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Tu sais calculer une intégrale simple, mais dès qu’apparaît un signe \(\iint\) ou \(\iiint\), tu ne sais plus par où commencer. Le théorème de Fubini est précisément l’outil qui transforme ces intégrales multiples effrayantes en une succession d’intégrales simples que tu maîtrises déjà. Cet article te donne la méthode complète, du domaine rectangulaire au changement de variables en polaires, avec les démonstrations et la rédaction attendue au concours.
Avant d’aborder les volumes par intégration, tu peux revoir les formules de volume du collège.
I. Le théorème de Fubini en 30 secondes
Le théorème de Fubini affirme qu’une intégrale double se calcule en intégrant successivement par rapport à une variable, puis par rapport à l’autre : on remplace un problème en dimension 2 par deux problèmes en dimension 1, dans l’ordre le plus commode. C’est le pont entre le calcul intégral d’une variable et l’intégration sur \(\mathbb{R}^n\).
Théorème de Fubini — cas d’une fonction continue sur un pavé
Soit \(f\) une fonction continue sur le pavé \(P = [a\,;b]\times[c\,;d]\). Alors \(f\) est intégrable sur \(P\) et l’on peut intervertir l’ordre d’intégration :
\(\displaystyle\iint_{P} f(x,y)\,dx\,dy = \int_a^b\!\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx = \int_c^d\!\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dx\)
Deux extensions sont indispensables en prépa. La première concerne les domaines qui ne sont pas des rectangles, la seconde autorise l’échange d’ordre pour des fonctions positives sans hypothèse d’intégrabilité préalable.
Fubini–Tonelli — fonctions positives
Si \(f\) est mesurable et positive sur \(X\times Y\), alors les deux intégrales itérées sont toujours égales dans \([0\,;+\infty]\) :
\(\displaystyle\int_X\!\left(\int_Y f\,dy\right)dx = \int_Y\!\left(\int_X f\,dx\right)dx\)
Autrement dit : pour une fonction positive, on peut toujours échanger l’ordre. Pour une fonction de signe quelconque, il faut d’abord vérifier que \(\displaystyle\iint |f|\) < \(+\infty\) (théorème de Fubini). C’est la stratégie standard : appliquer Tonelli à \(|f|\) pour justifier l’intégrabilité, puis Fubini à \(f\).
Pour un domaine \(D\) plus général, on suppose souvent \(D\) simple : borné par deux courbes. On intègre alors « à bornes variables ».
La formule à retenir (domaine simple). Si \(D = \{(x,y)\ \mid\ a\leq x\leq b,\ \varphi_1(x)\leq y\leq \varphi_2(x)\}\) avec \(\varphi_1,\varphi_2\) continues, alors :
\(\displaystyle\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy = \int_a^b\!\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx\)
La variable intérieure a des bornes qui dépendent de la variable extérieure. Jamais l’inverse : les bornes extérieures sont toujours des constantes.
Cette intégrale double s’interprète comme le volume algébrique compris entre la surface \(z=f(x,y)\) et le domaine \(D\) du plan. Cette lecture géométrique, que nous détaillons plus bas, est souvent la clé pour choisir le bon ordre d’intégration.
II. La méthode : calculer une intégrale double en 3 étapes
Presque tous les calculs d’intégrales doubles suivent le même déroulé. Voici la méthode que le correcteur attend de voir apparaître, dans cet ordre.
Étape 1 — Dessiner et décrire le domaine
Trace le domaine \(D\) dans le plan. C’est l’étape la plus rentable et la plus négligée. Le dessin te dit immédiatement s’il faut intégrer d’abord en \(y\) à \(x\) fixé (« tranches verticales ») ou l’inverse (« tranches horizontales »), et il te donne les bornes.
Étape 2 — Choisir l’ordre et écrire les bornes
Fixe la variable extérieure entre deux constantes, puis exprime les bornes de la variable intérieure en fonction de la première. Écris explicitement :
\(\displaystyle\iint_{D} f = \int_{x=a}^{x=b}\int_{y=\varphi_1(x)}^{y=\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx\)Étape 3 — Intégrer de l’intérieur vers l’extérieur
Calcule d’abord l’intégrale intérieure en traitant la variable extérieure comme une constante. Tu obtiens une fonction de la seule variable extérieure, que tu intègres ensuite normalement.
Réflexe de choix d’ordre. Si l’intégrale intérieure est difficile dans un sens, essaie l’autre. Fubini garantit que le résultat est le même (fonction continue sur un domaine borné), donc autant choisir la primitive la plus simple. Cet arbitrage rapporte des points et du temps.
La méthode Fubini en une fiche recto-verso
Les 3 étapes, les jacobiens à connaître par cœur et les pièges du concours, résumés pour tes révisions.
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Voyons cette méthode à l’œuvre sur un exemple entièrement rédigé.
III. Un exemple type entièrement rédigé
Calculons \(\displaystyle I = \iint_{D}(x+2y)\,dx\,dy\) où \(D\) est le triangle de sommets \((0,0)\), \((1,0)\) et \((1,1)\).
Étape 1 — Domaine. Le triangle est délimité par les droites \(y=0\), \(x=1\) et \(y=x\). En tranches verticales : pour \(x\) fixé dans \([0\,;1]\), \(y\) varie de \(0\) à \(x\).
Étape 2 — Bornes.
\(\displaystyle I = \int_{0}^{1}\int_{0}^{x}(x+2y)\,dy\,dx\)
Étape 3 — Intégration intérieure (à \(x\) fixé) :
\(\displaystyle\int_{0}^{x}(x+2y)\,dy = \Big[\,xy + y^2\,\Big]_{0}^{x} = x\cdot x + x^2 = 2x^2\)
Intégration extérieure :
\(\displaystyle I = \int_{0}^{1} 2x^2\,dx = \left[\displaystyle\frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = \displaystyle\frac{2}{3}\)
Vérification par l’autre ordre. En tranches horizontales, pour \(y\) fixé dans \([0\,;1]\), \(x\) varie de \(y\) à \(1\) :
\(\displaystyle I = \int_{0}^{1}\int_{y}^{1}(x+2y)\,dx\,dy = \int_0^1\left[\displaystyle\frac{x^2}{2}+2xy\right]_{y}^{1}dy = \int_0^1\left(\displaystyle\frac{1}{2}+2y-\displaystyle\frac{5y^2}{2}\right)dy = \displaystyle\frac{2}{3}\ \text{✓}\)
Les deux ordres donnent bien \(\displaystyle\frac{2}{3}\) : c’est exactement ce que garantit Fubini. Encore faut-il savoir quand ce théorème s’applique, ce que nous précisons maintenant.
IV. Quand appliquer Fubini : hypothèses et tableau comparatif
Fubini n’est pas la seule technique pour une intégrale multiple, et il ne s’applique pas sans condition. Le premier réflexe de rédaction consiste à justifier l’hypothèse avant tout calcul.
Erreur classique : appliquer Fubini sans vérifier l’intégrabilité. Pour une fonction de signe quelconque sur un domaine non borné, échanger l’ordre sans justification peut donner deux résultats différents. Le contre-exemple canonique est \(f(x,y)=\displaystyle\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\) sur \(]0\,;1]^2\) : les deux intégrales itérées valent \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) et \(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\). La cause : \(\displaystyle\iint |f| = +\infty\). Toujours contrôler \(|f|\) avant Fubini.
Le tableau suivant t’aide à choisir la bonne méthode selon la géométrie du domaine et la nature de la fonction. C’est l’arbre de décision à avoir en tête devant tout signe \(\iint\).
| Situation rencontrée | Méthode à employer | Renvoi |
|---|---|---|
| Domaine rectangulaire, bornes constantes | Fubini directe | Section II |
| Domaine simple (borné par des courbes) | Fubini à bornes variables | Section II |
| Fonction positive, ordre à échanger | Fubini–Tonelli | Section I |
| Intégrale intérieure sans primitive élémentaire | Échanger l’ordre (Fubini) | Exercice 5 |
| Domaine à symétrie circulaire (disque, secteur) | Changement en coordonnées polaires | Section V |
| Domaine cylindrique ou sphérique (dim 3) | Coordonnées cylindriques / sphériques | Section VI |
| Intégrale double à ramener à une intégrale de bord | Formule de Green-Riemann | Cocon analyse vectorielle |
Les deux dernières lignes signalent que Fubini se combine presque toujours avec un changement de variables et, en dimension 2, avec le théorème de Green : on ramène une intégrale double à une intégrale curviligne sur le bord. Concentrons-nous sur l’outil le plus fréquent : le passage en polaires.
V. Changement de variables : passer en coordonnées polaires
Dès qu’un disque, une couronne ou un secteur apparaît, ou dès que la fonction dépend de \(x^2+y^2\), le passage en coordonnées polaires simplifie radicalement le calcul. C’est l’application la plus importante de la formule du changement de variables.
Formule du changement de variables (dimension 2)
Soit \(\varphi : \Delta \to D\) un difféomorphisme de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(f\) continue sur \(D\). Alors :
\(\displaystyle\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{\Delta} f\big(\varphi(u,v)\big)\,\big|\,\det J_\varphi(u,v)\,\big|\,du\,dv\)
où \(J_\varphi\) est la matrice jacobienne de \(\varphi\). La preuve rigoureuse est admise en prépa ; le principe est géométrique : \(|\det J_\varphi|\) est le facteur local de dilatation des aires.
Le facteur \(|\det J_\varphi|\) est le cœur de la formule : il corrige le fait qu’un petit rectangle \(du\,dv\) devient, une fois transporté par \(\varphi\), un petit parallélogramme d’aire \(|\det J_\varphi|\,du\,dv\). Démontrons ce facteur dans le cas polaire, la démonstration la plus fréquente au concours.
Démonstration — le passage de \(dx\,dy\) à \(r\,dr\,d\theta\)
Démonstration au programme. On pose \(\varphi(r,\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)\), c’est-à-dire \(x = r\cos\theta\) et \(y = r\sin\theta\). La matrice jacobienne est :
\(\displaystyle J_\varphi(r,\theta) = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial \theta} \\[8pt] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\)
Son déterminant vaut :
\(\displaystyle \det J_\varphi = \cos\theta\cdot(r\cos\theta)- (-r\sin\theta)\cdot\sin\theta = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r\)
Comme \(r\geq 0\) sur le domaine, \(|\det J_\varphi| = r\). On obtient donc la règle fondamentale :
\(\displaystyle\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{\Delta} f(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta\)
Le facteur \(r\) est ce qui rend l’aire d’un secteur \(r\,dr\,d\theta\) proportionnelle à sa distance au centre. L’oublier est la faute la plus fréquente du chapitre. ∎
Application spectaculaire : l’intégrale de Gauss. Sur le disque, on calcule facilement \(\displaystyle\iint_{x^2+y^2\leq R^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy = \pi\big(1-e^{-R^2}\big)\). En faisant \(R\to+\infty\), on retrouve \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\,dt = \sqrt{\pi}\) : un résultat impossible à obtenir en une variable, débloqué par Fubini et les polaires (voir l’exercice 3).
Ce mécanisme du jacobien vaut aussi en dimension 3. Passons aux intégrales triples.
VI. Les intégrales triples : Fubini en dimension 3
Le principe est rigoureusement le même : une intégrale triple continue se calcule par trois intégrations simples emboîtées, dans l’ordre le plus commode.
Fubini en dimension 3. Pour \(f\) continue sur un pavé \([a\,;b]\times[c\,;d]\times[e\,;g]\) :
\(\displaystyle\iiint f\,dx\,dy\,dz = \int_a^b\!\int_c^d\!\int_e^g f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx\)
Pour un domaine simple, on écrit souvent l’intégrale comme une intégrale double d’une intégrale simple (« intégration par piles ») ou comme une intégrale simple d’intégrales doubles (« intégration par tranches »).
Les deux changements de variables incontournables sont les coordonnées cylindriques et sphériques. Leurs jacobiens sont à connaître par cœur :
| Système | Formules | Élément de volume |
|---|---|---|
| Cylindriques | \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z\) | \(r\,dr\,d\theta\,dz\) |
| Sphériques | \(x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\ z=\rho\cos\varphi\) | \(\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\) |
Exemple canonique : le volume de la boule de rayon \(R\). En sphériques,
\(\displaystyle V = \iiint_{\rho\leq R}\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!d\theta\int_0^{\pi}\!\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{R}\!\rho^2\,d\rho = 2\pi\cdot 2\cdot\displaystyle\frac{R^3}{3} = \displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3\)La démonstration complète du jacobien \(\rho^2\sin\varphi\) et la table des éléments différentiels sont détaillées dans la page dédiée aux opérateurs et éléments en coordonnées curvilignes.
VII. Fubini pour les séries doubles et les familles sommables
Le théorème de Fubini n’est pas réservé aux intégrales. Sa version discrète gouverne l’interversion de deux signes somme, et elle revient régulièrement aux écrits de MP. Le décor change — des indices au lieu de variables continues — mais la logique est rigoureusement la même : on ne permute qu’après avoir établi une hypothèse de convergence absolue.
Pourquoi l’hypothèse n’est pas décorative. Posons \(u_{n,p}=1\) si \(p=n\), \(u_{n,p}=-1\) si \(p=n+1\), et \(u_{n,p}=0\) sinon. À \(n\) fixé, la ligne ne contient qu’un \(1\) et un \(-1\) : sa somme est nulle, donc la somme des lignes vaut \(0\). À \(p\) fixé, la colonne est nulle dès que \(p\geq 1\), mais la colonne \(p=0\) se réduit au seul terme \(u_{0,0}=1\) : la somme des colonnes vaut \(1\). Deux sommes itérées, deux résultats — et pourtant chacune converge. Ce qui manque ici, c’est la sommabilité : \(\displaystyle\sum_{n}\sum_{p}|u_{n,p}|=+\infty\).
Théorème de Fubini pour les familles sommables. Soit \((u_{n,p})_{(n,p)\in\mathbb{N}^2}\) une famille de nombres complexes. Si elle est sommable, c’est-à-dire si \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{p=0}^{+\infty}|u_{n,p}| < +\infty\), alors les deux sommes itérées existent et coïncident avec la somme de la famille :
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\Big(\sum_{p=0}^{+\infty}u_{n,p}\Big)=\sum_{p=0}^{+\infty}\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n,p}\Big)=\sum_{(n,p)\in\mathbb{N}^2}u_{n,p}\)
Le réflexe de rédaction, en deux temps. À termes positifs, l’interversion est toujours licite dans \(\left[0,+\infty\right]\) : c’est la version discrète de Tonelli, et elle ne demande aucune vérification préalable. D’où la méthode attendue sur une copie : appliquer d’abord Tonelli à \(|u_{n,p}|\) pour établir la sommabilité, puis seulement invoquer Fubini sur \(u_{n,p}\). C’est exactement l’enchaînement du cas continu, où l’on majore \(|f|\) avant de permuter les intégrales.
Un calcul type : sommer les valeurs de la fonction zêta
Montrons que \(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\big(\zeta(n)-1\big)=1\), où \(\displaystyle\zeta(n)=\sum_{p=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{p^n}\). Le résultat est spectaculaire et la démonstration tient en trois lignes une fois l’interversion justifiée.
En retirant le terme \(p=1\), on a \(\displaystyle\zeta(n)-1=\sum_{p=2}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{p^n}\), donc la somme cherchée s’écrit \(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\sum_{p=2}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{p^n}\). Tous les termes sont positifs : Tonelli autorise l’échange sans autre justification.
À \(p\geq 2\) fixé, on reconnaît une série géométrique de raison \(1/p < 1\), d’où \(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{p^n}=\displaystyle\frac{1/p^2}{1-1/p}=\displaystyle\frac{1}{p(p-1)}\).
Il ne reste qu’une somme télescopique : \(\displaystyle\sum_{p=2}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{p(p-1)}=\sum_{p=2}^{+\infty}\Big(\displaystyle\frac{1}{p-1}-\displaystyle\frac{1}{p}\Big)=1\).
Le parallèle avec le cas continu est complet : la sommabilité joue le rôle de l’intégrabilité, et la famille indexée par \(\mathbb{N}^2\) celui du domaine du plan. Si les critères de convergence ne sont pas encore solides, reprends-les sur la page séries numériques avant d’aborder les familles sommables.
VIII. S’entraîner : exemples résolus
Cinq exercices classés par difficulté, du calcul direct à l’échange d’ordre indispensable. Cherche avant de dérouler la correction.
Exercice 1 — Intégrale sur un rectangle ★
Calculer \(\displaystyle I = \iint_{[0;1]\times[0;2]} (x + y)\,dx\,dy\).
Voir la correction de l’exercice 1
Le domaine est un pavé et \(f\) est continue : Fubini s’applique directement. On intègre d’abord en \(y\) :
\(\displaystyle\int_0^2 (x+y)\,dy = \Big[xy + \displaystyle\frac{y^2}{2}\Big]_0^2 = 2x + 2\)Puis en \(x\) :
\(\displaystyle I = \int_0^1 (2x+2)\,dx = \big[x^2 + 2x\big]_0^1 = 3\)Conclusion : \(\displaystyle I = \mathbf{3}\).
Exercice 2 — Domaine triangulaire ★★
Calculer \(\displaystyle J = \iint_{D} xy\,dx\,dy\) où \(D\) est le triangle délimité par \(x=0\), \(y=0\) et \(x+y=1\).
Voir la correction de l’exercice 2
Pour \(x\) fixé dans \([0\,;1]\), \(y\) varie de \(0\) à \(1-x\) :
\(\displaystyle J = \int_0^1\int_0^{1-x} xy\,dy\,dx\)Intégrale intérieure :
\(\displaystyle\int_0^{1-x} xy\,dy = x\cdot\displaystyle\frac{(1-x)^2}{2}\)Puis :
\(\displaystyle J = \displaystyle\frac{1}{2}\int_0^1 x(1-x)^2\,dx = \displaystyle\frac{1}{2}\int_0^1 (x- 2x^2 + x^3)\,dx = \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2}- \displaystyle\frac{2}{3} + \displaystyle\frac{1}{4}\right) = \displaystyle\frac{1}{24}\)Conclusion : \(\displaystyle J = \mathbf{\displaystyle\frac{1}{24}}\).
Exercice 3 — Passage en polaires et intégrale de Gauss ★★
Soit \(D_R\) le disque de centre \(O\) et de rayon \(R\). Calculer \(\displaystyle K(R) = \iint_{D_R} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy\), puis en déduire \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\,dt\).
Voir la correction de l’exercice 3
En polaires, \(x^2+y^2 = r^2\) et \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\), avec \(r\in[0\,;R]\) et \(\theta\in[0\,;2\pi]\) :
\(\displaystyle K(R) = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{R} e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\int_0^R r\,e^{-r^2}\,dr\)Une primitive de \(r\,e^{-r^2}\) est \(-\displaystyle\frac{1}{2}e^{-r^2}\), d’où :
\(\displaystyle K(R) = 2\pi\left[-\displaystyle\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_0^R = \pi\big(1- e^{-R^2}\big)\)Déduction. Notons \(\displaystyle A = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\,dt\). Par Fubini–Tonelli sur le plan entier (fonction positive) :
\(\displaystyle A^2 = \left(\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}dx\right)\!\left(\int_{\mathbb{R}} e^{-y^2}dy\right) = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy = \lim_{R\to+\infty} K(R) = \pi\)Comme \(A\) > \(0\), on obtient \(\displaystyle A = \mathbf{\sqrt{\pi}}\). C’est l’exemple type où le calcul en dimension 2 débloque un calcul impossible en dimension 1.
Exercice 4 — Volume d’un tétraèdre (intégrale triple) ★★★
Calculer le volume du solide \(T = \{(x,y,z)\ \mid\ x\geq 0,\ y\geq 0,\ z\geq 0,\ x+y+z\leq 1\}\).
Voir la correction de l’exercice 4
Le volume est \(\displaystyle V = \iiint_T 1\,dx\,dy\,dz\). On intègre par piles : \(z\) de \(0\) à \(1-x-y\), puis \((x,y)\) sur le triangle \(D = \{x\geq 0, y\geq 0, x+y\leq 1\}\).
\(\displaystyle V = \iint_{D}\left(\int_0^{1-x-y} dz\right)dx\,dy = \iint_D (1-x-y)\,dx\,dy\)Pour \(x\in[0\,;1]\), \(y\) varie de \(0\) à \(1-x\) :
\(\displaystyle\int_0^{1-x}(1-x-y)\,dy = \Big[(1-x)y- \displaystyle\frac{y^2}{2}\Big]_0^{1-x} = \displaystyle\frac{(1-x)^2}{2}\)Enfin :
\(\displaystyle V = \displaystyle\frac{1}{2}\int_0^1 (1-x)^2\,dx = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{1}{6}\)Conclusion : \(\displaystyle V = \mathbf{\displaystyle\frac{1}{6}}\).
Exercice 5 — Échanger l’ordre pour rendre le calcul possible ★★★
Calculer \(\displaystyle L = \int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx\). (Indication : la primitive de \(e^{y^2}\) n’est pas élémentaire.)
Voir la correction de l’exercice 5
Le calcul dans l’ordre proposé est impossible car \(e^{y^2}\) n’a pas de primitive élémentaire. On échange l’ordre, ce qui est licite : la fonction est continue et positive sur le domaine borné.
Le domaine est \(D = \{(x,y)\ \mid\ 0\leq x\leq 1,\ x\leq y\leq 1\}\), c’est-à-dire le triangle \(0\leq x\leq y\leq 1\). En tranches horizontales : pour \(y\) fixé, \(x\) varie de \(0\) à \(y\).
\(\displaystyle L = \int_0^1\int_0^{y} e^{y^2}\,dx\,dy = \int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy\)Cette fois la primitive existe :
\(\displaystyle L = \left[\displaystyle\frac{1}{2}e^{y^2}\right]_0^1 = \displaystyle\frac{1}{2}(e- 1)\)Conclusion : \(\displaystyle L = \mathbf{\displaystyle\frac{e-1}{2}}\). La morale : redessiner le domaine et échanger l’ordre est souvent la clé quand l’intégrale intérieure bloque.
Pour aller plus loin dans l’entraînement, la page dédiée regroupe une vingtaine d’exercices corrigés d’intégrales doubles et triples classés jusqu’au niveau concours.
IX. Les pièges classiques à éviter
Trois erreurs reviennent systématiquement dans les copies. Les connaître, c’est gagner des points sûrs.
Piège 1 — Bornes non adaptées après changement de variables. Après un passage en polaires, il faut redécrire le domaine dans les nouvelles variables. Un quart de disque devient \(r\in[0\,;R]\) et \(\theta\in[0\,;\displaystyle\frac{\pi}{2}]\). Copier les anciennes bornes cartésiennes est une faute garantie.
Piège 2 — Oublier la valeur absolue du jacobien. La formule fait intervenir \(|\det J_\varphi|\), pas \(\det J_\varphi\). En polaires le facteur est \(r\geq 0\), donc la valeur absolue est transparente, mais dans d’autres changements de variables un jacobien négatif donnerait une aire négative absurde. Écris toujours la valeur absolue.
Piège 3 — Appliquer Fubini sans hypothèse d’intégrabilité. Sur un domaine non borné ou avec une fonction de signe variable, il faut d’abord justifier \(\displaystyle\iint |f|\) < \(+\infty\) (via Fubini–Tonelli sur \(|f|\)) avant d’échanger l’ordre. Sur un domaine borné avec fonction continue, l’hypothèse est automatique : mentionne-le en une ligne.
X. Rédaction au concours et selon la filière
Ce que le correcteur attend
Le correcteur cherche des justifications d’hypothèses, pas seulement un résultat numérique. Le plan de rédaction gagnant tient en quatre points :
- Justifier l’applicabilité : « \(f\) est continue sur le domaine fermé borné \(D\), donc intégrable ; Fubini s’applique. »
- Décrire le domaine explicitement avec un dessin et l’écriture ensembliste \(D=\{(x,y)\mid\dots\}\).
- Pour un changement de variables : nommer \(\varphi\), vérifier que c’est un \(\mathcal{C}^1\)-difféomorphisme sur l’ouvert adéquat, calculer le jacobien, redécrire le domaine.
- Conclure avec le résultat encadré et, si possible, une vérification (autre ordre, homogénéité, positivité).
Formulations qui coûtent des points. « On passe en polaires » sans justifier le difféomorphisme ni recalculer les bornes ; « \(dx\,dy = dr\,d\theta\) » (facteur \(r\) oublié) ; échanger l’ordre d’intégration sans un mot sur l’intégrabilité. Chacune est sanctionnée même si le résultat final est juste.
Au programme de quelle filière ?
| Filière | Statut des intégrales doubles et triples |
|---|---|
| PC / PC*, PSI / PSI* | Au cœur du programme et omniprésentes en physique (moment d’inertie, centre de masse, flux) |
| MP / MP* | Surtout via les densités de couples en probabilités ; le calcul explicite reste attendu |
| PT / PT* | Calcul de volumes et applications mécaniques |
| ECG / prépa éco | Densités de couples de variables aléatoires : Fubini pour les lois marginales |
Quelle que soit la filière, la maîtrise repose sur les mêmes prérequis d’une variable : l’intégration par parties, le changement de variable à une dimension et les intégrales généralisées et le théorème de Fubini-Tonelli pour les domaines non bornés.
XI. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le théorème de Fubini et le théorème de Fubini-Tonelli ?
Tonelli s’applique aux fonctions positives et garantit toujours l’égalité des intégrales itérées, même si elles valent \(+\infty\) : aucune hypothèse d’intégrabilité n’est requise. Fubini s’applique aux fonctions de signe quelconque, mais uniquement si \(f\) est intégrable, c’est-à-dire \(\displaystyle\iint |f|\) < \(+\infty\). La stratégie standard combine les deux : on applique Tonelli à \(|f|\) pour prouver l’intégrabilité, puis Fubini à \(f\) pour calculer.
Dans quel ordre faut-il intégrer une intégrale double ?
L’ordre est libre quand \(f\) est continue sur un domaine borné : Fubini garantit le même résultat. En pratique, choisis l’ordre qui rend l’intégrale intérieure calculable ou le plus simple. Parfois un seul ordre fonctionne (exemple : \(e^{y^2}\) qui n’a pas de primitive élémentaire) : il faut alors redessiner le domaine et échanger.
Pourquoi apparaît le facteur r en coordonnées polaires ?
Parce que l’élément d’aire se dilate avec la distance au centre. Formellement, \(r\) est la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne du passage \((r,\theta)\mapsto(r\cos\theta, r\sin\theta)\), qui vaut exactement \(r\). Géométriquement, un petit secteur situé loin du centre couvre une aire plus grande qu’un secteur proche, à variations \(dr\) et \(d\theta\) égales.
Comment justifier qu’on a le droit d’échanger l’ordre d’intégration ?
Sur un domaine fermé borné avec une fonction continue, l’intégrabilité est automatique : une phrase suffit. Sur un domaine non borné ou avec une fonction non signée, applique Fubini-Tonelli à \(|f|\) : si \(\displaystyle\iint |f|\) est finie, alors Fubini autorise l’échange. Sans cette vérification, l’échange peut donner deux valeurs différentes.
Quel changement de variables choisir pour une intégrale triple ?
Cela dépend de la symétrie du domaine. Un cylindre ou un domaine invariant par rotation autour d’un axe appelle les coordonnées cylindriques (jacobien \(r\)). Une boule ou un domaine à symétrie sphérique appelle les coordonnées sphériques (jacobien \(\rho^2\sin\varphi\)). Si le domaine est un pavé aligné sur les axes, reste en cartésiennes et applique Fubini directement.
XII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le théorème de Fubini et le calcul des intégrales doubles et triples. Pour consolider les notions voisines :
- Tableau de variation d’une fonction
- Coordonnées d’un Vecteur : Cours Complet, Formules et Exercices Corrigés
- Déterminant d’une Matrice : Définition, Calcul, Propriétés et Exercices Corrigés
- Développements limités et formules de Taylor
Pour réviser les bases indispensables du calcul intégral à une variable, revois aussi les primitives et l’intégrale simple et entraîne-toi sur les exercices de calcul intégral.
