. Calcule \(r^2\), puis multiplie par \(\pi\) et par \(h\).
- Écris l’unité du résultat. Un volume s’exprime en unité au cube : cm³, m³, mm³.
Exemple : un cylindre a un diamètre de 6 cm et une hauteur de 12 cm. Calcule son volume.
Étape 1 — rayon : \(r = 6 \div 2 = 3\) cm.
Étape 2 — unités : rayon et hauteur sont en cm, tout va bien.
Étape 3 — formule : \(V = \pi \times 3^2 \times 12 = \pi \times 108 \approx 339{,}3\).
Étape 4 — unité : le résultat est environ 339,3 cm³.
Une fois cette méthode maîtrisée, la seule vraie difficulté qui reste est la conversion en litres, très demandée dès qu’on parle de contenance.
IV. Calculer le volume d’un cylindre en litres
Pour passer d’un volume en cm³ à un volume en litres, retiens un seul pont : 1 litre = 1 dm³ = 1000 cm³. Tu calcules d’abord le volume en cm³ avec la formule, puis tu divises par 1000 pour obtenir des litres. Pour une grande cuve, on travaille plutôt en m³, sachant que 1 m³ = 1000 litres.
Exemple — une cuve cylindrique : une cuve a un rayon de 50 cm et une hauteur de 100 cm. Combien de litres contient-elle ?
\(V = \pi \times 50^2 \times 100\) cm³.
Soit \(V = 250\,000\pi\) cm³,
donc \(V \approx 785\,398\) cm³.
On convertit : \(785\,398 \div 1000 \approx 785\) litres. La cuve contient environ 785 litres.
Pour convertir de l’eau en m³, même principe : si tu trouves 785 000 cm³, alors comme 1 m³ = 1 000 000 cm³, cela fait environ 0,785 m³. Toutes ces conversions sont détaillées dans notre cours dédié : calculer un volume en litres et en m³. Pour maîtriser le passage d’une unité à l’autre, tu peux aussi revoir la méthode générale de conversion.
V. L’aire du cylindre : latérale et totale
Attention à ne pas confondre volume et aire. Le volume mesure la place à l’intérieur, l’aire mesure la surface extérieure (utile pour savoir combien de peinture ou d’étiquette il faut). Le cylindre a deux aires à connaître.
L’aire latérale, c’est l’étiquette qu’on déroule autour du cylindre. Déroulée, elle forme un rectangle dont la longueur est le périmètre du disque et la largeur la hauteur :
\(\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2 \times \pi \times r \times h\)L’aire totale ajoute les deux disques (le dessus et le dessous) :
\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 2 \times \pi \times r \times h + 2 \times \pi \times r^2\)Pour ne jamais confondre : une aire s’exprime en cm² (unité au carré), un volume en cm³ (unité au cube). Si tu écris un « cm² » pour un volume, c’est le signal d’une erreur.
VI. Retrouver la hauteur ou le rayon à partir du volume
Les exercices ne demandent pas toujours le volume : parfois on te le donne, et on te demande une dimension manquante. C’est un grand classique du brevet. Il suffit de faire l’opération inverse.
Retrouver la hauteur. Si tu connais \(V\) et \(r\), alors :
\(h = \displaystyle\frac{V}{\pi \times r^2}\)Par exemple, un cylindre de rayon 5 cm a un volume de 628 cm³. Sa hauteur vaut :
\(h = \displaystyle\frac{628}{\pi \times 5^2} = \displaystyle\frac{628}{\pi \times 25} \approx 8 \text{ cm}\)Retrouver le rayon demande une racine carrée : on isole \(r^2\) puis on prend la racine. Tu verras cette manipulation plus en détail au fil de tes exercices ; l’idée à retenir est qu’on « remonte » la formule en faisant les opérations dans l’ordre inverse.
VII. Cas particuliers : cylindre creux et demi-cylindre
Deux formes reviennent souvent et dérivent directement de la formule de base.
Pour un cylindre creux de rayon extérieur R, de rayon intérieur r et de hauteur h, le volume de matière est le volume extérieur moins le volume du trou. La capacité intérieure est, elle, \(\pi r^2h\) lorsque h désigne la hauteur intérieure utile :
\(V = \pi \times R^2 \times h- \pi \times r^2 \times h\)où \(R\) est le rayon extérieur et \(r\) le rayon intérieur.
Le demi-cylindre est tout simplement la moitié d’un cylindre : on calcule le volume complet et on divise par 2.
VIII. Le patron du cylindre
Pour bien visualiser d’où vient l’aire latérale, rien ne vaut le patron : on « déplie » le cylindre à plat. On obtient un rectangle (la surface latérale) et deux disques (les bases). La longueur du rectangle est exactement le périmètre du cercle, \(2 \times \pi \times r\).
Tu retrouveras tous les patrons dessinés, à imprimer et à découper, sur la page dédiée : les patrons du cylindre, du cône et de la pyramide.
IX. Trois exemples résolus pas à pas
Entraîne-toi sur ces trois exemples avant de regarder la correction. Cherche d’abord seul, c’est comme ça qu’on progresse. Pour une série complète, file vers les exercices de volumes en 5ème corrigés.
Exercice 1 — Volume à partir du rayon ★
Un verre cylindrique a un rayon de 4 cm et une hauteur de 9 cm. Calcule son volume, arrondi au cm³.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique directement la formule, le rayon est déjà donné.
\(V = \pi \times 4^2 \times 9 = 144\pi\) cm³.
Donc \(V \approx 452{,}4\) cm³.
Le verre a un volume d’environ 452 cm³.
Exercice 2 — Le piège du diamètre ★★
Un tube a un diamètre de 10 cm et une hauteur de 20 cm. Calcule son volume en cm³, puis en litres.
Voir la correction de l’exercice 2
Attention, on donne le diamètre. On calcule d’abord le rayon :
\(r = 10 \div 2 = 5 \text{ cm}\)Puis on applique la formule :
\(V = \pi \times 5^2 \times 20 = \pi \times 500 \approx 1570{,}8 \text{ cm}^3\)Conversion en litres : \(1570{,}8 \div 1000 \approx 1{,}57\).
Le tube contient environ 1571 cm³, soit à peu près 1,57 litre.
Exercice 3 — Retrouver la hauteur ★★★
Une boîte cylindrique de rayon 6 cm a un volume de 1130 cm³. Quelle est sa hauteur, arrondie au cm ?
Voir la correction de l’exercice 3
On utilise l’opération inverse pour isoler la hauteur.
\(h = \displaystyle\frac{V}{\pi \times r^2} = \displaystyle\frac{1130}{\pi \times 6^2} = \displaystyle\frac{1130}{\pi \times 36}\) \(h \approx \displaystyle\frac{1130}{113{,}1} \approx 10\)La hauteur de la boîte est d’environ 10 cm.
X. Les erreurs fréquentes à éviter
Trois erreurs reviennent sans cesse dans les copies. Les connaître, c’est déjà les éviter.
1. Prendre le diamètre pour le rayon. Le résultat est alors 4 fois trop grand. Réflexe : divise le diamètre par 2 dès la première ligne.
2. Mélanger les unités. Un rayon en cm et une hauteur en m donnent un résultat faux. Convertis tout dans la même unité avant de calculer.
3. Oublier l’unité au cube. Un volume ne s’écrit jamais en cm ni en cm², mais en cm³. Une réponse sans unité, ou avec la mauvaise, perd des points au brevet.
D’autres pièges de géométrie du même genre sont recensés dans notre article sur les erreurs classiques en géométrie au collège.
XI. 🔵 Pour aller plus loin : le cylindre par intégration (lycée)
🔵 Niveau lycée. Au collège, on admet la formule. Au lycée, on peut la démontrer. L’idée d’empilement de disques vue plus haut devient une somme continue de disques d’aire \(\pi \times r^2\) le long de la hauteur, ce qu’on écrit avec une intégrale :
\(V = \displaystyle\int_0^h \pi \, r^2 \, dz = \pi \, r^2 \times h\)Comme le rayon reste constant, l’intégrale redonne exactement \(\pi r^2 h\) : la formule du collège est confirmée. C’est ce même outil qui permet, plus tard, de calculer des volumes bien plus compliqués grâce aux intégrales multiples. La formule que tu apprends en 5ème n’est donc que la première marche d’un long escalier.
XII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le volume et l’aire d’un cylindre ?
Le volume mesure la place à l’intérieur du cylindre (ce qu’il peut contenir) et s’exprime en cm³. L’aire mesure la surface extérieure (l’étiquette et les deux disques) et s’exprime en cm². Le volume utilise \(V = \pi \times r^2 \times h\), l’aire totale utilise \(2 \pi r h + 2 \pi r^2\).
Comment convertir le volume d’un cylindre en litres ou en millilitres ?
Calcule d’abord le volume en cm³ avec la formule. Ensuite : 1 litre = 1000 cm³, donc tu divises par 1000 pour obtenir des litres. Et 1 millilitre = 1 cm³, donc un volume en cm³ est directement le même nombre en ml.
Comment calculer le volume d’un cylindre creux ?
Le volume de matière d’un tuyau cylindrique vaut \(V = \pi(R^2-r^2)h\), avec R rayon extérieur, r rayon intérieur et h longueur du tuyau. Le volume intérieur disponible vaut \(\pi r^2h\). Pour un récipient fermé au fond, utilise les dimensions intérieures utiles pour sa capacité.
Que faire quand l’énoncé donne le diamètre au lieu du rayon ?
La formule utilise toujours le rayon. Si on te donne le diamètre, divise-le par 2 pour obtenir le rayon avant de calculer : \(r = d \div 2\). C’est le piège le plus fréquent : le sauter rend le résultat 4 fois trop grand.
Faut-il une calculatrice pour calculer un volume de cylindre ?
Une calculatrice est utile pour le calcul final avec \(\pi\), mais elle ne remplace pas la méthode : c’est à toi de repérer le rayon, de vérifier les unités et d’appliquer la formule. Sans la bonne méthode, la calculatrice donne juste une erreur plus précise.
À quoi sert le nombre pi dans la formule ?
Le nombre \(\pi\) (environ 3,14) sert à calculer l’aire d’un disque, \(\pi \times r^2\), qui est la base du cylindre. Comme le cylindre est un empilement de disques, \(\pi\) apparaît naturellement dans son volume.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer le volume d’un cylindre, le convertir en litres et éviter le piège du diamètre. Pour continuer :
- Les 11 patrons du cube et du pavé droit : la méthode pour tous les reconnaître (avec PDF à imprimer)
- Les solides en CM1-CM2 : exercices et évaluation à imprimer
- Les solides en 6ème : 14 exercices corrigés pas à pas
- Calculer l’hypoténuse d’un triangle rectangle : méthode et exemples
- Le coefficient de proportionnalité : comment le trouver
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