En 4ème, la géométrie quitte la feuille de papier pour entrer dans l’espace : on apprend à repérer un point dans un pavé droit avec trois nombres — une abscisse, une ordonnée et une altitude — puis à calculer des volumes de pyramides et de cônes. C’est un chapitre qui déstabilise beaucoup d’élèves, non parce que c’est difficile, mais parce qu’il faut « voir en 3D ». Voici 15 exercices classés du plus simple au plus complet, chacun corrigé pas à pas. Tu commences par lire des coordonnées, tu montes vers les volumes, et tu finis sur de vrais problèmes type brevet.
L’essentiel du cours avant de commencer
Les premiers exercices utilisent le pavé de référence ci-dessous. Les exercices suivants mélangent repérage et volumes et peuvent introduire d’autres dimensions ou solides : les données de chaque énoncé font foi. Commence par repérer l’origine et les trois directions des coordonnées.
Se repérer dans un pavé droit
On choisit un sommet comme origine (ici le sommet \(A\)) et trois arêtes comme axes. Chaque point est alors repéré par trois nombres, dans cet ordre :
- l’abscisse : combien on avance sur le premier axe ;
- l’ordonnée : combien on avance sur le deuxième axe ;
- l’altitude : combien on monte sur le troisième axe.
On écrit par exemple \(F(6\,;0\,;3)\) : le point \(F\) a pour abscisse 6, ordonnée 0 et altitude 3.
Dans notre pavé (dimensions \(AB = 6\), \(AD = 4\), \(AE = 3\), repère d’origine \(A\)), les huit sommets ont pour coordonnées : \(A(0\,;0\,;0)\), \(B(6\,;0\,;0)\), \(C(6\,;4\,;0)\), \(D(0\,;4\,;0)\), \(E(0\,;0\,;3)\), \(F(6\,;0\,;3)\), \(G(6\,;4\,;3)\) et \(H(0\,;4\,;3)\).
Deux formules de volume reviennent dans les exercices de synthèse, car ce sont les nouveautés de la 4ème :
Les deux formules à connaître par cœur
- Pyramide : \(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times B \times h\) où \(B\) est l’aire de la base et \(h\) la hauteur.
- Cône : \(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\) où \(r\) est le rayon de la base et \(h\) la hauteur.
Le \(\displaystyle\frac{1}{3}\) est le piège n°1 : un solide qui « pointe » (pyramide, cône) a toujours un tiers du volume du solide « droit » correspondant.
Tu peux relire le détail dans le cours sur le repère orthonormé et sur le volume d’une pyramide. Passons maintenant à l’entraînement.
15 exercices de volumes en plus, tous corrigés
Coordonnées dans le pavé, pyramides, cônes et problèmes type brevet : de quoi t’entraîner bien au-delà de cette page.
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Exercices d’application directe (lire et placer des coordonnées) ★
Ces cinq premiers exercices ne demandent aucun calcul : juste de la lecture attentive du pavé. Si tu les réussis tous, tu as compris le principe des trois coordonnées.
Exercice 1 — Reconnaître l’origine et les axes ★
Dans le pavé droit précédent, on utilise le repère d’origine \(A\). Quel sommet joue le rôle d’origine ? Vers quels sommets pointent les trois axes ?
Voir la correction de l’exercice 1
L’origine est le sommet \(A\) : c’est le point d’où partent les trois axes, ses coordonnées sont \(A(0\,;0\,;0)\).
Les axes partent de \(A\) et suivent trois arêtes : l’axe des abscisses vers \(B\), l’axe des ordonnées vers \(D\), l’axe des altitudes vers \(E\).
À retenir : l’origine est toujours le seul point dont les trois coordonnées valent 0.
Exercice 2 — Lire les coordonnées des sommets de la base ★
Donne les coordonnées des sommets \(B\), \(C\) et \(D\).
Voir la correction de l’exercice 2
Ces trois sommets sont sur la base : ils ne montent pas, donc leur altitude est 0.
- \(B\) : on avance de 6 vers \(B\), on ne va pas sur le côté, on ne monte pas → \(B(6\,;0\,;0)\).
- \(C\) : on avance de 6 et on va de 4 sur le côté → \(C(6\,;4\,;0)\).
- \(D\) : on ne va pas devant, on va de 4 sur le côté → \(D(0\,;4\,;0)\).
Tous les points de la base ont une altitude nulle.
Exercice 3 — Lire les coordonnées des sommets du haut ★
Donne les coordonnées des sommets \(F\), \(G\) et \(H\) de la face supérieure.
Voir la correction de l’exercice 3
Ces trois sommets sont sur le dessus : leur altitude vaut 3. Il suffit de reprendre les coordonnées des sommets du bas juste en dessous et de changer la dernière valeur.
- \(F\) est au-dessus de \(B\) → \(F(6\,;0\,;3)\).
- \(G\) est au-dessus de \(C\) → \(G(6\,;4\,;3)\).
- \(H\) est au-dessus de \(D\) → \(H(0\,;4\,;3)\).
Passer d’un sommet du bas à celui du haut : on garde l’abscisse et l’ordonnée, on remplace l’altitude par la hauteur du pavé.
Exercice 4 — Retrouver un sommet à partir de ses coordonnées ★
Quel sommet du pavé a pour coordonnées \((0\,;0\,;3)\) ? Et lequel a pour coordonnées \((6\,;4\,;3)\) ?
Voir la correction de l’exercice 4
On lit les coordonnées une par une.
\((0\,;0\,;3)\) : abscisse 0 et ordonnée 0, donc on est à la verticale de \(A\) ; altitude 3, donc tout en haut. C’est le sommet \(E\).
\((6\,;4\,;3)\) : on va au fond (6), sur le côté (4) et en haut (3) : c’est le coin opposé à \(A\), le sommet \(G\).
\(E\) et \(G\).
Exercice 5 — Repérer un point qui n’est pas un sommet ★
Le point \(I\) est le milieu de l’arête \([AB]\). Donne ses coordonnées.
Voir la correction de l’exercice 5
\(I\) est au milieu de l’arête qui va de \(A(0\,;0\,;0)\) à \(B(6\,;0\,;0)\). Seule l’abscisse change entre ces deux points : elle passe de 0 à 6. Le milieu correspond à la moitié, soit 3.
Ordonnée et altitude restent nulles.
\(I(3\,;0\,;0)\).
Exercices d’approfondissement (milieux, distances et volumes) ★★
On monte d’un cran : ici il faut calculer des milieux de faces, des longueurs avec le théorème de Pythagore, et appliquer les formules de volume de la pyramide et du cône.
Exercice 6 — Milieu d’une face ★★
Le point \(J\) est le centre de la face supérieure \(EFGH\) (c’est-à-dire le milieu de la diagonale \([EG]\)). Donne ses coordonnées.
Voir la correction de l’exercice 6
Le milieu se calcule coordonnée par coordonnée, en prenant la moyenne. On part de \(E(0\,;0\,;3)\) et \(G(6\,;4\,;3)\).
Abscisse : \(\displaystyle\frac{0 + 6}{2} = 3\). Ordonnée : \(\displaystyle\frac{0 + 4}{2} = 2\). Altitude : \(\displaystyle\frac{3 + 3}{2} = 3\).
\(J(3\,;2\,;3)\). Le point est bien « au milieu » du dessus, à la hauteur 3.
Exercice 7 — Longueur d’une diagonale de face ★★
Calcule la longueur de la diagonale \([AF]\) de la face \(ABFE\), sachant que \(AB = 6\) et \(AE = 3\). Donne la valeur exacte puis une valeur arrondie au dixième.
Voir la correction de l’exercice 7
La face \(ABFE\) est un rectangle, donc le triangle \(ABF\) est rectangle en \(B\). On applique le théorème de Pythagore avec \(AB = 6\) et \(BF = AE = 3\) :
\(AF^2 = AB^2 + BF^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45\)Donc \(AF = \sqrt{45}\) (valeur exacte).
À la calculatrice, \(AF \approx 6{,}7\).
\(AF = \sqrt{45} \approx 6{,}7\).
Exercice 8 — Volume du pavé droit ★★
Calcule le volume du pavé droit de dimensions 6 cm, 4 cm et 3 cm. Exprime-le en cm³ puis en litres (rappel : 1 L = 1 000 cm³).
Voir la correction de l’exercice 8
Pour un pavé droit, on multiplie les trois dimensions :
\(V = 6 \times 4 \times 3 = 72\) cm³.
Conversion : \(72 \div 1000 = 0{,}072\) L.
Le volume vaut 72 cm³, soit 0,072 L. Pour t’entraîner sur les conversions, va voir la page calculer un volume en litres et en m³.
Exercice 9 — Volume d’une pyramide à base carrée ★★
Une pyramide a une base carrée de côté 6 cm et une hauteur de 8 cm. Calcule son volume.
Voir la correction de l’exercice 9
Étape 1 — l’aire de la base carrée : \(B = 6 \times 6 = 36\) cm².
Étape 2 — la formule de la pyramide :
\(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times B \times h = \displaystyle\frac{1}{3} \times 36 \times 8\) \(V = \displaystyle\frac{36 \times 8}{3} = \displaystyle\frac{288}{3} = 96\)Le volume de la pyramide vaut 96 cm³.
Exercice 10 — Volume d’un cône ★★
Un cône a un rayon de base de 3 cm et une hauteur de 8 cm. Calcule son volume, en valeur exacte (avec \(\pi\)) puis arrondi au dixième de cm³.
Voir la correction de l’exercice 10
On applique la formule du cône :
\(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h = \displaystyle\frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 8\) \(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 8 = \displaystyle\frac{72\pi}{3} = 24\pi\)Valeur exacte : \(V = 24\pi\) cm³. Valeur arrondie : \(V \approx 75{,}4\) cm³.
\(V = 24\pi \approx 75{,}4\) cm³.
Exercice 11 — Raisonner sur les coordonnées ★★
Sans calcul, réponds à ces questions par vrai ou faux, en justifiant : (a) tous les points de la face \(BCGF\) ont la même abscisse ; (b) le point \(C\) et le point \(G\) ont la même altitude.
Voir la correction de l’exercice 11
(a) Vrai. La face \(BCGF\) est la face « du fond » : elle est collée à l’arête d’abscisse 6. Tous ses points ont donc pour abscisse 6.
(b) Faux. \(C(6\,;4\,;0)\) est en bas (altitude 0) alors que \(G(6\,;4\,;3)\) est en haut (altitude 3). Ils partagent l’abscisse et l’ordonnée, mais pas l’altitude.
C’est ce type de raisonnement qui distingue « avoir appris » de « avoir compris » le repérage.
Tu bloques encore sur la lecture des coordonnées ou sur le facteur 1/3 ? Un professeur particulier peut débloquer ces points en un seul cours : découvre les cours de maths pour le collège d’Excellence Maths.
Exercices de synthèse type brevet ★★★
Voici les exercices les plus complets : ils combinent repérage, Pythagore et volume, exactement comme au brevet. Prends une feuille et rédige chaque étape avant de dérouler la correction.
Exercice 12 — Coordonnées et milieu combinés ★★★
On garde le pavé \(ABCDEFGH\) (\(A\) origine, \(AB=6\), \(AD=4\), \(AE=3\)). Le point \(K\) est le milieu de l’arête \([CG]\) et le point \(L\) est le milieu de l’arête \([EH]\). Donne les coordonnées de \(K\) et de \(L\).
Voir la correction de l’exercice 12
Point \(K\), milieu de \([CG]\) avec \(C(6\,;4\,;0)\) et \(G(6\,;4\,;3)\). Seule l’altitude change : elle passe de 0 à 3, milieu à \(\displaystyle\frac{0+3}{2} = 1{,}5\).
Donc \(K(6\,;4\,;1{,}5)\).
Point \(L\), milieu de \([EH]\) avec \(E(0\,;0\,;3)\) et \(H(0\,;4\,;3)\). Seule l’ordonnée change : milieu à \(\displaystyle\frac{0+4}{2} = 2\).
Donc \(L(0\,;2\,;3)\).
\(K(6\,;4\,;1{,}5)\) et \(L(0\,;2\,;3)\).
Exercice 13 — Pyramide et hauteur par Pythagore ★★★
Une pyramide \(SABCD\) a pour base le carré \(ABCD\) de côté 8 cm. Le sommet \(S\) est à la verticale du centre \(O\) du carré, et l’arête \(SA\) mesure 12 cm. Calcule la hauteur \(SO\) de la pyramide (arrondie au dixième), puis son volume (arrondi à l’unité).
Voir la correction de l’exercice 13
Étape 1 — la demi-diagonale \(OA\). La diagonale du carré de côté 8 se calcule avec Pythagore dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\) : \(AC^2 = 8^2 + 8^2 = 128\), donc \(AC = \sqrt{128}\). Comme \(O\) est le centre, \(OA = \displaystyle\frac{\sqrt{128}}{2}\), soit \(OA^2 = \displaystyle\frac{128}{4} = 32\).
Étape 2 — la hauteur \(SO\). Le triangle \(SOA\) est rectangle en \(O\) (le sommet est à la verticale de \(O\)). Pythagore donne :
\(SO^2 = SA^2- OA^2 = 12^2- 32 = 144- 32 = 112\)Donc \(SO = \sqrt{112} \approx 10{,}6\) cm.
Étape 3 — le volume. Aire de la base : \(B = 8 \times 8 = 64\) cm².
\(V = \displaystyle\frac{64\sqrt{112}}{3} \approx 225{,}77\) cm³, soit 226 cm³ à l’unité près. On conserve la racine exacte jusqu’au résultat final.
La hauteur vaut environ 10,6 cm et le volume environ 226 cm³.
Exercice 14 — Cône et conversion en litres ★★★
Un récipient a la forme d’un cône de rayon 10 cm et de hauteur 21 cm. On veut savoir s’il peut contenir 2 litres de liquide. Calcule son volume (arrondi au cm³) et conclus. On prendra \(\pi \approx 3{,}14\).
Voir la correction de l’exercice 14
Étape 1 — le volume du cône.
\(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h = \displaystyle\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 10^2 \times 21\)\(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 100 \times 21 = \displaystyle\frac{6594}{3} = 2198\) cm³.
Étape 2 — la conversion. Or \(2\) litres \(= 2000\) cm³.
Étape 3 — la conclusion. Comme 2 198 cm³ est plus grand que 2 000 cm³, le récipient peut bien contenir 2 litres de liquide.
Exercice 15 — Problème complet : repérage, distance et volume ★★★
On reprend le pavé \(ABCDEFGH\) (\(AB=6\), \(AD=4\), \(AE=3\)). Le point \(M\) est le milieu de \([AE]\). 1. Donne les coordonnées de \(M\). 2. Calcule la longueur \(MB\) (arrondie au dixième), sachant que le triangle \(AMB\) est rectangle en \(A\). 3. Calcule le volume de la pyramide de sommet \(M\) et de base le rectangle \(ABCD\), sa hauteur étant \(AM\).
Voir la correction de l’exercice 15
1. \(M\) est le milieu de \([AE]\) avec \(A(0\,;0\,;0)\) et \(E(0\,;0\,;3)\). Seule l’altitude change : milieu à \(\displaystyle\frac{0+3}{2} = 1{,}5\). Donc \(M(0\,;0\,;1{,}5)\).
2. Dans le triangle \(AMB\) rectangle en \(A\), on a \(AM = 1{,}5\) et \(AB = 6\). Pythagore :
\(MB^2 = AM^2 + AB^2 = 1{,}5^2 + 6^2 = 2{,}25 + 36 = 38{,}25\)\(MB = \sqrt{38{,}25} \approx 6{,}2\) cm.
3. La base est le rectangle \(ABCD\) : \(B = 6 \times 4 = 24\) cm². La hauteur est \(AM = 1{,}5\) cm.
\(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times 24 \times 1{,}5 = \displaystyle\frac{36}{3} = 12\) cm³.
\(M(0\,;0\,;1{,}5)\), \(MB \approx 6{,}2\) cm, et le volume vaut 12 cm³.
Les erreurs les plus fréquentes à éviter
La plupart des points perdus sur ce chapitre viennent de trois erreurs récurrentes. Les repérer maintenant t’évitera de les faire le jour du contrôle.
Erreur n°1 — inverser l’ordonnée et l’altitude. L’ordre est toujours (abscisse ; ordonnée ; altitude). Un élève écrit \(F(6\,;3\,;0)\) au lieu de \(F(6\,;0\,;3)\) parce qu’il a mis la hauteur en deuxième. Diagnostic : la dernière coordonnée est toujours celle qui « monte ». Un point de la base a forcément une altitude nulle.
Erreur n°2 — oublier le \(\displaystyle\frac{1}{3}\). Pour une pyramide de base 36 et de hauteur 8, écrire \(V = 36 \times 8 = 288\) donne le volume du prisme, pas de la pyramide. Correction : une pyramide ou un cône, ça « pointe » : le résultat vaut un tiers, ici \(V = 96\) cm³.
Erreur n°3 — mélanger les unités dans une conversion. Beaucoup convertissent \(72\) cm³ en \(0{,}72\) L au lieu de \(0{,}072\) L. Rappel : 1 L = 1 000 cm³, donc on divise par 1 000, pas par 100. Retrouve les autres pièges sur la page erreurs de géométrie au collège.
Questions fréquentes
Comment se repérer dans l’espace en 4ème ?
On choisit un sommet du pavé droit comme origine et trois arêtes comme axes. Chaque point est alors décrit par trois nombres, dans l’ordre : son abscisse (combien on avance), son ordonnée (combien on va sur le côté) et son altitude (combien on monte). Un point de la base a toujours une altitude nulle.
Quelles sont les formules du pavé droit ?
Pour le pavé droit, le volume vaut \(V = L \times l \times h\) (longueur × largeur × hauteur). En 4ème, on ajoute deux nouvelles formules : la pyramide, \(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times B \times h\), et le cône, \(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\). Le repérage, lui, ne demande aucune formule : juste la lecture des trois coordonnées.
Quelle est la différence entre les coordonnées dans le plan et dans un pavé droit ?
Dans le plan, un point a deux coordonnées : abscisse et ordonnée, comme dans un repère orthonormé. Dans l’espace, on ajoute une troisième valeur, l’altitude, pour dire à quelle hauteur se trouve le point. On passe donc de deux nombres à trois. Le principe de lecture reste le même : on suit chaque axe l’un après l’autre.
Où trouver des exercices de repérage corrigés à imprimer ?
Cette page rassemble 15 exercices corrigés pas à pas, et tu peux télécharger un PDF de 15 exercices supplémentaires avec leurs corrections via le bouton plus haut. Pour aller plus loin, les pages d’exercices des autres niveaux du cocon (6ème, 5ème, 3ème) complètent l’entraînement sur les volumes.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le repérage dans un pavé droit et les volumes de 4ème. Pour consolider tout le chapitre :
- Les 11 patrons du cube et du pavé droit : la méthode pour tous les reconnaître (avec PDF à imprimer)
- Les solides en CM1-CM2 : exercices et évaluation à imprimer
- Les solides en 6ème : 14 exercices corrigés pas à pas
- 15 Exercices sur les Puissances en 4ème (Corrigés + PDF)
- Exercices de proportionnalité corrigés : du CM1 à la 3ème
