En prépa, le gradient en cylindrique et en sphérique revient sans cesse, en maths comme en physique. Ce formulaire réunit les quatre opérateurs — gradient, divergence, rotationnel, laplacien — dans les trois systèmes de coordonnées, avec les démonstrations, la méthode pour les retrouver et des exemples résolus.
I. Le formulaire complet : 4 opérateurs × 3 systèmes
Voici la table de référence à garder sous les yeux. Elle donne l’expression du gradient, de la divergence, du rotationnel et du laplacien dans les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Une fonction scalaire est notée \(f\) ; un champ de vecteurs est noté \(\vec{A}\), décomposé sur la base locale orthonormée du système considéré.
Conventions utilisées (à fixer avant tout calcul)
- Cylindriques \((\rho,\theta,z)\) : \(\rho \geq 0\) rayon dans le plan, \(\theta\) angle azimutal, \(z\) cote. Base locale \((\vec{e}_\rho,\vec{e}_\theta,\vec{e}_z)\).
- Sphériques \((r,\varphi,\theta)\) : \(r \geq 0\) rayon, \(\varphi \in [0;\pi]\) colatitude (angle avec \(Oz\)), \(\theta \in [0;2\pi[\) azimut. Base locale \((\vec{e}_r,\vec{e}_\varphi,\vec{e}_\theta)\).
La convention physicien courante en prépa met le \(\sin\) sur la colatitude : ici c’est \(\sin\varphi\). Certains manuels utilisent \(\rho\) pour le rayon sphérique et \(\theta\) pour la colatitude — vérifie toujours quelle lettre porte le sinus.
| Opérateur | Cartésiennes | Cylindriques | Sphériques |
|---|---|---|---|
| Gradient \(\vec{\nabla} f\) | \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\vec{e}_x + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\vec{e}_y + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z\) | \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \rho}\vec{e}_\rho + \displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e}_\theta + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z\) | \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e}_r + \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \varphi}\vec{e}_\varphi + \displaystyle\frac{1}{r\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e}_\theta\) |
| Divergence \(\mathrm{div}\,\vec{A}\) | \(\displaystyle\frac{\partial A_x}{\partial x} + \displaystyle\frac{\partial A_y}{\partial y} + \displaystyle\frac{\partial A_z}{\partial z}\) | \(\displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial(\rho A_\rho)}{\partial \rho} + \displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \displaystyle\frac{\partial A_z}{\partial z}\) | \(\displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial(r^2 A_r)}{\partial r} + \displaystyle\frac{1}{r\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial(\sin\varphi\, A_\varphi)}{\partial \varphi} + \displaystyle\frac{1}{r\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}\) |
| Rotationnel \(\vec{\nabla}\wedge\vec{A}\) | \(\displaystyle\left(\displaystyle\frac{\partial A_z}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\vec{e}_x + \left(\displaystyle\frac{\partial A_x}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\vec{e}_y + \left(\displaystyle\frac{\partial A_y}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\vec{e}_z\) | \(\displaystyle\left(\displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\displaystyle\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\right)\vec{e}_\rho + \left(\displaystyle\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right)\vec{e}_\theta + \displaystyle\frac{1}{\rho}\left(\displaystyle\frac{\partial(\rho A_\theta)}{\partial \rho}-\displaystyle\frac{\partial A_\rho}{\partial \theta}\right)\vec{e}_z\) | \(\displaystyle\frac{1}{r\sin\varphi}\left(\displaystyle\frac{\partial(\sin\varphi\, A_\theta)}{\partial \varphi}-\displaystyle\frac{\partial A_\varphi}{\partial \theta}\right)\vec{e}_r + \displaystyle\frac{1}{r}\left(\displaystyle\frac{1}{\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial A_r}{\partial \theta}-\displaystyle\frac{\partial(r A_\theta)}{\partial r}\right)\vec{e}_\varphi + \displaystyle\frac{1}{r}\left(\displaystyle\frac{\partial(r A_\varphi)}{\partial r}-\displaystyle\frac{\partial A_r}{\partial \varphi}\right)\vec{e}_\theta\) |
| Laplacien \(\Delta f\) | \(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \rho}\right)+\displaystyle\frac{1}{\rho^2}\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}+\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\displaystyle\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\displaystyle\frac{1}{r^2\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \varphi}\!\left(\sin\varphi\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right)+\displaystyle\frac{1}{r^2\sin^2\varphi}\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}\) |
Ce tableau est la matrice à imprimer et coller dans ton classeur : aucun aperçu IA ni featured snippet ne peut la restituer d’un bloc. La version PDF ci-dessous ajoute les conversions cartésien / polaire / cylindrique / sphérique et les éléments différentiels sur une seule feuille.
Le formulaire complet des opérateurs sur une seule feuille
Gradient, divergence, rotationnel et laplacien dans les trois systèmes, plus les conversions et les éléments différentiels — prêt à imprimer.
📄 Télécharger le formulaire PDFToutes tes formules d’analyse vectorielle sous les yeux, à chaque colle.
Ce formulaire donne le « quoi ». Pour le « pourquoi » — la définition et l’interprétation géométrique de chaque opérateur — reporte-toi aux pages dédiées : la définition et l’interprétation du gradient, celle du laplacien et celles du rotationnel et de la divergence.
II. Éléments de longueur, de surface et de volume
Ces éléments servent à intégrer sur une courbe, une surface ou un volume, et à retrouver les opérateurs (voir section suivante). Le déplacement élémentaire \(\mathrm{d}\vec{\ell}\) contient toute l’information géométrique du système.
| Système | Déplacement élémentaire \(\mathrm{d}\vec{\ell}\) | Élément de volume \(\mathrm{d}V\) | Jacobien |
|---|---|---|---|
| Cartésien | \(\mathrm{d}x\,\vec{e}_x + \mathrm{d}y\,\vec{e}_y + \mathrm{d}z\,\vec{e}_z\) | \(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\) | \(1\) |
| Cylindrique | \(\mathrm{d}\rho\,\vec{e}_\rho + \rho\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta + \mathrm{d}z\,\vec{e}_z\) | \(\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\) | \(\rho\) |
| Sphérique | \(\mathrm{d}r\,\vec{e}_r + r\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{e}_\varphi + r\sin\varphi\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta\) | \(r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta\) | \(r^2\sin\varphi\) |
Le jacobien est exactement le coefficient qui apparaît dans un changement de variable pour une intégrale double ou triple : ce tableau tabule les valeurs, la page dédiée les applique au calcul effectif. Le jacobien lui-même se démontre proprement via le déterminant de la matrice jacobienne.
III. Retrouver les formules sans les apprendre par cœur
Apprendre par cœur seize expressions est inutile et risqué en concours. Toutes se reconstruisent à partir d’un seul objet : les facteurs d’échelle \(h_i\), qui mesurent la longueur réelle parcourue quand on fait varier une coordonnée de \(\mathrm{d}q_i\). On les lit directement dans le déplacement élémentaire \(\mathrm{d}\vec{\ell} = h_1\,\mathrm{d}q_1\,\vec{e}_1 + h_2\,\mathrm{d}q_2\,\vec{e}_2 + h_3\,\mathrm{d}q_3\,\vec{e}_3\).
| Système | Coordonnées \((q_1,q_2,q_3)\) | \(h_1\) | \(h_2\) | \(h_3\) |
|---|---|---|---|---|
| Cartésien | \((x,y,z)\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| Cylindrique | \((\rho,\theta,z)\) | \(1\) | \(\rho\) | \(1\) |
| Sphérique | \((r,\varphi,\theta)\) | \(1\) | \(r\) | \(r\sin\varphi\) |
Une fois les \(h_i\) connus, les trois opérateurs se lisent par les formules générales des coordonnées curvilignes orthogonales :
Formules générales (coordonnées orthogonales)
Gradient : \(\displaystyle \vec{\nabla}f = \sum_{i=1}^{3} \displaystyle\frac{1}{h_i}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial q_i}\,\vec{e}_i\)
Divergence : \(\displaystyle \mathrm{div}\,\vec{A} = \displaystyle\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[\displaystyle\frac{\partial(h_2 h_3 A_1)}{\partial q_1} + \displaystyle\frac{\partial(h_1 h_3 A_2)}{\partial q_2} + \displaystyle\frac{\partial(h_1 h_2 A_3)}{\partial q_3}\right]\)
Laplacien : \(\displaystyle \Delta f = \displaystyle\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[\displaystyle\frac{\partial}{\partial q_1}\!\left(\displaystyle\frac{h_2 h_3}{h_1}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial q_1}\right) + \displaystyle\frac{\partial}{\partial q_2}\!\left(\displaystyle\frac{h_1 h_3}{h_2}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial q_2}\right) + \displaystyle\frac{\partial}{\partial q_3}\!\left(\displaystyle\frac{h_1 h_2}{h_3}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial q_3}\right)\right]\)
Remplace \((h_\rho,h_\theta,h_z) = (1,\rho,1)\) dans le gradient : tu obtiens \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \rho}\vec{e}_\rho + \displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e}_\theta + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z\). Le fameux facteur \(1/\rho\) n’est rien d’autre que \(1/h_\theta\). C’est là le gain de temps : trois lignes à mémoriser au lieu de seize.
Le réflexe qui sauve : dès qu’un \(\vec{\nabla}\) apparaît en cylindrique ou en sphérique, écris d’abord \(\mathrm{d}\vec{\ell}\), lis les \(h_i\), puis applique la formule générale. Tu ne confondras jamais le \(1/\rho\) du gradient avec le \(1/\rho^2\) du laplacien.
IV. Démonstration du gradient en cylindriques et sphériques
La démonstration repose sur la définition intrinsèque du gradient : c’est l’unique vecteur tel que, pour tout déplacement élémentaire, \(\mathrm{d}f = \vec{\nabla}f \cdot \mathrm{d}\vec{\ell}\). C’est cette caractérisation, indépendante des coordonnées, qui rend la preuve immédiate.
A. Cas cylindrique
La différentielle de \(f(\rho,\theta,z)\) s’écrit, par définition des dérivées partielles :
\(\displaystyle \mathrm{d}f = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial \rho}\,\mathrm{d}\rho + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta}\,\mathrm{d}\theta + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\,\mathrm{d}z\)Par ailleurs, en notant \(\vec{\nabla}f = (\nabla f)_\rho\,\vec{e}_\rho + (\nabla f)_\theta\,\vec{e}_\theta + (\nabla f)_z\,\vec{e}_z\) et en utilisant \(\mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}\rho\,\vec{e}_\rho + \rho\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta + \mathrm{d}z\,\vec{e}_z\), le produit scalaire (base orthonormée) donne :
\(\displaystyle \vec{\nabla}f\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = (\nabla f)_\rho\,\mathrm{d}\rho + (\nabla f)_\theta\,\rho\,\mathrm{d}\theta + (\nabla f)_z\,\mathrm{d}z\)L’égalité \(\mathrm{d}f = \vec{\nabla}f\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}\) devant valoir pour tout \((\mathrm{d}\rho,\mathrm{d}\theta,\mathrm{d}z)\), on identifie terme à terme :
\(\displaystyle (\nabla f)_\rho = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial \rho}, \qquad (\nabla f)_\theta = \displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta}, \qquad (\nabla f)_z = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\)ce qui est bien la formule annoncée. ∎
B. Cas sphérique
Même raisonnement avec \(\mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}r\,\vec{e}_r + r\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{e}_\varphi + r\sin\varphi\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta\). La différentielle vaut :
\(\displaystyle \mathrm{d}f = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial r}\,\mathrm{d}r + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial \varphi}\,\mathrm{d}\varphi + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta}\,\mathrm{d}\theta\)et le produit scalaire \(\vec{\nabla}f\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = (\nabla f)_r\,\mathrm{d}r + (\nabla f)_\varphi\,r\,\mathrm{d}\varphi + (\nabla f)_\theta\,r\sin\varphi\,\mathrm{d}\theta\). L’identification donne :
\(\displaystyle (\nabla f)_r = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial r}, \qquad (\nabla f)_\varphi = \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \varphi}, \qquad (\nabla f)_\theta = \displaystyle\frac{1}{r\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta}\) ∎
On voit apparaître les facteurs \(1/h_\varphi = 1/r\) et \(1/h_\theta = 1/(r\sin\varphi)\) : la démonstration est la formule générale de la section III, écrite en toutes lettres.
V. Démonstration du laplacien en cylindriques et sphériques
Le laplacien est la divergence du gradient : \(\Delta f = \mathrm{div}(\vec{\nabla}f)\). On combine donc les deux résultats précédents avec l’expression de la divergence. C’est la voie la plus sûre pour ne pas se tromper de facteur.
A. Cas cylindrique
On pose \(\vec{A} = \vec{\nabla}f\), soit \(A_\rho = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial \rho}\), \(A_\theta = \displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta}\), \(A_z = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\). La divergence cylindrique donne :
\(\displaystyle \Delta f = \displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial(\rho A_\rho)}{\partial \rho} + \displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \displaystyle\frac{\partial A_z}{\partial z}\) \(\displaystyle \Delta f = \displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\)Comme \(\rho\) ne dépend pas de \(\theta\), le facteur \(1/\rho\) sort de la dérivée en \(\theta\), d’où :
\(\displaystyle \Delta f = \displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \displaystyle\frac{1}{\rho^2}\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\) ∎
B. Cas sphérique
De même, \(A_r = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial r}\), \(A_\varphi = \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \varphi}\), \(A_\theta = \displaystyle\frac{1}{r\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta}\). La divergence sphérique s’écrit :
\(\displaystyle \Delta f = \displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial(r^2 A_r)}{\partial r} + \displaystyle\frac{1}{r\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial(\sin\varphi\,A_\varphi)}{\partial \varphi} + \displaystyle\frac{1}{r\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}\)On remplace chaque composante :
\(\displaystyle \Delta f = \displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\displaystyle\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \displaystyle\frac{1}{r\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \varphi}\!\left(\sin\varphi\cdot\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right) + \displaystyle\frac{1}{r\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\displaystyle\frac{1}{r\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)\)Le \(1/r\) et le \(1/(r\sin\varphi)\) sortent des dérivées où ils sont constants, et on obtient la forme finale :
\(\displaystyle \Delta f = \displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\displaystyle\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \displaystyle\frac{1}{r^2\sin\varphi}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \varphi}\!\left(\sin\varphi\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right) + \displaystyle\frac{1}{r^2\sin^2\varphi}\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}\) ∎
Pourquoi cette page fait la différence : ces quatre démonstrations n’existent, ailleurs sur le web, que dans des PDF universitaires austères. Les retrouver en HTML lisible, c’est exactement ce que le correcteur attend de toi en colle ou en oral.
VI. Trois exemples d’application résolus
Trois calculs classiques, du plus direct au plus subtil, pour manier les formules du tableau. Essaie avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Gradient cylindrique d’un potentiel ★
Soit \(f(\rho,\theta,z) = \rho^2\sin\theta\). Calculer \(\vec{\nabla}f\) en coordonnées cylindriques.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique directement la ligne « gradient / cylindriques » du tableau.
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \rho} = 2\rho\sin\theta, \qquad \displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta} = \rho^2\cos\theta, \qquad \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z} = 0\)Attention au facteur \(1/\rho\) sur la composante azimutale :
\(\displaystyle \vec{\nabla}f = 2\rho\sin\theta\,\vec{e}_\rho + \displaystyle\frac{1}{\rho}\cdot\rho^2\cos\theta\,\vec{e}_\theta = 2\rho\sin\theta\,\vec{e}_\rho + \rho\cos\theta\,\vec{e}_\theta\)Le \(1/\rho\) simplifie ici un des deux \(\rho\) : c’est précisément l’erreur classique de l’oublier.
Exercice 2 — Le laplacien du potentiel de Coulomb ★★
Montrer que \(f(r) = \displaystyle\frac{1}{r}\) est harmonique sur \(\mathbb{R}^3\setminus\{0\}\), c’est-à-dire que \(\Delta f = 0\) pour \(r\) non nul.
Voir la correction de l’exercice 2
La fonction ne dépend que de \(r\) : les dérivées en \(\varphi\) et \(\theta\) sont nulles. Seul le terme radial du laplacien sphérique subsiste :
\(\displaystyle \Delta f = \displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\displaystyle\frac{\partial f}{\partial r}\right)\)On calcule \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial r} = -\displaystyle\frac{1}{r^2}\), donc \(r^2\displaystyle\frac{\partial f}{\partial r} = -1\), constante. Sa dérivée en \(r\) est nulle :
\(\displaystyle \Delta f = \displaystyle\frac{1}{r^2}\cdot\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}(-1) = 0\)Le potentiel newtonien (ou coulombien) est harmonique hors de l’origine : c’est le calcul fondateur de l’électrostatique et de la gravitation, à savoir refaire sans hésiter.
Exercice 3 — Divergence d’un champ radial ★★★
Soit le champ \(\vec{A} = \displaystyle\frac{k}{r^2}\,\vec{e}_r\) (type champ électrostatique), avec \(k\) constante. Calculer \(\mathrm{div}\,\vec{A}\) pour \(r\) non nul, puis interpréter.
Voir la correction de l’exercice 3
Le champ n’a qu’une composante radiale \(A_r = k/r^2\), et \(A_\varphi = A_\theta = 0\). Seul le premier terme de la divergence sphérique compte :
\(\displaystyle \mathrm{div}\,\vec{A} = \displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial(r^2 A_r)}{\partial r} = \displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\cdot\displaystyle\frac{k}{r^2}\right) = \displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial k}{\partial r} = 0\)Interprétation : le champ en \(1/r^2\) est à divergence nulle partout où il est défini. Le flux se conserve à travers toute sphère centrée à l’origine, ce qui traduit l’absence de source hors de l’origine (théorème de Gauss). Le facteur \(r^2\) du numérateur compense exactement le \(1/r^2\) du champ : c’est toute la géométrie sphérique dans une ligne.
VII. Pièges classiques
Ces trois erreurs coûtent des points à chaque colle. Elles viennent toutes d’une même cause : traiter les coordonnées curvilignes comme des coordonnées cartésiennes.
Piège n°1 — Confondre les conventions \(\theta\) / \(\varphi\) en sphériques. Selon les auteurs, la colatitude est notée \(\theta\) (physiciens anglo-saxons) ou \(\varphi\). Le seul repère fiable : le sinus porte toujours sur la colatitude, l’angle mesuré depuis \(Oz\). Écrire \(r^2\sin\theta\) au lieu de \(r^2\sin\varphi\) pour l’élément de volume est l’erreur la plus fréquente. Fixe ta convention en début de copie et ne la change plus.
Piège n°2 — Oublier que la base locale n’est pas constante. En cartésien, \(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z\) sont fixes. En cylindrique et en sphérique, \(\vec{e}_\rho,\vec{e}_\theta,\vec{e}_r,\dots\) tournent avec le point. Dériver un champ de vecteurs sans dériver aussi ses vecteurs de base (ex. \(\displaystyle\frac{\partial \vec{e}_\rho}{\partial \theta} = \vec{e}_\theta\)) fausse toute divergence ou rotationnel calculé « à la main ». Utilise les formules du tableau, qui intègrent déjà ces dérivations.
Piège n°3 — Le facteur \(1/\rho\) du gradient devient \(1/\rho^2\) au laplacien. Dans \(\vec{\nabla}f\), la composante azimutale porte \(\displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial\theta}\) ; dans \(\Delta f\), le terme correspondant est \(\displaystyle\frac{1}{\rho^2}\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial\theta^2}\). Le carré vient de la double application (gradient puis divergence). Vérifie toujours l’homogénéité : \(\Delta f\) a la dimension de \(f\) divisée par une longueur au carré.
VIII. Questions fréquentes
Comment retrouver le gradient en cylindriques rapidement ?
Écris le déplacement élémentaire \(\mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}\rho\,\vec{e}_\rho + \rho\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta + \mathrm{d}z\,\vec{e}_z\) et lis les facteurs d’échelle \((1,\rho,1)\). Le gradient est alors \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \rho}\vec{e}_\rho + \displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e}_\theta + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z\) : chaque composante est \(\displaystyle\frac{1}{h_i}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial q_i}\). Trois secondes suffisent.
Pourquoi un facteur 1 sur rho apparaît-il dans le gradient cylindrique ?
Parce qu’une variation d’angle \(\mathrm{d}\theta\) correspond à un déplacement réel de longueur \(\rho\,\mathrm{d}\theta\), et non \(\mathrm{d}\theta\). Le gradient mesure une variation par unité de longueur, donc on divise par ce facteur d’échelle \(\rho\). C’est purement géométrique : plus on est loin de l’axe, plus un même angle balaie une grande distance.
Quelle est la différence entre le gradient cartésien et le gradient cylindrique ?
C’est le même vecteur physique, simplement exprimé dans deux bases différentes. En cartésien, les dérivées sont directes (\(\partial f/\partial x\), etc.). En cylindrique, les composantes portent des facteurs d’échelle (\(1/\rho\) sur l’azimut) car la base locale suit le point. Le gradient reste orthogonal aux surfaces de niveau, quelle que soit la représentation.
Colatitude : est-ce theta ou phi en coordonnées sphériques ?
Il n’y a pas de réponse universelle : les deux conventions existent. Sur cette page, \(\varphi\) est la colatitude (angle avec \(Oz\), entre 0 et \(\pi\)) et \(\theta\) l’azimut. Le critère infaillible : la coordonnée dont le sinus apparaît dans l’élément de volume \(r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta\) est toujours la colatitude.
Comment passer du laplacien cartésien au laplacien sphérique ?
On ne « convertit » pas terme à terme : on recalcule via \(\Delta f = \mathrm{div}(\vec{\nabla}f)\). On écrit le gradient sphérique, on l’injecte dans la divergence sphérique, et on simplifie. La démonstration complète est détaillée en section V. C’est plus rapide et plus sûr que de tenter un changement de variables direct dans les dérivées secondes.
IX. Pour aller plus loin
Ce formulaire tabule les opérateurs ; pour les comprendre, les démontrer dans le détail et t’entraîner, poursuis avec les pages du cocon. Les exercices corrigés d’analyse vectorielle appliquent directement ces formules, et la page sur les systèmes de coordonnées détaille le repérage et les bases locales.
- Tableau de variation d’une fonction
- Calcul de Dérivées (1ère) : Méthode et Exemples
- Changement de Variable dans une Intégrale : Méthode, Exemples Résolus et Exercices
- Continuité d’une Fonction (Tle) : Cours et Méthodes
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