La fonction inverse est l’une des fonctions de référence essentielles en mathématiques. De la seconde à la prépa, elle permet de modéliser de nombreux phénomènes physiques et économiques. Ce cours couvre la définition, les propriétés, la dérivée, les limites et les applications concrètes de la fonction inverse, avec des exercices corrigés pour chaque niveau.
Si tu veux consolider les bases du chapitre « fonctions », commence aussi par :
Qu’est-ce que la fonction inverse ? (Définition et formule)
La fonction inverse est une fonction de référence fondamentale qui associe à tout nombre réel non nul son inverse multiplicatif.
Définition de la fonction inverse
La fonction inverse \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}^*\) par :
\(f(x) = \frac{1}{x}\)
L’ensemble de définition est :
La valeur \(x = 0\) est une **valeur interdite** car la division par zéro n’est pas définie.
Notation : On peut également noter la fonction inverse \(f : x \mapsto \frac{1}{x}\) ou \(f : x \mapsto x^{-1}\).
Exemples de calcul d’images :
- \(f(2) = \frac{1}{2} = 0{,}5\)
- \(f(-3) = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \approx -0{,}33\)
- \(f\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5\)
- \(f(0{,}1) = \frac{1}{0{,}1} = 10\)
Vocabulaire important
Pour un nombre \(x \neq 0\), on dit que \(\frac{1}{x}\) est **l’inverse** de \(x\). Un nombre et son inverse sont toujours de même signe.
Piège classique
Ne pas confondre : l’**inverse** et l’**opposé**. L’inverse de \(3\) est \(\frac{1}{3}\), tandis que son opposé est \(-3\).
Courbe représentative de la fonction inverse (l’hyperbole)
Pour tracer la courbe de la fonction inverse, on commence par établir un tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = \frac{1}{x}\) | \(-0{,}25\) | \(-0{,}5\) | \(-1\) | \(-2\) | ∅ | \(2\) | \(1\) | \(0{,}5\) | \(0{,}25\) |
On constate que \(0\) n’a pas d’image par la fonction inverse. La courbe représentative de cette fonction s’appelle une hyperbole équilatère.
Asymptotes de la fonction inverse
La courbe de la fonction inverse admet deux asymptotes :
Asymptotes de l’hyperbole
– **Asymptote horizontale :** l’axe des abscisses d’équation \(y = 0\)
– **Asymptote verticale :** l’axe des ordonnées d’équation \(x = 0\)
Ces deux asymptotes sont perpendiculaires, ce qui justifie le nom d’hyperbole **équilatère**.
Graphiquement, cela signifie que :
- Lorsque \(x\) devient très grand (positivement ou négativement), la courbe se rapproche de plus en plus de l’axe des abscisses sans jamais le toucher.
- Lorsque \(x\) se rapproche de \(0\), la courbe « part vers l’infini » et se rapproche de l’axe des ordonnées.
Symétrie de l’hyperbole (fonction impaire)
La courbe de la fonction inverse présente une symétrie remarquable par rapport à l’origine du repère.
Propriété de symétrie
La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine \(O\) du repère.
Démonstration : Pour tout \(x \in \mathbb{R}^*\) :
\(f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)\)Cette égalité prouve que la fonction inverse est une fonction impaire, d’où la symétrie de sa courbe par rapport à l’origine.
Tableau de variation de la fonction inverse
Sens de variation de la fonction inverse
Le sens de variation de la fonction inverse présente une subtilité importante qu’il faut bien comprendre.
Variations de la fonction inverse
La fonction inverse est :
– **Strictement décroissante** sur l’intervalle \(]-\infty ; 0[\)
– **Strictement décroissante** sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\)
Attention : piège fréquent !
La fonction inverse **n’est PAS strictement décroissante sur \(\mathbb{R}^*\)** tout entier !
L’ordre n’est pas inversé lorsqu’on passe d’un intervalle à l’autre. La fonction est décroissante **sur chaque intervalle** de son ensemble de définition, mais pas sur la réunion des deux intervalles.
Tableau de variation de la fonction inverse
On peut résumer les variations et les limites de la fonction inverse dans un tableau de variation complet :
Lecture du tableau
La **double barre verticale** sous le zéro indique que \(0\) est une **valeur interdite** : la fonction n’est pas définie en ce point.
Les flèches descendantes de part et d’autre confirment que la fonction est décroissante sur chacun des deux intervalles.
Méthode pour comparer deux inverses :
Exemples de comparaison
1. Comparons \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{7}\) :
On a \(0 < 3 < 7[/latex], donc [latex]\frac{1}{3} > \frac{1}{7}\)
2. Comparons \(\frac{1}{-2}\) et \(\frac{1}{-5}\) :
Résoudre des équations et inéquations avec la fonction inverse
Rappel : Règle du produit en croix
Cette règle permet de se ramener à une équation sans dénominateur.
Résoudre \(\frac{1}{x}=a\) (méthode algébrique + vérification)
On veut résoudre : \(\frac{1}{x}=a\).
Méthode équation.
- On note la condition : \(x\neq 0\).
- Si \(a=0\), alors il n’y a aucune solution (car \(\frac{1}{x}\) n’est jamais égal à \(0\)).
- Si \(a\neq 0\), alors la solution est : \(x=\frac{1}{a}\).
- On vérifie : la valeur trouvée n’est pas \(0\) (c’est automatique ici si \(a\neq 0\)).
Pour t’entraîner sur des équations plus générales, voir notre méthode sur les équations.
Exemple. Résoudre \(\frac{1}{x}=5\).
Ici \(a=5\) (donc \(a\neq 0\)). La solution est \(x=\frac{1}{5}\).
Méthode : Résoudre une inéquation type \(\frac{1}{x}\) < \(k\)
Pour résoudre une inéquation avec l’inconnue au dénominateur (par exemple \(\frac{1}{x}\) < \(3\)), il ne faut pas "passer le \(x\) de l'autre côté" sans précaution, car on ne connaît pas son signe.
Méthode inéquation :
- Tout passer dans le membre de gauche pour avoir \(0\) à droite : \(\frac{1}{x} – 3\) < \(0\).
- Mettre au même dénominateur : \(\frac{1 – 3x}{x}\) < \(0\).
- Faire un tableau de signes (signe du numérateur et signe du dénominateur). Cette technique s’appuie sur l’étude de signe d’une fonction affine.
Pour aller plus loin : dérivée, primitives, limites et convexité
Cette partie est utile surtout à partir de la Première/Terminale (et en Prépa). Elle te donne les formules “analyse” autour de la fonction inverse, sans alourdir le cours de Seconde.
Dérivée de la fonction inverse
La fonction \(f : x \mapsto \frac{1}{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\). Sa dérivée est une formule incontournable pour l’étude des variations et pour calculer des dérivées plus complexes.
Formule
Pour tout \(x \in \mathbb{R}^*\) :
\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)
Pourquoi c’est important ? Comme \(x^2\) > \(0\) pour tout \(x \neq 0\), on a \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\) < \(0\). Cela confirme que la fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\).
La formule figure dans le tableau des dérivées usuelles.
Primitives de la fonction inverse
Sur \(]0;+\infty[\) ou sur \(]-\infty;0[\), une primitive de \(\frac{1}{x}\) est liée au logarithme népérien.
Primitive
Sur \(\mathbb{R}^*\), les primitives de \(\frac{1}{x}\) sont de la forme :
\(F(x)=\ln|x|+C\)
Pour approfondir : fonction logarithme népérien.
Limites (asymptotes) et convexité
Les limites expliquent les asymptotes, et la dérivée seconde décrit la “courbure” de l’hyperbole.
Limites clés
\(\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}=0^+\) et \(\lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x}=0^-\)
\(\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty\) et \(\lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty\)
Interprétation graphique : asymptote horizontale \(y=0\) et asymptote verticale \(x=0\).
Convexité (résumé)
La dérivée seconde vaut \(f »(x)=\frac{2}{x^3}\).
Donc la fonction inverse est concave sur \(]-\infty;0[\) et convexe sur \(]0;+\infty[\).
Si tu veux une méthode complète : convexité et concavité.
FAQ – Questions fréquentes
Quelle est la formule de la fonction inverse ?
La fonction inverse est la fonction de référence définie sur \(\mathbb{R}^*\) par :
\(f(x)=\frac{1}{x}\)Quel est l’inverse d’une fonction ?
Selon le contexte, “inverse d’une fonction” peut vouloir dire :
- la fonction réciproque \(f^{-1}\) (quand \(f\) est bijective),
- ou parfois la fonction \(x\mapsto \frac{1}{f(x)}\) (on parle alors de “fonction réciproque” au sens “réciproque multiplicative”).
La fonction inverse étudiée ici est une fonction précise : \(x\mapsto \frac{1}{x}\).
Qu’est-ce qu’une “fonction inversée” ?
Expression ambiguë. En pratique :
- souvent : la fonction réciproque \(f^{-1}\) (chapitre sur les bijections),
- parfois : la fonction \(\frac{1}{f(x)}\) (utile en étude de fonctions rationnelles).
Si tu parles de la fonction de référence de Seconde, c’est bien \(\frac{1}{x}\).
Comment calculer des inverses ?
Pour un nombre non nul \(a\), son inverse est \(\frac{1}{a}\).
- Si \(a=\frac{p}{q}\) (avec \(p\neq 0\)), alors l’inverse est \(\frac{q}{p}\).
- Garde le signe : l’inverse de \(-a\) est \(-\frac{1}{a}\).
Quel est l’inverse de 4 sur 5 ?
L’inverse de \(\frac{4}{5}\) est \(\frac{5}{4}\).
Comment effectuer un calcul inverse ?
“Calcul inverse” peut signifier :
- prendre l’inverse multiplicatif : passer de \(x\) à \(\frac{1}{x}\),
- ou faire l’opération inverse (addition ↔ soustraction, multiplication ↔ division).
Dans ce chapitre, on travaille surtout l’idée “passer à l’inverse” : \(x\mapsto \frac{1}{x}\).
Pour aller plus loin :
- Retour au cours général sur les fonctions
- Fonction affine et linéaire
- Fonction carré, cube et racine carrée
- Construire un tableau de variation
- Parité des fonctions
- Ensemble de définition d’une fonction
- Calculer une dérivée
- Tableau des dérivées usuelles
- Fonction logarithme népérien
- Convexité et concavité des fonctions
