Deux droites coupées par une troisième : c’est la configuration qui revient dans presque tous les exercices de géométrie de 5ème. Les angles qu’elle forme portent des noms — correspondants, alternes-internes — et une seule propriété permet de les calculer sans rapporteur, à une condition que beaucoup d’élèves oublient. Voici comment les reconnaître, ce qu’on a le droit d’en conclure, et comment rédiger une justification qui rapporte tous les points.
I. L’essentiel en une image
Pars toujours de la même situation : deux droites coupées par une troisième. Cette troisième droite s’appelle une sécante. Elle crée huit angles, et on va apprendre à repérer ceux qui vont « ensemble ».
Un angle correspondant occupe la « même position » aux deux croisements : imagine que tu poses le premier croisement sur le second en le faisant glisser le long de la sécante, les angles correspondants se superposent. Un angle alterne-interne se trouve entre les deux droites, mais de chaque côté de la sécante.
Définition — Angles correspondants et alternes-internes
Deux droites sont coupées par une sécante.
- Deux angles correspondants sont du même côté de la sécante, l’un entre les deux droites, l’autre à l’extérieur, et ils n’ont pas le même sommet.
- Deux angles alternes-internes sont tous les deux entre les deux droites, mais de part et d’autre de la sécante, avec des sommets différents.
Attention : ces définitions décrivent seulement la position des angles. Elles ne disent encore rien sur leur mesure. La mesure, c’est la propriété de la section suivante.
II. La propriété clé : le rôle des droites parallèles
Voici le cœur du chapitre. Tout se joue sur une seule condition : les deux droites doivent être parallèles. C’est le mot magique que tu ne dois jamais oublier.
La règle à retenir : si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants ont la même mesure, et les angles alternes-internes aussi. On dit qu’ils sont égaux.
« Angles égaux » veut simplement dire qu’ils ont la même mesure en degrés. Si l’un mesure 55°, l’autre mesure 55° aussi. Regarde un exemple concret : sur deux droites parallèles coupées par une sécante, si un angle correspondant mesure \(\widehat{a} = 62^\circ\), alors son correspondant mesure lui aussi \(62^\circ\), sans avoir besoin du rapporteur.
A. Le contre-exemple : sans parallélisme, rien ne marche
C’est le point que presque personne n’explique, et pourtant il change tout. Si les deux droites ne sont pas parallèles, les angles correspondants n’ont aucune raison d’être égaux.
Retiens donc que le raisonnement se fait toujours en deux temps : d’abord tu vérifies que les droites sont parallèles, ensuite seulement tu conclus que les angles sont égaux.
B. La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles
On peut aussi lire la propriété « dans l’autre sens ». Si tu observes que deux angles correspondants (ou alternes-internes) ont la même mesure, alors tu peux affirmer que les deux droites sont parallèles.
La réciproque : si deux angles correspondants sont égaux, alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles. Cette règle sert à démontrer un parallélisme.
Cette façon de penser rappelle celle de la réciproque du théorème de Thalès : une propriété directe pour calculer, une réciproque pour prouver.
La fiche cours-méthode « Angles » à imprimer
Définitions, propriété, réciproque et pièges classiques : tout le chapitre résumé sur une seule page.
📄 Télécharger la fiche gratuiteIdéale pour réviser avant un contrôle de 5ème.
III. Tableau récapitulatif : reconnaître et conclure
Ce tableau résume tout ce qu’il faut savoir : comment repérer chaque famille d’angles et ce qu’on a le droit de conclure.
| Famille d’angles | Position par rapport à la sécante | Position par rapport aux deux droites | Si les droites sont parallèles |
|---|---|---|---|
| Correspondants | Même côté | L’un dedans, l’autre dehors | Égaux |
| Alternes-internes | De part et d’autre | Tous les deux dedans | Égaux |
| Alternes-externes | De part et d’autre | Tous les deux dehors | Égaux |
Et voici le tableau des deux sens de lecture, à ne surtout pas confondre :
| Ce que je sais (hypothèse) | Ce que je peux conclure |
|---|---|
| Les droites sont parallèles | Les angles correspondants sont égaux |
| Deux angles correspondants sont égaux | Les droites sont parallèles |
Maintenant que tu as la règle en tête, entraînons-nous sur trois situations typiques d’un contrôle de 5ème.
IV. Exemples d’application
Exercice 1 — Calculer un angle correspondant ★
Les droites (d) et (d’) sont parallèles. Elles sont coupées par une sécante. L’angle \(\widehat{a}\) mesure \(73^\circ\) et l’angle \(\widehat{b}\) lui est correspondant. Quelle est la mesure de \(\widehat{b}\) ?
Voir la correction de l’exercice 1
Les droites (d) et (d’) sont parallèles. Les angles \(\widehat{a}\) et \(\widehat{b}\) sont correspondants.
Donc ils ont la même mesure :
\(\widehat{b} = \widehat{a} = 73^\circ\)La réponse est 73°. Remarque : on n’a pas eu besoin de rapporteur, juste de la propriété.
Exercice 2 — Utiliser les alternes-internes ★★
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle alterne-interne mesure \(115^\circ\). Sa mesure paraît trop grande : est-ce normal ? Quelle est la mesure de l’autre angle alterne-interne ?
Voir la correction de l’exercice 2
Un angle peut très bien mesurer \(115^\circ\) : c’est un angle obtus, c’est parfaitement normal.
Les droites sont parallèles, donc les deux angles alternes-internes sont égaux :
\(115^\circ\) et \(115^\circ\).
La mesure de l’autre angle alterne-interne est donc 115°. Pour revoir les familles d’angles, va voir les types d’angles.
Exercice 3 — Prouver que deux droites sont parallèles ★★★
Une sécante coupe deux droites (d) et (d’). Elle forme un angle correspondant de \(48^\circ\) sur (d) et un angle correspondant de \(48^\circ\) sur (d’). Peut-on affirmer que (d) et (d’) sont parallèles ?
Voir la correction de l’exercice 3
Ici, on ne calcule pas un angle : on utilise la réciproque.
Les deux angles sont correspondants et ils ont la même mesure (\(48^\circ\)).
Or, si deux angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.
Donc les droites (d) et (d’) sont parallèles. C’est exactement le raisonnement inverse de l’exercice 1.
V. Erreurs fréquentes
Trois pièges reviennent tout le temps dans les copies de 5ème. Repère-les une bonne fois pour toutes.
Erreur 1 — Oublier le parallélisme.
❌ Copie fautive : « Les angles sont correspondants, donc ils sont égaux. »
Diagnostic : la conclusion est prononcée sans vérifier que les droites sont parallèles. Sans parallélisme, la propriété ne s’applique pas.
✅ Correction : « Les droites sont parallèles, et les angles sont correspondants, donc ils sont égaux. »
Erreur 2 — Confondre correspondants et alternes-internes.
❌ Copie fautive : appeler « correspondants » deux angles situés de part et d’autre de la sécante.
Diagnostic : des angles de part et d’autre de la sécante et tous les deux entre les droites sont alternes-internes, pas correspondants.
✅ Correction : correspondants = même côté de la sécante ; alternes-internes = côtés opposés.
Erreur 3 — Mélanger la propriété et sa réciproque.
❌ Copie fautive : « Les angles sont égaux, donc ils sont correspondants. »
Diagnostic : ce n’est pas parce que deux angles sont égaux qu’ils sont correspondants ; la position ne se déduit pas de la mesure.
✅ Correction : on utilise la réciproque pour conclure au parallélisme des droites, pas pour nommer les angles. Tu retrouveras ce piège parmi les erreurs classiques de géométrie au collège.
VI. Rédiger sa justification
En 5ème, ce qui est réellement évalué n’est pas le résultat, mais la phrase de justification. Le correcteur veut voir un raisonnement en trois temps : je cite la propriété, je vérifie l’hypothèse, je conclus.
Modèle à recopier (calcul d’angle) :
« Les droites (d) et (d’) sont parallèles. Les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{BCD}\) sont alternes-internes. Donc \(\widehat{ABC} = \widehat{BCD}\). »
Modèle à recopier (preuve de parallélisme) :
« Les angles correspondants \(\widehat{a}\) et \(\widehat{b}\) ont la même mesure. Or, si deux angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles. Donc (d) et (d’) sont parallèles. »
Les deux copies fautives que le correcteur voit le plus souvent sont exactement les erreurs 1 et 3 ci-dessus : l’oubli de l’hypothèse « parallèles », et la confusion entre la propriété et sa réciproque. Une justification qui saute une de ces trois étapes perd des points, même si le résultat est bon.
Cette compétence te resservira dans presque tous les chapitres de géométrie, par exemple pour la démonstration de la somme des angles d’un triangle, qui utilise justement les angles alternes-internes.
VII. Questions fréquentes
Comment reconnaître des angles correspondants ?
Trace la sécante et regarde les deux croisements. Deux angles sont correspondants s’ils sont du même côté de la sécante et occupent la même position à chaque croisement (par exemple, tous les deux « en haut à droite »). L’un se trouve entre les deux droites, l’autre à l’extérieur.
Quelle est la différence entre angles correspondants et alternes-internes ?
Les deux familles sont égales quand les droites sont parallèles, mais leur position diffère. Les angles correspondants sont du même côté de la sécante. Les angles alternes-internes sont de part et d’autre de la sécante et tous les deux entre les deux droites.
Que signifie que deux angles sont égaux ?
Cela veut dire qu’ils ont exactement la même mesure en degrés. Si un angle correspondant mesure 55°, alors son correspondant mesure aussi 55°. On n’a même pas besoin de le mesurer au rapporteur : la propriété suffit.
Les angles correspondants sont-ils toujours égaux ?
Non. Ils ne sont égaux que si les deux droites coupées par la sécante sont parallèles. Si les droites ne sont pas parallèles, deux angles correspondants peuvent avoir des mesures très différentes.
Comment calculer un angle avec les angles correspondants ?
Vérifie d’abord que les droites sont parallèles. Repère ensuite l’angle correspondant (ou alterne-interne) dont tu connais déjà la mesure. Comme ils sont égaux, tu reportes simplement la même valeur. Rédige la justification en trois temps : propriété, hypothèse, conclusion.
Quels sont les autres types d’angles à connaître ?
À côté des correspondants et alternes-internes, tu dois maîtriser les angles aigu, droit, obtus et plat, ainsi que les angles complémentaires, supplémentaires, adjacents et opposés par le sommet. Retrouve tout cela dans le cours sur les types d’angles et sur les angles complémentaires et supplémentaires.
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant reconnaître les angles correspondants et alternes-internes, appliquer la propriété et rédiger une justification propre. Pour continuer à progresser :
- Erreurs en géométrie au collège : les 8 pièges classiques
- La réciproque du théorème de Pythagore : prouver qu’un triangle est rectangle
- Droites sécantes : définition, méthode et cas particuliers
- 10 exercices corrigés sur le théorème de Pythagore (3ème et brevet)
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le collège.
