Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur
La différentielle d’une fonction en un point est l’application linéaire qui approche le mieux sa variation au voisinage de ce point. En une variable, elle se réduit à \(df = f^\prime(x)\,dx\) ; en plusieurs variables, elle regroupe toutes les dérivées partielles en un seul objet. C’est le socle de tout le calcul différentiel de prépa, du gradient aux intégrales curvilignes.
I. Différentiabilité et différentielle
Tout le calcul différentiel repose sur une idée simple : au voisinage d’un point, une fonction « raisonnable » se comporte comme une application affine. La différentielle est l’outil qui rend cette idée rigoureuse en dimension quelconque. En Terminale, tu écrivais \(f(a+h) \approx f(a) + f^\prime(a)h\). La différentiabilité, c’est exactement cette approximation affine, mais avec une application linéaire à la place du nombre \(f^\prime(a)\).
A. Définition formelle
Définition — Différentiabilité en un point
Soit \(f : U \to \mathbb{R}\) définie sur un ouvert \(U\) de \(\mathbb{R}^n\) et \(a \in U\). On dit que \(f\) est différentiable en \(a\) s’il existe une application linéaire \(L : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) telle que :
\(f(a+h) = f(a) + L(h) + o(\Vert h \Vert) \quad \text{lorsque } h \to 0.\)
L’application \(L\) est alors unique ; on l’appelle différentielle de \(f\) en \(a\), notée \(df_a\) ou \(\mathrm{d}f(a)\).
La notation \(o(\Vert h \Vert)\) signifie qu’il existe une fonction \(\varepsilon\) avec \(\varepsilon(h) \to 0\) quand \(h \to 0\) telle que le reste s’écrit \(\Vert h \Vert \, \varepsilon(h)\). Autrement dit : l’écart entre \(f\) et son approximation affine \(h \mapsto f(a) + L(h)\) est négligeable devant \(\Vert h \Vert\). C’est cette qualité d’approximation qui fait toute la différence avec la simple existence des dérivées partielles (on y revient au H2 III).
Retiens bien la nature des objets : \(a\) et \(h\) sont des vecteurs de \(\mathbb{R}^n\), \(f(a)\) est un réel, et \(df_a\) est une application linéaire. Écrire \(df_a\) comme un nombre est l’erreur numéro un du chapitre.
Unicité de la différentielle. Supposons deux applications linéaires \(L_1\) et \(L_2\) conviennent. En soustrayant les deux développements, on obtient \((L_1- L_2)(h) = o(\Vert h \Vert)\). Fixons un vecteur \(u \neq 0\) et posons \(h = tu\) avec \(t \to 0^+\). Par linéarité, \((L_1-L_2)(tu) = t\,(L_1-L_2)(u)\), donc \(t\,(L_1-L_2)(u) = o(t)\), ce qui force \((L_1-L_2)(u) = 0\). Ceci valant pour tout \(u\), on a \(L_1 = L_2\). ∎
B. Notations et vocabulaire
La différentielle des projections coordonnées joue un rôle central. Notons \(x_i : (h_1,\dots,h_n) \mapsto h_i\) la \(i\)-ème coordonnée. Cette application est déjà linéaire, donc elle est différentiable et sa différentielle en tout point est elle-même : c’est précisément l’objet noté \(dx_i\). Ces \(dx_i\) forment la base sur laquelle on exprime toute différentielle — ce ne sont pas des « petites quantités infinitésimales » mystérieuses, mais des applications linéaires parfaitement définies.
Trois notations, un seul objet.
- \(df_a\) : la différentielle en un point \(a\) précis (une application linéaire fixée).
- \(df_a(h)\) : la valeur de cette application sur un vecteur \(h\) (un réel).
- \(df\) : la différentielle « globale », qui à chaque point associe son application linéaire.
C. La formule à retenir : la différentielle totale
Voici le résultat que tu utiliseras dans 90 % des exercices. Il relie la différentielle aux dérivées partielles.
Propriété — Expression de la différentielle
Si \(f\) est différentiable en \(a\), alors ses dérivées partielles existent en \(a\) et, pour tout \(h = (h_1,\dots,h_n)\) :
\(df_a(h) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\, h_i.\)
On l’écrit de façon condensée, dans le langage des formes différentielles :
\(df = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_1}\,dx_1 + \cdots + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_n}\,dx_n.\)
En deux variables, cela donne la fameuse différentielle totale \(df = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\,dy\). Les coefficients de cette combinaison linéaire sont exactement les dérivées partielles de \(f\) : la différentielle « regroupe » toutes les dérivées partielles en un unique objet. Le vecteur formé par ces coefficients, tu le connais peut-être déjà : c’est le gradient de \(f\), et l’on a \(df_a(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle\).
II. Interprétation géométrique
Après la définition, la question naturelle est : à quoi ça ressemble ? La différentielle a une lecture géométrique limpide en dimension 2, qui manque cruellement dans la plupart des cours disponibles en ligne.
Considère la surface d’équation \(z = f(x,y)\). Dire que \(f\) est différentiable en \(a = (x_0,y_0)\), c’est dire que cette surface admet un plan tangent en le point \((x_0,y_0,f(a))\). Ce plan a pour équation :
\(z = f(a) + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(a)(x-x_0) + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(a)(y-y_0).\)La différentielle est exactement la partie linéaire de cette équation : elle mesure de combien on monte ou descend sur le plan tangent quand on se déplace de \(h = (x-x_0, \, y-y_0)\). C’est la généralisation directe de la tangente à une courbe.
Le fil rouge du chapitre. En dimension 1 : la dérivée donne la tangente. En dimension 2 : la différentielle donne le plan tangent. En dimension \(n\) : la différentielle donne l’hyperplan tangent. Une seule idée — la meilleure approximation affine — déclinée à toutes les dimensions.
Cette lecture géométrique éclaire aussi une propriété du gradient : puisque \(df_a(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle\), la variation est maximale quand \(h\) pointe dans la direction de \(\nabla f(a)\). Le gradient donne la direction de plus forte pente sur la surface. Voyons maintenant les théorèmes qui structurent le chapitre.
Toute la différentielle en une fiche synthétique
Définitions, théorèmes clés (C¹, composition, Poincaré) et méthode de calcul en 3 étapes, condensés sur une seule page prête à réviser.
📄 Télécharger la fiche PDFL’essentiel du chapitre pour réviser avant une colle ou un concours.
III. Propriétés et théorèmes fondamentaux
Trois résultats organisent toute la théorie. Le premier relie différentiabilité et continuité, le deuxième donne un critère pratique (le plus utilisé), le troisième régit la composition.
A. Différentiable ⟹ continue
Théorème ⋆
Si \(f\) est différentiable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\).
Démonstration. Par différentiabilité, \(f(a+h)- f(a) = df_a(h) + o(\Vert h \Vert)\). Une application linéaire en dimension finie est continue, donc \(df_a(h) \to 0\) quand \(h \to 0\), et le reste \(o(\Vert h \Vert) \to 0\) également. Ainsi \(f(a+h) \to f(a)\), ce qui est la continuité en \(a\). ∎
La contraposée est un outil de rejet redoutable : une fonction discontinue en \(a\) ne peut pas y être différentiable. Retiens aussi que l’existence des dérivées partielles n’implique ni la continuité, ni la différentiabilité — c’est le grand piège du chapitre, traité au H2 VII.
B. Le théorème fondamental : de classe C¹ ⟹ différentiable
Théorème ⋆ (critère de différentiabilité)
Si \(f\) admet des dérivées partielles continues sur un ouvert \(U\) (on dit que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\)), alors \(f\) est différentiable en tout point de \(U\).
C’est le résultat que tu invoqueras en pratique : plutôt que de vérifier la définition avec un \(o(\Vert h \Vert)\), on montre que les dérivées partielles sont continues (souvent immédiat pour des fonctions usuelles), et la différentiabilité est acquise.
Idée de la démonstration (cas \(n=2\)). On isole les deux variables l’une après l’autre :
\(f(a+h)- f(a) = \big[f(x_0+h_1, y_0+h_2)- f(x_0, y_0+h_2)\big] + \big[f(x_0, y_0+h_2)- f(x_0,y_0)\big].\)Sur chaque crochet, on applique le théorème des accroissements finis à une fonction d’une seule variable ; il apparaît des dérivées partielles évaluées en des points intermédiaires. La continuité de ces dérivées partielles permet de les remplacer par leurs valeurs en \(a\) à un \(o(\Vert h \Vert)\) près, ce qui reconstitue exactement \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(a)h_1 + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(a)h_2 + o(\Vert h \Vert)\). ∎
La hiérarchie à mémoriser : \(\mathcal{C}^1 \Longrightarrow \text{différentiable} \Longrightarrow \text{continue et dérivées partielles existent}\). Aucune de ces implications n’est une équivalence : les réciproques sont fausses (contre-exemples au H2 VII).
C. Différentielle d’une composée
La règle de la chaîne prend une forme d’une élégance parfaite avec les différentielles : la différentielle d’une composée est la composée des différentielles.
Théorème — Composition
Si \(f\) est différentiable en \(a\) et \(g\) différentiable en \(f(a)\), alors \(g \circ f\) est différentiable en \(a\) et :
\(d(g \circ f)_a = dg_{f(a)} \circ df_a.\)
En termes de matrices dans les bases canoniques, cette composition d’applications linéaires devient un produit de matrices jacobiennes : c’est la version « calculatoire » de la règle de la chaîne. Pour tout le détail des calculs de dérivées composées, tu peux te reporter à la matrice jacobienne. Un cas particulier fréquent : si \(t \mapsto \gamma(t) = (x(t), y(t))\) est un arc et \(f\) une fonction, alors \(\displaystyle\frac{d}{dt} f(\gamma(t)) = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\, x^\prime(t) + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\, y^\prime(t)\).
Signalons enfin un lien important avec l’ordre supérieur : lorsque \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\), la symétrie des dérivées secondes croisées est garantie par le théorème de Schwarz, ce qui rend la différentielle seconde bien définie. On passe maintenant au calcul concret.
IV. Méthode : calculer la différentielle d’une fonction
La bonne nouvelle : dès qu’une fonction est explicite et régulière, calculer sa différentielle est mécanique. Voici la méthode en trois étapes.
Méthode en 3 étapes
- Justifier la différentiabilité. Vérifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) (somme, produit, quotient à dénominateur non nul, composée de fonctions usuelles). Une seule ligne suffit en général.
- Calculer les dérivées partielles \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\) (chacune se calcule en traitant les autres variables comme des constantes).
- Assembler la différentielle totale : \(df = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\,dy\).
Un cas particulier utile en physique et en économie : la différentielle logarithmique. Pour \(f \gt 0\), on a \(d(\ln f) = \displaystyle\frac{df}{f}\). Sur un produit \(f = uvw\), cela donne directement \(\displaystyle\frac{df}{f} = \displaystyle\frac{du}{u} + \displaystyle\frac{dv}{v} + \displaystyle\frac{dw}{w}\) : la différentielle logarithmique transforme les produits en sommes, exactement comme le logarithme.
Exemple : différentielle de \(f(x,y) = x^2 e^{y}\).
Étape 1. \(f\) est un produit de fonctions \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}^2\), donc de classe \(\mathcal{C}^1\) : elle est différentiable partout.
Étape 2. \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\,e^{y}\) et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 e^{y}\).
Étape 3. \(df = 2x\,e^{y}\,dx + x^2 e^{y}\,dy\).
Cette machinerie s’appuie directement sur les développements limités : la différentielle est le terme d’ordre 1 du développement de Taylor à plusieurs variables. Pour aller plus loin sur l’ordre 2 (qui fait apparaître la hessienne), reporte-toi aux formules de Taylor.
V. Formes différentielles : exactes et fermées
C’est ici que le cours de 2ᵉ année prend le relais, et c’est aussi l’angle que quasiment aucun cours en ligne ne traite proprement. Une forme différentielle de degré 1 sur un ouvert \(U\) de \(\mathbb{R}^2\) est une expression \(\omega = P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy\), où \(P\) et \(Q\) sont des fonctions. La différentielle \(df\) d’une fonction est un exemple particulier de forme différentielle.
Définition — Forme exacte, forme fermée
Soit \(\omega = P\,dx + Q\,dy\) une forme différentielle de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un ouvert \(U\).
- \(\omega\) est exacte s’il existe une fonction \(f\) telle que \(\omega = df\), c’est-à-dire \(P = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(Q = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\). On dit que \(f\) est une primitive de \(\omega\).
- \(\omega\) est fermée si \(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}\).
Toute forme exacte est fermée. En effet, si \(\omega = df\) avec \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\), alors \(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\) et \(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) ; ces deux dérivées croisées sont égales par le théorème de Schwarz. La condition « fermée » est donc nécessaire pour être exacte.
La question réciproque est plus subtile — et c’est là que la topologie du domaine intervient.
Théorème de Poincaré
Si \(U\) est étoilé (par exemple convexe), alors toute forme différentielle fermée sur \(U\) est exacte.
L’hypothèse sur le domaine n’est pas décorative : sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\), qui n’est pas simplement connexe, il existe des formes fermées non exactes (voir l’exercice 5). Ce phénomène est au cœur de la théorie des intégrales curvilignes et de la formule de Green-Riemann : l’intégrale d’une forme exacte sur un chemin ne dépend que des extrémités, tandis que la circulation d’une forme seulement fermée peut dépendre du « tour » effectué autour d’un trou.
La bonne stratégie de reconnaissance. Pour savoir si \(\omega = P\,dx + Q\,dy\) est exacte : (1) teste d’abord si elle est fermée (\(\partial_y P = \partial_x Q\)) — si non, elle n’est pas exacte, c’est terminé ; (2) si oui et si le domaine est étoilé, elle est exacte, cherche la primitive par intégrations successives.
VI. Exemples résolus
Cinq exercices classés par difficulté, du calcul direct à la question de concours. Cache la correction, cherche, puis compare ta rédaction.
Exercice 1 — Différentielle d’un polynôme ★
Calculer la différentielle de \(f(x,y) = x^2 y + 3xy^3\) en tout point.
Voir la correction de l’exercice 1
\(f\) est polynomiale, donc de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}^2\) : elle est différentiable partout.
Dérivées partielles : \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^3\) et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 9xy^2\).
D’où la différentielle : \(df = (2xy + 3y^3)\,dx + (x^2 + 9xy^2)\,dy\).
La différentielle est une combinaison linéaire des \(dx\) et \(dy\) dont les coefficients sont les dérivées partielles.
Exercice 2 — Différentielle logarithmique ★
Soit \(V(P,T,n) = \displaystyle\frac{nRT}{P}\) (loi des gaz parfaits, \(R\) constante, variables strictement positives). Exprimer \(\displaystyle\frac{dV}{V}\).
Voir la correction de l’exercice 2
Sur le domaine \(P, T, n \gt 0\), \(V\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement positive. On passe au logarithme :
\(\ln V = \ln n + \ln R + \ln T- \ln P.\)En différentiant et en utilisant \(d(\ln u) = \displaystyle\frac{du}{u}\) :
\(\displaystyle\frac{dV}{V} = \displaystyle\frac{dn}{n} + \displaystyle\frac{dT}{T}- \displaystyle\frac{dP}{P}.\)La différentielle logarithmique transforme le produit-quotient en somme algébrique : c’est l’outil standard pour les calculs d’incertitudes relatives.
Exercice 3 — Dérivées partielles sans différentiabilité ★★
Soit \(f\) définie par \(f(x,y) = \displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}\) si \((x,y) \neq (0,0)\) et \(f(0,0) = 0\). Montrer que les deux dérivées partielles existent en \((0,0)\), mais que \(f\) n’y est pas différentiable.
Voir la correction de l’exercice 3
Existence des dérivées partielles. Comme \(f(x,0) = 0\) pour tout \(x\), on a \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0\). De même \(f(0,y)=0\) donne \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0\). Les deux dérivées partielles existent et valent \(0\).
Non-différentiabilité. Il suffit de montrer que \(f\) n’est pas continue en \((0,0)\) (une fonction différentiable est continue). Le long de la droite \(y = x\) avec \(x \to 0\) :
\(f(x,x) = \displaystyle\frac{x^2}{2x^2} = \displaystyle\frac{1}{2} \; \not\to \; 0 = f(0,0).\)Donc \(f\) n’est pas continue en \((0,0)\), et n’y est pas différentiable. L’existence des dérivées partielles ne suffit jamais à conclure à la différentiabilité.
La fiche méthode « différentielle » à garder sous la main
Définition, hiérarchie C¹ → différentiable → continue, formes exactes et fermées : tout le chapitre sur une page.
📄 Télécharger la fiche PDFIdéale pour réviser juste avant une colle ou un DS.
Exercice 4 — Forme exacte et recherche de primitive ★★
La forme \(\omega = (2xy + 1)\,dx + (x^2 + 2y)\,dy\) est-elle exacte sur \(\mathbb{R}^2\) ? Si oui, déterminer une primitive \(f\).
Voir la correction de l’exercice 4
Test « fermée ». On pose \(P = 2xy+1\), \(Q = x^2+2y\).
\(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = 2x, \qquad \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x.\)Les deux sont égales : \(\omega\) est fermée. Comme \(\mathbb{R}^2\) est convexe donc étoilé, le théorème de Poincaré assure que \(\omega\) est exacte.
Recherche de \(f\). On veut \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy+1\). En intégrant par rapport à \(x\) :
\(f(x,y) = x^2 y + x + \varphi(y),\) où \(\varphi\) dépend seulement de \(y\).
On dérive par rapport à \(y\) et on identifie à \(Q\) : \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + \varphi^\prime(y) = x^2 + 2y\), d’où \(\varphi^\prime(y) = 2y\) puis \(\varphi(y) = y^2 + C\).
Une primitive est \(f(x,y) = x^2 y + x + y^2\) (à une constante près).
Exercice 5 — Une forme fermée non exacte ★★★
Sur \(U = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\), on pose \(\omega = \displaystyle\frac{-y}{x^2+y^2}\,dx + \displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}\,dy\). Montrer que \(\omega\) est fermée. Est-elle exacte sur \(U\) ?
Voir la correction de l’exercice 5
Forme fermée. Posons \(P = \displaystyle\frac{-y}{x^2+y^2}\), \(Q = \displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}\). Un calcul direct donne :
\(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = \displaystyle\frac{y^2- x^2}{(x^2+y^2)^2} = \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}.\)La forme est donc fermée sur \(U\).
Non exacte. Supposons par l’absurde \(\omega = df\). Alors sur tout chemin fermé, \(\int \omega = 0\). Or, en paramétrant le cercle unité par \(\gamma(t) = (\cos t, \sin t)\), \(t \in [0, 2\pi]\), on calcule \(\omega(\gamma(t)) = -\sin t \, d(\cos t) + \cos t\, d(\sin t) = (\sin^2 t + \cos^2 t)\,dt = dt\), donc :
\(\displaystyle\oint_{\gamma} \omega = \int_0^{2\pi} dt = 2\pi \neq 0.\)\(\omega\) est fermée mais non exacte sur \(U\). C’est possible car \(U\) n’est pas étoilé (il a un « trou » en l’origine) : l’hypothèse du théorème de Poincaré est violée. Cette forme, c’est \(d\theta\) au sens de l’angle polaire, qui n’est pas défini globalement sur \(U\).
Envie de t’entraîner davantage ? Retrouve une série complète avec corrigés détaillés dans les exercices corrigés sur les fonctions de plusieurs variables.
VII. Pièges classiques
Trois erreurs reviennent systématiquement dans les copies. Les connaître, c’est déjà gagner des points.
Piège n°1 — « Les dérivées partielles existent, donc \(f\) est différentiable ». FAUX.
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\) existent, donc \(f\) est différentiable en \((0,0)\). »
Diagnostic : l’existence des dérivées partielles ne teste \(f\) que le long des deux axes. La différentiabilité exige un contrôle dans toutes les directions simultanément (c’est le rôle du \(o(\Vert h \Vert)\)). L’exercice 3 fournit un contre-exemple explicite.
✅ Correction : pour conclure à la différentiabilité sans revenir à la définition, invoque le théorème « \(\mathcal{C}^1 \Rightarrow\) différentiable » en vérifiant la continuité des dérivées partielles.
Piège n°2 — Confondre dérivée et différentielle.
❌ Copie fautive : écrire « \(df_a = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(a)\) » ou traiter \(df_a\) comme un nombre.
Diagnostic : \(df_a\) est une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\), pas un scalaire. En une variable seulement, \(df_a\) s’identifie à la multiplication par \(f^\prime(a)\), ce qui entretient la confusion.
✅ Correction : écris toujours \(df_a(h) = \displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\,h_i\) en précisant l’argument \(h\).
Piège n°3 — Conclure « fermée donc exacte » sans regarder le domaine.
❌ Copie fautive : « \(\partial_y P = \partial_x Q\), donc il existe une primitive \(f\). »
Diagnostic : l’implication « fermée \(\Rightarrow\) exacte » n’est valable que sur un ouvert étoilé (Poincaré). Sur un domaine à trou comme \(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}\), elle est fausse (exercice 5).
✅ Correction : justifie toujours la nature du domaine avant d’affirmer l’exactitude.
VIII. Rédaction au concours
Sur ce chapitre, le correcteur ne cherche pas la virtuosité calculatoire : il cherche la rigueur logique. Voici ce qui fait la différence sur la copie.
A. Ce que le correcteur attend
- Justifier la différentiabilité avant de l’utiliser. Une phrase du type « \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) comme composée de fonctions usuelles, donc différentiable » rapporte des points et conditionne la suite.
- Distinguer les objets. Ne jamais mélanger \(df_a\) (application), \(df_a(h)\) (réel) et \(\nabla f(a)\) (vecteur). Un correcteur repère instantanément la confusion.
- Pour prouver une NON-différentiabilité, le chemin le plus court est presque toujours : montrer la non-continuité par un changement de direction (droite, parabole), ou exhiber une dérivée directionnelle qui ne dépend pas linéairement de la direction.
- Sur les formes différentielles, énoncer explicitement Schwarz (pour « exacte \(\Rightarrow\) fermée ») et Poincaré avec son hypothèse de domaine (pour la réciproque).
B. Au programme de quelle filière ?
| Filière | Contenu au programme |
|---|---|
| MPSI / PCSI / PTSI (1ʳᵉ année) | Différentiabilité, différentielle, dérivées partielles, classe \(\mathcal{C}^1\), règle de la chaîne |
| MP / PC / PSI (2ᵉ année) | Formes différentielles, exactes et fermées, intégrales curvilignes, Green-Riemann, Poincaré |
| ECG | Différentielle appliquée à l’optimisation (hors théorie des formes différentielles) |
Ce chapitre est aussi la porte d’entrée vers le théorème des fonctions implicites et les difféomorphismes de classe C¹, au cœur des changements de variables. Maîtriser la différentielle, c’est débloquer toute la seconde année.
IX. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre dérivée et différentielle ?
La dérivée d’une fonction d’une variable est un nombre, \(f^\prime(a)\). La différentielle est une application linéaire, \(df_a\). En une variable, les deux s’identifient via \(df_a(h) = f^\prime(a)\,h\), d’où la relation \(df = f^\prime(x)\,dx\). En plusieurs variables, il n’y a plus de « dérivée » unique : la différentielle regroupe toutes les dérivées partielles en un seul objet linéaire.
Une fonction dont les dérivées partielles existent est-elle différentiable ?
Non, ce n’est pas suffisant. L’existence des dérivées partielles ne contrôle la fonction que le long des axes ; la différentiabilité exige un contrôle dans toutes les directions. Le contre-exemple \(f(x,y) = \displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}\) (prolongée par \(0\) en l’origine) possède ses deux dérivées partielles en \((0,0)\) mais n’y est même pas continue. En revanche, si les dérivées partielles sont continues (classe \(\mathcal{C}^1\)), alors la fonction est différentiable.
Que signifie la notation dx dans df = f prime x dx ?
\(dx\) est la différentielle de l’application « coordonnée \(x\) », c’est-à-dire l’application linéaire \(h \mapsto h\). Ce n’est pas une « quantité infiniment petite » : c’est un objet linéaire parfaitement défini. La formule \(df = f^\prime(x)\,dx\) dit simplement que la différentielle de \(f\) est \(f^\prime(x)\) fois cette application coordonnée.
Quelle est la différence entre une forme fermée et une forme exacte ?
Une forme \(\omega = P\,dx + Q\,dy\) est exacte si elle est la différentielle d’une fonction (\(\omega = df\)). Elle est fermée si \(\partial_y P = \partial_x Q\). Toute forme exacte est fermée (par Schwarz). La réciproque est vraie seulement sur un domaine étoilé (théorème de Poincaré) : sur un domaine à trou, une forme peut être fermée sans être exacte.
Qu’est-ce que la différentielle logarithmique et à quoi sert-elle ?
Pour une fonction \(f \gt 0\), la différentielle logarithmique est \(d(\ln f) = \displaystyle\frac{df}{f}\). Elle transforme les produits en sommes : sur \(f = uvw\), on obtient \(\displaystyle\frac{df}{f} = \displaystyle\frac{du}{u} + \displaystyle\frac{dv}{v} + \displaystyle\frac{dw}{w}\). Elle est l’outil standard pour propager les incertitudes relatives en physique et pour simplifier la dérivation de produits complexes.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la différentielle et la différentiabilité. Pour consolider et élargir :
- Tableau de variation d’une fonction
- Équations différentielles : cours complet et méthodes de résolution
- Exercices Équations Différentielles Tle Corrigés + PDF
- Équation Différentielle d’Ordre 2 (Prépa) : Cours
