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L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité qu’une variable aléatoire s’écarte de sa moyenne : pour tout écart \(\delta\) > \(0\), on a \(P(|X- \mu| \geq \delta) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\). Elle fonctionne pour n’importe quelle variable admettant une variance, sans connaître sa loi, et fonde la loi des grands nombres.
Imagine qu’on te donne une variable aléatoire dont tu ignores tout, sauf sa moyenne et sa variance. Peux-tu quand même dire quelque chose sur ses valeurs « extrêmes » ? La réponse est oui, et c’est exactement le tour de force de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : garantir, avec deux nombres seulement, qu’une variable ne s’éloigne pas trop souvent de sa moyenne. Dans cet article, tu vas comprendre la formule, savoir la démontrer, mesurer sa vraie force (et sa vraie faiblesse), et voir comment elle mène directement à la loi des grands nombres.
I. Énoncé et décodage de la formule
Commençons par l’objet lui-même. L’inégalité relie trois ingrédients que tu connais déjà : la moyenne \(\mu\) (l’espérance), la dispersion \(V(X)\) (la variance) et un écart \(\delta\) que tu choisis.
A. Énoncé formel
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit \(X\) une variable aléatoire admettant une espérance \(\mu = E(X)\) et une variance \(V(X)\). Alors, pour tout réel \(\delta\) > \(0\) :
\(P(|X- \mu| \geq \delta) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\)
En français : la probabilité que \(X\) s’éloigne de sa moyenne d’au moins \(\delta\) ne dépasse jamais \(V(X)\) divisé par \(\delta^2\). Autrement dit, plus une variable est peu dispersée (variance faible), plus elle reste « collée » à sa moyenne.
B. Ce que chaque terme signifie
Le point délicat pour beaucoup d’élèves, c’est le membre de gauche. Décortiquons-le terme à terme.
- \(|X- \mu|\) : c’est l’écart entre la variable et sa moyenne, en valeur absolue. On ne regarde pas le signe, seulement la distance.
- \(|X- \mu| \geq \delta\) : l’événement « la variable est loin de sa moyenne d’au moins \(\delta\) ». C’est un événement « queue de distribution ».
- \(\displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\) : la borne, c’est-à-dire le plafond que la probabilité ne peut pas dépasser.
Il existe une version « complémentaire » très utile en exercice, obtenue par passage à l’événement contraire :
La version « concentration »
Puisque les événements \(|X- \mu| \geq \delta\) et \(|X- \mu|\) < \(\delta\) sont contraires :
\(P(|X- \mu| \; \text{\lt } \; \delta) \geq 1- \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\)
C’est cette forme qu’on utilise quand l’énoncé demande de minorer la probabilité que \(X\) reste proche de sa moyenne.
C. Conditions d’application
L’inégalité est remarquablement générale, mais elle a deux exigences non négociables.
- \(X\) doit admettre une variance (donc une espérance et une variance finie). C’est presque toujours le cas au lycée.
- Le réel \(\delta\) doit être strictement positif. Si \(\delta = 0\), la borne devient infinie et l’inégalité ne dit rien.
En revanche — et c’est là toute sa puissance — on n’a pas besoin de connaître la loi de \(X\). Binomiale, uniforme, une loi exotique : peu importe. Seuls \(\mu\) et \(V(X)\) entrent en jeu. Cette universalité a un prix, que nous mesurerons plus loin.
II. La démonstration pas à pas
Maintenant que la formule est claire, démontrons-la. La preuve tient en quelques lignes et repose entièrement sur la définition de la variance. Elle est accessible dès la Terminale.
A. La démonstration ligne à ligne (cas discret)
Plaçons-nous avec une variable \(X\) prenant les valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_k\) avec les probabilités \(p_1, \dots, p_k\). Par définition :
\(V(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} (x_i- \mu)^2 \, p_i\)Étape 1 — On ne garde qu’une partie de la somme. Chaque terme \((x_i- \mu)^2 \, p_i\) est positif ou nul. On peut donc minorer la somme en ne conservant que les indices \(i\) pour lesquels \(|x_i- \mu| \geq \delta\) :
\(V(X) \geq \displaystyle\sum_{|x_i- \mu| \geq \delta} (x_i- \mu)^2 \, p_i\)Étape 2 — On minore chaque terme conservé. Pour ces indices, \(|x_i- \mu| \geq \delta\), donc \((x_i- \mu)^2 \geq \delta^2\). On remplace :
\(V(X) \geq \displaystyle\sum_{|x_i- \mu| \geq \delta} \delta^2 \, p_i = \delta^2 \displaystyle\sum_{|x_i- \mu| \geq \delta} p_i\)Étape 3 — On reconnaît une probabilité. La somme des \(p_i\) sur les indices tels que \(|x_i- \mu| \geq \delta\) n’est autre que \(P(|X- \mu| \geq \delta)\). Donc :
\(V(X) \geq \delta^2 \, P(|X- \mu| \geq \delta)\)Étape 4 — On divise par \(\delta^2\) (qui est strictement positif), et on obtient l’inégalité annoncée :
\(P(|X- \mu| \geq \delta) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\) ∎
B. 🔴 Version rigoureuse en prépa
En classe préparatoire, on préfère une preuve plus élégante qui dérive l’inégalité comme un simple corollaire de l’inégalité de Markov. C’est aussi la manière la plus rapide de la retenir.
Démonstration via Markov (CPGE)
Posons \(Y = (X- \mu)^2\). C’est une variable aléatoire positive, donc l’inégalité de Markov s’applique avec le seuil \(a = \delta^2\) > \(0\) :
\(P(Y \geq \delta^2) \leq \displaystyle\frac{E(Y)}{\delta^2}\)
Or \(\{|X- \mu| \geq \delta\} = \{(X- \mu)^2 \geq \delta^2\} = \{Y \geq \delta^2\}\), et par définition \(E(Y) = E\big((X-\mu)^2\big) = V(X)\). On conclut immédiatement :
\(P(|X- \mu| \geq \delta) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\)
Cette lecture n’est pas seulement plus courte : elle situe Bienaymé-Tchebychev dans une chaîne logique. Markov donne la majoration de base, Bienaymé-Tchebychev l’applique à l’écart à la moyenne, et de là découlent l’inégalité de concentration puis la loi des grands nombres.
Toute l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev en 1 page
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III. Ce que le résultat dit vraiment : la borne face à la réalité
Voici le point que la plupart des fiches passent sous silence, et qui fait pourtant toute la subtilité de l’inégalité. Bienaymé-Tchebychev donne une garantie toujours vraie, mais souvent très pessimiste.
A. Interprétation correcte
Comment lire la borne : l’inégalité dit « la probabilité de s’écarter beaucoup est au plus tant ». Elle ne dit jamais que cette probabilité vaut exactement la borne. C’est un plafond de sécurité, pas une estimation précise.
Prenons un exemple concret. On lance une pièce équilibrée 1 000 fois. Le nombre \(X\) de « pile » suit une loi binomiale binomiale de paramètres \(n = 1000\) et \(p = 0{,}5\), donc \(\mu = 500\) et \(V(X) = np(1-p) = 250\). Quelle est la probabilité de s’écarter de la moyenne d’au moins 30 ?
Bienaymé-Tchebychev répond : \(P(|X- 500| \geq 30) \leq \displaystyle\frac{250}{30^2} = \displaystyle\frac{250}{900} \approx 0{,}278\). La vraie probabilité, calculée par approximation normale, est en réalité de l’ordre de \(0{,}058\). La borne est presque cinq fois trop grande.
B. Borne théorique vs probabilité réelle
Généralisons cette comparaison pour la même situation (pièce lancée 1 000 fois, \(\mu = 500\), \(V(X) = 250\)).
| Écart \(\delta\) | Borne Bienaymé-Tchebychev \(\displaystyle\frac{250}{\delta^2}\) | Probabilité réelle (approx. normale) | Rapport |
|---|---|---|---|
| \(\delta = 20\) | \(0{,}625\) | \(\approx 0{,}21\) | \(\times 3\) |
| \(\delta = 30\) | \(0{,}278\) | \(\approx 0{,}058\) | \(\times 5\) |
| \(\delta = 50\) | \(0{,}100\) | \(\approx 0{,}0016\) | \(\times 60\) |
Pourquoi cet écart grandissant ? Parce que l’inégalité n’utilise que l’espérance et la variance. Elle ignore complètement la forme de la loi (ici, la cloche binomiale très concentrée). Elle doit donc rester valable même pour la loi « la plus étalée possible » ayant cette variance — d’où sa prudence extrême.
Erreur classique n°1 : croire que la borne est atteinte ou proche du vrai résultat. Écrire « la probabilité vaut \(\displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\) » est faux. L’inégalité donne un majorant, presque jamais la valeur exacte. On dira « la probabilité est au plus égale à… ».
IV. De l’écart à la moyenne : l’inégalité de concentration
Nous arrivons au cœur du programme de spécialité de Terminale, dans le chapitre officiel « Concentration, loi des grands nombres ». L’idée : appliquer Bienaymé-Tchebychev non pas à une seule variable, mais à la moyenne d’un échantillon.
On considère \(n\) variables aléatoires \(X_1, \dots, X_n\) indépendantes et de même loi, ayant chacune la même espérance \(\mu\) et la même variance \(V(X)\). On note leur moyenne empirique :
\(M_n = \displaystyle\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}\)On sait alors que \(E(M_n) = \mu\) et, grâce à l’indépendance, \(V(M_n) = \displaystyle\frac{V(X)}{n}\). La variance de la moyenne est \(n\) fois plus petite : c’est la clé de tout.
Inégalité de concentration
En appliquant Bienaymé-Tchebychev à \(M_n\), pour tout \(\delta\) > \(0\) :
\(P(|M_n- \mu| \geq \delta) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{n\,\delta^2}\)
Regarde bien le \(n\) au dénominateur. Quand la taille de l’échantillon augmente, la borne tend vers \(0\). Autrement dit, la moyenne empirique se concentre de plus en plus près de \(\mu\). On vient de démontrer, en une ligne, l’essentiel de la loi des grands nombres : la moyenne d’un grand échantillon est presque sûrement proche de l’espérance théorique.
Ce résultat justifie pourquoi un sondage sur un échantillon renseigne sur toute une population, et prolonge l’intuition développée sur le pilier échantillonnage.
V. La même inégalité, deux lectures : lycée et prépa
Une des forces de ce résultat, c’est qu’il traverse deux niveaux avec un vocabulaire différent. Voici ce qui est attendu de toi selon là où tu es.
🟢 Au lycée (Terminale, spécialité maths)
- L’inégalité est exigible, ainsi que l’inégalité de concentration.
- La démonstration directe (celle de la partie II.A) peut être demandée ou fournie ; savoir l’appliquer est le minimum.
- Formulation attendue sur une copie : « D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, \(P(|X-\mu|\geq \delta)\leq \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\) », puis on remplace les valeurs.
- On travaille avec \(X\) discrète, souvent binomiale, et on interprète le résultat en langage courant.
🔴 En prépa (MPSI/PCSI et 2ᵉ année)
- L’inégalité devient un corollaire de Markov (partie II.B), lui-même démontré via la fonction indicatrice.
- Le vocabulaire change : on parle de convergence en probabilité de \(M_n\) vers \(\mu\), ce qui est exactement la loi faible des grands nombres.
- On généralise aux moments d’ordre supérieur et on relie le tout au théorème central limite pour obtenir des bornes bien plus fines.
- La démonstration est un « classique de cours » qu’un correcteur attend rédigée sans faille.
Que tu sois en Terminale ou en prépa, l’objet est le même — seule la profondeur de traitement diffère. C’est aussi pour cela que ce chapitre est un excellent pont vers l’enseignement supérieur.
VI. Bienaymé-Tchebychev tombe-t-il au bac ?
C’est une question qui revient sans arrêt, et sur laquelle circule une information périmée. Mettons les choses au clair.
Oui, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et l’inégalité de concentration sont évaluables à l’épreuve écrite de spécialité. Elles figurent régulièrement aux sujets récents (Métropole 2025 jour 1, Amérique du Nord 2025, entre autres).
Attention à cette idée reçue : plusieurs fiches en ligne affirment encore que « la concentration et la loi des grands nombres ne sont pas évaluables à l’écrit ». Cette restriction ne concernait que la session 2022, dans le cadre des aménagements liés à la crise sanitaire. Elle a pris fin avec le retour de l’épreuve : depuis, le programme de spécialité est évaluable dans son intégralité.
Concrètement, un sujet type bac te demandera souvent de : (1) calculer \(E(X)\) et \(V(X)\) d’une variable binomiale, (2) appliquer l’inégalité pour majorer une probabilité de « valeur extrême », (3) déterminer une taille d’échantillon garantissant une précision donnée. Ces trois compétences sont exactement celles travaillées dans les 20 exercices corrigés du cocon.
VII. Markov ou Bienaymé-Tchebychev : laquelle choisir ?
Ces deux inégalités sont cousines et servent toutes deux à majorer une probabilité sans connaître la loi exacte. Mais elles ne s’appliquent pas dans les mêmes situations. Voici comment les départager.
| Critère | Inégalité de Markov | Inégalité de Bienaymé-Tchebychev |
|---|---|---|
| Ce qu’elle majore | \(P(X \geq a)\) pour une variable positive | \(P(|X- \mu| \geq \delta)\), l’écart à la moyenne |
| Formule | \(P(X \geq a) \leq \displaystyle\frac{E(X)}{a}\) | \(P(|X-\mu|\geq \delta) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\) |
| Hypothèse clé | \(X \geq 0\) et \(E(X)\) existe | \(V(X)\) existe (signe quelconque) |
| Information utilisée | Espérance seule | Espérance et variance |
| Quand l’utiliser | Variable positive, on ne connaît que la moyenne | On veut contrôler l’écart à la moyenne (concentration, LGN) |
En une phrase : Markov exploite seulement l’espérance d’une variable positive ; Bienaymé-Tchebychev, plus précise, exploite en plus la variance pour contrôler l’écart à la moyenne. Pour approfondir, consulte le cours dédié à l’inégalité de Markov.
A. Les erreurs classiques à éviter
Erreur n°2 — Appliquer Markov à une variable négative. L’inégalité de Markov exige \(X \geq 0\). Si ta variable peut être négative, tu ne peux pas l’utiliser telle quelle. Bienaymé-Tchebychev, elle, n’a pas cette contrainte (elle porte sur \(|X-\mu|\), toujours positif).
Erreur n°3 — Oublier le carré au dénominateur. On écrit \(\displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\), pas \(\displaystyle\frac{V(X)}{\delta}\). Le \(\delta^2\) vient du carré \((x_i-\mu)^2\) dans la démonstration. C’est l’erreur d’inattention la plus coûteuse en contrôle.
Erreur n°4 — Confondre écart-type et variance. Dans la formule figure \(V(X)\), la variance, pas l’écart-type \(\sigma\). Si on te donne \(\sigma\), pense à écrire \(V(X) = \sigma^2\) avant de remplacer.
VIII. D’où vient ce résultat ? Applications et Python
Un peu d’histoire aide à comprendre pourquoi cette inégalité porte deux noms.
Tout commence avec Jacob Bernoulli et son théorème « d’or » publié à titre posthume en 1713 dans l’Ars Conjectandi : c’est la première forme de la loi des grands nombres pour les fréquences. Au XIXᵉ siècle, le Français Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878) puis le Russe Pafnouti Tchebychev (1821-1894) en donnent une démonstration bien plus simple et générale, via l’inégalité qui porte aujourd’hui leurs deux noms. C’est un cas rare où l’on a conservé la double paternité franco-russe.
À ne pas confondre : Pafnouti Tchebychev a laissé son nom à plusieurs objets mathématiques distincts. Cette inégalité n’a rien à voir avec les polynômes de Tchebychev, utilisés en approximation et en intégration numérique. Même mathématicien, sujets totalement différents.
A. Vérifier la concentration en Python
Le programme de spécialité inclut l’algorithmique. Simulons la moyenne empirique de 1 000 lancers de pièce et comptons combien de fois elle s’écarte de \(0{,}5\) d’au moins \(0{,}05\).
import random
n = 1000 # taille de l'echantillon
essais = 100000 # nombre de simulations
mu = 0.5 # esperance d'un lancer (pile = 1)
delta = 0.05 # ecart a la moyenne teste
depassements = 0
for _ in range(essais):
moyenne = sum(random.randint(0, 1) for _ in range(n)) / n
if abs(moyenne - mu) >= delta:
depassements += 1
print(depassements / essais) # frequence observeeLa borne théorique de concentration vaut \(\displaystyle\frac{V(X)}{n\,\delta^2} = \displaystyle\frac{0{,}25}{1000 \times 0{,}0025} = 0{,}1\). Or la fréquence affichée par le programme est de l’ordre de \(0{,}002\) : encore une fois, la vraie probabilité est bien plus petite que la borne. La simulation confirme concrètement le message de la partie III.
IX. Applications corrigées
Passons à la pratique avec trois applications de difficulté croissante. Essaie de les résoudre avant d’ouvrir la correction. Pour un entraînement complet, retrouve les 20 exercices corrigés du cocon.
Exercice 1 — Majorer un écart ★
Une variable aléatoire \(X\) vérifie \(E(X) = 20\) et \(V(X) = 4\). Majore la probabilité \(P(|X- 20| \geq 4)\).
Voir la correction de l’exercice 1
On applique directement l’inégalité avec \(\mu = 20\), \(V(X) = 4\) et \(\delta = 4\) :
\(P(|X- 20| \geq 4) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2} = \displaystyle\frac{4}{4^2} = \displaystyle\frac{4}{16} = 0{,}25\)La probabilité de s’écarter d’au moins 4 de la moyenne est au plus égale à 0,25. Note bien la formulation : on majore, on n’affirme pas une valeur exacte.
Exercice 2 — Minorer une probabilité ★★
Une machine produit des sachets dont la masse \(X\) (en grammes) vérifie \(E(X) = 250\) et écart-type \(\sigma = 5\). Minore la probabilité que la masse d’un sachet soit strictement comprise entre 235 g et 265 g.
Voir la correction de l’exercice 2
L’événement « masse entre 235 et 265 » s’écrit \(|X- 250|\) < \(15\). On utilise donc la version complémentaire, avec \(\delta = 15\).
D’abord, la variance : \(V(X) = \sigma^2 = 5^2 = 25\) (attention à ne pas garder l’écart-type).
\(P(|X- 250| \; \text{\lt } \; 15) \geq 1- \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2} = 1- \displaystyle\frac{25}{225} = 1- \displaystyle\frac{1}{9} \approx 0{,}889\)Au moins 88,9 % des sachets ont une masse comprise entre 235 g et 265 g, quelle que soit la loi de \(X\).
Exercice 3 — Dimensionner un échantillon ★★★
On lance une pièce équilibrée \(n\) fois et on note \(F_n\) la fréquence de « pile ». En utilisant l’inégalité de concentration, détermine une valeur de \(n\) garantissant \(P(|F_n- 0{,}5| \geq 0{,}01) \leq 0{,}05\).
Voir la correction de l’exercice 3
Chaque lancer suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p = 0{,}5\), donc de variance \(p(1-p) = 0{,}25\). La fréquence \(F_n\) est une moyenne empirique, d’espérance \(0{,}5\) et de variance \(\displaystyle\frac{0{,}25}{n}\).
Par l’inégalité de concentration avec \(\delta = 0{,}01\) :
\(P(|F_n- 0{,}5| \geq 0{,}01) \leq \displaystyle\frac{0{,}25}{n \times 0{,}01^2} = \displaystyle\frac{0{,}25}{0{,}0001\,n} = \displaystyle\frac{2500}{n}\)On veut cette borne inférieure ou égale à \(0{,}05\) :
\(\displaystyle\frac{2500}{n} \leq 0{,}05 \Longleftrightarrow n \geq \displaystyle\frac{2500}{0{,}05} = 50\,000\)Il suffit de \(n = 50\,000\) lancers. Remarque le prix de la garantie : Bienaymé-Tchebychev étant très prudent, il exige un échantillon énorme. Un raisonnement fondé sur la loi normale (Moivre-Laplace) donnerait un \(n\) bien plus petit — c’est toute la différence entre une borne « toujours vraie » et une estimation fine.
X. Questions fréquentes
Que dit l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev en une phrase ?
Elle garantit qu’une variable aléatoire s’écarte rarement de sa moyenne : la probabilité de s’en éloigner d’au moins \(\delta\) est au plus \(\displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\). Plus la variance est petite, plus la variable reste proche de son espérance.
Quelle est la différence entre l’inégalité de Markov et celle de Bienaymé-Tchebychev ?
Markov majore \(P(X \geq a)\) pour une variable positive à l’aide de la seule espérance. Bienaymé-Tchebychev, qui en découle, majore l’écart à la moyenne \(P(|X-\mu|\geq \delta)\) en utilisant en plus la variance. Bienaymé-Tchebychev est donc plus précise et s’applique aux variables de signe quelconque.
Faut-il connaître la loi de X pour appliquer l’inégalité ?
Non, et c’est sa grande force. Seules l’espérance et la variance sont nécessaires. En contrepartie, la borne obtenue est souvent très pessimiste par rapport à la probabilité réelle.
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est-elle au programme de Terminale et évaluable au bac ?
Oui. Elle appartient au chapitre « Concentration, loi des grands nombres » de la spécialité maths et est pleinement évaluable à l’écrit. L’exclusion parfois citée ne concernait que la session 2022 (aménagements sanitaires) et n’est plus en vigueur.
Pourquoi la borne est-elle si éloignée de la vraie probabilité ?
Parce que l’inégalité n’utilise que l’espérance et la variance, sans tenir compte de la forme de la loi. Elle doit rester valable pour la distribution « la plus étalée » possible ayant cette variance, ce qui la rend volontairement prudente.
XI. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, sa démonstration et l’inégalité de concentration. Pour continuer dans le cocon :
- Intervalle de confiance : formule, calcul et interprétation
- La loi des grands nombres : de l’intuition à la démonstration
- 20 exercices corrigés : inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres (Terminale)
- Variable Aléatoire : Cours Complet du Lycée à la Prépa
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