Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) sont deux outils d’arithmétique incontournables : ils servent à simplifier des fractions, trouver un dénominateur commun et résoudre des problèmes de périodicité. Ce cours te donne les définitions, 3 méthodes de calcul (factorisation, algorithme d’Euclide, tableau) et des exercices corrigés progressifs.
Définitions et premières propriétés
Qu’est-ce que le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) ?
Définition — PGCD
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls. Le PGCD de \(a\) et \(b\), noté \(\mathrm{PGCD}(a, b)\), est le plus grand entier qui divise à la fois \(a\) et \(b\).
Exemple : Calculons le PGCD de 12 et 18.
- Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6
- Le plus grand est 6
Donc \(\mathrm{PGCD}(12, 18) = 6\).
Qu’est-ce que le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) ?
Définition — PPCM
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers strictement positifs. Le PPCM de \(a\) et \(b\), noté \(\mathrm{PPCM}(a, b)\), est le plus petit entier strictement positif qui est multiple à la fois de \(a\) et de \(b\).
Exemple : Calculons le PPCM de 12 et 18.
- Multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72…
- Multiples de 18 : 18, 36, 54, 72, 90…
- Multiples communs : 36, 72, 108…
- Le plus petit est 36
Donc \(\mathrm{PPCM}(12, 18) = 36\).
Relation fondamentale entre PGCD et PPCM
Théorème fondamental
Pour tous entiers strictement positifs \(a\) et \(b\) :
\(a \times b = \mathrm{PGCD}(a, b) \times \mathrm{PPCM}(a, b)\)
Vérification : \(12 \times 18 = 216\) et \(6 \times 36 = 216\). ✓
Piège classique
\(\mathrm{PPCM}(a,b) = a \times b\) uniquement si \(\mathrm{PGCD}(a,b) = 1\) (on dit alors que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux). Sinon, le PPCM est strictement inférieur au produit. Pour en savoir plus sur cette notion : nombres premiers entre eux.
Comment les calculer ? (choisir la bonne méthode)
Il existe plusieurs méthodes. Le bon réflexe : choisir celle qui est la plus efficace selon les valeurs.
| Situation | Méthode conseillée | Pourquoi |
|---|---|---|
| Petites valeurs (ex. 12 et 18) | Listes de diviseurs/multiples | Rapide mentalement |
| Valeurs « factorisables » (ex. 60 et 84) | Factorisation | Méthode robuste, sûre |
| Grandes valeurs (ex. 625 et 360) | Algorithme d’Euclide | Très efficace sans factorisation |
| Tu veux le PPCM une fois le PGCD trouvé | Formule | Un calcul direct |
| Plus de 2 nombres (3 ou plus) | Factorisation / tableau | Lisible et systématique |
Règle simple pour choisir PGCD ou PPCM
- Tu dois réduire / simplifier / découper au plus grand → pense PGCD.
- Tu dois aligner / synchroniser / mettre au même dénominateur → pense PPCM.
Erreur classique : confondre PGCD et PPCM dans la factorisation
Certains élèves ne prennent que les facteurs communs pour le PPCM (comme pour le PGCD). C’est faux.
Rappel :
- PGCD = facteurs communs, exposants minimaux
- PPCM = tous les facteurs présents, exposants maximaux
Exemple pour \(20 = 2^2 \times 5\) et \(12 = 2^2 \times 3\) :
- PGCD = \(2^2 = 4\) (facteur commun uniquement)
- PPCM = \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\) (tous les facteurs)
Méthode 1 : Décomposition en facteurs premiers (méthode de référence)
La décomposition en facteurs premiers est la méthode de référence enseignée au collège et au lycée. Elle repose sur l’écriture unique de tout entier comme produit de nombres premiers.
Principe :
- Décomposer chaque entier en facteurs premiers
- Pour le PGCD : prendre les facteurs communs avec les exposants minimaux
- Pour le PPCM : prendre tous les facteurs présents avec les exposants maximaux
Exemple détaillé : PGCD et PPCM de 60 et 84
Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers
- \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
- \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)
Étape 2 : PGCD (communs, exposants minimaux)
- Pour \(2\) : min(2, 2) = 2
- Pour \(3\) : min(1, 1) = 1
- \(5\) et \(7\) ne sont pas communs → on ne les prend pas
\(\mathrm{PGCD}(60, 84) = 2^2 \times 3 = 12\)
Étape 3 : PPCM (tous, exposants maximaux)
- Pour \(2\) : max(2, 2) = 2
- Pour \(3\) : max(1, 1) = 1
- Pour \(5\) : max(1, 0) = 1
- Pour \(7\) : max(0, 1) = 1
\(\mathrm{PPCM}(60, 84) = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420\)
Vérification : \(60 \times 84 = 5040\) et \(12 \times 420 = 5040\) ✓
Méthode 2 : Tableau de divisions successives (méthode simultanée)
Cette méthode permet de trouver le PGCD et le PPCM en même temps. Elle est particulièrement efficace quand on cherche les deux résultats simultanément.
Principe :
- Tracer un tableau avec une colonne « Diviseur » et une colonne par nombre
- Diviser simultanément par des nombres premiers en ordre croissant (2, 3, 5, 7…)
- Si un nombre n’est pas divisible, le recopier tel quel et noter « – »
- Continuer jusqu’à obtenir 1 dans toutes les colonnes
- PGCD = produit des diviseurs des lignes où les deux nombres sont divisibles (lignes en gras ci-dessous)
- PPCM = produit de tous les diviseurs
Exemple : PGCD et PPCM de 40 et 48
| Diviseur | 40 | 48 | Commun ? |
|---|---|---|---|
| 2 | 20 | 24 | ✓ |
| 2 | 10 | 12 | ✓ |
| 2 | 5 | 6 | ✓ |
| 2 | – | 3 | |
| 3 | – | 1 | |
| 5 | 1 | – |
PGCD : produit des diviseurs marqués ✓ = \(2 \times 2 \times 2 = 8\)
PPCM : produit de tous les diviseurs = \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 240\)
Vérification : \(40 \times 48 = 1920\) et \(8 \times 240 = 1920\) ✓
Pour accélérer les divisions, utilise les critères de divisibilité.
Méthode 3 : Algorithme d’Euclide (pour le PGCD, puis PPCM par formule)
L’algorithme d’Euclide est très efficace pour trouver le PGCD de deux entiers, surtout quand ils sont grands. Il repose sur la division euclidienne et des divisions successives.
Principe :
- Effectuer la division euclidienne du plus grand par le plus petit
- Remplacer le plus grand par le reste obtenu
- Recommencer jusqu’à obtenir un reste nul
- Le PGCD est le dernier reste non nul
- Puis : \(\mathrm{PPCM}(a, b) = \displaystyle\frac{a \times b}{\mathrm{PGCD}(a, b)}\)
Exemple : PGCD et PPCM de 60 et 168 avec l’algorithme d’Euclide
Étape 1 : Divisions euclidiennes successives
- \(168 = 60 \times 2 + 48\)
- \(60 = 48 \times 1 + 12\)
- \(48 = 12 \times 4 + 0\)
Le reste est nul → \(\mathrm{PGCD}(60, 168) = 12\)
Étape 2 : PPCM par la formule
\(\mathrm{PPCM}(60, 168) = \displaystyle\frac{60 \times 168}{12} = \displaystyle\frac{10080}{12} = 840\)
Vérification : \(60 \times 168 = 10080\) et \(12 \times 840 = 10080\) ✓
Méthode rapide pour les grandes valeurs
L’algorithme d’Euclide est particulièrement efficace car il ne nécessite pas de factorisation. C’est la méthode privilégiée en classes préparatoires et en programmation.
(Option prépa) Identité de Bézout
Option prépa : identité de Bézout (à connaître)
Si \(a\) et \(b\) sont deux entiers strictement positifs et si \(d = \mathrm{PGCD}(a,b)\), alors il existe des entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que :
\(au + bv = d\)
Exemple. On a \(\mathrm{PGCD}(60,168) = 12\). En remontant les divisions :
\(12 = 60 – 48\) et \(48 = 168 – 60 \times 2\), donc :
\(12 = 60 \times 3 + 168 \times (-1)\)
Applications (fractions et périodicité)
PGCD : simplifier une fraction
Principe. Si \(\mathrm{PGCD}(a,b) = d\), alors :
\(\displaystyle\frac{a}{b} = \displaystyle\frac{a \div d}{b \div d}\)
Exemple : simplifier \(\displaystyle\frac{84}{60}\)
\(\mathrm{PGCD}(84,60) = 12\), donc :
\(\displaystyle\frac{84}{60} = \displaystyle\frac{84 \div 12}{60 \div 12} = \displaystyle\frac{7}{5}\)
PPCM : mettre au même dénominateur
Principe. Pour additionner \(\displaystyle\frac{a}{b} + \displaystyle\frac{c}{d}\), on prend le dénominateur commun le plus simple : \(m = \mathrm{PPCM}(b, d)\).
Exemple : calculer \(\displaystyle\frac{3}{14} + \displaystyle\frac{3}{35}\)
\(\mathrm{PPCM}(14, 35) = 70\). Donc :
\(\displaystyle\frac{3}{14} = \displaystyle\frac{15}{70}\) et \(\displaystyle\frac{3}{35} = \displaystyle\frac{6}{70}\)
\(\displaystyle\frac{3}{14} + \displaystyle\frac{3}{35} = \displaystyle\frac{15}{70} + \displaystyle\frac{6}{70} = \displaystyle\frac{21}{70}\)
On simplifie : \(\mathrm{PGCD}(21,70) = 7\), donc \(\displaystyle\frac{21}{70} = \displaystyle\frac{3}{10}\).
Astuce
Évite de prendre \(14 \times 35 = 490\) comme dénominateur commun : le PPCM (70) donne des calculs beaucoup plus simples.
PPCM : synchroniser deux cycles
Quand deux événements se répètent avec des périodes différentes, ils se recroisent après un temps égal au PPCM des deux périodes.
Exemple : deux bus passent toutes les 12 min et 18 min, ensemble à 8h00. Quand se retrouvent-ils ?
\(\mathrm{PPCM}(12, 18) = 36\). Ils se retrouvent donc 36 minutes après : à 8h36.
Fiche méthode PGCD et PPCM (PDF)
Définitions, 3 méthodes de calcul et 4 exercices corrigés sur une fiche recto-verso.
Format A4, prêt à imprimer pour réviser.
Exercices corrigés
Pour une banque plus large : exercices nombres entiers (tous niveaux).
Niveau collège (3ème) — Calculs directs
Exercice 1. Calculer le PGCD et le PPCM de 24 et 36.
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Décomposition : \(24 = 2^3 \times 3\) et \(36 = 2^2 \times 3^2\).
PGCD (communs, min) : \(2^2 \times 3 = 12\).
PPCM (tous, max) : \(2^3 \times 3^2 = 72\).
Vérification : \(24 \times 36 = 864\) et \(12 \times 72 = 864\) ✓
Exercice 2. Calculer le PGCD et le PPCM de 48 et 180.
▶ Voir la correction
Décomposition : \(48 = 2^4 \times 3\) et \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\).
PGCD : \(2^2 \times 3 = 12\).
PPCM : \(2^4 \times 3^2 \times 5 = 720\).
Vérification : \(48 \times 180 = 8640\) et \(12 \times 720 = 8640\) ✓
Exercice 3. Simplifier la fraction \(\displaystyle\frac{126}{84}\).
▶ Voir la correction
Décomposition : \(126 = 2 \times 3^2 \times 7\) et \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\).
PGCD : \(2 \times 3 \times 7 = 42\).
\(\displaystyle\frac{126}{84} = \displaystyle\frac{126 \div 42}{84 \div 42} = \displaystyle\frac{3}{2}\).
Exercice 4. Calculer \(\displaystyle\frac{5}{12} + \displaystyle\frac{7}{18}\).
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\(\mathrm{PPCM}(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 36\).
\(\displaystyle\frac{5}{12} = \displaystyle\frac{15}{36}\) et \(\displaystyle\frac{7}{18} = \displaystyle\frac{14}{36}\).
\(\displaystyle\frac{5}{12} + \displaystyle\frac{7}{18} = \displaystyle\frac{15 + 14}{36} = \displaystyle\frac{29}{36}\).
29 est premier et ne divise pas 36, donc la fraction est irréductible.
Niveau lycée — Applications et problèmes
Exercice 5. On veut paver une salle rectangulaire de 450 cm × 300 cm avec des carreaux carrés identiques, les plus grands possible, sans découpe. Quelle doit être la dimension des carreaux ?
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Le côté du carreau doit diviser les deux dimensions. Pour qu’il soit le plus grand possible, on cherche le PGCD.
\(450 = 2 \times 3^2 \times 5^2\) et \(300 = 2^2 \times 3 \times 5^2\).
\(\mathrm{PGCD}(450, 300) = 2 \times 3 \times 5^2 = 150\).
Vérification : \(450 \div 150 = 3\) carreaux et \(300 \div 150 = 2\) carreaux. ✓
Réponse : les carreaux doivent mesurer 150 cm de côté.
Exercice 6. Deux feux tricolores passent au vert toutes les 48 secondes et 72 secondes. S’ils sont simultanément au vert à 14h00, à quelle heure repasseront-ils ensemble au vert ?
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\(48 = 2^4 \times 3\) et \(72 = 2^3 \times 3^2\).
\(\mathrm{PPCM}(48, 72) = 2^4 \times 3^2 = 144\) secondes.
\(144\) secondes = 2 minutes et 24 secondes.
Réponse : ils repasseront ensemble au vert à 14h02min24s.
Exercice 7. Démontrer que si \(\mathrm{PGCD}(a, b) = 1\), alors \(\mathrm{PPCM}(a, b) = a \times b\).
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On sait que \(a \times b = \mathrm{PGCD}(a, b) \times \mathrm{PPCM}(a, b)\).
Si \(\mathrm{PGCD}(a, b) = 1\), alors \(a \times b = 1 \times \mathrm{PPCM}(a, b)\), donc \(\mathrm{PPCM}(a, b) = a \times b\).
Exemple : \(\mathrm{PGCD}(7, 11) = 1\) donc \(\mathrm{PPCM}(7, 11) = 77\).
Exercices avancés : retrouver deux nombres connaissant leur PGCD et PPCM
Exercice 8. PGCD = 14 et PPCM = 84. Trouver les deux nombres.
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Étape 1 : \(\displaystyle\frac{84}{14} = 6\).
Étape 2 : Décomposer 6 en deux facteurs premiers entre eux : \(6 = 2 \times 3\) (et \(\mathrm{PGCD}(2, 3) = 1\) ✓).
Étape 3 : Multiplier par 14 : \(2 \times 14 = 28\) et \(3 \times 14 = 42\).
Vérification : \(\mathrm{PGCD}(28, 42) = 14\) ✓ et \(\mathrm{PPCM}(28, 42) = 84\) ✓.
Réponse : 28 et 42.
Exercice 9. PGCD = 8 et PPCM = 144. Trouver les deux nombres.
▶ Voir la correction
Étape 1 : \(\displaystyle\frac{144}{8} = 18\).
Étape 2 : \(18 = 2 \times 9\) (et \(\mathrm{PGCD}(2, 9) = 1\) ✓). Note : \(18 = 3 \times 6\) ne convient pas car \(\mathrm{PGCD}(3, 6) = 3 \neq 1\).
Étape 3 : \(2 \times 8 = 16\) et \(9 \times 8 = 72\).
Vérification : \(\mathrm{PGCD}(16, 72) = 8\) ✓ et \(\mathrm{PPCM}(16, 72) = 144\) ✓.
Réponse : 16 et 72.
FAQ — PGCD et PPCM
Qu'est-ce que le PGCD et le PPCM ?
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux entiers est le plus grand entier qui divise les deux. Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit entier positif qui est multiple des deux. Ils sont liés par : \(a \times b = \mathrm{PGCD}(a,b) \times \mathrm{PPCM}(a,b)\).
Comment trouver le PGCD et le PPCM ?
Trois méthodes principales : (1) Factorisation : PGCD = facteurs communs, exposants min ; PPCM = tous les facteurs, exposants max. (2) Tableau de divisions simultanées. (3) Algorithme d’Euclide (divisions euclidiennes successives) pour le PGCD, puis formule pour le PPCM.
Quelle est la différence entre PGCD et PPCM ?
Le PGCD cherche le plus grand diviseur commun (on l’utilise pour simplifier). Le PPCM cherche le plus petit multiple commun (on l’utilise pour mettre au même dénominateur ou synchroniser). En factorisation : PGCD = facteurs communs uniquement (exposants min) ; PPCM = tous les facteurs (exposants max).
Quel est le PGCD de 24 et 36 ?
\(24 = 2^3 \times 3\) et \(36 = 2^2 \times 3^2\). PGCD = \(2^2 \times 3 = 12\) (facteurs communs, exposants minimaux).
Quel est le PPCM de 18 et 24 ?
\(18 = 2 \times 3^2\) et \(24 = 2^3 \times 3\). PPCM = \(2^3 \times 3^2 = 72\) (tous les facteurs, exposants maximaux).
A quoi servent le PGCD et le PPCM en pratique ?
PGCD : simplifier des fractions, problèmes de partage équitable, pavage (taille maximale des carreaux). PPCM : additionner des fractions (dénominateur commun minimal), synchronisation de cycles (bus, feux tricolores, événements périodiques).
Que faire si deux nombres sont premiers entre eux ?
Si \(\mathrm{PGCD}(a, b) = 1\), alors \(\mathrm{PPCM}(a, b) = a \times b\). La fraction \(\displaystyle\frac{a}{b}\) est déjà irréductible. Exemple : \(\mathrm{PGCD}(15, 28) = 1\) donc \(\mathrm{PPCM}(15, 28) = 420\).
Peut-on calculer le PGCD et le PPCM de plus de deux nombres ?
Oui. On procède par itération : \(\mathrm{PGCD}(a, b, c) = \mathrm{PGCD}(\mathrm{PGCD}(a, b), c)\). Idem pour le PPCM. Avec la factorisation : PGCD = facteurs communs à tous, exposants minimaux ; PPCM = tous les facteurs présents dans au moins un nombre, exposants maximaux.
Comment calculer rapidement le PGCD de grands nombres ?
L’algorithme d’Euclide est le plus rapide : divisions euclidiennes successives jusqu’à reste nul, le dernier reste non nul est le PGCD. Exemple : \(\mathrm{PGCD}(1071, 462)\) → \(1071 = 462 \times 2 + 147\), \(462 = 147 \times 3 + 21\), \(147 = 21 \times 7 + 0\) → PGCD = 21.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le PGCD et le PPCM. Explore les autres notions du cocon :
- Cours complet : nombres entiers
- Entiers naturels (ℕ)
- Entiers relatifs (ℤ)
- Entiers consécutifs
- Critères de divisibilité
- Division euclidienne
- Nombres premiers
- Décomposition en facteurs premiers
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