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Le calcul de \(A^n\) est l’une des applications les plus directes de la diagonalisation — et un grand classique des concours. De la formule \(A^n = PD^nP^{-1}\) à l’expression explicite de la suite de Fibonacci, cette technique est au programme de Terminale maths expertes (conjecture et récurrence) et traverse tout le programme d’algèbre linéaire en CPGE (diagonalisation, binôme de Newton). Tu trouveras ici les définitions, trois méthodes de calcul détaillées, des exemples résolus et huit exercices corrigés. Conforme aux programmes officiels de Terminale maths expertes et des CPGE scientifiques 2025-2026.
I. Définition et propriétés de \(A^n\)
🔵 Maths Expertes
🟠 Prépa
A. Définition par récurrence
Définition — Puissance d’une matrice
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). On définit la suite \((A^k)_{k \in \mathbb{N}}\) par :
- \(A^0 = I_n\) (matrice identité)
- \(\forall k \in \mathbb{N}, \quad A^{k+1} = A \cdot A^k\)
En particulier, \(A^1 = A\) et \(A^2 = A \cdot A\) (le « carré » de la matrice). La convention \(A^0 = I_n\) est cohérente avec les puissances scalaires et assure la validité des formules pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
B. Puissances négatives
Si \(A\) est inversible, on étend la définition aux exposants négatifs :
\(\forall n \in \mathbb{N}, \quad A^{-n} = (A^{-1})^n\)
On vérifie que \((A^{-1})^n = (A^n)^{-1}\), ce qui justifie la notation sans ambiguïté. Le calcul de \(A^{-n}\) se ramène donc au calcul de \((A^{-1})^n\) ou à l’inversion de \(A^n\).
C. Règles de calcul
Propriétés algébriques
Pour tout \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et tous \(p, q \in \mathbb{N}\) :
- \(A^p \cdot A^q = A^{p+q}\)
- \((A^p)^q = A^{pq}\)
- Si \(A\) est inversible, ces formules s’étendent à \(p, q \in \mathbb{Z}\).
Piège fondamental — Non-commutativité
En général, \((AB)^n \neq A^n B^n\). Cette formule n’est valable que si \(A\) et \(B\) commutent (\(AB = BA\)) :
\(AB = BA \;\Rightarrow\; \forall n \in \mathbb{N}, \quad (AB)^n = A^n B^n\)
C’est cette condition de commutation qui rend possible la méthode du binôme de Newton (section IV) : la matrice scalaire \(\alpha I_n\) commute avec toute matrice.
Exemple — Calcul direct de \(A^2\)
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\). Par multiplication matricielle :
\(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}\)
Ce calcul direct devient impraticable pour \(n\) grand. Les méthodes qui suivent contournent cette difficulté.
II. Calcul direct — Conjecture et démonstration par récurrence
🔵 Maths Expertes
🟠 Prépa
Les propriétés algébriques étant posées, voyons la première méthode concrète de calcul. Pour certaines matrices à structure simple (triangulaires, nilpotentes), on peut deviner l’expression de \(A^n\) en calculant les premières puissances, puis la démontrer rigoureusement.
A. Principe de la méthode
Méthode en 3 étapes
- Calculer \(A^2\), \(A^3\) (éventuellement \(A^4\)).
- Conjecturer une formule explicite pour \(A^n\).
- Démontrer par récurrence sur \(n\) : vérifier l’initialisation en \(n = 0\), puis montrer que \(A^{n+1} = A \cdot A^n\) donne bien la formule au rang \(n+1\).
B. Exemple résolu
Exemple — Matrice triangulaire supérieure
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). Calculer \(A^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Étape 1 — Premières puissances.
\(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Étape 2 — Conjecture : \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
Étape 3 — Démonstration par récurrence.
Initialisation : \(A^0 = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). La formule donne \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). ✓
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\). Alors :
\(A^{n+1} = A \cdot A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
La propriété est héréditaire. Par le principe de récurrence, \(A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). □
Cette méthode atteint ses limites dès que la matrice perd sa structure évidente. La diagonalisation offre une approche systématique.
Fiche méthode — Calcul de Aⁿ en une page
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III. Calcul par diagonalisation
🟠 Prépa uniquement
C’est la méthode la plus puissante et la plus systématique du programme. Si \(A\) est diagonalisable, le calcul de \(A^n\) se ramène au calcul de puissances de scalaires.
A. Théorème fondamental
Théorème ⋆ — Puissance d’une matrice diagonalisable
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) diagonalisable : il existe \(P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) et \(D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) tels que \(A = PDP^{-1}\). Alors, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\(A^n = PD^nP^{-1} \quad \text{où} \quad D^n = \mathrm{diag}(\lambda_1^n, \ldots, \lambda_n^n)\)
B. Démonstration ⋆
Par récurrence sur \(n\).
Initialisation : \(A^0 = I_n = P I_n P^{-1} = PD^0P^{-1}\). ✓
Hérédité : Supposons \(A^n = PD^nP^{-1}\). Alors :
\(A^{n+1} = A \cdot A^n = (PDP^{-1})(PD^nP^{-1}) = PD \underbrace{(P^{-1}P)}_{= I_n} D^n P^{-1} = PD^{n+1}P^{-1}\)
Le résultat est démontré. □
Pourquoi \(D^n\) est-il si simple ?
La puissance d’une matrice diagonale est immédiate : on élève chaque coefficient diagonal à la puissance \(n\). C’est tout l’intérêt de la diagonalisation — transformer un problème matriciel en un problème scalaire.
C. Méthode pas à pas
Calcul de \(A^n\) par diagonalisation — 4 étapes
- Valeurs propres : résoudre \(\det(A – \lambda I_n) = 0\).
- Vecteurs propres : pour chaque \(\lambda_i\), résoudre \((A – \lambda_i I_n)X = 0\). Vérifier que \(A\) est diagonalisable (la somme des dimensions des espaces propres vaut \(n\)).
- Matrice de passage : former \(P\) en juxtaposant les vecteurs propres, calculer \(P^{-1}\).
- Conclure : \(A^n = P \, \mathrm{diag}(\lambda_1^n, \ldots, \lambda_p^n) \, P^{-1}\).
D. Exemple résolu complet
Exemple — Calcul de \(A^n\) par diagonalisation
Soit \(A = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}\). Calculer \(A^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Étape 1 — Valeurs propres.
\(\chi_A(\lambda) = \det(A – \lambda I_2) = (5 – \lambda)(-4 – \lambda) + 18 = \lambda^2 – \lambda – 2 = (\lambda – 2)(\lambda + 1)\)
Les valeurs propres sont \(\lambda_1 = 2\) et \(\lambda_2 = -1\).
Étape 2 — Vecteurs propres.
Pour \(\lambda_1 = 2\) : \(\begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 3 & -6 \end{pmatrix} X = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 2x_2\). On choisit \(v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Pour \(\lambda_2 = -1\) : \(\begin{pmatrix} 6 & -6 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} X = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = x_2\). On choisit \(v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Deux valeurs propres distinctes en dimension 2 : \(A\) est diagonalisable.
Étape 3 — Matrices \(P\) et \(P^{-1}\).
\(P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \det(P) = 1, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)
Étape 4 — Conclusion.
\(A^n = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)
En effectuant le produit :
\(A^n = \begin{pmatrix} 2^{n+1} – (-1)^n & -2^{n+1} + 2(-1)^n \\ 2^n – (-1)^n & -2^n + 2(-1)^n \end{pmatrix}\)
Vérification : pour \(n = 1\), \(\begin{pmatrix} 4+1 & -4-2 \\ 2+1 & -2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} = A\). ✓
Que faire lorsque la matrice n’est pas diagonalisable ? La décomposition en somme d’une matrice scalaire et d’une matrice nilpotente fournit la réponse.
IV. Décomposition \(A = \alpha I + N\) et binôme de Newton
🟠 Prépa uniquement
Lorsque \(A\) possède une seule valeur propre \(\alpha\) sans être diagonalisable, on exploite la structure \(A = \alpha I_n + N\) avec \(N\) nilpotente.
A. Cadre et conditions d’application
Si \(\alpha\) est l’unique valeur propre de \(A\), alors \(N = A – \alpha I_n\) est nilpotente : il existe \(p \in \mathbb{N}^*\) tel que \(N^p = 0\). Puisque \(\alpha I_n\) commute avec toute matrice, la formule du binôme de Newton s’applique.
B. Formule du binôme matriciel
Théorème — Binôme de Newton matriciel
Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telles que \(AB = BA\). Alors, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\((A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} A^{n-k} B^k\)
Appliqué à \(A = \alpha I_n + N\) avec \(N^p = 0\), les termes \(N^k\) s’annulent pour \(k \geq p\). Il reste une somme finie :
\(A^n = \sum_{k=0}^{p-1} {n \choose k} \, \alpha^{n-k} \, N^k\)
Cas \(2 \times 2\) typique
Pour une matrice \(2 \times 2\) de valeur propre double \(\alpha\) et non scalaire, \(N^2 = 0\). La somme se réduit à :
\(A^n = \alpha^n I_2 + n \, \alpha^{n-1} N\)
C. Exemple résolu
Exemple — Matrice non diagonalisable
Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\). Calculer \(A^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Analyse : \(\chi_A(\lambda) = (3 – \lambda)^2\), donc \(\alpha = 3\) est l’unique valeur propre. Posons :
\(N = A – 3I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
On vérifie : \(N^2 = 0\). La matrice \(N\) est nilpotente d’ordre 2.
Application du binôme :
\(A^n = 3^n I_2 + n \cdot 3^{n-1} N = \begin{pmatrix} 3^n & n \cdot 3^{n-1} \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}\)
Vérification : \(A^2 = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\). La formule donne \(\begin{pmatrix} 9 & 2 \cdot 3 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\). ✓
Les puissances de matrices ne sont pas qu’un exercice abstrait : elles permettent de résoudre explicitement des suites récurrentes linéaires, comme on va le voir maintenant.
V. Application aux suites récurrentes linéaires
🔵 Mise en forme matricielle : Maths Expertes
🟠 Résolution par diagonalisation : Prépa
Le calcul de \(A^n\) trouve une application spectaculaire dans l’étude des suites récurrentes linéaires d’ordre 2 (ou plus). L’idée : reformuler la récurrence sous forme matricielle, puis exploiter la diagonalisation pour obtenir une formule explicite.
A. Mise en forme matricielle
Considérons une récurrence linéaire d’ordre 2 : \(u_{n+2} = a \, u_{n+1} + b \, u_n\). En posant :
\(X_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad M = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
le système s’écrit \(X_{n+1} = M X_n\), d’où :
\(X_n = M^n X_0\)
Principe général
Plus largement, tout système linéaire \(\begin{cases} u_{n+1} = \alpha \, u_n + \beta \, v_n \\ v_{n+1} = \gamma \, u_n + \delta \, v_n \end{cases}\) se met sous la forme \(X_{n+1} = MX_n\) avec \(M = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\). La résolution passe par le calcul de \(M^n\).
B. Exemple — La formule de Binet pour la suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci est définie par \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\) et \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\). Trouvons une formule explicite pour \(F_n\).
Étape 1 — Mise en forme matricielle.
On pose \(X_n = \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix}\) et \(M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Alors \(X_{n+1} = MX_n\) et \(X_n = M^n X_0\) avec \(X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Étape 2 — Diagonalisation de \(M\).
\(\chi_M(\lambda) = \lambda^2 – \lambda – 1\)
Les racines sont :
\(\varphi = \displaystyle\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618 \quad (\text{le nombre d’or}) \quad \text{et} \quad \psi = \displaystyle\frac{1 – \sqrt{5}}{2} \approx -0{,}618\)
On note \(\varphi – \psi = \sqrt{5}\). Les vecteurs propres associés sont \(v_1 = \begin{pmatrix} \varphi \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(v_2 = \begin{pmatrix} \psi \\ 1 \end{pmatrix}\).
Étape 3 — Calcul de \(M^n\) et extraction de \(F_n\).
La matrice de passage est \(P = \begin{pmatrix} \varphi & \psi \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) avec \(P^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & -\psi \\ -1 & \varphi \end{pmatrix}\).
Après calcul de \(X_n = M^n X_0 = P \, \mathrm{diag}(\varphi^n, \psi^n) \, P^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), on obtient :
Formule de Binet :
\(F_n = \displaystyle\frac{\varphi^n – \psi^n}{\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \displaystyle\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{\!n} – \left( \displaystyle\frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right)^{\!n} \right]\)
Vérification : \(F_0 = \displaystyle\frac{1 – 1}{\sqrt{5}} = 0\) ✓, \(F_1 = \displaystyle\frac{\varphi – \psi}{\sqrt{5}} = 1\) ✓, \(F_2 = \displaystyle\frac{\varphi^2 – \psi^2}{\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{(\varphi – \psi)(\varphi + \psi)}{\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{\sqrt{5} \cdot 1}{\sqrt{5}} = 1\) ✓.
Comme \(|\psi|\) < \(1\), la quantité \(\psi^n\) tend vers 0. Pour \(n\) grand, \(F_n \approx \displaystyle\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\) : la suite de Fibonacci croît essentiellement comme une puissance du nombre d’or. Ce résultat remarquable — une formule exacte pour une suite d’entiers faisant intervenir \(\sqrt{5}\) — illustre toute la puissance de la diagonalisation.
VI. Quelle méthode choisir ?
Face à un exercice demandant \(A^n\), le choix de la méthode dépend de la structure de \(A\). Voici un guide de décision :
| Méthode | Quand l’utiliser | Avantages | Limites |
|---|---|---|---|
| Conjecture + récurrence | Structure évidente (triangulaire, \(A^2 = A\), \(A^2 = I\), \(A^k = 0\)) | Élémentaire, aucun prérequis | Nécessite de deviner la formule |
| Diagonalisation \(A^n = PD^nP^{-1}\) | \(A\) diagonalisable (valeurs propres distinctes, ou multiplicités compatibles) | Systématique, puissant | Impossible si \(A\) non diagonalisable |
| Binôme \((\alpha I + N)^n\) | Valeur propre unique \(\alpha\), \(A – \alpha I\) nilpotente | Gère certains cas non diagonalisables | Limité aux matrices nilpotentes |
Arbre de décision rapide
- \(A\) a une structure spéciale (\(A^2 = A\), \(A^2 = I\), \(A^k = 0\), triangulaire simple) → conjecture + récurrence.
- \(A\) possède des valeurs propres distinctes → diagonalisation (méthode de choix).
- \(A\) a une valeur propre unique \(\alpha\) et \(A \neq \alpha I_n\) → binôme.
- Cas mixte (valeurs propres multiples, non diagonalisable) → trigonalisation ou Cayley-Hamilton (programme MP/PC).
Passons à la pratique avec huit exercices corrigés, classés par difficulté croissante.
VII. Exercices corrigés
Voici huit exercices classés de ★ (application directe) à ★★★ (niveau concours). Chaque correction est détaillée pas à pas.
Exercice 1 — Puissance d’une matrice diagonale (★ 🔵 Maths Expertes)
Soit \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\). Calculer \(D^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Voir la correction
Pour une matrice diagonale, on élève chaque coefficient diagonal à la puissance \(n\) :
\(D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix}\)
On peut le vérifier par récurrence immédiate, ou le voir comme le cas \(P = I_2\) dans la formule \(A^n = PD^nP^{-1}\).
Exercice 2 — Conjecture et récurrence (★ 🔵 Maths Expertes)
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). Calculer \(A^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Voir la correction
Premières puissances : \(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
Conjecture : \(A^n = \begin{pmatrix} 1 & 3n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
Récurrence :
Init : \(A^0 = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(3 \cdot 0 = 0\). ✓
Hérédité : \(A^{n+1} = A \cdot A^n = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3n + 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3(n+1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). ✓
Remarque : on retrouve le même résultat par la méthode du binôme (\(A = I + N\) avec \(N = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(N^2 = 0\)).
Exercice 3 — Diagonalisation 2×2 (★★)
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). Calculer \(A^n\) par diagonalisation.
Voir la correction
Valeurs propres : \(\chi_A(\lambda) = (2 – \lambda)^2 – 1 = \lambda^2 – 4\lambda + 3 = (\lambda – 3)(\lambda – 1)\).
D’où \(\lambda_1 = 3\) et \(\lambda_2 = 1\).
Vecteurs propres :
- \(\lambda_1 = 3\) : \((A – 3I)X = 0 \Rightarrow x_1 = x_2\). On prend \(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).
- \(\lambda_2 = 1\) : \((A – I)X = 0 \Rightarrow x_1 = -x_2\). On prend \(v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\).
Matrice de passage : \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\), \(\det(P) = -2\), \(P^{-1} = \displaystyle\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\).
Résultat :
\(A^n = \displaystyle\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3^n + 1 & 3^n – 1 \\ 3^n – 1 & 3^n + 1 \end{pmatrix}\)
Vérification : \(n = 1 \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = A\). ✓
Exercice 4 — Binôme de Newton 3×3 (★★)
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\). Calculer \(A^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Voir la correction
L’unique valeur propre est \(\alpha = 2\). Posons \(N = A – 2I_3\) :
\(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad N^3 = 0\)
\(N\) est nilpotente d’ordre 3. Par le binôme :
\(A^n = 2^n I_3 + n \cdot 2^{n-1} N + {n \choose 2} \cdot 2^{n-2} N^2\)
Soit :
\(A^n = \begin{pmatrix} 2^n & n \cdot 2^{n-1} & {n \choose 2} \cdot 2^{n-2} \\ 0 & 2^n & n \cdot 2^{n-1} \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix}\)
où \({n \choose 2} = \displaystyle\frac{n(n-1)}{2}\) (avec la convention \({0 \choose 2} = {1 \choose 2} = 0\)).
Vérification : \(n = 2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 4 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\). On retrouve bien \(A^2\) par calcul direct. ✓
Exercice 5 — Suite récurrente linéaire (★★)
On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par \(u_0 = 1\), \(v_0 = 0\) et :
\(\begin{cases} u_{n+1} = 3u_n + v_n \\ v_{n+1} = u_n + 3v_n \end{cases}\)
Exprimer \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\).
Voir la correction
Mise en forme matricielle : \(X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}\), \(M = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\), \(X_n = M^n X_0\).
Diagonalisation : \(\chi_M(\lambda) = (3-\lambda)^2 – 1 = \lambda^2 – 6\lambda + 8 = (\lambda – 4)(\lambda – 2)\).
Valeurs propres : \(\lambda_1 = 4\) (vecteur propre \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)) et \(\lambda_2 = 2\) (vecteur propre \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)).
Après calcul de \(M^n\) :
\(M^n = \displaystyle\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n – 2^n \\ 4^n – 2^n & 4^n + 2^n \end{pmatrix}\)
Conclusion : \(X_n = M^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) donne :
\(u_n = \displaystyle\frac{4^n + 2^n}{2}, \quad v_n = \displaystyle\frac{4^n – 2^n}{2}\)
Vérification : \(u_0 = \displaystyle\frac{1+1}{2} = 1\) ✓, \(v_0 = \displaystyle\frac{1-1}{2} = 0\) ✓, \(u_1 = \displaystyle\frac{4+2}{2} = 3 = 3 \cdot 1 + 0\) ✓.
Exercice 6 — Matrice involutive (★★ 🔵 Maths Expertes)
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que \(A^2 = I_n\). Exprimer \(A^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Voir la correction
La relation \(A^2 = I_n\) entraîne \(A^{n+2} = A^n \cdot A^2 = A^n\) pour tout \(n\). La suite \((A^n)\) est donc 2-périodique.
- Si \(n\) est pair : \(n = 2k\), donc \(A^n = (A^2)^k = I_n^k = I_n\).
- Si \(n\) est impair : \(n = 2k+1\), donc \(A^n = A^{2k} \cdot A = I_n \cdot A = A\).
Formule compacte :
\(A^n = \displaystyle\frac{1 + (-1)^n}{2} \, I_n + \displaystyle\frac{1 – (-1)^n}{2} \, A\)
(Les coefficients valent \((1, 0)\) si \(n\) pair, \((0, 1)\) si \(n\) impair.)
Exercice 7 — Matrice de rotation (★★★)
Soit \(\theta \in \mathbb{R}\) et \(R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\). Démontrer que \(R_\theta^{\,n} = R_{n\theta}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Voir la correction
Par récurrence sur \(n\).
Initialisation : \(R_\theta^{\,0} = I_2\) et \(R_0 = I_2\). ✓
Hérédité : Supposons \(R_\theta^{\,n} = R_{n\theta}\). Alors :
\(R_\theta^{\,n+1} = R_\theta \cdot R_{n\theta} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{pmatrix}\)
Le coefficient \((1,1)\) vaut \(\cos\theta \cos(n\theta) – \sin\theta \sin(n\theta) = \cos((n+1)\theta)\) par la formule d’addition.
De même, le coefficient \((2,1)\) vaut \(\sin\theta \cos(n\theta) + \cos\theta \sin(n\theta) = \sin((n+1)\theta)\).
On vérifie de la même manière les deux autres coefficients. Ainsi \(R_\theta^{\,n+1} = R_{(n+1)\theta}\). □
Interprétation géométrique : composer \(n\) rotations d’angle \(\theta\) donne une rotation d’angle \(n\theta\). Le résultat s’étend à \(n \in \mathbb{Z}\) puisque \(R_\theta\) est inversible (\(R_\theta^{-1} = R_{-\theta}\)).
Exercice 8 — Matrice de permutation circulaire (★★★ 🔵 Accessible Maths Expertes)
Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\).
- Montrer que \(A^3 = I_3\).
- En déduire \(A^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), en distinguant les cas selon \(n \bmod 3\).
Voir la correction
1. Calcul direct :
\(A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^3 = A \cdot A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3\) ✓
(La matrice \(A\) représente la permutation circulaire \((1 \; 2 \; 3)\) d’ordre 3.)
2. Effectuons la division euclidienne de \(n\) par 3 : \(n = 3q + r\) avec \(r \in \{0, 1, 2\}\). Alors :
\(A^n = A^{3q + r} = (A^3)^q \cdot A^r = I_3^q \cdot A^r = A^r\)
Conclusion :
- Si \(n \equiv 0 \pmod{3}\) : \(A^n = I_3\)
- Si \(n \equiv 1 \pmod{3}\) : \(A^n = A\)
- Si \(n \equiv 2 \pmod{3}\) : \(A^n = A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)
Remarque : cette technique fonctionne chaque fois qu’une relation \(A^k = I_n\) est connue. On réduit le problème à la division euclidienne par \(k\).
VIII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Avant de conclure, passons en revue les erreurs les plus fréquentes en DS et en concours.
Piège 1 — Distribuer les puissances dans un produit
❌ Copie fautive : « On a \((AB)^n = A^nB^n\), donc… »
Diagnostic : la formule \((AB)^n = A^nB^n\) est fausse en général. Elle n’est valable que si \(AB = BA\). Rappel : \((AB)^2 = ABAB \neq A^2B^2\) sauf commutation.
✅ Correction : « Puisque \(AB = BA\) (le justifier !), on peut appliquer \((AB)^n = A^nB^n\). »
Piège 2 — Écrire \(A^n = P^nD^n(P^{-1})^n\)
❌ Copie fautive : « \(A^n = (PDP^{-1})^n = P^nD^nP^{-n}\) »
Diagnostic : on ne peut pas distribuer les puissances car \(P\), \(D\) et \(P^{-1}\) ne commutent pas en général. Le télescopage \(P^{-1}P = I\) est le mécanisme essentiel de la preuve — il donne un unique \(P\) à gauche et un unique \(P^{-1}\) à droite.
✅ Correction : « \(A^n = PD^nP^{-1}\) (une seule matrice \(P\) et une seule matrice \(P^{-1}\)). »
Piège 3 — Oublier de vérifier la diagonalisabilité
❌ Copie fautive : « Le polynôme caractéristique est \((\lambda – 2)^2\), donc \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) et \(A^n = PD^nP^{-1} = 2^n I_2\). »
Diagnostic : une valeur propre double ne garantit pas la diagonalisabilité. Il faut vérifier que \(\dim(E_2) = 2\). Si \(\dim(E_2) = 1\), la matrice n’est pas diagonalisable et il faut utiliser le binôme de Newton.
✅ Correction : « \(\chi_A(\lambda) = (\lambda – 2)^2\) et \(\dim(E_2) = 1 \neq 2\) : \(A\) n’est pas diagonalisable. On utilise la décomposition \(A = 2I + N\). »
IX. Questions fréquentes
Comment calculer une matrice à la puissance n ?
Trois méthodes principales : (1) conjecturer la formule à partir des premières puissances et démontrer par récurrence ; (2) si la matrice est diagonalisable, utiliser la formule \(A^n = PD^nP^{-1}\) où \(D^n\) s’obtient en élevant chaque valeur propre à la puissance \(n\) ; (3) si la matrice a une valeur propre unique \(\alpha\), écrire \(A = \alpha I + N\) avec \(N\) nilpotente et appliquer le binôme de Newton.
Quelle est la règle de puissance pour les matrices ?
Les règles \(A^p \cdot A^q = A^{p+q}\) et \((A^p)^q = A^{pq}\) sont valables pour toute matrice carrée. En revanche, \((AB)^n = A^nB^n\) n’est vraie que si \(A\) et \(B\) commutent (\(AB = BA\)). C’est la différence fondamentale avec les puissances de scalaires.
Que vaut A puissance 0 pour une matrice quelconque ?
Par convention, \(A^0 = I_n\) (la matrice identité) pour toute matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), même si \(A\) est la matrice nulle. Cette convention assure la cohérence de la formule \(A^p \cdot A^q = A^{p+q}\) avec \(q = 0\).
Peut-on toujours calculer A^n par diagonalisation ?
Non. La méthode \(A^n = PD^nP^{-1}\) nécessite que \(A\) soit diagonalisable. Si le polynôme caractéristique a des racines multiples et que les espaces propres n’ont pas la bonne dimension, \(A\) n’est pas diagonalisable. On utilise alors le binôme de Newton (valeur propre unique) ou, en MP/PC, la trigonalisation.
Quelle est la différence entre diagonalisation et décomposition en binôme pour calculer A^n ?
La diagonalisation (\(A = PDP^{-1}\)) fonctionne quand \(A\) est diagonalisable : on obtient \(A^n = PD^nP^{-1}\). La décomposition \(A = \alpha I + N\) s’applique quand \(A\) a une unique valeur propre \(\alpha\) et n’est pas diagonalisable : \(N = A – \alpha I\) est nilpotente et le binôme donne une somme finie. Les deux méthodes sont complémentaires.
À quoi sert le calcul de A^n en pratique ?
La principale application est la résolution de suites récurrentes linéaires : en posant le problème sous forme matricielle \(X_{n+1} = MX_n\), on obtient \(X_n = M^nX_0\). C’est ainsi qu’on démontre la formule de Binet pour la suite de Fibonacci. Le calcul de \(A^n\) intervient aussi dans les systèmes dynamiques discrets, les chaînes de Markov et l’exponentielle de matrice.
Comment calculer A^n si A n'est pas diagonalisable et a plusieurs valeurs propres ?
C’est le cas le plus délicat, relevant du programme de MP/PC. On peut utiliser la trigonalisation (\(A = PTP^{-1}\) avec \(T\) triangulaire supérieure) ou le théorème de Cayley-Hamilton pour exprimer \(A^n\) comme combinaison linéaire de \(I, A, \ldots, A^{p-1}\). En MPSI/PCSI, les énoncés se limitent généralement au cas diagonalisable ou au cas d’une valeur propre unique.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais les trois méthodes fondamentales de calcul de \(A^n\). Pour approfondir :
- Diagonalisation d’une matrice — la théorie complète derrière \(A = PDP^{-1}\).
- Valeurs propres et vecteurs propres — comment calculer le spectre.
- Matrice nilpotente — les propriétés de \(N\) dans la décomposition \(\alpha I + N\).
- Matrice de changement de base — le lien entre \(P\) et les bases de vecteurs propres.
- Trace d’une matrice — la trace égale la somme des valeurs propres, utile pour vérifier un calcul.
- Exercices corrigés sur les matrices — pour t’entraîner sur l’ensemble du chapitre.
