20 exercices corrigés de logique et raisonnement (du lycée à la prépa)

a) Vraie : si \(x=2\) alors \(x^2 = 4\).
b) Fausse : \(x = -2\) vérifie \(x^2 = 4\) mais pas \(x = 2\). C’est la réciproque de a), et elle est fausse.
c) Vraie : tout réel plus grand que 3 est plus grand que 1.
d) Fausse : \(x = 2\) est plus grand que 1 mais pas que 3.

À retenir : b) et d) sont les réciproques de a) et c). Une implication vraie n’entraîne jamais que sa réciproque le soit.

a) « Il existe au moins un élève de la classe qui n’a pas eu la moyenne. » (Un « tous » se nie en « il existe un … qui ne… ».)
b) « Tout nombre entier pair est inférieur ou égal à 100. » (Un « il existe » se nie en « pour tout … non ».)

Erreur classique : nier a) par « aucun élève n’a eu la moyenne ». C’est faux — la négation de « tous » n’est pas « aucun », mais « pas tous ».

Réciproque : « si un quadrilatère est un rectangle, alors c’est un carré ». Fausse (un rectangle 3×5 n’est pas un carré).
Contraposée : « si un quadrilatère n’est pas un rectangle, alors ce n’est pas un carré ». Vraie, car elle a la même valeur de vérité que l’implication de départ, qui est vraie.

a) \(\Longleftrightarrow\) : dans \(\mathbb{R}\), \(x^2 = 0\) équivaut à \(x = 0\).
b) \(\Longrightarrow\) : un carré est un losange, mais un losange n’est pas forcément un carré.
c) \(\Longrightarrow\) : un multiple de 4 est pair, mais 6 est pair sans être multiple de 4.

Prenons \(x = 0{,}5\). Alors \(x^2 = 0{,}25\), et « \(0{,}25 \geq 0{,}5\) » est faux. L’affirmation est donc fausse.

Un seul contre-exemple suffit à réfuter un énoncé universel. La bonne intuition : chercher entre 0 et 1, où élever au carré diminue le nombre. On approfondit cette méthode dans la fiche raisonnement par contre-exemple.

a) \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2\) < \(0\).
b) \(\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 \neq 2\).
c) On échange chaque quantificateur en descendant, puis on nie l’inégalité finale :

\(\exists \varepsilon\) > \(0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geq N,\ |u_n - \ell|\) > \(\varepsilon\)

Cette dernière est la négation de « \((u_n)\) converge vers \(\ell\) » : il existe une marge \(\varepsilon\) qu’on dépasse une infinité de fois. Retrouve la mécanique complète dans le cours sur les quantificateurs.

a) Vraie : à chaque \(x\) fixé, on peut choisir \(y = x+1\). Ici \(y\) dépend de \(x\).
b) Fausse : elle affirme l’existence d’un réel \(y\) plus grand que tous les réels à la fois. Un tel majorant de \(\mathbb{R}\) n’existe pas.

Leçon centrale : intervertir \(\forall\) et \(\exists\) change le sens et peut faire passer du vrai au faux. Dans « \(\forall x \exists y\) », le \(y\) est autorisé à dépendre de \(x\) ; dans « \(\exists y \forall x\) », le même \(y\) doit convenir pour tous les \(x\).

a) « Il existe un réel \(M\) tel que, pour tout réel \(x\), \(f(x) \leq M\) » : c’est la définition de « \(f\) est majorée ». Noter l’ordre : le même \(M\) doit convenir pour tous les \(x\) (\(\exists M \forall x\)).
b) « Pour tout réel \(x\), \(f(-x) = f(x)\) » : \(f\) est paire.

a) \(\exists x \in \mathbb{R},\ f(x) = 0\).
b) \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} \geq u_n\).

Piège fréquent en b) : écrire \(\forall n,\ \forall m,\ (n \leq m \Longrightarrow u_n \leq u_m)\) est correct mais lourd ; la formulation avec \(u_{n+1} \geq u_n\) est celle attendue et suffit (par transitivité).

a) La négation d’un « pour tout … implication » est « il existe … hypothèse vraie et conclusion fausse » :

\(\exists x \in \mathbb{R},\ (x\) > \(2 \ \wedge\ x^2 \leq 4)\)

(Cet énoncé est faux, ce qui confirme que l’implication de départ est vraie.)
b) « Il existe un entier \(n\) qui est premier et pair. » C’est vrai : \(n = 2\). Voir aussi les nombres premiers.

a) Récurrence (propriété dépendant de \(n\)).
b) Absurde (« il n’existe pas … » : on suppose qu’il existe et on cherche la contradiction).
c) Contre-exemple (on veut montrer qu’un énoncé universel est faux : \(3\) n’est pas somme de deux carrés).
d) Disjonction de cas selon la parité de \(n\) (ou récurrence). Voir la disjonction de cas.

L’attaque directe est pénible : on préfère la contraposée « si \(n\) est pair, alors \(n^2\) est pair ».

Supposons \(n\) pair : il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(n = 2k\). Alors \(n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\), qui est pair. La contraposée est démontrée, donc l’implication initiale aussi. ∎

Rédaction attendue : annoncer explicitement « démontrons la contraposée », c’est ce que le correcteur cherche. Méthode détaillée dans raisonnement par l’absurde et par contraposée.

Supposons par l’absurde qu’il existe un plus petit rationnel strictement positif, noté \(r\). Alors \(r\) > \(0\) et tout rationnel strictement positif est \(\geq r\).

Considérons \(\displaystyle\frac{r}{2}\). C’est un rationnel (quotient de deux rationnels), il est strictement positif, et \(\displaystyle\frac{r}{2}\) < \(r\). On a donc un rationnel strictement positif plus petit que \(r\) : contradiction avec la minimalité de \(r\).

L’hypothèse est absurde : un tel plus petit rationnel n’existe pas. ∎

On distingue deux cas selon la parité de \(n\).

Cas 1 : \(n\) pair, \(n = 2k\). Alors \(n(n+1) = 2k(n+1)\) est pair.
Cas 2 : \(n\) impair, \(n = 2k+1\), donc \(n+1 = 2k+2 = 2(k+1)\) est pair, et \(n(n+1) = n \cdot 2(k+1)\) est pair.

Dans tous les cas \(n(n+1)\) est pair. ∎ Les deux cas couvrent bien toutes les valeurs de \(n\) : c’est l’exigence d’exhaustivité propre à la disjonction de cas.

a) « Pour toute valeur \(x\), il existe un point \(y\) où \(f\) prend une valeur strictement plus grande » : autrement dit, \(f\) n’atteint jamais son maximum (elle n’est pas majorée par une de ses valeurs).
b) On échange les quantificateurs et on nie l’inégalité :

c) « Il existe un point \(x\) où \(f\) atteint son maximum » : \(f(x)\) majore toutes les valeurs de \(f\).

On descend la chaîne : \(\forall \varepsilon\) devient \(\exists \varepsilon\), \(\exists \delta\) devient \(\forall \delta\), \(\forall x\) devient \(\exists x\). On nie enfin l’implication (hypothèse vraie, conclusion fausse) :

\(\exists \varepsilon\) > \(0,\ \forall \delta\) > \(0,\ \exists x \in \mathbb{R},\ (|x-a| \leq \delta \ \wedge\ |f(x)-f(a)|\) > \(\varepsilon)\)

Interprétation : il existe une marge \(\varepsilon\) telle que, aussi petit que soit \(\delta\), on trouve un point \(x\) proche de \(a\) à moins de \(\delta\) mais dont l’image reste à plus de \(\varepsilon\) de \(f(a)\). On relie ce point à la continuité d’une fonction.

Analyse. Supposons une telle décomposition \(f = p + i\). Pour tout \(x\) :

\(f(x) = p(x) + i(x)\) et \(f(-x) = p(-x) + i(-x) = p(x) - i(x)\)

En additionnant puis soustrayant, on obtient nécessairement :

L’analyse impose donc une unique candidate : le couple est déterminé.

Synthèse. Posons ces deux fonctions. On vérifie que \(p\) est paire (\(p(-x)=p(x)\)), que \(i\) est impaire (\(i(-x)=-i(x)\)) et que \(p+i = f\). Le couple existe.

Conclusion. Existence (synthèse) et unicité (analyse) sont établies. ∎ La structure « analyse puis synthèse » est détaillée dans le raisonnement par analyse-synthèse.

Raisonnement par l’absurde. Supposons \(s = \sqrt{2}+\sqrt{3}\) rationnel. Alors \(s \neq 0\) et \(s^2 = 5 + 2\sqrt{6}\) serait rationnel, donc \(\sqrt{6} = \displaystyle\frac{s^2-5}{2}\) serait rationnel.

De plus \(\displaystyle\frac{1}{s} = \sqrt{3}-\sqrt{2}\) (car \((\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)=1\)) serait rationnel comme inverse d’un rationnel non nul. En ajoutant \(s + \displaystyle\frac{1}{s} = 2\sqrt{3}\), on obtiendrait \(\sqrt{3}\) rationnel : contradiction. ∎

Le mot-clé « montrer que … est irrationnel » signale presque toujours un raisonnement par l’absurde.

Une équivalence se démontre par double implication.

\(\Longrightarrow\) : si \(a = b\), alors \(|a-b| = 0 \leq \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon\) > \(0\). Immédiat.

\(\Longleftarrow\) : supposons \(|a-b| \leq \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon\) > \(0\), et raisonnons par l’absurde en supposant \(a \neq b\). Alors \(|a-b|\) > \(0\). Choisissons \(\varepsilon = \displaystyle\frac{|a-b|}{2}\) > \(0\). L’hypothèse donne \(|a-b| \leq \displaystyle\frac{|a-b|}{2}\), soit \(|a-b| \leq 0\) : contradiction avec \(|a-b|\) > \(0\). Donc \(a = b\). ∎

Ce que le correcteur attend : annoncer les deux sens, et pour le sens réciproque, choisir explicitement une valeur de \(\varepsilon\) bien construite. C’est le cœur de la note.

Négation (« \((u_n)\) n’est pas bornée ») :

\(\forall M\) > \(0,\ \exists n \in \mathbb{N},\ |u_n|\) > \(M\)

Interprétation : quel que soit le seuil \(M\), la suite finit par le dépasser en valeur absolue. Exemple : \(u_n = n\). Pour tout \(M\) > \(0\), en prenant \(n = \lfloor M \rfloor + 1\) on a \(u_n\) > \(M\). La suite \((n)\) n’est donc pas bornée.