La fonction inverse est l’une des fonctions de référence essentielles en mathématiques. De la Seconde à la prépa, elle permet de modéliser de nombreux phénomènes physiques et économiques. Ce cours couvre la définition, les propriétés, la courbe (hyperbole), le tableau de variation et les applications concrètes de la fonction \(x mapsto displaystylefrac{1}{x}\), avec des exercices corrigés pour chaque niveau.
Si tu veux consolider les bases du chapitre « fonctions », commence aussi par :
- Fonctions en Seconde (cours de synthèse)
- Les fonctions en mathématiques (page pilier)
- Ensemble de définition d’une fonction
Qu’est-ce que la fonction inverse ? (Définition et formule)
La fonction inverse est une fonction de référence fondamentale qui associe à tout nombre réel non nul son inverse multiplicatif.
Définition — Fonction inverse
La fonction inverse \(f\) est définie sur \(mathbb{R}^*\) par :
\(f(x) = displaystylefrac{1}{x}\)
L’ensemble de définition est :
\(mathbb{R}^* = mathbb{R} setminus {0} = ]-infty ; 0[ cup ]0 ; +infty[\)
La valeur \(x = 0\) est une valeur interdite car la division par zéro n’est pas définie.
Notation : On peut également noter la fonction inverse \(f : x mapsto displaystylefrac{1}{x}\) ou \(f : x mapsto x^{-1}\).
Exemples de calcul d’images :
- \(f(2) = displaystylefrac{1}{2} = 0{,}5\)
- \(f(-3) = displaystylefrac{1}{-3} = -displaystylefrac{1}{3} approx -0{,}33\)
- \(f!left(displaystylefrac{1}{5}right) = displaystylefrac{1}{;displaystylefrac{1}{5};} = 5\)
- \(f(0{,}1) = displaystylefrac{1}{0{,}1} = 10\)
Vocabulaire important
Pour un nombre \(x neq 0\), on dit que \(displaystylefrac{1}{x}\) est l’inverse de \(x\). Un nombre et son inverse sont toujours de même signe.
Piège classique
Ne pas confondre : l’inverse et l’opposé. L’inverse de \(3\) est \(displaystylefrac{1}{3}\), tandis que son opposé est \(-3\).
Courbe représentative de la fonction inverse (l’hyperbole)
Pour tracer la courbe de la fonction inverse, on commence par établir un tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = displaystylefrac{1}{x}\) | \(-0{,}25\) | \(-0{,}5\) | \(-1\) | \(-2\) | ∅ | \(2\) | \(1\) | \(0{,}5\) | \(0{,}25\) |
On constate que \(0\) n’a pas d’image par la fonction inverse. La courbe représentative de cette fonction s’appelle une hyperbole équilatère.
Asymptotes de la fonction inverse
La courbe de la fonction inverse admet deux asymptotes :
Asymptotes de l’hyperbole
- Asymptote horizontale : l’axe des abscisses d’équation \(y = 0\)
- Asymptote verticale : l’axe des ordonnées d’équation \(x = 0\)
Ces deux asymptotes sont perpendiculaires, ce qui justifie le nom d’hyperbole équilatère.
Graphiquement, cela signifie que :
- Lorsque \(x\) devient très grand (positivement ou négativement), la courbe se rapproche de l’axe des abscisses sans jamais le toucher.
- Lorsque \(x\) se rapproche de \(0\), la courbe « part vers l’infini » et se rapproche de l’axe des ordonnées.
Symétrie de l’hyperbole (fonction impaire)
La courbe de la fonction inverse présente une symétrie remarquable par rapport à l’origine du repère.
Propriété de symétrie
La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine \(O\) du repère.
Pour tout réel \(a neq 0\), les points \(A!left(a ;;; displaystylefrac{1}{a}right)\) et \(B!left(-a ;;; -displaystylefrac{1}{a}right)\) sont symétriques par rapport à \(O\).
Démonstration : Pour tout \(x in mathbb{R}^*\) :
\(f(-x) = displaystylefrac{1}{-x} = -displaystylefrac{1}{x} = -f(x)\)
Cette égalité prouve que la fonction inverse est une fonction impaire, d’où la symétrie de sa courbe par rapport à l’origine.
Tableau de variation de la fonction inverse
Sens de variation de la fonction inverse
Le sens de variation de la fonction inverse présente une subtilité importante qu’il faut bien comprendre.
Variations de la fonction inverse
La fonction inverse est :
- Strictement décroissante sur l’intervalle \(]-infty ; 0[\)
- Strictement décroissante sur l’intervalle \(]0 ; +infty[\)
Attention : piège fréquent !
La fonction inverse n’est PAS strictement décroissante sur \(mathbb{R}^*\) tout entier !
Contre-exemple : On a bien \(-1\) < \(2\), mais \(f(-1) = -1\) < \(displaystylefrac{1}{2} = f(2)\).
L’ordre n’est pas inversé lorsqu’on passe d’un intervalle à l’autre. La fonction est décroissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition, mais pas sur la réunion des deux intervalles.
Tableau de variation complet
On peut résumer les variations et les limites de la fonction inverse dans un tableau de variation complet :
Lecture du tableau
La double barre verticale sous le zéro indique que \(0\) est une valeur interdite : la fonction n’est pas définie en ce point.
Les flèches descendantes de part et d’autre confirment que la fonction est décroissante sur chacun des deux intervalles.
Méthode pour comparer deux inverses
Les règles de comparaison découlent directement de la décroissance de la fonction inverse :
- Si \(0\) < \(a\) < \(b\), alors \(displaystylefrac{1}{a}\) > \(displaystylefrac{1}{b}\) (décroissance sur \(]0 ; +infty[\)).
- Si \(a\) < \(b\) < \(0\), alors \(displaystylefrac{1}{a}\) > \(displaystylefrac{1}{b}\) (décroissance sur \(]-infty ; 0[\)).
Exemples de comparaison
1. Comparons \(displaystylefrac{1}{3}\) et \(displaystylefrac{1}{7}\) :
On a \(0\) < \(3\) < \(7\), donc \(displaystylefrac{1}{3}\) > \(displaystylefrac{1}{7}\).
2. Comparons \(displaystylefrac{1}{-2}\) et \(displaystylefrac{1}{-5}\) :
On a \(-5\) < \(-2\) < \(0\), donc \(displaystylefrac{1}{-5}\) > \(displaystylefrac{1}{-2}\), c’est-à-dire \(-displaystylefrac{1}{5}\) > \(-displaystylefrac{1}{2}\).
Résoudre des équations et inéquations avec la fonction inverse
Rappel : Règle du produit en croix
Pour résoudre \(displaystylefrac{a}{b} = displaystylefrac{c}{d}\) (avec \(b neq 0\) et \(d neq 0\)) :
\(displaystylefrac{a}{b} = displaystylefrac{c}{d} Leftrightarrow ad = bc\)
Cette règle permet de se ramener à une équation sans dénominateur.
Résoudre une équation du type 1/x = a
On veut résoudre : \(displaystylefrac{1}{x} = a\).
Méthode — Équation avec la fonction inverse
- On note la condition : \(x neq 0\).
- Si \(a = 0\), il n’y a aucune solution (car \(displaystylefrac{1}{x}\) n’est jamais égal à \(0\)).
- Si \(a neq 0\), la solution est : \(x = displaystylefrac{1}{a}\).
- On vérifie que la valeur trouvée n’est pas \(0\) (automatique si \(a neq 0\)).
Exemple
Résoudre \(displaystylefrac{1}{x} = 5\).
Ici \(a = 5 neq 0\). La solution est \(x = displaystylefrac{1}{5}\).
Vérification : \(f!left(displaystylefrac{1}{5}right) = displaystylefrac{1}{;displaystylefrac{1}{5};} = 5\) ✓
Résoudre une inéquation du type 1/x inférieur à k
Pour résoudre une inéquation avec l’inconnue au dénominateur (par exemple \(displaystylefrac{1}{x}\) < \(3\)), il ne faut pas « passer le \(x\) de l’autre côté » sans précaution, car on ne connaît pas son signe.
Méthode — Inéquation avec la fonction inverse
- Tout passer dans le membre de gauche pour avoir \(0\) à droite : \(displaystylefrac{1}{x} – 3\) < \(0\).
- Mettre au même dénominateur : \(displaystylefrac{1 – 3x}{x}\) < \(0\).
- Faire un tableau de signes (signe du numérateur et signe du dénominateur). Cette technique s’appuie sur l’étude de signe d’une fonction affine.
Tu veux progresser rapidement sur les fonctions ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour la Seconde, dispensés par des professeurs issus de Polytechnique, Centrale et Mines.
Pour aller plus loin : dérivée, primitives, limites et convexité
Cette partie est utile surtout à partir de la Première et de la Terminale (et en prépa). Elle te donne les formules d’analyse autour de la fonction inverse, sans alourdir le cours de Seconde.
Dérivée de la fonction inverse
La fonction \(f : x mapsto displaystylefrac{1}{x}\) est dérivable sur \(mathbb{R}^*\). Sa dérivée est une formule incontournable pour l’étude des variations et pour calculer des dérivées plus complexes.
Formule — Dérivée de la fonction inverse
Pour tout \(x in mathbb{R}^*\) :
\(f^prime(x) = -displaystylefrac{1}{x^2}\)
Pourquoi c’est important ? Comme \(x^2\) > \(0\) pour tout \(x neq 0\), on a \(f^prime(x) = -displaystylefrac{1}{x^2}\) < \(0\). Cela confirme que la fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles \(]-infty ; 0[\) et \(]0 ; +infty[\).
La formule figure dans le tableau des dérivées usuelles.
Primitives de la fonction inverse
Sur \(]0 ; +infty[\) ou sur \(]-infty ; 0[\), une primitive de \(displaystylefrac{1}{x}\) est liée au logarithme népérien.
Primitive de la fonction inverse
Sur \(mathbb{R}^*\), les primitives de \(displaystylefrac{1}{x}\) sont de la forme :
\(F(x) = ln|x| + C\)
Pour approfondir : fonction logarithme népérien.
Limites (asymptotes) et convexité
Les limites expliquent les asymptotes, et la dérivée seconde décrit la courbure de l’hyperbole.
Limites de la fonction inverse
\(lim_{x to +infty} displaystylefrac{1}{x} = 0^+\) et \(lim_{x to -infty} displaystylefrac{1}{x} = 0^-\)
\(lim_{x to 0^+} displaystylefrac{1}{x} = +infty\) et \(lim_{x to 0^-} displaystylefrac{1}{x} = -infty\)
Interprétation graphique : asymptote horizontale \(y = 0\) et asymptote verticale \(x = 0\).
Convexité (résumé)
La dérivée seconde vaut \(f^{primeprime}(x) = displaystylefrac{2}{x^3}\).
Donc la fonction inverse est concave sur \(]-infty ; 0[\) et convexe sur \(]0 ; +infty[\).
Si tu veux une méthode complète : convexité et concavité.
Exercices corrigés sur la fonction inverse
Voici trois exercices pour t’entraîner sur les notions abordées dans ce cours. Essaie de les résoudre seul avant de regarder la correction.
Exercice 1 ★ — Calculer des images par la fonction inverse
Calcule les images par la fonction inverse des nombres suivants : \(5\) ; \(-2\) ; \(displaystylefrac{1}{3}\) ; \(0{,}25\).
▶ Voir la correction
On applique \(f(x) = displaystylefrac{1}{x}\) à chaque valeur :
- \(f(5) = displaystylefrac{1}{5} = 0{,}2\)
- \(f(-2) = displaystylefrac{1}{-2} = -displaystylefrac{1}{2} = -0{,}5\)
- \(f!left(displaystylefrac{1}{3}right) = displaystylefrac{1}{;displaystylefrac{1}{3};} = 3\)
- \(f(0{,}25) = displaystylefrac{1}{0{,}25} = 4\)
On vérifie à chaque fois : le résultat est du même signe que la valeur de départ ✓
Exercice 2 ★★ — Résoudre une équation
Résoudre dans \(mathbb{R}\) l’équation : \(displaystylefrac{1}{x} = -4\).
▶ Voir la correction
Condition : \(x neq 0\).
On a \(a = -4 neq 0\), donc la solution est :
\(x = displaystylefrac{1}{-4} = -displaystylefrac{1}{4}\)
Vérification : \(f!left(-displaystylefrac{1}{4}right) = displaystylefrac{1}{-displaystylefrac{1}{4}} = -4\) ✓
L’ensemble des solutions est \(S = left{-displaystylefrac{1}{4}right}\).
Exercice 3 ★★ — Comparer des inverses
Sans calculatrice :
- Compare \(displaystylefrac{1}{sqrt{2}}\) et \(displaystylefrac{1}{sqrt{3}}\).
- Compare \(displaystylefrac{1}{-7}\) et \(displaystylefrac{1}{-3}\).
▶ Voir la correction
1. On a \(0\) < \(sqrt{2}\) < \(sqrt{3}\) (car \(2\) < \(3\)).
La fonction inverse est strictement décroissante sur \(]0 ; +infty[\), donc :
\(displaystylefrac{1}{sqrt{2}}\) > \(displaystylefrac{1}{sqrt{3}}\)
2. On a \(-7\) < \(-3\) < \(0\).
La fonction inverse est strictement décroissante sur \(]-infty ; 0[\), donc :
\(displaystylefrac{1}{-7}\) > \(displaystylefrac{1}{-3}\), c’est-à-dire \(-displaystylefrac{1}{7}\) > \(-displaystylefrac{1}{3}\).
Questions fréquentes sur la fonction inverse
Quelle est la formule de la fonction inverse ?
La fonction inverse est la fonction de référence définie sur \(mathbb{R}^*\) par :
\(f(x) = displaystylefrac{1}{x}\)
Pourquoi la fonction inverse n'est-elle pas définie en 0 ?
La division par zéro n’est pas définie en mathématiques : il n’existe aucun nombre \(y\) tel que \(0 times y = 1\). C’est pourquoi \(x = 0\) est une valeur interdite et l’ensemble de définition est \(mathbb{R}^* = mathbb{R} setminus {0}\).
La fonction inverse est-elle croissante ou décroissante ?
La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles de son ensemble de définition : sur \(]-infty ; 0[\) et sur \(]0 ; +infty[\). Attention : elle n’est pas décroissante sur \(mathbb{R}^*\) tout entier (piège classique).
Quel est l'inverse d'une fonction ?
Selon le contexte, « inverse d’une fonction » peut vouloir dire :
- la fonction réciproque \(f^{-1}\) (quand \(f\) est bijective),
- ou la fonction \(x mapsto displaystylefrac{1}{f(x)}\) (réciproque multiplicative).
La fonction inverse étudiée dans ce cours est une fonction précise : \(x mapsto displaystylefrac{1}{x}\).
Comment calculer l'inverse d'un nombre ?
Pour un nombre non nul \(a\), son inverse est \(displaystylefrac{1}{a}\). Si \(a = displaystylefrac{p}{q}\) (avec \(p neq 0\)), alors l’inverse est \(displaystylefrac{q}{p}\). Le signe est conservé : l’inverse de \(-a\) est \(-displaystylefrac{1}{a}\).
Quel est l'inverse de 4/5 ?
L’inverse de \(displaystylefrac{4}{5}\) est \(displaystylefrac{5}{4}\).
Qu'est-ce qu'une fonction inversée ?
L’expression est ambiguë. En pratique, elle désigne soit la fonction réciproque \(f^{-1}\) (chapitre sur les bijections), soit la fonction \(displaystylefrac{1}{f(x)}\) (utile en étude de fonctions rationnelles). Si tu parles de la fonction de référence de Seconde, c’est bien \(x mapsto displaystylefrac{1}{x}\).
Comment effectuer un calcul inverse ?
« Calcul inverse » peut signifier prendre l’inverse multiplicatif (passer de \(x\) à \(displaystylefrac{1}{x}\)), ou faire l’opération inverse (addition ↔ soustraction, multiplication ↔ division). Dans ce cours, on travaille l’idée « passer à l’inverse » : \(x mapsto displaystylefrac{1}{x}\).
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la fonction inverse. Pour continuer à progresser sur le chapitre des fonctions en mathématiques :
- Fonction affine et linéaire
- Fonction carré, cube et racine carrée
- Fonctions usuelles (récapitulatif)
- Construire un tableau de variation
- Parité des fonctions (pair / impair)
- Ensemble de définition d’une fonction
- Calculer une dérivée
- Tableau des dérivées usuelles
- Fonction logarithme népérien
- Convexité et concavité des fonctions
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour la Seconde, dispensés par des professeurs diplômés de Polytechnique, Centrale et Mines. Nos élèves gagnent en moyenne 3 points sur leur moyenne.
