Déterminant d’une Matrice : Définition, Calcul, Propriétés et Exercices Corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur

Le déterminant est un invariant fondamental associé à toute matrice carrée. Il caractérise l’inversibilité, intervient dans les formules de Cramer et le calcul des valeurs propres, et possède une interprétation géométrique profonde (aire, volume, orientation). Tu trouveras ici la construction du déterminant, ses propriétés fondamentales avec les démonstrations exigibles, les méthodes de calcul et 8 exercices corrigés de difficulté croissante.

I. Définition du déterminant

A. Le cas 2×2 et motivation

En dimension 2, le déterminant d’une matrice \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\) est le scalaire :

\(\det(A) = ad – bc\)

Ce nombre caractérise l’inversibilité de \(A\) : la matrice est inversible si et seulement si \(\det(A) \neq 0\), et dans ce cas :

\(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)

Pour un traitement complet du cas 2×2, consulte la page dédiée à l’inverse d’une matrice 2×2. L’enjeu est maintenant de généraliser cette construction à toute dimension \(n \geq 1\).

B. Mineurs et cofacteurs

Avant de définir le déterminant en dimension quelconque, introduisons les outils nécessaires à la récurrence.

Le signe \((-1)^{i+j}\) suit un damier :

\(\begin{pmatrix} + & – & + & \cdots \\ – & + & – & \cdots \\ + & – & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}\)

C. Définition par récurrence

Un résultat fondamental affirme que ce calcul ne dépend pas du choix de la ligne (ni de la colonne) utilisée pour le développement.

D. Caractérisation axiomatique et formule de Leibniz

La construction par récurrence peut sembler dépendante d’un choix arbitraire (la ligne de développement). La caractérisation axiomatique élimine cette ambiguïté.

Cette caractérisation est un outil de démonstration extrêmement puissant : pour prouver une propriété du déterminant, il suffit de vérifier qu’elle découle de ces trois axiomes.

L’existence est assurée par la formule de Leibniz, qui fournit une expression explicite :

L’unicité découle du fait que toute forme \(n\)-linéaire alternée sur \(\mathbb{K}^n\) est proportionnelle au déterminant. Puisque la normalisation fixe la constante de proportionnalité à 1, le déterminant est unique.

---

II. Propriétés fondamentales du déterminant

Les propriétés ci-dessous découlent directement de la caractérisation axiomatique. Certaines démonstrations sont marquées ⋆ (exigibles en colle et concours).

A. Multilinéarité et caractère alterné

Notons \(C_1, \ldots, C_n\) les colonnes de \(A\). L’application \(\det\) est :

• Linéaire en chaque colonne : pour tout \(j\), si \(C_j = \lambda C_j^\prime + \mu C_j^{\prime\prime}\) (les autres colonnes étant fixées), alors \(\det(\ldots, C_j, \ldots) = \lambda\,\det(\ldots, C_j^\prime, \ldots) + \mu\,\det(\ldots, C_j^{\prime\prime}, \ldots)\).
• Alternée : si l’on échange deux colonnes, le déterminant change de signe.

Démonstration

Soient \(C_i\) et \(C_j\) deux colonnes de \(A\) avec \(i \neq j\). Posons \(C_i + C_j\) à la place de \(C_i\) et de \(C_j\) simultanément. Par alternance (deux colonnes égales) :

\(0 = \det(\ldots, C_i + C_j, \ldots, C_i + C_j, \ldots)\)

En développant par bilinéarité sur les colonnes \(i\) et \(j\) :

\(0 = \det(\ldots, C_i, \ldots, C_i, \ldots) + \det(\ldots, C_i, \ldots, C_j, \ldots) + \det(\ldots, C_j, \ldots, C_i, \ldots) + \det(\ldots, C_j, \ldots, C_j, \ldots)\)

Le premier et le dernier terme sont nuls (colonnes égales). Donc \(\det(\ldots, C_j, \ldots, C_i, \ldots) = -\det(\ldots, C_i, \ldots, C_j, \ldots)\). ■

Une conséquence immédiate de la multilinéarité :

Démonstration

Chaque colonne de \(\lambda A\) est \(\lambda\) fois la colonne correspondante de \(A\). Par linéarité en chacune des \(n\) colonnes, on sort \(\lambda\) à chaque fois : \(\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)\). ■

B. Effet des opérations élémentaires sur le déterminant

Les opérations élémentaires sur les lignes (ou colonnes) ont un effet simple et prévisible sur le déterminant. C’est la clé des méthodes de calcul pratiques.

Les mêmes résultats valent pour les opérations sur les colonnes.

Démonstration (ajout d’un multiple)

Notons \(C_1, \ldots, C_n\) les colonnes de \(A\). L’opération \(C_i \leftarrow C_i + \lambda C_j\) donne :

\(\det(\ldots, C_i + \lambda C_j, \ldots, C_j, \ldots) = \det(\ldots, C_i, \ldots, C_j, \ldots) + \lambda\,\det(\ldots, C_j, \ldots, C_j, \ldots)\)

Le second terme est nul (deux colonnes identiques). Donc le déterminant est inchangé. ■

C. Déterminant d’un produit ⋆

Démonstration ⋆

Fixons \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et considérons l’application \(\varphi : B \mapsto \det(AB)\).

Étape 1 — \(\varphi\) est \(n\)-linéaire alternée. Si \(B\) a pour colonnes \(C_1, \ldots, C_n\), alors \(AB\) a pour colonnes \(AC_1, \ldots, AC_n\). L’application \(C_j \mapsto \det(\ldots, AC_j, \ldots)\) est linéaire (car le produit matrice-vecteur est linéaire et \(\det\) est linéaire en chaque colonne). Si deux colonnes de \(B\) sont égales, deux colonnes de \(AB\) le sont aussi, donc \(\varphi(B) = 0\). Ainsi \(\varphi\) est \(n\)-linéaire alternée.

Étape 2 — Conclusion par unicité. Par la caractérisation axiomatique, toute forme \(n\)-linéaire alternée est proportionnelle à \(\det\) : il existe \(\alpha \in \mathbb{K}\) tel que \(\varphi(B) = \alpha \cdot \det(B)\) pour toute \(B\). En prenant \(B = I_n\) : \(\alpha = \varphi(I_n) = \det(A \cdot I_n) = \det(A)\). D’où \(\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)\). ■

D. Déterminant de la transposée ⋆

Démonstration ⋆

On utilise la formule de Leibniz. Par définition de la transposée, \(({}^tA)_{i,j} = a_{j,i}\). Donc :

\(\det\!\left({}^tA\right) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),i}\)

Effectuons le changement d’indice \(\tau = \sigma^{-1}\). Quand \(\sigma\) parcourt \(\mathfrak{S}_n\), \(\tau\) le parcourt aussi. De plus \(\varepsilon(\sigma^{-1}) = \varepsilon(\sigma)\) et :

\(\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),i} = \prod_{j=1}^{n} a_{j,\sigma^{-1}(j)} = \prod_{j=1}^{n} a_{j,\tau(j)}\)

(en posant \(j = \sigma(i)\), donc \(i = \tau(j)\)). Ainsi :

\(\det\!\left({}^tA\right) = \sum_{\tau \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\tau) \prod_{j=1}^{n} a_{j,\tau(j)} = \det(A)\) ■

E. Déterminant et inversibilité ⋆

Démonstration ⋆

Sens \(\Rightarrow\) : si \(A\) est inversible, alors \(AA^{-1} = I_n\). Par la propriété multiplicative : \(\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = \det(I_n) = 1\). Donc \(\det(A) \neq 0\).

Sens \(\Leftarrow\) : si \(\det(A) \neq 0\), on réduit \(A\) par opérations élémentaires sur les lignes en une matrice triangulaire \(T\). Chaque opération « \(L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j\) » ne change pas le déterminant ; chaque échange multiplie par \(-1\). Donc \(\det(T) = \pm\, \det(A) \neq 0\). Les coefficients diagonaux de \(T\) sont tous non nuls (car leur produit vaut \(\det(T)\)). On poursuit la réduction pour obtenir \(I_n\) : \(A\) est donc inversible. ■

Ce théorème relie trois caractérisations équivalentes de l’inversibilité :

\(A \text{ inversible} \iff \det(A) \neq 0 \iff \mathrm{rg}(A) = n\)

Pour une étude complète des critères d’inversibilité, consulte la page matrice inversible : définition, critères et déterminant.

---

III. Méthodes de calcul du déterminant

En pratique, deux grandes stratégies se complètent : le développement selon une ligne/colonne bien choisie et la triangularisation par pivot de Gauss.

A. Développement selon une ligne ou une colonne

Le principe est simple : choisir la ligne (ou la colonne) contenant le plus de zéros, puis développer.

Pour les techniques spécifiques aux matrices 3×3 (règle de Sarrus) et 4×4 (développement par cofacteurs), consulte les pages dédiées : déterminant d’une matrice 3×3 et déterminant d’une matrice 4×4.

B. Triangularisation par opérations élémentaires

Pour les matrices de grande taille ou sans zéro « offert », la méthode la plus efficace consiste à réduire la matrice sous forme triangulaire par la méthode de Gauss, en comptabilisant les modifications du déterminant.

C. Quelle méthode choisir ?

Le choix de la méthode dépend de la structure de la matrice. Voici un arbre décisionnel :

---

IV. Déterminants classiques en prépa

Certains déterminants apparaissent si fréquemment en exercices et concours qu’il faut les connaître par cœur ou savoir les retrouver rapidement.

A. Matrices triangulaires et diagonales

Démonstration

Par récurrence sur \(n\). Pour \(n = 1\), c’est immédiat. Si \(T\) est triangulaire supérieure de taille \(n\), on développe selon la première colonne : le seul terme non nul est \(t_{1,1} \cdot M_{1,1}\), où \(M_{1,1}\) est le déterminant de la sous-matrice triangulaire supérieure de taille \(n-1\). Par hypothèse de récurrence : \(\det(T) = t_{1,1} \cdot \prod_{i=2}^{n} t_{i,i} = \prod_{i=1}^{n} t_{i,i}\). ■

B. Déterminant par blocs triangulaires

Démonstration (cas triangulaire supérieur par blocs)

Fixons \(D\) et considérons l’application \(\varphi : A \mapsto \det(M)\). Elle est \(p\)-linéaire alternée en les colonnes de \(A\) (car les \(p\) premières colonnes de \(M\) ont la forme \(\begin{pmatrix} c_j \\ 0 \end{pmatrix}\) où \(c_j\) est la colonne \(j\) de \(A\)). Par unicité : \(\varphi(A) = \varphi(I_p) \cdot \det(A)\). Or \(\varphi(I_p) = \det\begin{pmatrix} I_p & B \\ 0 & D \end{pmatrix}\). En développant (ou par triangularisation), on montre que \(\varphi(I_p) = \det(D)\). D’où le résultat. ■

C. Déterminant de Vandermonde

Le déterminant de Vandermonde est un grand classique des exercices et concours. Sa formule est à connaître et sa démonstration est un modèle de récurrence.

Démonstration par récurrence ⋆

Initialisation : pour \(n = 2\), \(V_2 = \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{vmatrix} = x_2 – x_1\). ✓

Hérédité : supposons la formule vraie au rang \(n – 1\). Effectuons les opérations \(C_j \leftarrow C_j – x_1 C_{j-1}\) pour \(j = n, n-1, \ldots, 2\) (ces opérations ne changent pas le déterminant). La première ligne devient \((1, 0, 0, \ldots, 0)\). Pour \(i \geq 2\), le coefficient de la ligne \(i\) en colonne \(j\) (\(j \geq 2\)) devient :

\(x_i^{j-1} – x_1 \cdot x_i^{j-2} = x_i^{j-2}(x_i – x_1)\)

On développe selon la première ligne. Le seul terme non nul est celui de la colonne 1. On factorise \((x_i – x_1)\) dans chaque ligne \(i \geq 2\) :

\(V_n = \prod_{i=2}^{n} (x_i – x_1) \cdot V_{n-1}(x_2, \ldots, x_n)\)

Par hypothèse de récurrence :

\(V_n = \prod_{i=2}^{n} (x_i – x_1) \cdot \prod_{2 \leq i < j \leq n} (x_j – x_i) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j – x_i)\) ■

---

V. Applications du déterminant

Au-delà du calcul pur, le déterminant intervient dans de nombreux résultats d’algèbre linéaire et d’analyse.

A. Formules de Cramer

B. Comatrice et calcul de l’inverse

La comatrice (ou matrice des cofacteurs) de \(A\) est la matrice \(\mathrm{Com}(A) = (C_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}\).

Pour un traitement approfondi de la comatrice et de ses applications, consulte la page matrice adjointe. Pour les différentes méthodes de calcul de l’inverse, voir inverse d’une matrice.

C. Interprétation géométrique

C’est l’un des aspects les plus riches du déterminant, et pourtant l’un des moins traités en CPGE.

En dimension 2, si \(u = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}\) et \(v = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}\), alors :

\(\left|\det(u, v)\right| = |ad – bc| = \text{aire du parallélogramme engendré par } u \text{ et } v\)

En dimension 3, \(|\det(u, v, w)|\) donne le volume du parallélépipède engendré par les trois vecteurs.

En général, le signe du déterminant indique l’orientation : un déterminant positif signifie que la famille de vecteurs a la même orientation que la base canonique ; un déterminant négatif signifie une orientation inverse.

D. Jacobien et changement de variables

En analyse, le jacobien d’un changement de variables \(\varphi : U \to V\) est le déterminant de la matrice jacobienne \(J_\varphi = \left(\displaystyle\frac{\partial \varphi_i}{\partial x_j}\right)\). Il intervient dans la formule de changement de variables pour les intégrales multiples :

\(\int_V f(y)\,\mathrm{d}y = \int_U f(\varphi(x)) \cdot |\det(J_\varphi(x))|\,\mathrm{d}x\)

C’est le lien naturel entre le déterminant et l’intégration — le facteur \(|\det(J_\varphi)|\) mesure le « facteur de dilatation locale » du changement de variables.

---

VI. Exercices corrigés

Voici 8 exercices classés par difficulté croissante, couvrant les méthodes et propriétés fondamentales. Les corrections sont détaillées pas à pas.

Exercice 1 (★) (I) — Développement selon une colonne

Calculer \(\det(A)\) avec \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\).

Voir la correction

La colonne 1 contient un zéro (coefficient \(a_{2,1} = 0\)). Développons selon \(C_1\) :

\(\det(A) = 2 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 0 + 1 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 4 \end{vmatrix}\) \(= 2 \cdot (-2 – 0) + 1 \cdot (4 – (-3)) = 2 \times (-2) + 1 \times 7 = -4 + 7 = 3\)

Donc \(\det(A) = 3\).

---

Exercice 2 (★) — Déterminant par blocs

Calculer le déterminant de \(M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 7 \end{pmatrix}\).

Voir la correction

La matrice \(M\) est triangulaire supérieure par blocs : \(M = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix}\) avec \(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}\).

Par le théorème du déterminant par blocs :

\(\det(M) = \det(A) \cdot \det(D) = (8 – 3)(21 + 2) = 5 \times 23 = 115\)

---

Exercice 3 (★★) (I) — Triangularisation d’un déterminant 4×4

Calculer \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}\).

Voir la correction

On effectue \(L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1\), \(L_3 \leftarrow L_3 – 3L_1\), \(L_4 \leftarrow L_4 – 4L_1\) :

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \end{vmatrix}\)

Puis \(L_3 \leftarrow L_3 – 2L_2\) et \(L_4 \leftarrow L_4 – 7L_2\) :

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 36 \end{vmatrix}\)

Enfin \(L_4 \leftarrow L_4 + L_3\) :

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 40 \end{vmatrix}\)

Aucun échange de lignes. Le déterminant est le produit des coefficients diagonaux :

\(\det = 1 \times (-1) \times (-4) \times 40 = 160\)

---

Exercice 4 (★★) — Déterminant paramétré et inversibilité

Déterminer les valeurs de \(\lambda \in \mathbb{R}\) pour lesquelles la matrice \(A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}\) n’est pas inversible.

Voir la correction

\(A\) n’est pas inversible si et seulement si \(\det(A) = 0\). Effectuons \(C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3\) :

\(\det(A) = \begin{vmatrix} \lambda + 2 & 1 & 1 \\ \lambda + 2 & \lambda & 1 \\ \lambda + 2 & 1 & \lambda \end{vmatrix}\)

On factorise \((\lambda + 2)\) dans la première colonne :

\(\det(A) = (\lambda + 2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}\)

Puis \(L_2 \leftarrow L_2 – L_1\) et \(L_3 \leftarrow L_3 – L_1\) :

\(\det(A) = (\lambda + 2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda – 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda – 1 \end{vmatrix} = (\lambda + 2)(\lambda – 1)^2\)

Donc \(\det(A) = 0 \iff \lambda = -2\) ou \(\lambda = 1\).

Remarque : les valeurs \(\lambda = -2\) et \(\lambda = 1\) sont les valeurs propres de la matrice \(J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) (car \(A = \lambda I_3 – J\) à signe près). Le lien \(\det(A – \lambda I) = 0\) est le polynôme caractéristique.

---

Exercice 5 (★★) — Formules de Cramer

Résoudre le système suivant par les formules de Cramer :

\(\begin{cases} 2x + y – z = 3 \\ x – y + 2z = 1 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}\)

Voir la correction

Calculons \(\det(A)\) avec \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\).

Développement selon \(L_1\) :

\(\det(A) = 2(-1-4) – 1(1-6) + (-1)(2+3) = -10 + 5 – 5 = -10\)

Comme \(\det(A) = -10 \neq 0\), le système admet une solution unique.

\(\det(A_1) = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3(-1-4) – 1(1-8) + (-1)(2+4) = -15 + 7 – 6 = -14\) \(\det(A_2) = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 2(1-8) – 3(1-6) + (-1)(4-3) = -14 + 15 – 1 = 0\) \(\det(A_3) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 2(-4-2) – 1(4-3) + 3(2+3) = -12 – 1 + 15 = 2\)

D’où : \(x = \displaystyle\frac{-14}{-10} = \displaystyle\frac{7}{5}\), \(y = \displaystyle\frac{0}{-10} = 0\), \(z = \displaystyle\frac{2}{-10} = -\displaystyle\frac{1}{5}\).

---

Exercice 6 (★★★) — Vandermonde en dimension 4

Calculer \(V = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{vmatrix}\).

Voir la correction

C’est le déterminant de Vandermonde \(V_4(1, 2, 3, 4)\). Par la formule :

\(V_4 = \prod_{1 \leq i < j \leq 4} (x_j – x_i)\)

Énumérons tous les facteurs :

• \((x_2 – x_1) = 1\)
• \((x_3 – x_1) = 2\)
• \((x_4 – x_1) = 3\)
• \((x_3 – x_2) = 1\)
• \((x_4 – x_2) = 2\)
• \((x_4 – x_3) = 1\)

Donc \(V_4 = 1 \times 2 \times 3 \times 1 \times 2 \times 1 = 12\).

Vérification : on peut aussi effectuer les opérations \(C_j \leftarrow C_j – C_{j-1}\) pour \(j = 4, 3, 2\) et réduire à un Vandermonde de taille 3, ce qui confirme le résultat.

---

Exercice 7 (★★★) — Déterminant tridiagonal par récurrence

Soit \(D_n\) le déterminant de la matrice tridiagonale de taille \(n\) :

\(T_n = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 2 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)

1. Montrer que \(D_n = 2D_{n-1} – D_{n-2}\) pour \(n \geq 3\).

2. En déduire \(D_n\) pour tout \(n \geq 1\).

Voir la correction

1. Développons \(D_n\) selon la première colonne :

\(D_n = 2 \cdot M_{1,1} + 1 \cdot (-1)^{2+1} \cdot M_{2,1}\)

Le mineur \(M_{1,1}\) est le déterminant de la sous-matrice tridiagonale de taille \(n-1\) (même structure), donc \(M_{1,1} = D_{n-1}\).

Le mineur \(M_{2,1}\) est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne 2 et la colonne 1. Sa première ligne est \((1, 0, \ldots, 0)\) (car \(a_{1,2} = 1\) et \(a_{1,j} = 0\) pour \(j \geq 3\)). En développant selon cette première ligne : \(M_{2,1} = 1 \cdot D_{n-2}\).

D’où : \(D_n = 2D_{n-1} – D_{n-2}\).

2. Valeurs initiales : \(D_1 = 2\), \(D_2 = 2 \times 2 – 1 = 3\).

L’équation caractéristique de la récurrence \(D_n – 2D_{n-1} + D_{n-2} = 0\) est \(r^2 – 2r + 1 = 0\), soit \((r – 1)^2 = 0\). Racine double \(r = 1\).

La solution générale est \(D_n = (\alpha + \beta n) \cdot 1^n = \alpha + \beta n\).

Avec \(D_1 = 2 : \alpha + \beta = 2\) et \(D_2 = 3 : \alpha + 2\beta = 3\). D’où \(\beta = 1\), \(\alpha = 1\).

\(\fbox{D_n = n + 1}\)

Vérification : \(D_3 = 2 \times 3 – 2 = 4 = 3 + 1\) ✓ ; \(D_4 = 2 \times 4 – 3 = 5 = 4 + 1\) ✓.

---

Exercice 8 (★★★) — Déterminant, trace et polynôme caractéristique (type concours)

Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(\mathrm{tr}(A) = 6\), \(\mathrm{tr}(A^2) = 14\) et \(\det(A) = 6\).

1. Exprimer \(\mathrm{tr}(A^2)\) en fonction des valeurs propres \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) de \(A\).

2. En déduire \(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2\), puis \(\lambda_1 \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_3 + \lambda_2 \lambda_3\).

3. Déterminer le polynôme caractéristique de \(A\) et ses racines.

Voir la correction

1. La trace est la somme des valeurs propres (comptées avec multiplicité). Si \(A\) a pour valeurs propres \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\), alors \(A^2\) a pour valeurs propres \(\lambda_1^2, \lambda_2^2, \lambda_3^2\). Donc :

\(\mathrm{tr}(A^2) = \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 = 14\)

2. On sait que \(\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = \mathrm{tr}(A) = 6\). En élevant au carré :

\((\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3)^2 = \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + 2(\lambda_1\lambda_2 + \lambda_1\lambda_3 + \lambda_2\lambda_3)\) \(36 = 14 + 2(\lambda_1\lambda_2 + \lambda_1\lambda_3 + \lambda_2\lambda_3)\)

D’où \(\lambda_1\lambda_2 + \lambda_1\lambda_3 + \lambda_2\lambda_3 = 11\).

3. Le polynôme caractéristique de \(A\) est \(\chi_A(X) = X^3 – s_1 X^2 + s_2 X – s_3\) où \(s_1 = \mathrm{tr}(A) = 6\), \(s_2 = 11\) et \(s_3 = \det(A) = 6\) (fonctions symétriques élémentaires).

\(\chi_A(X) = X^3 – 6X^2 + 11X – 6\)

On cherche les racines. \(\chi_A(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 0\), donc \(X = 1\) est racine. Factorisation :

\(\chi_A(X) = (X – 1)(X^2 – 5X + 6) = (X – 1)(X – 2)(X – 3)\)

Les valeurs propres de \(A\) sont \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = 2\), \(\lambda_3 = 3\). On vérifie : \(\mathrm{tr}(A) = 6\) ✓, \(\det(A) = 6\) ✓, \(\mathrm{tr}(A^2) = 1 + 4 + 9 = 14\) ✓.

---

VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Voici les erreurs les plus pénalisées en DS et en concours. Chaque piège est illustré par une copie fautive commentée.

---

VIII. Questions fréquentes

---

IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant les définitions, propriétés et méthodes de calcul du déterminant. Voici les prolongements naturels :

• Déterminant d’une matrice 3×3 : règle de Sarrus et cofacteurs — techniques de calcul spécifiques au cas 3×3
• Déterminant d’une matrice 4×4 : développement par cofacteurs — extension au cas 4×4 et au-delà
• Matrice inversible : définition, critères et déterminant — tous les critères d’inversibilité
• Inverse d’une matrice : méthode de calcul et propriétés — calcul de \(A^{-1}\) par la comatrice ou Gauss-Jordan
• Valeurs propres et vecteurs propres — le lien \(\det(A – \lambda I) = 0\) et le polynôme caractéristique
• Diagonalisation d’une matrice — utiliser les valeurs propres pour diagonaliser
• Rang d’une matrice — lien \(\mathrm{rg}(A) = n \iff \det(A) \neq 0\)
• Exercices corrigés sur les matrices — entraînement transversal sur tout le chapitre

—