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Tu dois calculer la moitié d’un quart de tarte ? Ou partager équitablement une recette qui utilise déjà des fractions ? C’est exactement à ça que sert la multiplication de fractions. Bonne nouvelle : c’est l’opération la plus facile sur les fractions, bien plus simple que l’addition. Dans cet article, tu vas apprendre à multiplier et à diviser des fractions en quelques étapes, avec des exemples corrigés et les pièges à éviter.

📚 Tout le cours « Les fractions »

La règle de multiplication des fractions

Pour multiplier deux fractions, tu n’as pas besoin de leur trouver un dénominateur commun. C’est ce qui rend cette opération si simple. Tu multiplies simplement les numérateurs entre eux, puis les dénominateurs entre eux.

Règle — Multiplier deux fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble :

\(\displaystyle\frac{a}{b} \times \displaystyle\frac{c}{d} = \displaystyle\frac{a \times c}{b \times d}\)

(avec \(b\) et \(d\) différents de zéro)

Regardons tout de suite un cas concret pour que ça devienne clair.

Exemple : Calculer \(\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{4}{5}\).

On multiplie les numérateurs entre eux (\(2 \times 4 = 8\)) et les dénominateurs entre eux (\(3 \times 5 = 15\)) :

\(\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{4}{5} = \displaystyle\frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \displaystyle\frac{8}{15}\)

Cette règle marche aussi pour multiplier une fraction par un nombre entier : il suffit d’écrire l’entier sous forme de fraction. Par exemple, \(5\) s’écrit \(\displaystyle\frac{5}{1}\).

Astuce : pour comprendre le sens, souviens-toi que « \(\times\) » veut dire « de ». Calculer \(\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{1}{3}\), c’est chercher la moitié d’un tiers. Le résultat est \(\displaystyle\frac{1}{6}\), une part plus petite que celles de départ : c’est logique !

Schéma d'aire : un rectangle partagé en tiers puis en moitiés, la zone commune vaut un sixième
Multiplier deux fractions, c’est prendre une part d’une part.

Multiplier une fraction pas à pas

Pour ne jamais te tromper, suis toujours ces trois étapes dans le même ordre.

La méthode en 3 étapes :

  1. Multiplie les numérateurs entre eux → c’est le nouveau numérateur.
  2. Multiplie les dénominateurs entre eux → c’est le nouveau dénominateur.
  3. Simplifie le résultat pour obtenir une fraction irréductible.

La troisième étape est très importante et souvent oubliée. Après une multiplication, le résultat est souvent simplifiable. Voyons un exemple complet.

Exemple : Calculer \(\displaystyle\frac{3}{4} \times \displaystyle\frac{2}{9}\).

Étape 1 et 2 : on multiplie sans réfléchir.

\(\displaystyle\frac{3}{4} \times \displaystyle\frac{2}{9} = \displaystyle\frac{3 \times 2}{4 \times 9} = \displaystyle\frac{6}{36}\)

Étape 3 : on simplifie. \(6\) et \(36\) sont tous les deux divisibles par \(6\) :

\(\displaystyle\frac{6}{36} = \displaystyle\frac{1}{6}\)

🎁 EN BONUS

La fiche méthode « Multiplier et diviser des fractions »

Toutes les règles, la méthode en 3 étapes et les pièges à éviter, sur une fiche recto-verso à imprimer.

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Parfaite pour réviser avant un contrôle ou le brevet.

Le raccourci des champions : tu peux simplifier avant de multiplier ! Dans \(\displaystyle\frac{3}{4} \times \displaystyle\frac{2}{9}\), on remarque que \(3\) et \(9\) se simplifient par \(3\), et que \(2\) et \(4\) se simplifient par \(2\). On obtient \(\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{1}{6}\) directement, avec de bien plus petits nombres. Pour aller plus loin, va voir la méthode pour simplifier une fraction.

Diviser des fractions : multiplier par l’inverse

La division peut faire peur, mais elle se ramène immédiatement à une multiplication. Il suffit de connaître un mot magique : l’inverse d’une fraction.

Définition — Inverse d’une fraction

L’inverse d’une fraction s’obtient en échangeant le numérateur et le dénominateur. L’inverse de \(\displaystyle\frac{c}{d}\) est \(\displaystyle\frac{d}{c}\).

Exemple : l’inverse de \(\displaystyle\frac{2}{5}\) est \(\displaystyle\frac{5}{2}\).

La règle de division découle directement de là : diviser, c’est multiplier par l’inverse.

Règle — Diviser deux fractions

Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse :

\(\displaystyle\frac{a}{b} \div \displaystyle\frac{c}{d} = \displaystyle\frac{a}{b} \times \displaystyle\frac{d}{c}\)

Exemple : Calculer \(\displaystyle\frac{3}{7} \div \displaystyle\frac{2}{5}\).

On garde la première fraction et on multiplie par l’inverse de la seconde (\(\displaystyle\frac{2}{5}\) devient \(\displaystyle\frac{5}{2}\)) :

\(\displaystyle\frac{3}{7} \div \displaystyle\frac{2}{5} = \displaystyle\frac{3}{7} \times \displaystyle\frac{5}{2} = \displaystyle\frac{15}{14}\)

La fraction \(\displaystyle\frac{15}{14}\) est déjà irréductible : le calcul est terminé.

Une fois que tu as remplacé la division par une multiplication, tu appliques exactement la méthode en 3 étapes vue plus haut. Rien de nouveau à retenir !

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Quand utiliser cette méthode ?

C’est le point qui trompe le plus d’élèves : les règles ne sont pas les mêmes selon l’opération. Le tableau ci-dessous te dit exactement quoi faire pour chaque calcul avec des fractions.

Quelle méthode pour quelle opération sur les fractions ?
Opération Même dénominateur nécessaire ? Ce qu’on fait
Multiplication \(\times\) Non Numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux
Division \(\div\) Non On multiplie par l’inverse de la 2ᵉ fraction
Addition / Soustraction \(+\) \(-\) Oui Même dénominateur, puis on additionne les numérateurs

À retenir : pour multiplier ou diviser, surtout pas de dénominateur commun. C’est uniquement pour additionner ou soustraire qu’il en faut un. Si tu veux revoir cette autre technique, consulte la méthode pour additionner et soustraire des fractions.

Maintenant que tu sais quand appliquer chaque règle, entraînons-nous sur des exemples de difficulté croissante.

Exemples résolus

Voici quatre exemples corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

🟢 Exemple 1 — Multiplication simple (5ème/4ème)

Calculer \(\displaystyle\frac{4}{7} \times \displaystyle\frac{3}{5}\).

\(\displaystyle\frac{4}{7} \times \displaystyle\frac{3}{5} = \displaystyle\frac{4 \times 3}{7 \times 5} = \displaystyle\frac{12}{35}\)

\(12\) et \(35\) n’ont pas de diviseur commun : la fraction est irréductible. Résultat : \(\displaystyle\frac{12}{35}\).

🟢 Exemple 2 — Fraction multipliée par un entier (4ème)

Calculer \(6 \times \displaystyle\frac{2}{9}\).

On écrit \(6\) sous forme de fraction : \(6 = \displaystyle\frac{6}{1}\). Puis on multiplie :

\(\displaystyle\frac{6}{1} \times \displaystyle\frac{2}{9} = \displaystyle\frac{12}{9}\)

On simplifie par \(3\) : \(\displaystyle\frac{12}{9} = \displaystyle\frac{4}{3}\).

🟡 Exemple 3 — Une division (4ème/3ème)

Calculer \(\displaystyle\frac{5}{6} \div \displaystyle\frac{10}{3}\).

On multiplie par l’inverse de \(\displaystyle\frac{10}{3}\), c’est-à-dire \(\displaystyle\frac{3}{10}\) :

\(\displaystyle\frac{5}{6} \div \displaystyle\frac{10}{3} = \displaystyle\frac{5}{6} \times \displaystyle\frac{3}{10} = \displaystyle\frac{15}{60}\)

On simplifie par \(15\) : \(\displaystyle\frac{15}{60} = \displaystyle\frac{1}{4}\).

🔴 Exemple 4 — Un petit problème (3ème)

Énoncé : Une recette de gâteau utilise \(\displaystyle\frac{3}{4}\) de litre de lait. Tu veux préparer seulement les \(\displaystyle\frac{2}{3}\) de la recette. Quelle quantité de lait te faut-il ?

« les \(\displaystyle\frac{2}{3}\) de \(\displaystyle\frac{3}{4}\) » se traduit par une multiplication :

\(\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{3}{4} = \displaystyle\frac{6}{12} = \displaystyle\frac{1}{2}\)

Il te faut \(\displaystyle\frac{1}{2}\) litre de lait, soit un demi-litre.

Erreurs fréquentes à éviter

Voici les trois pièges qui coûtent le plus de points aux élèves. Repère-les pour ne plus jamais tomber dedans.

Erreur 1 — Chercher un dénominateur commun

❌ Copie fautive : pour \(\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{4}{5}\), l’élève met tout sur \(15\) et écrit \(\displaystyle\frac{10}{15} \times \displaystyle\frac{12}{15}\)…

Diagnostic : il confond la multiplication avec l’addition. Le dénominateur commun ne sert QUE pour additionner ou soustraire.

✅ Correction : pour une multiplication, on multiplie directement : \(\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{4}{5} = \displaystyle\frac{8}{15}\).

Erreur 2 — Oublier de prendre l’inverse (division)

❌ Copie fautive : \(\displaystyle\frac{3}{7} \div \displaystyle\frac{2}{5} = \displaystyle\frac{3}{7} \times \displaystyle\frac{2}{5}\).

Diagnostic : l’élève a changé le signe mais a oublié de retourner la deuxième fraction.

✅ Correction : on inverse bien la 2ᵉ fraction : \(\displaystyle\frac{3}{7} \div \displaystyle\frac{2}{5} = \displaystyle\frac{3}{7} \times \displaystyle\frac{5}{2} = \displaystyle\frac{15}{14}\).

Erreur 3 — Oublier de simplifier

❌ Copie fautive : \(\displaystyle\frac{3}{4} \times \displaystyle\frac{2}{9} = \displaystyle\frac{6}{36}\) … et on s’arrête là.

Diagnostic : le calcul est juste, mais la réponse n’est pas sous forme irréductible. Au brevet, cela peut coûter un point.

✅ Correction : on termine par la simplification : \(\displaystyle\frac{6}{36} = \displaystyle\frac{1}{6}\).

Exercices d’application corrigés

À toi de jouer ! Essaie de résoudre chaque exercice seul avant de regarder la correction.

Exercice 1 ★ — Multiplications directes

Calcule et simplifie si possible :

a) \(\displaystyle\frac{3}{5} \times \displaystyle\frac{2}{7}\)    b) \(\displaystyle\frac{4}{9} \times \displaystyle\frac{3}{8}\)

Voir la correction

a) \(\displaystyle\frac{3}{5} \times \displaystyle\frac{2}{7} = \displaystyle\frac{6}{35}\) (déjà irréductible).

b) \(\displaystyle\frac{4}{9} \times \displaystyle\frac{3}{8} = \displaystyle\frac{12}{72}\). On simplifie par \(12\) : \(\displaystyle\frac{12}{72} = \displaystyle\frac{1}{6}\).

Exercice 2 ★★ — Une division

Calcule \(\displaystyle\frac{7}{8} \div \displaystyle\frac{7}{4}\).

Voir la correction

On multiplie par l’inverse de \(\displaystyle\frac{7}{4}\), soit \(\displaystyle\frac{4}{7}\) :

\(\displaystyle\frac{7}{8} \div \displaystyle\frac{7}{4} = \displaystyle\frac{7}{8} \times \displaystyle\frac{4}{7} = \displaystyle\frac{28}{56} = \displaystyle\frac{1}{2}\).

Exercice 3 ★★ — Fraction et entier

Une bouteille contient \(\displaystyle\frac{3}{4}\) de litre de jus. Combien de litres contiennent \(8\) bouteilles identiques ?

Voir la correction

On multiplie la quantité par le nombre de bouteilles :

\(8 \times \displaystyle\frac{3}{4} = \displaystyle\frac{8}{1} \times \displaystyle\frac{3}{4} = \displaystyle\frac{24}{4} = 6\)

Les \(8\) bouteilles contiennent \(6\) litres de jus.

Exercice 4 ★★★ — Petit problème de raisonnement

Dans une classe, \(\displaystyle\frac{3}{5}\) des élèves font du sport. Parmi eux, \(\displaystyle\frac{2}{3}\) pratiquent le football. Quelle fraction de la classe joue au football ?

Voir la correction

« les \(\displaystyle\frac{2}{3}\) des \(\displaystyle\frac{3}{5}\) » se traduit par une multiplication :

\(\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{3}{5} = \displaystyle\frac{6}{15} = \displaystyle\frac{2}{5}\)

Donc \(\displaystyle\frac{2}{5}\) de la classe joue au football.

Questions fréquentes

Comment se fait la multiplication d'une fraction ?

On multiplie les numérateurs entre eux pour obtenir le nouveau numérateur, puis les dénominateurs entre eux pour obtenir le nouveau dénominateur. On simplifie enfin le résultat. Par exemple : \(\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{4}{5} = \displaystyle\frac{8}{15}\).

Comment multiplier deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur ?

C’est justement l’avantage de la multiplication : le dénominateur commun est inutile. Tu multiplies directement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, même s’ils sont différents. Le dénominateur commun ne sert que pour l’addition et la soustraction.

Quelle est la différence entre multiplier et additionner des fractions ?

Pour multiplier, on ne met surtout pas au même dénominateur : on multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux. Pour additionner, il faut au contraire le même dénominateur avant d’additionner les numérateurs. Ce sont deux méthodes opposées, à ne pas mélanger.

Comment diviser deux fractions ?

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse (on échange numérateur et dénominateur de la deuxième fraction). Exemple : \(\displaystyle\frac{3}{7} \div \displaystyle\frac{2}{5} = \displaystyle\frac{3}{7} \times \displaystyle\frac{5}{2} = \displaystyle\frac{15}{14}\).

Faut-il toujours simplifier le résultat ?

Oui, on donne toujours la réponse sous forme de fraction irréductible. Astuce : tu peux même simplifier avant de multiplier, ce qui évite de manipuler de grands nombres. Pour t’entraîner, va voir la méthode pour simplifier une fraction.

Comment multiplier une fraction par un nombre entier ?

Il suffit d’écrire l’entier sous forme de fraction avec un dénominateur égal à \(1\). Par exemple, \(6 \times \displaystyle\frac{2}{9} = \displaystyle\frac{6}{1} \times \displaystyle\frac{2}{9} = \displaystyle\frac{12}{9} = \displaystyle\frac{4}{3}\).

Pour aller plus loin

Tu sais maintenant multiplier et diviser des fractions. Pour maîtriser tout le chapitre, continue avec :

Plus tard, ces mêmes règles te serviront à manipuler des fractions avec des lettres en calcul littéral. Les fractions ne s’arrêtent pas au collège : elles reviennent tout au long du lycée !

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