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La statistique descriptive est souvent le tout premier chapitre du semestre en L1 de mathématiques, d’économie-gestion, en BTS ou en prépa ECG. Sur le papier, tout paraît familier : tu as vu la moyenne au collège et l’écart-type en Première. En réalité, la fac change la donne. On te demande de manipuler des sommations, de démontrer des propriétés (linéarité de la moyenne, formule de König-Huygens), de distinguer variance biaisée et variance corrigée, et de justifier chaque résultat comme dans une copie de concours. Ce cours reprend toute la statistique descriptive à une variable avec le niveau de rigueur attendu à l’université, sans jamais perdre le fil pédagogique.
I. Le vocabulaire de la statistique descriptive
Avant tout calcul, il faut fixer le langage. À l’université, on ne dit plus « une liste de notes » : on parle de population, d’individus et de caractère. Ce vocabulaire n’est pas cosmétique — il détermine quels indicateurs ont un sens et lesquels n’en ont pas.
Définition — Population, individu, caractère
La population est l’ensemble des objets étudiés ; ses éléments sont les individus (ou unités statistiques). Le caractère (ou variable) est la propriété observée sur chaque individu. Les valeurs possibles du caractère sont ses modalités. On note \(n\) l’effectif total, c’est-à-dire le nombre d’individus.
La statistique descriptive se contente de résumer et représenter les données observées. Elle s’oppose à la statistique inférentielle, qui cherche à généraliser à une population plus large à partir d’un échantillon (tests, intervalles de confiance). En L1, le premier semestre est presque toujours descriptif.
A. Les types de variables
La nature de la variable conditionne tout. On ne calcule pas une moyenne de couleurs de yeux, mais on peut compter des effectifs. Voici la typologie de référence.
| Type de variable | Sous-type | Exemple | Indicateurs pertinents |
|---|---|---|---|
| Qualitative | Nominale (sans ordre) | Sexe, couleur, ville | Mode, effectifs, fréquences |
| Qualitative | Ordinale (ordonnée) | Mention au bac, satisfaction | Mode, médiane |
| Quantitative | Discrète | Nombre d’enfants, de frères | Tous (moyenne, variance…) |
| Quantitative | Continue (regroupée en classes) | Taille, salaire, durée | Tous, avec centres de classes |
Erreur classique en L1 : calculer une moyenne sur une variable qualitative codée par des nombres. Si tu codes « rouge = 1, vert = 2, bleu = 3 », une « moyenne » de 1,8 ne veut strictement rien dire. Le codage numérique d’une variable nominale n’autorise aucun calcul de position ou de dispersion.
Une fois la nature de la variable identifiée, l’étape suivante est de structurer les observations. C’est le rôle du tableau statistique.
II. Organiser les données : effectifs, fréquences et cumuls
Quand une même modalité se répète, on ne recopie pas cent fois la même valeur : on la compte. C’est la logique du tableau d’effectifs, base de toute la statistique descriptive quantitative.
Soit une variable quantitative prenant les valeurs distinctes \(x_1, x_2, \dots, x_p\), avec les effectifs respectifs \(n_1, n_2, \dots, n_p\). On a alors :
Définition — Fréquence
La fréquence de la modalité \(x_i\) est \(f_i = \displaystyle\frac{n_i}{n}\). Elle vérifie \(0 \leq f_i \leq 1\) et \(\displaystyle\sum_{i=1}^{p} f_i = 1\). Exprimée en pourcentage, on la multiplie par 100.
On complète souvent le tableau par les effectifs cumulés croissants (ECC) et les fréquences cumulées croissantes (FCC), indispensables pour lire une médiane ou un quartile sur une série regroupée. L’ECC d’une modalité est le nombre d’individus dont la valeur est inférieure ou égale à celle-ci. Pour approfondir la construction de ces tableaux, consulte la page dédiée aux effectifs et fréquences.
Vérification systématique : avant tout calcul, contrôle que la somme de ta colonne d’effectifs vaut bien \(n\) et que la dernière fréquence cumulée vaut exactement 1 (ou 100 %). Une erreur de report se voit immédiatement là.
Toute la statistique descriptive L1 condensée en 1 page
Formules clés, König-Huygens démontrée, piège du n − 1 et méthodes de calcul : la fiche à imprimer avant tes partiels.
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Le tableau prêt, on peut résumer la série par deux familles de nombres : là où se situent les données (position), et à quel point elles sont dispersées (dispersion).
III. Les indicateurs de position
Un indicateur de position résume la série par une valeur « centrale ». Les trois grands classiques sont la moyenne, la médiane et le mode. En L1, la nouveauté est surtout la maîtrise formelle de la moyenne avec le symbole de sommation.
A. La moyenne arithmétique
Définition — Moyenne arithmétique
Pour une série brute \(x_1, \dots, x_n\), la moyenne est \(\bar{x} = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\). Pour une série pondérée par des effectifs \(n_i\) :
\(\bar{x} = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i = \sum_{i=1}^{p} f_i x_i\)
La seconde écriture, avec les fréquences \(f_i\), est la plus utile : elle exprime la moyenne comme un barycentre des modalités pondérées par leurs fréquences. Cette lecture prépare directement la notion d’espérance d’une variable aléatoire, que tu rencontreras au chapitre probabilités. Le calcul détaillé d’une moyenne pondérée fait l’objet d’une fiche méthode à part.
Propriété centrale, souvent demandée en démonstration : la linéarité. Si l’on transforme chaque donnée par \(y_i = a x_i + b\) (changement d’unité, par exemple des °C en °F), alors :
B. Médiane et mode
La médiane \(M_e\) partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif : au moins 50 % des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins 50 % lui sont supérieures ou égales. Contrairement à la moyenne, elle est robuste : une valeur extrême ne la déplace quasiment pas. Le calcul pas à pas (série paire, impaire, groupée en classes) est traité en détail sur la page médiane.
Le mode est la modalité de plus grand effectif. C’est le seul indicateur de position disponible pour une variable qualitative nominale. Une série peut être bimodale (deux modes).
C. Quantiles et quartiles
Les quantiles généralisent la médiane : le quantile d’ordre \(\alpha\) (avec \(0\) < \(\alpha\) < \(1\)) est la valeur en dessous de laquelle se trouve une proportion \(\alpha\) des observations. Les cas les plus courants sont les quartiles (\(Q_1, Q_2, Q_3\), avec \(Q_2 = M_e\)) et les déciles. Attention : les conventions de calcul divergent entre le manuel, la calculatrice et le tableur — un point développé sur la page quartiles.
Situer le centre ne suffit jamais. Deux classes peuvent avoir la même moyenne de 10 : l’une avec des notes toutes autour de 10, l’autre avec des 4 et des 16. C’est la dispersion qui les distingue.
IV. Les indicateurs de dispersion
Un indicateur de dispersion mesure l’étalement des données autour de leur centre. On distingue les indicateurs liés à la médiane (étendue, écart interquartile) et ceux liés à la moyenne (variance, écart-type).
A. Étendue et écart interquartile
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \(e = x_{\max} - x_{\min}\). Simple, mais entièrement dictée par les deux valeurs extrêmes, donc peu fiable.
L’écart interquartile \(\text{EIQ} = Q_3 - Q_1\) contient les 50 % centraux de la série et ignore les extrêmes. C’est l’indicateur de dispersion associé à la médiane, visualisé par le diagramme en boîte.
B. Variance et écart-type
Définition — Variance et écart-type
La variance d’une série est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
\(V = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\)
L’écart-type est \(\sigma = \sqrt{V}\). Il a la même unité que les données, ce qui le rend directement interprétable.
La variance est toujours positive ou nulle, et elle est nulle si et seulement si toutes les valeurs sont égales. Les pages variance et écart-type approfondissent chacune de ces notions ; ici, on se concentre sur les propriétés attendues à la fac.
Comme pour la moyenne, on maîtrise l’effet d’un changement d’unité. Avec \(y_i = a x_i + b\) :
Piège fréquent : oublier le carré et écrire \(V(y) = a\,V(x)\). La variance est une moyenne de carrés : le facteur d’échelle est donc \(a^2\), jamais \(a\). En revanche l’écart-type, lui, est multiplié par \(|a|\) (valeur absolue, car un écart-type ne peut être négatif).
C. Le coefficient de variation
Voici un indicateur rarement vu au lycée mais central en L1, économie et sciences expérimentales. L’écart-type dépend de l’unité : un écart-type de 500 € est-il « grand » ? Impossible à dire sans connaître l’ordre de grandeur des données. Le coefficient de variation résout ce problème.
Définition — Coefficient de variation
Pour une série de moyenne \(\bar{x}\) > \(0\), le coefficient de variation est \(\text{CV} = \displaystyle\frac{\sigma}{\bar{x}}\), souvent exprimé en pourcentage.
Le CV est sans unité : il mesure la dispersion relative à la moyenne. Il permet de comparer la variabilité de deux séries qui n’ont ni la même unité ni le même ordre de grandeur — par exemple comparer la dispersion des salaires (en euros) à celle des durées de trajet (en minutes). Un CV plus élevé signale une série plus hétérogène.
Reste une question technique qui piège tout le monde au premier partiel : comment calculer efficacement une variance sans passer par tous les écarts à la moyenne ? La réponse tient dans un théorème.
V. La formule de König-Huygens
Calculer une variance « à la main » avec la définition oblige à faire deux passages sur les données : d’abord la moyenne, puis chaque écart au carré. La formule de König-Huygens permet de tout obtenir en un seul passage. C’est le résultat le plus utile et le plus souvent démontré du chapitre.
Théorème — Formule de König-Huygens
La variance d’une série est égale à la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne :
\(V = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^{\,2}\)
La démonstration est un grand classique de contrôle en L1. Elle repose uniquement sur le développement d’un carré et sur la linéarité de la somme.
Démonstration. On part de la définition et on développe le carré :
\(V = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i^2 - 2\bar{x}\,x_i + \bar{x}^2\right)\)
On sépare la somme en trois morceaux (linéarité) :
\(V = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; 2\bar{x}\cdot\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \;+\; \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2\)
Or \(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \bar{x}\) et \(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2 = \bar{x}^2\) (le terme \(\bar{x}^2\) est constant). D’où :
\(V = \overline{x^2} - 2\bar{x}^2 + \bar{x}^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^{\,2}\) ∎
Une conséquence immédiate et élégante : puisque \(V \geq 0\), on obtient \(\overline{x^2} \geq \bar{x}^2\). C’est un cas particulier de l’inégalité de Jensen appliquée à la fonction carré, convexe.
A. Variance « biaisée » vs variance corrigée : le piège du n − 1
Voici le point qui déroute le plus les nouveaux étudiants, car il n’existe pas au lycée. Dès qu’on passe en statistique inférentielle (estimer la variance d’une population à partir d’un échantillon), on introduit la variance corrigée :
Comment ne plus confondre : divise par \(n\) quand tu décris les données que tu as sous les yeux (statistique descriptive). Divise par \(n-1\) quand tu veux estimer la variance d’une population plus large à partir d’un échantillon (statistique inférentielle). Le lien exact est \(s^2 = \displaystyle\frac{n}{n-1}\,V\). Lis toujours l’énoncé : « variance de la série » = division par \(n\).
Ta calculatrice renvoie les deux : la touche notée \(\sigma_n\) (ou \(\sigma x\)) donne l’écart-type descriptif, la touche \(\sigma_{n-1}\) (ou \(s x\)) donne l’écart-type corrigé. Choisir la mauvaise est l’erreur numéro un aux partiels.
VI. Exercices corrigés
Cinq exercices de difficulté croissante, du calcul direct au raisonnement. Cherche vraiment avant d’ouvrir la correction : c’est là que se joue l’apprentissage.
Exercice 1 — Moyenne, variance, écart-type d’une petite série ★
On considère la série de notes : 8, 12, 14, 6, 10. Calcule la moyenne, puis la variance par König-Huygens, puis l’écart-type.
Voir la correction de l’exercice 1
Ici \(n = 5\). La moyenne :
\(\bar{x} = \displaystyle\frac{8 + 12 + 14 + 6 + 10}{5} = \displaystyle\frac{50}{5} = 10\)Moyenne des carrés :
\(\overline{x^2} = \displaystyle\frac{64 + 144 + 196 + 36 + 100}{5} = \displaystyle\frac{540}{5} = 108\)Variance par König-Huygens :
\(V = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = 108 - 100 = 8\)Écart-type : \(\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83\).
La série a une moyenne de 10 et un écart-type d’environ 2,83.
Exercice 2 — Série à effectifs et médiane par cumuls ★★
Dans une classe, le nombre de frères et sœurs se répartit ainsi : 0 (effectif 5), 1 (effectif 8), 2 (effectif 6), 3 (effectif 4), 4 (effectif 2). Calcule la moyenne et détermine la médiane.
Voir la correction de l’exercice 2
Effectif total : \(n = 5+8+6+4+2 = 25\).
Moyenne pondérée :
\(\bar{x} = \displaystyle\frac{0\times 5 + 1\times 8 + 2\times 6 + 3\times 4 + 4\times 2}{25} = \displaystyle\frac{0+8+12+12+8}{25} = \displaystyle\frac{40}{25} = 1{,}6\)Pour la médiane, on cherche la valeur du \(13^{\text{e}}\) individu (rang \(\displaystyle\frac{25+1}{2} = 13\)). Effectifs cumulés croissants : 5 (jusqu’à 0), 13 (jusqu’à 1), 19 (jusqu’à 2)… Le 13ᵉ individu se situe donc dans la modalité 1.
La moyenne vaut 1,6 et la médiane vaut 1. La moyenne est légèrement tirée vers le haut par les familles nombreuses.
Exercice 3 — Comparer deux séries par le coefficient de variation ★★
Série A (salaires en €) : moyenne 2 000, écart-type 300. Série B (durées en min) : moyenne 45, écart-type 9. Laquelle est la plus dispersée en valeur relative ?
Voir la correction de l’exercice 3
On ne peut pas comparer directement 300 € et 9 min : unités différentes, ordres de grandeur différents. On calcule les coefficients de variation.
\(\text{CV}_A = \displaystyle\frac{300}{2000} = 0{,}15 = 15\,\%\) \(\text{CV}_B = \displaystyle\frac{9}{45} = 0{,}20 = 20\,\%\)La série B est plus dispersée en valeur relative (20 % contre 15 %), alors que son écart-type brut est bien plus petit. C’est tout l’intérêt du CV.
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Exercice 4 — Effet d’un changement d’unité ★★
Une série de températures en °C a pour moyenne \(\bar{x} = 20\) et pour écart-type \(\sigma_x = 5\). On convertit en °F par la formule \(y = 1{,}8\,x + 32\). Donne la moyenne et l’écart-type en °F, sans recalculer quoi que ce soit sur les données.
Voir la correction de l’exercice 4
Ici la transformation est affine avec \(a = 1{,}8\) et \(b = 32\).
Moyenne : \(\bar{y} = a\bar{x} + b = 1{,}8 \times 20 + 32 = 68\) °F.
Écart-type : la translation \(+32\) ne change rien à la dispersion, seul le facteur \(a\) agit :
\(\sigma_y = |a|\,\sigma_x = 1{,}8 \times 5 = 9\) °F.
La moyenne est 68 °F et l’écart-type 9 °F. Piège : ne surtout pas ajouter 32 à l’écart-type.
Exercice 5 — Descriptive ou corrigée ? Raisonnement ★★★
Un échantillon de \(n = 10\) mesures donne \(\sum x_i = 50\) et \(\sum x_i^2 = 310\). (a) Calcule la variance descriptive \(V\). (b) En déduis la variance corrigée \(s^2\). (c) Explique laquelle utiliser pour estimer la variance de la population d’origine.
Voir la correction de l’exercice 5
(a) Moyenne : \(\bar{x} = \displaystyle\frac{50}{10} = 5\). Moyenne des carrés : \(\overline{x^2} = \displaystyle\frac{310}{10} = 31\).
König-Huygens : \(V = 31 - 5^2 = 31 - 25 = 6\).
(b) La variance corrigée s’obtient par \(s^2 = \displaystyle\frac{n}{n-1}\,V = \displaystyle\frac{10}{9}\times 6 = \displaystyle\frac{60}{9} \approx 6{,}67\).
(c) Pour estimer la variance de la population dont l’échantillon est issu, on utilise la variance corrigée \(s^2 \approx 6{,}67\) : la division par \(n-1\) compense le fait qu’on a utilisé la moyenne de l’échantillon (et non celle, inconnue, de la population), ce qui sous-estimerait la dispersion. La variance descriptive \(V = 6\) décrit seulement l’échantillon observé.
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Ces erreurs coûtent des points à chaque session de partiels. Les repérer maintenant, c’est les éviter le jour J.
❌ Copie fautive : « \(V = \bar{x}^2 - \overline{x^2}\) ».
Diagnostic : l’ordre des termes est inversé. Comme \(\overline{x^2} \geq \bar{x}^2\), cette formule donnerait une variance négative, ce qui est impossible.
✅ Correction : \(V = \overline{x^2} - \bar{x}^2\). Moyenne des carrés MOINS carré de la moyenne. Astuce mnémotechnique : « le gros moins le petit ».
- Confondre \(\overline{x^2}\) et \(\bar{x}^2\). Le premier est la moyenne des carrés, le second le carré de la moyenne. Ils sont presque toujours différents.
- Multiplier l’écart-type par \(a^2\) lors d’un changement d’unité. C’est la variance qui prend \(a^2\) ; l’écart-type prend \(|a|\).
- Diviser par \(n\) alors que l’énoncé demande une estimation. Relis : « variance de l’échantillon » (souvent \(n-1\)) vs « variance de la série » (\(n\)).
- Oublier de pondérer par les effectifs dans une série groupée. La moyenne n’est pas la moyenne des modalités, mais la moyenne pondérée par les \(n_i\).
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre statistique descriptive et statistique inférentielle ?
La statistique descriptive résume et représente les données réellement observées (moyenne, variance, graphiques d’un échantillon). La statistique inférentielle, elle, cherche à généraliser à une population plus large à partir d’un échantillon : tests d’hypothèses, intervalles de confiance, estimation. En L1, le premier semestre est presque toujours purement descriptif ; l’inférentielle arrive au second semestre ou en L2.
Pourquoi divise-t-on parfois par n et parfois par n − 1 ?
On divise par \(n\) pour la variance descriptive, qui décrit exactement la série observée. On divise par \(n-1\) pour la variance corrigée, qui sert à estimer la variance d’une population à partir d’un échantillon : cette correction évite de sous-estimer la dispersion. La relation est \(s^2 = \displaystyle\frac{n}{n-1}\,V\). Le choix dépend de la question posée dans l’énoncé.
À quoi sert la formule de König-Huygens ?
Elle permet de calculer une variance en un seul passage sur les données : \(V = \overline{x^2} - \bar{x}^2\). Au lieu de calculer d’abord la moyenne, puis chaque écart au carré, il suffit de cumuler \(\sum x_i\) et \(\sum x_i^2\). C’est plus rapide, plus robuste aux erreurs, et c’est aussi une démonstration classique demandée en contrôle.
Comment comparer la dispersion de deux séries d'unités différentes ?
On utilise le coefficient de variation \(\text{CV} = \displaystyle\frac{\sigma}{\bar{x}}\), qui est sans unité. Il exprime la dispersion relative à la moyenne, ce qui permet de comparer, par exemple, la variabilité de salaires en euros à celle de durées en minutes. Un CV plus élevé signale une série plus hétérogène, indépendamment de l’échelle.
Peut-on calculer une moyenne sur une variable qualitative ?
Non. Une variable qualitative (couleur, ville, mention) n’a pas de sens numérique, même si on la code par des chiffres. Pour ce type de variable, on se limite au mode (modalité la plus fréquente), aux effectifs et aux fréquences. Pour une variable qualitative ordinale, la médiane devient possible car les modalités sont ordonnées.
Existe-t-il un recueil d'exercices corrigés de statistique pour la L1 ?
Oui : les fiches d’université circulent sous forme de PDF (souvent « statistique, 100 exercices corrigés avec résumés de cours »). Sur cette page, tu disposes déjà d’exercices corrigés pas à pas, et la fiche cours-méthode téléchargeable condense l’essentiel en une page à imprimer avant tes partiels.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais la statistique descriptive à une variable. Deux directions naturelles pour approfondir : consolider les indicateurs de dispersion, puis faire le pont vers les probabilités, où la moyenne devient espérance et la variance descriptive devient variance d’une variable aléatoire.
- Écart-type (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- Variance (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- Espérance (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- Variable Aléatoire : Cours Complet du Lycée à la Prépa
Pour aborder la statistique à deux variables (nuage de points, covariance, ajustement affine), poursuis avec la régression linéaire par la méthode des moindres carrés et le coefficient de corrélation.
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