Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur
En MPSI, PCSI ou MP2I, la question « montrer que B est un sous-anneau de A » revient à chaque DS du chapitre sur les structures algébriques. C’est une question de méthode pure : il n’y a rien à inventer, seulement un critère à appliquer proprement. Le problème, c’est que la moitié des copies perd des points sur un seul oubli. Cette page te donne le critère, la rédaction exacte attendue au concours, et les pièges qui coûtent cher.
Un sous-anneau d’un anneau \(A\) est une partie \(B\) de \(A\) qui est elle-même un anneau pour les lois de \(A\), avec le même élément neutre \(1_A\). En pratique, on ne revérifie jamais tous les axiomes : on utilise un critère en trois points — \(B\) contient \(1_A\), est stable par différence et stable par produit.
À quoi sert la notion de sous-anneau
Avant le formalisme, l’idée. Quand tu rencontres un ensemble muni de deux lois — les \(\mathbb{Z}\), les entiers de Gauss \(\mathbb{Z}[i]\), les matrices, les fonctions continues, les polynômes — tu veux savoir s’il « hérite » d’une structure d’anneau déjà connue. Plutôt que de tout revérifier à la main, tu cherches à voir cet ensemble comme un sous-anneau d’un anneau ambiant dont tu sais déjà qu’il est un anneau.
L’intérêt est double. D’abord, c’est économique : montrer qu’une partie est un sous-anneau demande trois vérifications au lieu des huit axiomes d’anneau. Ensuite, c’est structurant : reconnaître un sous-anneau, c’est comprendre comment les objets s’emboîtent — \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\), ou \(\mathbb{Z}[i] \subset \mathbb{C}\). C’est exactement le même réflexe que pour un sous-espace vectoriel en algèbre linéaire : au lieu de prouver qu’un ensemble est un espace vectoriel, on montre que c’est un sous-espace d’un espace connu.
Cette économie a un prix : le critère ne fonctionne que si tu vérifies tous ses points, et l’un d’eux est presque toujours oublié. C’est ce que la suite va corriger.
Définition et critère de caractérisation
Définition d’un sous-anneau
On se place dans la convention du programme français : tous les anneaux sont unitaires, et un morphisme d’anneaux envoie \(1\) sur \(1\). Cette convention a une conséquence directe sur la définition d’un sous-anneau.
Définition — Sous-anneau
Soit \((A,+,\times)\) un anneau. Une partie \(B\) de \(A\) est un sous-anneau de \(A\) lorsque :
- \(B\) est stable pour les lois \(+\) et \(\times\) de \(A\) ;
- \(1_A \in B\) ;
- \((B,+,\times)\) est un anneau, de même élément unité \(1_A\).
Le point capital est l’élément unité. Dans la convention unitaire, \(B\) doit contenir le \(1_A\) de l’anneau ambiant. Ce n’est pas une formalité : c’est précisément ce qui distingue un sous-anneau d’un simple idéal, comme on le verra plus bas.
Le critère de sous-anneau
On ne travaille jamais avec la définition brute. Voici la caractérisation que tu utiliseras systématiquement en copie.
Caractérisation d’un sous-anneau
Soit \(A\) un anneau et \(B \subset A\). Alors \(B\) est un sous-anneau de \(A\) si et seulement si les trois conditions suivantes sont réunies :
- \(1_A \in B\) ;
- pour tout \((x,y) \in B^2\), on a \(x- y \in B\) (stabilité par différence) ;
- pour tout \((x,y) \in B^2\), on a \(xy \in B\) (stabilité par produit).
Trois lignes, rien de plus. La condition 1 garantit à la fois que \(B\) est non vide et qu’il contient le bon neutre multiplicatif. La condition 2 est la caractérisation d’un sous-groupe additif appliquée à \((A,+)\). La condition 3 assure que la multiplication reste interne.
Démonstration du critère
Le sens « sous-anneau \(\Longrightarrow\) trois conditions » est immédiat. Démontrons la réciproque, qui est celle qu’on utilise.
Démonstration (sens réciproque)
Supposons les trois conditions vérifiées. La condition 1 donne \(1_A \in B\), donc \(B \neq \emptyset\). La condition 2 (stabilité par différence) est exactement la caractérisation d’un sous-groupe de \((A,+)\) : \(B\) est donc un sous-groupe additif de \(A\). En particulier \(0_A \in B\) et tout élément de \(B\) admet son opposé dans \(B\). L’addition sur \(B\) est associative et commutative, car elle l’est déjà sur \(A\).
La condition 3 rend la multiplication interne à \(B\). L’associativité de \(\times\) et la distributivité de \(\times\) sur \(+\) sont vraies pour tous les éléments de \(A\), donc a fortiori pour ceux de \(B\) : ces propriétés sont héritées et ne se redémontrent pas. Enfin, \(1_A \in B\) est neutre pour la multiplication de \(B\). Ainsi \((B,+,\times)\) est un anneau de même unité \(1_A\) : \(B\) est un sous-anneau de \(A\). ∎
Retiens l’argument d’héritage : associativité, commutativité de l’addition et distributivité sont « gratuites ». C’est tout l’intérêt de passer par un sous-anneau plutôt que de prouver la structure d’anneau à partir de rien.
La méthode « sous-anneau » sur une fiche recto-verso
Le critère en 3 points, la rédaction type attendue au concours et les 3 pièges classiques — prêt à réviser avant le DS.
📄 Télécharger la fiche méthodeGratuit — au format PDF imprimable.
Quand utiliser le critère (et quand ne pas l’utiliser)
Le critère en trois points est la méthode par défaut, mais ce n’est pas la seule. Selon la façon dont \(B\) est décrit, une autre technique est plus rapide. Ce tableau te permet de choisir avant de te lancer.
| Technique | Quand l’utiliser | Quand l’éviter |
|---|---|---|
| Critère en 3 points (1 ∈ B, stable par − et ×) | \(B\) est défini par une propriété explicite (\(\mathbb{Z}[i]\), matrices triangulaires, fonctions continues) | Presque jamais — c’est la méthode de référence |
| Vérification directe des 8 axiomes d’anneau | Aucun anneau ambiant naturel n’est disponible | Dès qu’un anneau ambiant existe : c’est long et inutile |
| Image d’un morphisme : \(f(A^\prime)\) | \(B\) apparaît comme l’image d’un morphisme d’anneaux | Si aucun morphisme n’est fourni ou construit |
| Image réciproque : \(f^{-1}(B^\prime)\) avec \(B^\prime\) sous-anneau | \(B\) est décrit par une condition « \(f(x)\) appartient à … » | Si \(B\) n’est pas la préimage d’un sous-anneau |
| Intersection de sous-anneaux / sous-anneau engendré | \(B\) est le plus petit sous-anneau contenant une partie donnée | Si \(B\) a déjà une description close par les lois |
Dans la très grande majorité des sujets, tu utiliseras la première ligne. Les images et images réciproques par morphisme sont des accélérateurs élégants, valorisés au concours quand un morphisme est disponible : l’image d’un morphisme d’anneaux est toujours un sous-anneau de l’ensemble d’arrivée. Passons maintenant à l’application concrète du critère.
La méthode pas à pas en 4 étapes
Voici le protocole à dérouler à chaque fois. L’ordre compte : commence toujours par l’unité, car c’est le point qui fait perdre le plus de points quand il est oublié.
Étape 1 — Identifier l’anneau ambiant et l’inclusion. Nomme l’anneau \(A\) dont tu affirmes qu’il est un anneau (souvent \(\mathbb{C}\), \(\mathbb{R}\), \(M_n(\mathbb{R})\), \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\)) et vérifie que \(B \subset A\).
Étape 2 — Vérifier que \(1_A \in B\). C’est la condition qui prouve à la fois la non-vacuité et la présence du neutre. Une seule ligne, jamais omise.
Étape 3 — Stabilité par différence. Prends \(x,y \in B\) quelconques, écris-les sous leur forme générique, et montre que \(x- y\) reste de cette forme.
Étape 4 — Stabilité par produit. Avec les mêmes \(x,y\), montre que \(xy \in B\). Conclus en citant le critère de caractérisation.
À écrire sur la copie
« \(B \subset A\) et \(A\) est un anneau. On a \(1_A \in B\). Soit \((x,y) \in B^2\) : alors \(x-y \in B\) et \(xy \in B\). Par la caractérisation des sous-anneaux, \(B\) est un sous-anneau de \(A\). »
Trois vérifications, une conclusion nommée. Tu n’écris jamais « vérifions l’associativité » ni « vérifions la distributivité » : ces axiomes sont hérités de \(A\).
Exemples résolus classiques
Quatre exemples canoniques, du plus direct au plus subtil. Ils couvrent les quatre familles que tu rencontreras : les entiers algébriques, les racines, les matrices et les fonctions.
Exemple 1 — Les entiers de Gauss dans ℂ 🟠
Soit \(\mathbb{Z}[i] = \{\, a + bi \mid (a,b) \in \mathbb{Z}^2 \,\}\). Montrons que c’est un sous-anneau de \((\mathbb{C},+,\times)\).
Rédaction. On a \(\mathbb{Z}[i] \subset \mathbb{C}\) et \(\mathbb{C}\) est un anneau.
Unité : \(1 = 1 + 0\cdot i \in \mathbb{Z}[i]\).
Différence : pour \(x = a+bi\) et \(y = c+di\) avec \(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\),
\(x- y = (a-c) + (b-d)\,i \in \mathbb{Z}[i]\) car \(a-c \in \mathbb{Z}\) et \(b-d \in \mathbb{Z}\).
Produit : \(xy = (ac- bd) + (ad + bc)\,i \in \mathbb{Z}[i]\) car \(ac-bd \in \mathbb{Z}\) et \(ad+bc \in \mathbb{Z}\).
Par la caractérisation, \(\mathbb{Z}[i]\) est un sous-anneau de \(\mathbb{C}\).
Exemple 2 — L’anneau ℤ[√2] dans ℝ 🟠
Soit \(D = \{\, a + b\sqrt{2} \mid (a,b) \in \mathbb{Z}^2 \,\}\). Même schéma dans \(\mathbb{R}\).
Unité : \(1 = 1 + 0\sqrt{2} \in D\).
Différence : \((a+b\sqrt2)- (c+d\sqrt2) = (a-c) + (b-d)\sqrt2 \in D\).
Produit : \((a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt2 \in D\),
car le terme \(2bd\) provient de \((\sqrt2)^2 = 2\) et reste entier. Donc \(D\) est un sous-anneau de \(\mathbb{R}\).
Exemple 3 — Les matrices triangulaires supérieures 🟠
Soit \(T_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices triangulaires supérieures de \(M_n(\mathbb{R})\). Montrons que c’est un sous-anneau de \((M_n(\mathbb{R}),+,\times)\) — un exemple non commutatif dès que \(n \geq 2\).
Unité : \(I_n\) est triangulaire supérieure, donc \(I_n \in T_n(\mathbb{R})\).
Différence : la différence de deux matrices dont les coefficients sous la diagonale sont nuls a, elle aussi, des coefficients nuls sous la diagonale.
Produit : si \(U = (u_{ij})\) et \(V = (v_{ij})\) sont triangulaires supérieures (donc \(u_{ij} = 0\) et \(v_{ij} = 0\) pour \(i \gt j\)), alors le coefficient d’indice \((i,j)\) du produit est \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_{ik} v_{kj}\). Pour \(i \gt j\), chaque terme est nul. Donc \(UV\) est triangulaire supérieure.
\(T_n(\mathbb{R})\) est un sous-anneau de \(M_n(\mathbb{R})\).
Exemple 4 — Les fonctions continues 🟠
Soit \(\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) l’ensemble des fonctions continues, vu comme partie de l’anneau \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) des fonctions réelles muni de l’addition et de la multiplication point par point.
Unité : la fonction constante \(x \mapsto 1\) est continue.
Différence et produit : une différence et un produit de deux fonctions continues sont continus (théorèmes d’opérations sur les fonctions continues). Donc \(\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) est un sous-anneau de \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\).
Tu remarques que la structure de la rédaction est rigoureusement identique dans les quatre cas : unité, différence, produit, conclusion. C’est ce réflexe qu’il faut automatiser.
Contre-exemples : ce qui n’est pas un sous-anneau
Les contre-exemples sont absents de la plupart des cours en ligne, alors qu’ils sont le meilleur test de compréhension. Chacun échoue sur exactement un point du critère : c’est ce qu’il faut savoir repérer.
Contre-exemple 1 — \(2\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{Z}\). L’ensemble des entiers pairs est stable par différence (\(2a- 2b = 2(a-b)\)) et par produit (\(2a \cdot 2b = 2(2ab)\)). Mais \(1 \notin 2\mathbb{Z}\) : la condition d’unité échoue. Ce n’est pas un sous-anneau. C’est en revanche un idéal de \(\mathbb{Z}\). Plus généralement, pour \(n \geq 2\), aucun \(n\mathbb{Z}\) n’est un sous-anneau de \(\mathbb{Z}\) : le seul sous-anneau de \(\mathbb{Z}\) est \(\mathbb{Z}\) lui-même.
Contre-exemple 2 — \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{Z}\). L’ensemble des entiers naturels contient \(1\) et est stable par produit, mais pas par différence : \(0- 1 = -1 \notin \mathbb{N}\). La condition de différence échoue (ce n’est même pas un sous-groupe additif).
Contre-exemple 3 — Les matrices symétriques \(S_n(\mathbb{R})\) dans \(M_n(\mathbb{R})\). On a \(I_n \in S_n(\mathbb{R})\) et la différence de deux matrices symétriques est symétrique. Mais le produit de deux matrices symétriques n’est en général pas symétrique : la condition de produit échoue. Prends \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) : \(AB\) n’est pas symétrique.
Contre-exemple 4 — \(\{\, f \in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \mid f(0) = 0 \,\}\). Cet ensemble est stable par différence et par produit, mais ne contient pas la fonction constante \(1\) (qui vaut \(1\) en \(0\)). Comme \(2\mathbb{Z}\), c’est un idéal, pas un sous-anneau. Le parallèle est exact : un idéal absorbe le produit mais rate l’unité.
Erreurs fréquentes en copie
Trois erreurs reviennent dans presque toutes les copies. Les connaître, c’est déjà les éviter.
Erreur n°1 — Oublier de vérifier \(1_A \in B\).
❌ Copie fautive : « \(2\mathbb{Z}\) est stable par \({-}\) et par \(\times\), donc c’est un sous-anneau de \(\mathbb{Z}\). »
Diagnostic : c’est l’erreur la plus fréquente du chapitre. En sautant la condition d’unité, on confond sous-anneau et idéal.
✅ Correction : \(1 \notin 2\mathbb{Z}\), donc \(2\mathbb{Z}\) n’est pas un sous-anneau. C’est un idéal. La vérification de \(1_A \in B\) doit toujours figurer, en première ligne.
Erreur n°2 — Redémontrer les axiomes hérités.
❌ Copie fautive : « Vérifions l’associativité de \(\times\) sur \(B\) : pour \(x,y,z \in B\), \((xy)z = x(yz)\)… »
Diagnostic : tu perds du temps et tu montres que tu n’as pas compris le principe du sous-anneau. L’associativité et la distributivité sont vraies dans \(A\), donc dans \(B\).
✅ Correction : ne vérifie que les trois points du critère. Le reste est hérité de l’anneau ambiant.
Erreur n°3 — Vérifier la stabilité par \(+\) et par opposé séparément au lieu de la différence.
Diagnostic : ce n’est pas faux, mais c’est deux vérifications au lieu d’une. La stabilité par différence \(x- y \in B\) regroupe stabilité additive et passage à l’opposé, exactement comme pour un sous-groupe.
✅ Correction : une seule ligne, \(x- y \in B\). Plus rapide, plus propre, attendu au concours.
Exercices corrigés
Cinq exercices gradués, du calcul direct au raisonnement abstrait. Cherche chacun avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Les décimaux ★
Soit \(\mathbb{D} = \left\{\, \displaystyle\frac{a}{10^n} \;\middle|\; a \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N} \,\right\}\) l’ensemble des nombres décimaux. Montrer que \(\mathbb{D}\) est un sous-anneau de \(\mathbb{Q}\).
Voir la correction de l’exercice 1
On a \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\) et \(\mathbb{Q}\) est un anneau.
Unité : \(1 = \displaystyle\frac{1}{10^0} \in \mathbb{D}\).
Différence : pour \(x = \displaystyle\frac{a}{10^n}\) et \(y = \displaystyle\frac{b}{10^m}\), en réduisant au dénominateur commun \(10^{n+m}\) :
\(x- y = \displaystyle\frac{a\,10^{m}- b\,10^{n}}{10^{n+m}} \in \mathbb{D}\) car le numérateur est entier.
Produit : \(xy = \displaystyle\frac{ab}{10^{n+m}} \in \mathbb{D}\).
Par la caractérisation, \(\mathbb{D}\) est un sous-anneau de \(\mathbb{Q}\).
Exercice 2 — Un ensemble de la forme a + b√3 ★
Soit \(E = \{\, a + b\sqrt{3} \mid (a,b) \in \mathbb{Z}^2 \,\}\). Montrer que \(E\) est un sous-anneau de \(\mathbb{R}\).
Voir la correction de l’exercice 2
\(E \subset \mathbb{R}\) et \(\mathbb{R}\) est un anneau.
Unité : \(1 = 1 + 0\sqrt3 \in E\).
Différence : \((a+b\sqrt3)- (c+d\sqrt3) = (a-c) + (b-d)\sqrt3 \in E\).
Produit : \((a+b\sqrt3)(c+d\sqrt3) = (ac + 3bd) + (ad + bc)\sqrt3 \in E\), le \(3bd\) venant de \((\sqrt3)^2 = 3\).
Donc \(E\) est un sous-anneau de \(\mathbb{R}\). (C’est l’anneau noté \(\mathbb{Z}[\sqrt{3}]\).)
Exercice 3 — Matrices scalaires et matrices diagonales ★★
Dans \(M_2(\mathbb{R})\), on considère l’ensemble \(\Delta\) des matrices diagonales et l’ensemble \(\mathcal{S}\) des matrices scalaires \(\lambda I_2\) avec \(\lambda \in \mathbb{R}\). Montrer que ce sont deux sous-anneaux de \(M_2(\mathbb{R})\).
Voir la correction de l’exercice 3
Pour \(\Delta\) : \(I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) est diagonale. La différence de deux diagonales est diagonale. Le produit de \(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} c & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}\) vaut \(\begin{pmatrix} ac & 0 \\ 0 & bd \end{pmatrix}\), diagonale. Donc \(\Delta\) est un sous-anneau.
Pour \(\mathcal{S}\) : \(I_2 = 1 \cdot I_2 \in \mathcal{S}\). On a \(\lambda I_2- \mu I_2 = (\lambda- \mu) I_2 \in \mathcal{S}\) et \((\lambda I_2)(\mu I_2) = (\lambda\mu) I_2 \in \mathcal{S}\). Donc \(\mathcal{S}\) est un sous-anneau.
Remarque : \(\mathcal{S} \subset \Delta \subset M_2(\mathbb{R})\). Un sous-anneau d’un sous-anneau reste un sous-anneau de l’anneau ambiant.
Exercice 4 — Le piège de l’unité ★★
L’ensemble \(3\mathbb{Z}\) des multiples de \(3\) est-il un sous-anneau de \(\mathbb{Z}\) ? Justifier précisément. Quelle structure porte-t-il ?
Voir la correction de l’exercice 4
Vérifions les trois points. Différence : \(3a- 3b = 3(a-b) \in 3\mathbb{Z}\) ✓. Produit : \(3a \cdot 3b = 3(3ab) \in 3\mathbb{Z}\) ✓. Unité : \(1 \notin 3\mathbb{Z}\) car \(1\) n’est pas multiple de \(3\) ✗.
Conclusion : \(3\mathbb{Z}\) n’est pas un sous-anneau de \(\mathbb{Z}\).
C’est en revanche un sous-groupe de \((\mathbb{Z},+)\) et, mieux, un idéal de \(\mathbb{Z}\) : il est stable par multiplication par n’importe quel entier (\(k \cdot 3a = 3(ka) \in 3\mathbb{Z}\)). C’est cette propriété d’absorption, et non l’unité, qui caractérise un idéal.
Exercice 5 — Le centre d’un anneau ★★★
Soit \(A\) un anneau. On appelle centre de \(A\) l’ensemble \(Z(A) = \{\, x \in A \mid \forall y \in A,\ xy = yx \,\}\). Montrer que \(Z(A)\) est un sous-anneau de \(A\). (Classique d’oral CCINP / Mines-Ponts.)
Voir la correction de l’exercice 5
On a bien \(Z(A) \subset A\).
Unité : pour tout \(y \in A\), \(1_A \cdot y = y = y \cdot 1_A\), donc \(1_A \in Z(A)\).
Différence : soit \(x, x^\prime \in Z(A)\). Pour tout \(y \in A\),
\((x- x^\prime)y = xy- x^\prime y = yx- yx^\prime = y(x- x^\prime)\).
Donc \(x- x^\prime \in Z(A)\).
Produit : soit \(x, x^\prime \in Z(A)\). Pour tout \(y \in A\),
\((xx^\prime)y = x(x^\prime y) = x(y x^\prime) = (xy)x^\prime = (yx)x^\prime = y(xx^\prime)\).
Donc \(xx^\prime \in Z(A)\).
Par la caractérisation, \(Z(A)\) est un sous-anneau de \(A\). On note de plus qu’il est commutatif par construction.
Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Sur ce type de question, le correcteur ne cherche pas la longueur mais la rigueur ciblée. Voici précisément ce qui rapporte les points, et ce qui les fait perdre.
Le plan de rédaction attendu
- Annoncer l’anneau ambiant \(A\) et l’inclusion \(B \subset A\) (une phrase).
- Vérifier \(1_A \in B\) — toujours en premier.
- Introduire deux éléments génériques \((x,y) \in B^2\) et vérifier \(x- y \in B\) puis \(xy \in B\).
- Conclure en nommant le résultat : « par la caractérisation des sous-anneaux ».
Ce qui fait perdre des points :
- Ne pas vérifier l’unité : c’est la faute sanctionnée le plus systématiquement. Un correcteur attend cette ligne et la cherche.
- Réécrire les axiomes hérités (associativité, distributivité) : cela signale une incompréhension et fait perdre du temps.
- Écrire « \(B\) est stable par \(+\) » sans traiter l’opposé : la stabilité additive seule ne fait pas un sous-groupe. La formulation attendue à l’oral est bien « stable par différence ».
- Oublier de prendre des éléments quelconques : traiter un cas particulier ne prouve rien.
À l’oral, si un morphisme est disponible, mentionner que « l’image d’un morphisme d’anneaux est un sous-anneau » ou que « l’image réciproque d’un sous-anneau par un morphisme est un sous-anneau » est toujours valorisé : cela montre que tu maîtrises les morphismes d’anneaux au-delà du critère brut.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un sous-anneau ?
Un sous-anneau d’un anneau \(A\) est une partie \(B\) de \(A\) qui est elle-même un anneau pour les lois de \(A\), avec le même élément neutre multiplicatif \(1_A\). Concrètement, \(B\) est un sous-anneau si et seulement si il contient \(1_A\), est stable par différence et stable par produit.
Comment montrer qu’une partie est un sous-anneau ?
On applique le critère en trois points, dans cet ordre : vérifier que \(1_A \in B\), puis que pour tous \(x,y \in B\) on a \(x- y \in B\) (stabilité par différence), puis que \(xy \in B\) (stabilité par produit). On conclut en citant la caractérisation des sous-anneaux. Les autres axiomes (associativité, distributivité) sont hérités de l’anneau ambiant et ne se revérifient pas.
Quelle est la différence entre un sous-anneau et un idéal ?
Les deux sont stables par différence et par produit interne, mais ils divergent sur deux points. Un sous-anneau doit contenir \(1_A\). Un idéal \(I\) n’a pas à contenir \(1_A\), mais il doit absorber la multiplication : pour tout \(a \in A\) et \(x \in I\), on a \(ax \in I\). Exemple : \(2\mathbb{Z}\) est un idéal de \(\mathbb{Z}\) mais pas un sous-anneau (il ne contient pas \(1\)). En fait, un idéal contenant \(1_A\) est l’anneau \(A\) tout entier.
Un sous-anneau doit-il obligatoirement contenir 1 ?
Oui, dans la convention du programme français, où tous les anneaux sont unitaires. Un sous-anneau doit contenir l’unité \(1_A\) de l’anneau ambiant. Certains ouvrages anglo-saxons utilisent une convention non unitaire (« rng ») où cette exigence tombe, mais en prépa française elle est obligatoire. C’est justement cette condition qui distingue un sous-anneau d’un idéal.
Qu’est-ce que le sous-anneau engendré par une partie ?
Le sous-anneau engendré par une partie \(X\) de \(A\) est le plus petit sous-anneau de \(A\) contenant \(X\). Il s’obtient comme l’intersection de tous les sous-anneaux de \(A\) contenant \(X\) (une intersection quelconque de sous-anneaux est encore un sous-anneau). Par exemple, le sous-anneau de \(\mathbb{C}\) engendré par \(i\) est exactement \(\mathbb{Z}[i]\).
Le noyau d’un morphisme d’anneaux est-il un sous-anneau ?
Non, jamais (sauf cas dégénéré). Le noyau d’un morphisme d’anneaux \(f\) est \(\ker f = \{\, x \mid f(x) = 0 \,\}\) : il ne contient pas \(1_A\), car \(f(1_A) = 1_B \neq 0\) dès que \(B\) n’est pas l’anneau nul. Le noyau est en revanche un idéal. À l’inverse, l’image d’un morphisme d’anneaux est toujours un sous-anneau de l’ensemble d’arrivée.
Qu’est-ce qu’un anneau, pour rappel ?
Un anneau est un ensemble muni de deux lois, une addition qui en fait un groupe commutatif et une multiplication associative, unitaire et distributive sur l’addition. Pour la définition complète, les règles de calcul et les exemples de référence, consulte le cours dédié sur l’anneau en mathématiques.
D’où ça vient, où ça mène
La notion de sous-anneau s’inscrit dans une progression claire du chapitre « Structures algébriques usuelles » du programme de MPSI, PCSI et MP2I (année 2026-2027).
- En amont : tu dois maîtriser la structure d’anneau et la caractérisation d’un sous-groupe (stabilité par différence), directement issue de la théorie des structures algébriques.
- À ce niveau : reconnaître et démontrer qu’une partie est un sous-anneau, en évitant le piège de l’unité.
- En aval : le même réflexe s’étend au sous-corps (un sous-corps est un sous-anneau dont tout élément non nul a son inverse dans le sous-anneau) et à l’anneau ℤ/nℤ, où \(n\mathbb{Z}\) apparaît comme l’idéal quotienté. La hiérarchie continue avec les anneaux intègres, principaux et factoriels.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant démontrer proprement qu’une partie est un sous-anneau. Pour consolider le chapitre et enchaîner sur les structures voisines :
- Espace vectoriel : cours complet avec démonstrations et exercices corrigés
- Matrices en Mathématiques : Cours, Méthodes et Exercices Corrigés
- Logique et raisonnement en mathématiques
- 20 Exercices Corrigés : Applications Linéaires — Prépa MPSI/PCSI/MP
Dernière mise à jour : septembre 2026. Cours conforme au programme officiel de CPGE (MPSI, PCSI, MP2I), chapitre « Structures algébriques usuelles ».
