Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice : cours, propriétés et exercices corrigés

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Les valeurs propres et les vecteurs propres sont les outils centraux de la réduction des endomorphismes et des matrices. Ils permettent de diagonaliser une matrice, de calculer ses puissances, de résoudre des systèmes différentiels linéaires et de modéliser des phénomènes concrets comme les chaînes de Markov ou l’algorithme PageRank de Google. Ce cours couvre les définitions, le polynôme caractéristique, les propriétés fondamentales et une méthode de calcul systématique, avec 8 exercices corrigés de ★ à ★★★.

I. Définitions fondamentales

A. Valeur propre et vecteur propre

Partons d’une question simple : étant donné une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) (avec \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)), existe-t-il des vecteurs non nuls dont l’image par l’application \(X \mapsto AX\) reste colinéaire au vecteur d’origine ? Cette question est la porte d’entrée de toute la théorie de la réduction.

Reformulation fondamentale. L’équation \(AX = \lambda X\) se réécrit \((A – \lambda I_n)X = 0\). Autrement dit :

\(\lambda \text{ est valeur propre de } A \iff \ker(A – \lambda I_n) \neq \{0\} \iff A – \lambda I_n \text{ non inversible}\)

Cette reformulation est essentielle : elle ramène la recherche des valeurs propres à un problème d’inversibilité, donc de déterminant.

B. Sous-espace propre et spectre

Proposition. Pour toute valeur propre \(\lambda\) de \(A\), le sous-espace propre \(E_\lambda(A)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{K}^n\) de dimension \(\geq 1\).

Démonstration ⋆. \(E_\lambda(A) = \ker(A – \lambda I_n)\) est le noyau de l’application linéaire \(X \mapsto (A – \lambda I_n)X\), donc c’est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{K}^n\). De plus, \(\lambda\) étant valeur propre, il existe \(X \neq 0\) tel que \(AX = \lambda X\), donc \(E_\lambda(A) \neq \{0\}\) et \(\dim E_\lambda(A) \geq 1\). ■

C. Interprétation géométrique

Géométriquement, un vecteur propre est une direction de l’espace que l’application linéaire \(X \mapsto AX\) préserve : le vecteur est étiré (ou comprimé, ou retourné) mais reste sur la même droite. La valeur propre correspondante est le facteur de dilatation dans cette direction.

Quelques cas particuliers éclairants :

• \(\lambda\) > \(1\) : le vecteur est étiré ;
• \(0\) < \(\lambda\) < \(1\) : le vecteur est comprimé ;
• \(\lambda\) < \(0\) : le vecteur est retourné (et éventuellement étiré/comprimé) ;
• \(\lambda = 0\) : le vecteur est envoyé sur \(0\) (direction du noyau) ;
• \(\lambda = 1\) : le vecteur est fixe (direction invariante point par point).

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II. Polynôme caractéristique

La reformulation \(\lambda \in \mathrm{Sp}(A) \iff \det(A – \lambda I_n) = 0\) montre que les valeurs propres sont les racines d’un polynôme. Ce polynôme porte un nom : le polynôme caractéristique.

A. Définition et lien avec les valeurs propres

Théorème ⋆ (caractérisation spectrale). Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\). Alors :

\(\lambda \in \mathrm{Sp}(A) \iff \chi_A(\lambda) = 0\)

Démonstration ⋆.

\(\lambda \in \mathrm{Sp}(A) \iff \ker(A – \lambda I_n) \neq \{0\} \iff A – \lambda I_n \text{ non inversible} \iff \det(A – \lambda I_n) = 0\).

Or \(\det(\lambda I_n – A) = (-1)^n \det(A – \lambda I_n)\), donc \(\det(A – \lambda I_n) = 0 \iff \chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n – A) = 0\). ■

Conséquence immédiate. Une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) possède au plus \(n\) valeurs propres (un polynôme de degré \(n\) admet au plus \(n\) racines). Sur \(\mathbb{C}\), le théorème de d’Alembert-Gauss garantit l’existence d’au moins une valeur propre ; sur \(\mathbb{R}\), le spectre peut être vide (voir les matrices de rotation).

B. Calcul en dimensions 2 et 3

Pour une matrice 3×3 quelconque, on développe \(\det(XI_3 – A)\) selon une ligne ou une colonne. La méthode est identique au calcul d’un déterminant 3×3.

C. Multiplicité algébrique et coefficients

Propriétés du polynôme caractéristique. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). On peut écrire :

\(\chi_A(X) = X^n – \mathrm{tr}(A) \cdot X^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det(A)\)

En particulier :

• Le coefficient de \(X^{n-1}\) est \(-\mathrm{tr}(A)\).
• Le terme constant est \(\chi_A(0) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)\).
• Si \(\chi_A\) est scindé sur \(\mathbb{K}\), on peut écrire \(\chi_A(X) = \prod_{i=1}^{p}(X – \lambda_i)^{m(\lambda_i)}\) avec \(\sum m(\lambda_i) = n\).

Propriété fondamentale ⋆. Deux matrices semblables (i.e. \(B = P^{-1}AP\) pour une matrice inversible \(P\)) ont le même polynôme caractéristique, donc les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités algébriques.

Démonstration. \(\det(XI_n – P^{-1}AP) = \det(P^{-1}(XI_n – A)P) = \det(P^{-1}) \det(XI_n – A) \det(P) = \chi_A(X)\). ■

D. Théorème de Cayley-Hamilton

Démonstration (cas diagonalisable) ⋆. Supposons \(A\) diagonalisable : il existe \(P\) inversible et \(D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) telles que \(A = PDP^{-1}\). Alors \(\chi_A(A) = P\chi_A(D)P^{-1}\). Or \(\chi_A(D) = \mathrm{diag}(\chi_A(\lambda_1), \ldots, \chi_A(\lambda_n))\), et chaque \(\lambda_i\) est racine de \(\chi_A\), donc \(\chi_A(\lambda_i) = 0\). Ainsi \(\chi_A(D) = 0_n\) et \(\chi_A(A) = 0_n\). ■

Le cas général (matrice non diagonalisable) se démontre par un argument de densité des matrices diagonalisables ou par calcul direct via la comatrice ; la preuve complète est admise en MPSI/PCSI.

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III. Propriétés des valeurs propres

A. Trace, déterminant et spectre

Les coefficients extrêmes du polynôme caractéristique fournissent deux relations fondamentales entre les valeurs propres et les invariants classiques d’une matrice.

Démonstration. Sur \(\mathbb{C}\), \(\chi_A\) est scindé : \(\chi_A(X) = \prod_{i=1}^{n}(X – \lambda_i)\). En développant, le coefficient de \(X^{n-1}\) vaut \(-(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)\), or c’est aussi \(-\mathrm{tr}(A)\) d’après la section précédente. Le terme constant vaut \(\prod(-\lambda_i) = (-1)^n \prod \lambda_i\), or c’est aussi \((-1)^n \det(A)\). ■

Ces relations sont puissantes en pratique. Elles fournissent un moyen de vérifier un calcul de valeurs propres : la somme doit donner la trace et le produit doit donner le déterminant.

B. Valeurs propres et inversibilité

Démonstration ⋆. \(0 \in \mathrm{Sp}(A) \iff \ker(A – 0 \cdot I_n) \neq \{0\} \iff \ker(A) \neq \{0\} \iff A \text{ non inversible}\). ■

Proposition. Si \(A\) est inversible et \(\lambda \in \mathrm{Sp}(A)\), alors \(\lambda \neq 0\) et \(\displaystyle\frac{1}{\lambda} \in \mathrm{Sp}(A^{-1})\).

Démonstration. Soit \(X\) vecteur propre associé à \(\lambda\) : \(AX = \lambda X\). Comme \(A\) est inversible et \(X \neq 0\), on a \(\lambda \neq 0\). En multipliant par \(A^{-1}\) : \(X = \lambda A^{-1}X\), d’où \(A^{-1}X = \displaystyle\frac{1}{\lambda} X\). ■

C. Valeurs propres des matrices particulières

Théorème (valeurs propres réelles des matrices symétriques) ⋆. Toute matrice \(A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) (symétrique réelle) a toutes ses valeurs propres réelles.

Démonstration ⋆. Soit \(\lambda \in \mathbb{C}\) une valeur propre de \(A\) et \(Z \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}\) un vecteur propre associé : \(AZ = \lambda Z\). On prend le produit hermitien \(\overline{Z}^T (AZ) = \lambda \overline{Z}^T Z = \lambda \|Z\|^2\). Par symétrie de \(A\) (à coefficients réels) : \(\overline{Z}^T A Z = (A\overline{Z})^T Z = \overline{\lambda} \overline{Z}^T Z = \overline{\lambda} \|Z\|^2\). Comme \(\|Z\|^2 \neq 0\), on obtient \(\lambda = \overline{\lambda}\), donc \(\lambda \in \mathbb{R}\). ■

D. Spectre et opérations sur les matrices

Démonstration ⋆. Soit \(X \neq 0\) tel que \(AX = \lambda X\). Par récurrence immédiate, \(A^k X = \lambda^k X\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\). Si \(P(X) = \sum_{k=0}^{d} a_k X^k\), alors :

\(P(A)X = \sum_{k=0}^{d} a_k A^k X = \sum_{k=0}^{d} a_k \lambda^k X = P(\lambda) X\)

Comme \(X \neq 0\), le vecteur \(X\) est vecteur propre de \(P(A)\) associé à \(P(\lambda)\). ■

E. Indépendance linéaire des vecteurs propres

Ce théorème est l’un des résultats les plus importants du chapitre. Il est à la base du critère de diagonalisation.

Démonstration ⋆ (par récurrence).

Initialisation. Un seul vecteur propre \(X_1 \neq 0\) : la famille \((X_1)\) est libre.

Hérédité. Soient \(X_1, \ldots, X_p\) des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes \(\lambda_1, \ldots, \lambda_p\). Supposons par hypothèse de récurrence que \((X_1, \ldots, X_{p-1})\) est libre. Soit une combinaison linéaire nulle :

\(\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2 + \cdots + \alpha_p X_p = 0 \qquad (\star)\)

Appliquons \(A\) à \((\star)\) :

\(\alpha_1 \lambda_1 X_1 + \alpha_2 \lambda_2 X_2 + \cdots + \alpha_p \lambda_p X_p = 0 \qquad (\star\star)\)

Calculons \((\star\star) – \lambda_p \cdot (\star)\) :

\(\alpha_1(\lambda_1 – \lambda_p) X_1 + \alpha_2(\lambda_2 – \lambda_p) X_2 + \cdots + \alpha_{p-1}(\lambda_{p-1} – \lambda_p) X_{p-1} = 0\)

Par hypothèse de récurrence, \((X_1, \ldots, X_{p-1})\) est libre, donc \(\alpha_i(\lambda_i – \lambda_p) = 0\) pour tout \(i \leq p-1\). Comme \(\lambda_i \neq \lambda_p\), on obtient \(\alpha_i = 0\) pour tout \(i \leq p-1\). En reportant dans \((\star)\) : \(\alpha_p X_p = 0\), et comme \(X_p \neq 0\), \(\alpha_p = 0\). La famille \((X_1, \ldots, X_p)\) est libre. ■

Corollaire essentiel.

• Pour toute valeur propre \(\lambda\) : \(1 \leq \dim E_\lambda(A) \leq m(\lambda)\) (la multiplicité géométrique est majorée par la multiplicité algébrique).
• Une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) ayant \(n\) valeurs propres distinctes est diagonalisable.
• Plus généralement, la somme \(\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(A)} E_\lambda(A)\) est directe, et \(\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(A)} \dim E_\lambda(A) \leq n\).

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IV. Méthode pas à pas — Déterminer les éléments propres

A. Les 3 étapes

B. Exemple résolu — Matrice 2×2

C. Exemple résolu — Matrice 3×3

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V. Applications et prolongements

La détermination des éléments propres n’est pas un objectif en soi : c’est un outil au service de problèmes concrets.

A. Diagonalisation

Une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est diagonalisable si et seulement si \(\mathbb{K}^n = \bigoplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(A)} E_\lambda(A)\), ce qui équivaut à :

\(\chi_A \text{ scindé sur } \mathbb{K} \quad \text{et} \quad \forall \lambda \in \mathrm{Sp}(A),\; \dim E_\lambda(A) = m(\lambda)\)

Dans ce cas, si \(P\) est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres (formant une base de \(\mathbb{K}^n\)) et \(D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\), alors \(A = PDP^{-1}\). Ce résultat est développé en détail dans le cours sur la diagonalisation.

B. Puissances de matrices et suites récurrentes

Si \(A = PDP^{-1}\), alors \(A^k = PD^kP^{-1}\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\). Le calcul de \(D^k\) est trivial : \(D^k = \mathrm{diag}(\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k)\). C’est ce qui rend les puissances de matrices calculables.

Application aux suites récurrentes linéaires. Soit un système \(U_{n+1} = AU_n\) avec \(U_0\) donné. Alors \(U_n = A^n U_0\). Si \(A\) est diagonalisable, \(U_n = PD^n P^{-1}U_0\), ce qui donne une expression explicite de \(U_n\) en fonction de \(n\). Voir l’exercice 7 ci-dessous pour un exemple complet.

C. Chaînes de Markov et distribution stationnaire

Les valeurs propres trouvent une application spectaculaire dans les chaînes de Markov, un modèle fondamental en probabilités et en informatique (c’est notamment le cœur de l’algorithme PageRank de Google).

Une matrice stochastique (ou de transition) est une matrice \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) à coefficients positifs dont chaque colonne a pour somme 1. Elle modélise les probabilités de transition entre \(n\) états.

Démonstration. Soit \(\mathbf{1} = (1, 1, \ldots, 1)^T\). Puisque chaque colonne de \(M\) somme à 1, on a \(M^T \mathbf{1} = \mathbf{1}\), donc \(1 \in \mathrm{Sp}(M^T) = \mathrm{Sp}(M)\) (car \(M\) et \(M^T\) ont le même polynôme caractéristique). ■

La distribution stationnaire \(\pi\) est le vecteur propre de \(M\) associé à \(\lambda = 1\), normalisé de sorte que ses composantes somment à 1. Elle décrit l’état d’équilibre du système à long terme : \(M^k \pi = \pi\) pour tout \(k\). L’exercice 8 ci-dessous développe un exemple concret.

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VI. Exercices corrigés

Voici 8 exercices classés par difficulté croissante, de l’application directe (★) aux problèmes de type concours (★★★). Chaque correction est détaillée pas à pas.

★ Exercice 1 — Valeurs propres et sous-espaces propres d’une matrice 2×2

Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\).

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Étape 1. \(\chi_A(X) = X^2 – \mathrm{tr}(A) \cdot X + \det(A) = X^2 – 9X + 18 = (X – 3)(X – 6)\).

Étape 2. \(\mathrm{Sp}(A) = \{3, 6\}\). Vérification : \(3 + 6 = 9 = \mathrm{tr}(A)\) ✓, \(3 \times 6 = 18 = \det(A)\) ✓.

Étape 3.

• \(E_3 : (A – 3I_2)X = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} X = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 = 0\). D’où \(E_3 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

• \(E_6 : (A – 6I_2)X = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} X = 0 \Rightarrow x_1 = 2x_2\). D’où \(E_6 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

La matrice \(A\) a deux VP distinctes en dimension 2, donc elle est diagonalisable.

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★ Exercice 2 — Vérifier qu’un vecteur est vecteur propre

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\). Montrer que \(X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) est un vecteur propre de \(A\) et préciser la valeur propre associée.

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On calcule \(AX\) directement :

\(AX = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 3X\)

Comme \(X \neq 0\) et \(AX = 3X\), le vecteur \(X\) est bien un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda = 3\). ■

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★★ Exercice 3 — Éléments propres d’une matrice 3×3 et diagonalisabilité

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\). Déterminer \(\mathrm{Sp}(A)\), les sous-espaces propres, et dire si \(A\) est diagonalisable.

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Étape 1. \(A\) est triangulaire supérieure, donc \(\chi_A(X) = (X-1)(X-2)(X-3)\).

Étape 2. \(\mathrm{Sp}(A) = \{1, 2, 3\}\) : trois valeurs propres simples.

Étape 3.

• \(E_1 : (A – I_3)X = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} X = 0\). On obtient \(x_3 = 0\), \(x_2 = 0\), \(x_1\) libre. Donc \(E_1 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

• \(E_2 : (A – 2I_3)X = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} X = 0\). On obtient \(x_3 = 0\), \(x_1 = x_2\). Donc \(E_2 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

• \(E_3 : (A – 3I_3)X = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} X = 0\). On obtient \(x_2 = x_3\) et \(x_1 = \displaystyle\frac{x_2}{2} = \displaystyle\frac{x_3}{2}\). Donc \(E_3 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

Conclusion : \(A\) admet 3 valeurs propres distinctes en dimension 3, donc \(A\) est diagonalisable. On a \(A = PDP^{-1}\) avec \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) et \(D = \mathrm{diag}(1, 2, 3)\).

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★★ Exercice 4 — Valeur propre nulle et inversibilité

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\det(A)\).
2. En déduire que \(0 \in \mathrm{Sp}(A)\).
3. Déterminer \(E_0(A)\).

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1. En développant selon la première ligne :

\(\det(A) = 2(2 \cdot 0 – (-2) \cdot 3) – 1(4 \cdot 0 – (-2) \cdot 1) + (-1)(4 \cdot 3 – 2 \cdot 1) = 12 – 2 – 10 = 0\)

2. \(\det(A) = 0\), donc \(A\) n’est pas inversible, d’où \(0 \in \mathrm{Sp}(A)\).

3. On résout \(AX = 0\) :

\(\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \overset{L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \overset{L_3 \leftarrow 2L_3 – L_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}\)

De la troisième ligne : \(5x_2 + x_3 = 0\), soit \(x_3 = -5x_2\). De la première : \(2x_1 + x_2 – x_3 = 0\), soit \(2x_1 + x_2 + 5x_2 = 0\), d’où \(x_1 = -3x_2\).

\(E_0(A) = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}\)

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★★ Exercice 5 — Spectre d’un polynôme de matrice

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(\mathrm{Sp}(A) = \{2, -1, 5\}\). Déterminer \(\mathrm{Sp}(A^2 – 3A + I_n)\).

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Posons \(P(X) = X^2 – 3X + 1\). D’après le théorème sur le spectre d’un polynôme de matrice, les valeurs propres de \(P(A)\) sont les \(P(\lambda)\) pour \(\lambda \in \mathrm{Sp}(A)\).

Calculons :

• \(P(2) = 4 – 6 + 1 = -1\)
• \(P(-1) = 1 + 3 + 1 = 5\)
• \(P(5) = 25 – 15 + 1 = 11\)

D’où \(\mathrm{Sp}(A^2 – 3A + I_n) = \{-1, 5, 11\}\).

Remarque : on peut affirmer que ces valeurs sont bien des VP de \(P(A)\) (par le théorème), mais \(P(A)\) pourrait éventuellement avoir d’autres VP si \(n\) > \(3\). L’énoncé ne dit pas que \(\mathrm{Sp}(A)\) n’a que 3 éléments sur un espace de dimension 3 ; il dit que ces 3 éléments sont les VP, mais sans préciser \(n\) ni les multiplicités. Si \(n = 3\) et les VP sont simples, alors \(\mathrm{Sp}(P(A)) = \{-1, 5, 11\}\).

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★★★ Exercice 6 — Valeurs propres et paramètre (type concours)

Soit \(a \in \mathbb{R}\) et \(A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).

1. Déterminer \(\mathrm{Sp}(A(a))\) en fonction de \(a\).
2. Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice \(A(a)\) est-elle diagonalisable ?

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1. \(A(a)\) est triangulaire supérieure, donc \(\chi_{A(a)}(X) = (X-1)^2(X-2)\) quel que soit \(a\). Les valeurs propres sont \(\lambda_1 = 1\) (multiplicité algébrique 2) et \(\lambda_2 = 2\) (multiplicité algébrique 1).

2. La VP \(\lambda_2 = 2\) est simple, donc \(\dim E_2 = 1 = m(2)\) : pas de problème pour cette VP. La question se joue sur \(\lambda_1 = 1\) : on a besoin de \(\dim E_1 = 2 = m(1)\).

Calculons \(E_1\) : \((A(a) – I_3)X = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} X = 0\).

Cas \(a \neq 0\) : la sous-matrice \(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a \end{pmatrix}\) (colonnes 2 et 3) a un déterminant \(a^2 \neq 0\), donc le rang est 2. Le noyau est de dimension \(3 – 2 = 1\). On a \(\dim E_1 = 1\) < \(m(1) = 2\) : \(A(a)\) n’est pas diagonalisable.

Cas \(a = 0\) : \(A(0) – I_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\), de rang 1. Le noyau est de dimension 2 : \(E_1 = \mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)\). On a \(\dim E_1 = 2 = m(1)\) : \(A(0)\) est diagonalisable.

Conclusion. \(A(a)\) est diagonalisable si et seulement si \(a = 0\). Dans ce cas, \(A(0) = \mathrm{diag}(1, 2, 1)\), qui est déjà diagonale.

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★★★ Exercice 7 — Suite récurrente matricielle

Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) deux suites réelles vérifiant :

\(\begin{cases} u_{n+1} = 3u_n + v_n \\ v_{n+1} = u_n + 3v_n \end{cases} \quad \text{avec } u_0 = 1,\; v_0 = 0\)

Exprimer \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\).

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Mise en forme matricielle. Posons \(U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}\) et \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\). Le système s’écrit \(U_{n+1} = AU_n\), d’où \(U_n = A^n U_0\).

Diagonalisation de A. \(\chi_A(X) = X^2 – 6X + 8 = (X-2)(X-4)\). Valeurs propres : \(\lambda_1 = 2\), \(\lambda_2 = 4\).

• \(E_2 : (A – 2I)X = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} X = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 = 0\). D’où \(E_2 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

• \(E_4 : (A – 4I)X = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} X = 0 \Rightarrow x_1 = x_2\). D’où \(E_4 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

On pose \(P = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\). Alors \(A = PDP^{-1}\).

Calcul de \(P^{-1}\). \(\det(P) = -1 – 1 = -2\), donc \(P^{-1} = \displaystyle\frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2} \\ \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2} \end{pmatrix}\).

Expression de \(U_n\).

\(U_n = PD^nP^{-1}U_0 = P \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 4^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\displaystyle\frac{1}{2} \\ \displaystyle\frac{1}{2} \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} -\displaystyle\frac{2^n}{2} \\ \displaystyle\frac{4^n}{2} \end{pmatrix}\)

\(U_n = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\displaystyle\frac{2^n}{2} \\ \displaystyle\frac{4^n}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{2^n + 4^n}{2} \\ \displaystyle\frac{-2^n + 4^n}{2} \end{pmatrix}\)

Résultat :

\(\fbox{u_n = \displaystyle\frac{2^n + 4^n}{2}} \qquad \text{et} \qquad \fbox{v_n = \displaystyle\frac{4^n – 2^n}{2}}\)

Vérification : \(u_0 = \displaystyle\frac{1 + 1}{2} = 1\) ✓, \(v_0 = \displaystyle\frac{1 – 1}{2} = 0\) ✓, \(u_1 = \displaystyle\frac{2 + 4}{2} = 3 = 3 \cdot 1 + 0\) ✓.

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★★★ Exercice 8 — Chaîne de Markov et distribution stationnaire

On modélise la météo d’une ville par une chaîne de Markov à deux états : Beau (B) et Pluie (P). La matrice de transition est :

\(M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix}\)

(la colonne \(j\) donne les probabilités de transition depuis l’état \(j\)).

1. Vérifier que \(1\) est valeur propre de \(M\). Déterminer l’autre valeur propre.
2. Déterminer le sous-espace propre \(E_1(M)\).
3. En déduire la distribution stationnaire \(\pi\) et l’interpréter.

Voir la correction

1. \(\mathrm{tr}(M) = 1{,}3\) et \(\det(M) = 0{,}42 – 0{,}12 = 0{,}3\). Donc \(\chi_M(X) = X^2 – 1{,}3X + 0{,}3 = (X – 1)(X – 0{,}3)\).

Les valeurs propres sont \(\lambda_1 = 1\) et \(\lambda_2 = 0{,}3\). Vérification : \(1 + 0{,}3 = 1{,}3 = \mathrm{tr}(M)\) ✓, \(1 \times 0{,}3 = 0{,}3 = \det(M)\) ✓.

2. \(E_1 : (M – I_2)X = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -0{,}3 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & -0{,}4 \end{pmatrix}X = 0 \Rightarrow -0{,}3x_1 + 0{,}4x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{4}{3}x_2\).

D’où \(E_1(M) = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\).

3. La distribution stationnaire \(\pi\) est le vecteur propre associé à \(\lambda = 1\) dont les composantes somment à 1 : \(\pi = \displaystyle\frac{1}{4+3}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{4}{7} \\ \displaystyle\frac{3}{7} \end{pmatrix}\).

Interprétation : à long terme, la probabilité qu’il fasse beau un jour donné converge vers \(\displaystyle\frac{4}{7} \approx 57\%\), et la probabilité de pluie vers \(\displaystyle\frac{3}{7} \approx 43\%\), indépendamment de la météo initiale. En effet, \(|\lambda_2| = 0{,}3\) < \(1\), donc la composante associée à \(\lambda_2\) s’amortit exponentiellement : \(M^n U_0 \longrightarrow[n \to +\infty]{} \pi\).

📄 L’essentiel du cours en 1 page

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VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Voici les erreurs les plus courantes en DS et aux concours, présentées sous forme de « copie fautive commentée ».

Erreur 1 — Le vecteur nul comme vecteur propre

❌ Copie fautive : « Le vecteur nul est vecteur propre de toute matrice, associé à n’importe quelle valeur propre. »

Diagnostic : la définition exige \(X \neq 0\). Le vecteur nul vérifie \(AX = \lambda X\) trivialement, mais il n’est pas un vecteur propre. C’est la raison pour laquelle le sous-espace propre \(E_\lambda\) contient le vecteur nul sans que celui-ci soit un vecteur propre.

✅ Correction : « Seuls les vecteurs non nuls de \(E_\lambda(A)\) sont des vecteurs propres. »

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Erreur 2 — Confondre multiplicité algébrique et géométrique

❌ Copie fautive : « \(\chi_A\) est scindé, donc \(A\) est diagonalisable. »

Diagnostic : le fait que \(\chi_A\) soit scindé est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la diagonalisabilité (sur \(\mathbb{R}\)). Il faut aussi vérifier que \(\dim E_\lambda = m(\lambda)\) pour chaque valeur propre. L’exercice 6 ci-dessus en fournit un contre-exemple concret.

✅ Correction : « \(A\) diagonalisable \(\iff\) \(\chi_A\) scindé ET \(\forall \lambda \in \mathrm{Sp}(A), \dim E_\lambda = m(\lambda)\). »

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Erreur 3 — Additivité du spectre pour la somme de matrices

❌ Copie fautive : « \(\mathrm{Sp}(A + B) = \{\lambda + \mu \mid \lambda \in \mathrm{Sp}(A), \mu \in \mathrm{Sp}(B)\}\). »

Diagnostic : c’est faux dès que \(A\) et \(B\) ne commutent pas. Le théorème spectral ne fonctionne que pour des polynômes en une même matrice \(A\). Contre-exemple : \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). \(\mathrm{Sp}(A) = \{0, 1\}\), \(\mathrm{Sp}(B) = \{0\}\), mais \(\mathrm{Sp}(A+B) = \mathrm{Sp}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \{0, 1\} \neq \{0+0, 1+0\}\) (même ensemble ici par coïncidence, mais les vecteurs propres changent).

✅ Correction : n’utiliser \(\mathrm{Sp}(P(A)) = \{P(\lambda) \mid \lambda \in \mathrm{Sp}(A)\}\) que pour des polynômes en \(A\).

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Erreur 4 — Oublier de vérifier « χ_A scindé » sur ℝ

❌ Copie fautive : « \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), \(\chi_A(X) = X^2 + 1\). Les valeurs propres sont \(i\) et \(-i\), donc \(A\) est diagonalisable. »

Diagnostic : \(\chi_A\) n’est pas scindé sur \(\mathbb{R}\) : il n’a pas de racine réelle. La matrice \(A\) n’a pas de valeur propre dans \(\mathbb{R}\) et n’est pas diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Elle est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\).

✅ Correction : toujours préciser le corps de base. Sur \(\mathbb{R}\), une matrice de rotation d’angle \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) n’a pas de valeur propre réelle.

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VIII. Questions fréquentes

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IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant les valeurs propres, vecteurs propres et le polynôme caractéristique. Pour approfondir et compléter ta maîtrise de l’algèbre linéaire :

• Diagonalisation d’une matrice : méthode complète — le prolongement naturel de ce cours
• Matrice puissance (Aⁿ) — l’application directe de la diagonalisation
• Déterminant d’une matrice : calcul, propriétés et applications — l’outil de calcul du polynôme caractéristique
• Trace d’une matrice : définition, calcul et propriétés — le lien trace = somme des VP
• Matrice inversible : définition, critères et déterminant — le lien 0 ∈ Sp(A) ⟺ A non inversible
• Matrice symétrique et antisymétrique — le théorème spectral réel
• Matrice nilpotente : définition et propriétés — le cas extrême Sp(A) = {0}
• Matrice de changement de base — le lien avec les matrices semblables
• Exercices corrigés sur les matrices — pour t’entraîner davantage sur tout le chapitre

Conforme au programme officiel CPGE 2025-2026. Dernière mise à jour : juin 2025.

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