Le patron d’un cylindre comprend un rectangle et deux disques. Celui d’un cône utilise un secteur de disque ; celui d’une pyramide associe une base et des triangles. Voici comment construire ces trois patrons, vérifier les longueurs qui se rejoignent et les assembler grâce aux gabarits PDF à imprimer.
I. Le patron d’un cylindre : deux disques et un rectangle
Un patron, en géométrie, c’est le dessin à plat d’un solide : si tu le découpes et que tu le plies, tu reconstruis le solide en volume. Pour un cylindre de révolution, ce patron est toujours composé des mêmes trois morceaux.
A. Un cylindre : ses deux bases et sa hauteur
Un cylindre de révolution, c’est comme une boîte de conserve. Il possède deux bases : ce sont deux disques identiques, l’un en haut, l’autre en bas. La distance entre ces deux disques s’appelle la hauteur, notée \(h\). Chaque disque est défini par son rayon, noté \(r\) (la distance du centre au bord).
Quand on déplie le cylindre, les deux disques se détachent, et la partie arrondie qui les reliait — la surface « courbe » — s’aplatit en un simple rectangle.
Définition — Patron du cylindre
Le patron d’un cylindre de révolution est formé de :
- ➤ deux disques identiques de rayon \(r\) (les deux bases) ;
- ➤ un rectangle dont la hauteur est celle du cylindre, \(h\), et dont la longueur est égale au périmètre du disque : \(2 \times \pi \times r\).
B. La formule clé : la longueur du rectangle
Toute la difficulté du patron du cylindre tient dans une seule mesure : la longueur du rectangle. Pourquoi ? Parce que ce rectangle, une fois enroulé, doit faire exactement le tour du disque. Sa longueur est donc le tour du cercle, c’est-à-dire son périmètre.
\(\text{Longueur du rectangle} = 2 \times \pi \times r\)
La largeur du rectangle, elle, ne se calcule pas : c’est simplement la hauteur \(h\) du cylindre.
Comment retenir : imagine que tu enroules une feuille de papier autour d’une boîte de conserve. La feuille doit faire tout le tour de la boîte : sa longueur est donc le tour du disque, c’est-à-dire le périmètre \(2 \times \pi \times r\). Sa hauteur, c’est la hauteur de la boîte.
II. Tracer les patrons du cylindre, du cône et de la pyramide
Maintenant que tu connais les trois morceaux, voici la méthode pour construire le patron proprement, à la règle et au compas. On l’illustre avec un cylindre de rayon \(r = 3\) cm et de hauteur \(h = 8\) cm.
A. La méthode pas à pas
- Repère le rayon et la hauteur. Vérifie bien qu’on te donne le rayon \(r\) et non le diamètre. Ici : \(r = 3\) cm et \(h = 8\) cm.
- Calcule la longueur du rectangle (le périmètre du disque) : \(2 \times \pi \times 3 \approx 18{,}8\) cm.
- Trace le rectangle de longueur \(18{,}8\) cm et de largeur \(8\) cm (la hauteur du cylindre).
- Trace les deux disques de rayon \(3\) cm, un sur chacun des deux côtés opposés de longueur 2πr, en les centrant.
Étape à ne jamais oublier : la vérification de l’unité et du résultat. Le nombre \(\pi\) est exact. Pour tracer une longueur à la règle, on utilise une valeur approchée (\(\pi \approx 3{,}14\)) et on garde souvent une valeur approchée pour la longueur. Écris toujours le symbole \(\approx\) (environ égal) et l’unité (cm) dans ta réponse.
Une fois le patron tracé, si l’exercice te demande de le construire réellement, tu ajoutes des languettes de collage sur certains bords pour pouvoir assembler le solide.
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B. Construire le patron d’un cône de révolution
Le patron comprend un disque de rayon r et un secteur de disque de rayon g, la génératrice du cône. L’arc du secteur doit avoir la même longueur que le périmètre du disque de base. Pour un cône non aplati, g est supérieur à r.
Si l’angle du secteur est α en degrés, \(\alpha=360\times\displaystyle\frac{r}{g}\). Pour r = 3 cm et g = 5 cm, on obtient α = 216°. Trace le secteur de rayon 5 cm et d’angle 216°, puis le disque de rayon 3 cm. La hauteur du cône vaut ici 4 cm, car \(5^2-3^2=4^2\).
C. Construire le patron d’une pyramide régulière à base carrée
Trace le carré de base, puis un triangle isocèle sur chacun de ses côtés. Pour l’exemple du PDF, le carré a un côté de 6 cm et chaque triangle a une hauteur de 5 cm. Ces 5 cm sont l’apothème : la hauteur du solide vaut 4 cm, obtenue par Pythagore avec la demi-longueur du côté, soit 3 cm.
Ajoute une languette sur une seule des deux arêtes destinées à être collées ensemble. Découpe les contours pleins, marque les plis en pointillés, puis assemble. Les gabarits du PDF sont à taille réelle : choisis « 100 % » ou « taille réelle » à l’impression et vérifie le segment témoin de 5 cm.
III. Comparer les patrons des principaux solides
La méthode « périmètre du cercle » est propre au cylindre. Pour bien la situer, voici comment se construisent les patrons des autres solides étudiés au collège. Chaque solide a son élément clé à calculer.
| Solide | Composition du patron | Élément clé à calculer |
|---|---|---|
| Cylindre | 2 disques + 1 rectangle | Longueur du rectangle = \(2 \times \pi \times r\) |
| Cône | 1 disque + 1 secteur de disque | Angle du secteur |
| Prisme droit | 2 bases identiques + des rectangles | Périmètre de la base |
| Pyramide | 1 base + des triangles | Hauteur des triangles (apothème) |
| Cube / pavé droit | 6 rectangles (ou carrés) | Rien à calculer : on reporte les longueurs |
Retiens la logique : dès qu’un solide a une base circulaire (cylindre, cône), il faut faire intervenir \(\pi\). Pour le cube et le pavé droit, aucun calcul n’est nécessaire : on se contente de reporter les longueurs des arêtes. Pour le prisme droit, c’est le périmètre de la base qui commande la longueur des rectangles.
IV. Trois exemples résolus pas à pas
Passons à la pratique avec trois situations de plus en plus proches de ce que tu rencontreras en contrôle.
Exemple 1 — Le rayon est donné. Trace le patron d’un cylindre de rayon \(r = 2\) cm et de hauteur \(h = 5\) cm.
Longueur du rectangle : \(2 \times \pi \times 2 \approx 12{,}6\) cm.
Largeur du rectangle : \(5\) cm (la hauteur).
On trace donc un rectangle de 12,6 cm sur 5 cm, plus deux disques de rayon 2 cm.
Exemple 2 — Le diamètre est donné (attention !). Trace le patron d’un cylindre de diamètre \(d = 10\) cm et de hauteur \(h = 6\) cm.
D’abord, on trouve le rayon : \(r = \displaystyle\frac{10}{2} = 5\) cm.
Longueur du rectangle : \(2 \times \pi \times 5 \approx 31{,}4\) cm.
Rectangle de 31,4 cm sur 6 cm, plus deux disques de rayon 5 cm. Si on avait oublié de diviser par 2, la longueur aurait été deux fois trop grande.
Exemple 3 — Un objet réel : le rouleau. Un rouleau de carton a un rayon de 2,5 cm et une hauteur de 11 cm. Quelle longueur de papier faut-il pour l’entourer d’une seule couche ?
C’est exactement la longueur du rectangle : \(2 \times \pi \times 2{,}5 \approx 15{,}7\) cm.
Il faut une bande de papier de 15,7 cm de long environ.
V. Les erreurs fréquentes sur le patron du cylindre
Quatre erreurs reviennent sans cesse dans les copies. Les connaître à l’avance, c’est déjà les éviter.
Erreur n°1 : confondre rayon et diamètre. ❌ Copie fautive : « diamètre = 10 cm, donc longueur = \(2 \times \pi \times 10 \approx 62{,}8\) cm ». ➜ Diagnostic : l’élève a utilisé le diamètre à la place du rayon. ✅ Correction : le rayon vaut \(10 \div 2 = 5\) cm, donc longueur \(= 2 \times \pi \times 5 \approx 31{,}4\) cm.
Erreur n°2 : assembler les mauvaises arêtes. Le côté de longueur \(2\pi r\) doit faire le tour du disque ; le côté de longueur h donne la hauteur du cylindre. Tourner le rectangle sur la feuille ne pose aucun problème : c’est le choix des côtés à assembler qui compte.
Erreur n°3 : oublier un disque. Le patron a bien deux disques (le dessus et le dessous), pas un seul. Un cylindre fermé a deux bases.
Erreur n°4 : oublier l’unité ou le symbole ≈. La longueur exacte contient \(\pi\) ; si tu l’arrondis pour le tracé, tu obtiens une valeur approchée : écris \(\approx 18{,}8\) cm, pas \(= 18{,}8\). Une confusion d’unités (cm et mm) est aussi un grand classique — pense à revoir la conversion des unités et les pièges de géométrie.
VI. Exercices d’application corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice sur ton cahier avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Rectangle du patron ★
Un cylindre a pour rayon \(r = 4\) cm et pour hauteur \(h = 9\) cm. Calcule les dimensions du rectangle de son patron.
Voir la correction de l’exercice 1
La longueur du rectangle est le périmètre du disque de base :
\(2 \times \pi \times 4 \approx 25{,}1\) cm.
La largeur du rectangle est la hauteur du cylindre : \(9\) cm.
Le rectangle mesure environ 25,1 cm sur 9 cm.
Exercice 2 — Le diamètre est donné ★★
Une boîte de conserve cylindrique a un diamètre de \(8\) cm et une hauteur de \(12\) cm. Donne les dimensions du rectangle de son patron.
Voir la correction de l’exercice 2
On commence par calculer le rayon, car c’est le diamètre qui est donné :
\(r = \displaystyle\frac{8}{2} = 4\) cm.
Longueur du rectangle : \(2 \times \pi \times 4 \approx 25{,}1\) cm.
Largeur du rectangle : \(12\) cm.
Le rectangle mesure environ 25,1 cm sur 12 cm. Attention : diviser d’abord le diamètre par 2 était l’étape décisive.
Exercice 3 — Vrai ou faux patron ★★
Léo dessine un rectangle de \(6\) cm sur \(10\) cm, puis colle un disque de rayon \(1\) cm en haut et un disque de rayon \(1\) cm en bas. Il dit : « C’est le patron d’un cylindre. » A-t-il raison ? Justifie.
Voir la correction de l’exercice 3
Pour que le patron soit valide, la longueur du rectangle doit être exactement le périmètre des disques.
Avec un rayon de \(1\) cm, le périmètre vaut : \(2 \times \pi \times 1 \approx 6{,}3\) cm.
Or aucun côté du rectangle de Léo ne mesure exactement \(2\pi\) cm (environ 6,28 cm). Le rectangle ne peut donc pas faire exactement le tour d’un disque de rayon 1 cm.
Léo a tort : ce n’est pas un patron valide de cylindre.
Exercice 4 — Retrouver le rayon ★★★
Sur le patron d’un cylindre, on lit que le rectangle a une longueur d’environ \(18{,}8\) cm. Quel est le rayon du cylindre ? (On prendra \(\pi \approx 3{,}14\).)
Voir la correction de l’exercice 4
La longueur du rectangle est le périmètre : \(2 \times \pi \times r \approx 18{,}8\).
On divise donc \(18{,}8\) par \(2 \times \pi\) :
\(r \approx \displaystyle\frac{18{,}8}{2 \times 3{,}14} = \displaystyle\frac{18{,}8}{6{,}28} \approx 3\) cm.
Le rayon du cylindre est d’environ 3 cm. C’est le raisonnement inverse : on remonte du périmètre vers le rayon.
VII. Questions fréquentes
C’est quoi un patron en géométrie ?
Un patron est le dessin à plat d’un solide. Si tu le découpes puis le plies le long de ses arêtes, tu reconstruis le solide en trois dimensions. C’est un peu comme le carton déplié d’une boîte : le patron montre toutes les faces d’un solide côte à côte, sans rien plier.
Quelles sont les bases d’un cylindre ?
Un cylindre de révolution possède deux bases : ce sont deux disques identiques, l’un en haut et l’autre en bas. Ils ont le même rayon. Dans le patron, ces deux bases sont les deux disques que l’on colle de part et d’autre du rectangle.
Quelle est la formule pour la longueur du rectangle ?
La longueur du rectangle du patron est égale au périmètre du disque de base, soit \(2 \times \pi \times r\) (deux fois pi fois le rayon). La largeur du rectangle, elle, est simplement la hauteur du cylindre. Pour le volume du cylindre, la formule est différente : va voir la page dédiée au volume du cylindre.
Combien d’arêtes un cylindre a-t-il ?
Un cylindre n’est pas un polyèdre : il n’a donc pas d’arêtes droites ni de sommets. On peut cependant compter deux bords circulaires (les contours des deux disques) et deux faces planes plus une surface courbe. C’est ce qui le distingue d’un solide comme le pavé droit, qui a lui 12 arêtes et 8 sommets.
Quelle est la différence entre le patron d’un cylindre et celui d’un cône ?
Les deux ont une base circulaire, mais le patron du cône n’a qu’un seul disque et un secteur de disque (une part de camembert) au lieu d’un rectangle. Pour le cylindre, la surface latérale s’aplatit en rectangle ; pour le cône, elle s’aplatit en secteur, dont il faut calculer l’angle. Tu retrouveras le patron du cône sur cette même page.
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant tracer le patron d’un cylindre et retrouver ses dimensions. Pour continuer à progresser sur les solides et les volumes :
- Les solides en CM1-CM2 : exercices et évaluation à imprimer
- Les solides en 6ème : 14 exercices corrigés pas à pas
- Les fractions décimales : cours, méthode et exercices corrigés
- Multiplier et diviser des fractions : la méthode simple
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