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Tu as sûrement déjà tracé un diagramme en bâtons d’une loi binomiale, par exemple le nombre de « pile » sur un grand nombre de lancers. Et tu as remarqué que, plus le nombre de lancers augmente, plus ce diagramme dessine une belle cloche symétrique. Cette « cloche », c’est la loi normale. Le théorème de Moivre-Laplace est le résultat qui explique et démontre pourquoi la loi binomiale finit toujours par ressembler à une loi normale. C’est le pont historique entre les probabilités discrètes du lycée et les probabilités continues, et l’outil qui justifie les intervalles de fluctuation.
En bref. Le théorème de Moivre-Laplace établit que, pour \(n\) grand, la loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) est bien approchée par la loi normale d’espérance \(np\) et d’écart-type \(\sqrt{np(1-p)}\). Autrement dit, la variable centrée réduite associée à une loi binomiale converge vers la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0, 1)\).
I. L’énoncé du théorème de Moivre-Laplace
Le théorème de Moivre-Laplace répond à une question simple : quand on répète un grand nombre de fois la même expérience à deux issues (succès / échec), comment se comporte le nombre total de succès ? Il s’inscrit dans le cocon de l’échantillonnage comme le résultat qui fait le lien entre la loi normale et la loi binomiale.
A. Énoncé formel
Théorème de Moivre-Laplace
Soit \(p \in \left]0 ; 1\right[\) un réel fixé. Pour chaque entier \(n \geq 1\), on considère une variable aléatoire \(X_n\) suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\). On pose la variable centrée réduite :
\(Z_n = \displaystyle\frac{X_n- np}{\sqrt{np(1-p)}}\)
Alors, pour tous réels \(a\) et \(b\) avec \(a\) < \(b\) :
\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P\big(a \leq Z_n \leq b\big) = \int_a^b \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\displaystyle\frac{t^2}{2}}\, dt\)
Le membre de droite est exactement \(P(a \leq Z \leq b)\) où \(Z\) suit la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0, 1)\).
En une phrase : quand \(n\) devient grand, la loi binomiale « standardisée » se comporte comme la loi normale centrée réduite. C’est pour cela qu’on dit que \(\mathcal{N}(0,1)\) est la loi limite de la binomiale.
B. Décodage : ce que signifie chaque terme
La formule paraît impressionnante, mais chaque morceau se comprend facilement si tu te souviens de la loi binomiale.
- \(np\) est l’espérance de \(X_n\) : le nombre de succès attendu « en moyenne ».
- \(np(1-p)\) est la variance de \(X_n\), et donc \(\sqrt{np(1-p)}\) est son écart-type, c’est-à-dire la « largeur typique » des fluctuations.
- \(Z_n = \displaystyle\frac{X_n- np}{\sqrt{np(1-p)}}\) est la variable centrée (on retire l’espérance) et réduite (on divise par l’écart-type). Elle a une espérance nulle et un écart-type égal à 1, exactement comme \(\mathcal{N}(0,1)\).
Centrer et réduire, c’est simplement mettre toutes les lois binomiales « à la même échelle » pour pouvoir les comparer à une seule et unique courbe de référence.
C. Conditions d’application au lycée
En théorie, le théorème est un résultat de limite : il est exact seulement quand \(n \to +\infty\). En pratique, on utilise l’approximation dès que \(n\) est « assez grand ». La règle usuelle enseignée retient trois conditions :
Quand approcher \(\mathcal{B}(n,p)\) par une loi normale ?
On considère l’approximation acceptable lorsque :
- \(n \geq 30\),
- \(np \geq 5\),
- \(n(1-p) \geq 5\).
Ces conditions garantissent que la cloche est « assez centrée » et pas coupée par les bords 0 ou \(n\).
Ces conditions sont exactement celles qui reviennent pour valider un intervalle de confiance ou un intervalle de fluctuation asymptotique. Ce n’est pas un hasard : ces intervalles reposent précisément sur le théorème de Moivre-Laplace.
II. Démonstration et intuition
Avant de voir la mécanique de la preuve, commençons par comprendre pourquoi une somme de nombreux petits « oui/non » finit par dessiner une cloche. C’est cette intuition qui rend le résultat naturel.
A. Pourquoi la binomiale ressemble à une cloche
La loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) compte le nombre de succès sur \(n\) épreuves indépendantes. Les valeurs proches de l’espérance \(np\) sont beaucoup plus probables que les valeurs extrêmes (obtenir presque aucun succès ou presque que des succès est rarissime). Résultat : les probabilités \(P(X_n = k)\) sont maximales autour de \(k = np\) et décroissent de part et d’autre. Cela produit un profil symétrique en forme de cloche, d’autant plus régulier que \(n\) est grand.
B. Les grandes étapes de la démonstration 🔴 Prépa
🔴 Section prépa. Au lycée, on admet le théorème de Moivre-Laplace : aucune démonstration n’est exigible. La preuve ci-dessous éclaire la mécanique du résultat pour les élèves qui poursuivront en classe préparatoire.
La démonstration historique de de Moivre puis Laplace repose sur une analyse fine du terme central de la loi binomiale, à l’aide de la formule de Stirling.
- Point de départ. On étudie \(P(X_n = k)\) pour \(k = np + x\sqrt{np(1-p)}\), c’est-à-dire au voisinage de l’espérance, à une distance mesurée en écarts-types.
- Formule de Stirling. On remplace les factorielles de \({n \choose k}\) par leur équivalent \(m! \sim \sqrt{2\pi m}\,\left(\displaystyle\frac{m}{e}\right)^m\). Cela transforme un produit de factorielles en une expression exploitable.
- Développement limité. En passant au logarithme et en effectuant un développement de \(\ln\) à l’ordre 2 autour de \(np\), le terme dominant fait apparaître \(-\displaystyle\frac{x^2}{2}\).
- Terme local. On obtient l’équivalent local (théorème de Moivre-Laplace « local ») : \(P(X_n = k) \sim \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}\, e^{-\displaystyle\frac{x^2}{2}}\)
- Passage aux sommes. En sommant ces probabilités ponctuelles sur \(a \leq x \leq b\), la somme de Riemann associée converge vers l’intégrale \(\displaystyle\int_a^b \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\displaystyle\frac{t^2}{2}}\, dt\), ce qui donne l’énoncé « intégral ».
La démonstration rigoureuse demande de contrôler l’uniformité de l’équivalent de Stirling ; c’est un exercice classique de première année. Notons que Moivre-Laplace est en réalité un cas particulier du théorème central limite (voir plus loin) : c’est le cas où les variables sommées sont des lois de Bernoulli.
La fiche cours-méthode « Théorème de Moivre-Laplace »
L’énoncé, les conditions d’application, la méthode d’approximation et un exemple modèle — tout sur une seule page à imprimer.
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III. Ce que le résultat dit vraiment
Un énoncé de limite reste abstrait tant qu’on ne l’a pas fait vivre sur un exemple chiffré. Voyons concrètement à quoi sert l’approximation.
A. Interprétation graphique
Le théorème dit que l’aire sous le diagramme en bâtons de la binomiale (sur un intervalle) tend vers l’aire sous la courbe de Gauss. Cela permet de remplacer un calcul long (sommer beaucoup de coefficients binomiaux) par une simple lecture de table ou un calcul d’intégrale. Plus \(n\) est grand, meilleure est l’approximation : la cloche binomiale se lisse et se superpose de mieux en mieux à la loi normale.
B. Un exemple chiffré
Exemple. On lance une pièce équilibrée \(n = 100\) fois. Soit \(X\) le nombre de « pile ». Estimer \(P(45 \leq X \leq 55)\).
Ici \(X\) suit \(\mathcal{B}(100 ; 0{,}5)\). Les conditions sont vérifiées : \(n = 100 \geq 30\), \(np = 50 \geq 5\), \(n(1-p) = 50 \geq 5\).
Espérance : \(np = 50\). Écart-type : \(\sqrt{np(1-p)} = \sqrt{25} = 5\).
On standardise les bornes :
\(z_1 = \displaystyle\frac{45- 50}{5} = -1 \qquad z_2 = \displaystyle\frac{55- 50}{5} = 1\)
D’après Moivre-Laplace : \(P(45 \leq X \leq 55) \approx P(-1 \leq Z \leq 1) \approx 0{,}68\).
Environ 68 % de chances d’obtenir entre 45 et 55 « pile » sur 100 lancers — la fameuse règle des « 68 % à un écart-type ».
IV. Double lecture : au lycée et en prépa
Le théorème de Moivre-Laplace n’a pas le même statut selon ton niveau. Voici ce qui change, pour éviter de rédiger « comme au lycée » une fois arrivé en prépa.
🟢 Au lycée (Terminale)
- Le théorème est admis, jamais démontré.
- On l’utilise pour justifier l’intervalle de fluctuation asymptotique et l’intervalle de confiance.
- Le vocabulaire attendu : « pour \(n\) grand, \(X_n\) suit approximativement la loi normale \(\mathcal{N}\big(np ; np(1-p)\big)\) ».
- Les calculs se font par standardisation et lecture de table (ou calculatrice).
🔴 En prépa (MPSI / PCSI / ECG)
- Moivre-Laplace devient un cas particulier du théorème central limite (TCL), lui-même démontrable via les fonctions caractéristiques.
- On parle de convergence en loi : \(Z_n \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow} \mathcal{N}(0,1)\), notion définie proprement.
- La preuve « à la main » repose sur la formule de Stirling et un développement limité, comme vu plus haut.
- On distingue clairement approximation locale (\(P(X_n=k)\)) et approximation intégrale (\(P(a\leq Z_n \leq b)\)).
V. Applications concrètes
Au-delà de l’exercice de calcul, le théorème irrigue toute la statistique inférentielle. En voici les usages majeurs.
- Intervalle de fluctuation. C’est Moivre-Laplace qui donne la formule de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, avec le fameux coefficient \(1{,}96\) issu de la loi normale.
- Intervalle de confiance et sondages. Estimer une proportion à partir d’un échantillon repose sur la même approximation normale de la binomiale. Voir la marge d’erreur d’un sondage.
- Contrôle qualité. Détecter un taux de défauts anormal sur une grande production revient à comparer une fréquence observée à une loi normale.
Simuler la convergence en Python
Une simulation vaut mille mots : on tire un grand nombre de lois binomiales standardisées, et on vérifie que la répartition dessine bien la cloche.
import random
n = 100 # nombre d'épreuves
p = 0.5 # probabilité de succès
N = 10000 # nombre de simulations
esperance = n * p
ecart_type = (n * p * (1 - p)) ** 0.5
dans_intervalle = 0
for _ in range(N):
# une réalisation de la loi binomiale B(n, p)
X = sum(1 for _ in range(n) if random.random() < p)
# variable centrée réduite
Z = (X - esperance) / ecart_type
if -1 <= Z <= 1:
dans_intervalle += 1
print(dans_intervalle / N) # résultat attendu : environ 0.68Le programme affiche une valeur proche de \(0{,}68\) : exactement la probabilité prédite par la loi normale sur \(\left[-1 ; 1\right]\). La théorie et la simulation coïncident.
VI. Ne pas confondre : Moivre-Laplace et le théorème central limite
C'est la confusion la plus fréquente une fois en prépa. Les deux résultats disent qu'« une somme tend vers une loi normale », mais ils n'ont pas la même portée.
| Critère | Théorème de Moivre-Laplace | Théorème central limite (TCL) |
|---|---|---|
| Loi de départ | Loi binomiale (somme de Bernoulli) | N'importe quelle loi avec variance finie |
| Portée | Cas particulier | Résultat général |
| Loi limite | \(\mathcal{N}(0,1)\) | \(\mathcal{N}(0,1)\) |
| Niveau | Terminale (admis) puis prépa | Prépa |
En résumé : Moivre-Laplace, c'est le TCL appliqué à des lois de Bernoulli. Tout Moivre-Laplace est un TCL, mais pas l'inverse.
Les erreurs classiques
Erreur n°1 — Appliquer l'approximation hors conditions. Avec \(n = 10\) et \(p = 0{,}02\), on a \(np = 0{,}2\) < \(5\) : la loi normale est totalement inadaptée. Dans ce cas de « petits \(p\) », c'est l'approximation par la loi de Poisson qu'il faut envisager, pas la loi normale.
Erreur n°2 — Oublier de standardiser. Écrire \(P(45 \leq X \leq 55) \approx P(45 \leq Z \leq 55)\) est faux : il faut d'abord centrer et réduire les bornes avec \(z = \displaystyle\frac{x- np}{\sqrt{np(1-p)}}\) avant de lire la loi \(\mathcal{N}(0,1)\).
Erreur n°3 — Confondre variance et écart-type. La loi normale approchante est \(\mathcal{N}\big(np ; np(1-p)\big)\) où le second paramètre est la variance. L'écart-type à utiliser pour standardiser est \(\sqrt{np(1-p)}\), pas \(np(1-p)\).
VII. Applications corrigées
Passe à la pratique avec ces quatre exercices de difficulté croissante. Cherche d'abord seul, puis déroule la correction.
Exercice 1 — Approximation directe ★
Une urne contient une proportion \(p = 0{,}5\) de boules rouges. On effectue \(n = 400\) tirages avec remise. Soit \(X\) le nombre de boules rouges. Estimer \(P(190 \leq X \leq 210)\).
Voir la correction de l’exercice 1
\(X\) suit \(\mathcal{B}(400 ; 0{,}5)\). Conditions vérifiées : \(np = 200 \geq 5\), \(n(1-p) = 200 \geq 5\).
Espérance \(np = 200\) ; écart-type \(\sqrt{400 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = \sqrt{100} = 10\).
Standardisation : \(z_1 = \displaystyle\frac{190- 200}{10} = -1\) et \(z_2 = \displaystyle\frac{210- 200}{10} = 1\).
Donc \(P(190 \leq X \leq 210) \approx P(-1 \leq Z \leq 1) \approx \mathbf{0{,}68}\).
Exercice 2 — Standardisation et lecture de table ★★
Un test comporte \(n = 144\) questions à réponse binaire ; un candidat répond au hasard, donc \(p = 0{,}5\). Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses. Estimer la probabilité qu'il obtienne au moins 78 bonnes réponses.
Voir la correction de l’exercice 2
\(X\) suit \(\mathcal{B}(144 ; 0{,}5)\). Espérance \(np = 72\) ; écart-type \(\sqrt{144 \times 0{,}25} = \sqrt{36} = 6\).
On cherche \(P(X \geq 78)\). Standardisation de la borne : \(z = \displaystyle\frac{78- 72}{6} = 1\).
Donc \(P(X \geq 78) \approx P(Z \geq 1) = 1- P(Z \leq 1) \approx 1- 0{,}841\).
Soit environ \(\mathbf{0{,}16}\) : le candidat a à peu près 16 % de chances de dépasser ce seuil au hasard.
Exercice 3 — Vers l'intervalle de fluctuation ★★
Dans une population, une maladie touche une proportion \(p = 0{,}3\). On prélève un échantillon de \(n = 100\) personnes. En utilisant Moivre-Laplace, déterminer un intervalle \(\left[a ; b\right]\) centré sur \(np\) tel que \(P(a \leq X \leq b) \approx 0{,}95\).
Voir la correction de l’exercice 3
Espérance \(np = 30\) ; écart-type \(\sigma = \sqrt{100 \times 0{,}3 \times 0{,}7} = \sqrt{21} \approx 4{,}58\).
Pour un seuil de 95 %, la loi normale donne \(P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) \approx 0{,}95\).
On « dé-standardise » : \(a = np- 1{,}96\,\sigma \approx 30- 1{,}96 \times 4{,}58 \approx 21{,}0\) et \(b = np + 1{,}96\,\sigma \approx 39{,}0\).
L'intervalle est donc environ \(\left[21 ; 39\right]\). C'est exactement la logique de l'intervalle de fluctuation : le coefficient \(1{,}96\) vient de la loi normale, autorisée par Moivre-Laplace.
Exercice 4 — Correction de continuité 🔴 ★★★
Soit \(X\) de loi \(\mathcal{B}(50 ; 0{,}5)\). On veut approcher \(P(X = 25)\). Une approximation naïve par une loi continue donnerait 0. Explique pourquoi, et propose une approximation correcte à l'aide de la correction de continuité.
Voir la correction de l’exercice 4
Le problème. Pour une loi continue comme \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\), on a \(P(Z = a) = 0\) pour toute valeur ponctuelle : approcher \(P(X = 25)\) par \(P(Z = 25)\) donne bien 0, ce qui est absurde.
La solution. On remplace l'événement ponctuel \(\{X = 25\}\) par l'intervalle \(\left[24{,}5 ; 25{,}5\right]\) : c'est la correction de continuité, qui « rend » à chaque entier une largeur de 1.
Ici \(np = 25\) et \(\sigma = \sqrt{50 \times 0{,}25} = \sqrt{12{,}5} \approx 3{,}54\).
\(z_1 = \displaystyle\frac{24{,}5- 25}{3{,}54} \approx -0{,}14\) et \(z_2 = \displaystyle\frac{25{,}5- 25}{3{,}54} \approx 0{,}14\).
\(P(X = 25) \approx P(-0{,}14 \leq Z \leq 0{,}14) \approx 0{,}112\).
La valeur exacte binomiale vaut environ \(0{,}1123\) : la correction de continuité est remarquablement précise. C'est un raffinement rarement montré au lycée, mais très utile en prépa.
VIII. Questions fréquentes
À quoi sert le théorème de Moivre-Laplace ?
Il permet de remplacer un calcul de loi binomiale (long, avec beaucoup de coefficients binomiaux) par un calcul de loi normale, beaucoup plus rapide. C'est aussi le fondement théorique des intervalles de fluctuation et de confiance étudiés en Terminale.
Quelle est la différence entre Moivre-Laplace et le théorème central limite ?
Le théorème central limite affirme que la somme (standardisée) de nombreuses variables indépendantes de même loi, à variance finie, tend vers la loi normale. Le théorème de Moivre-Laplace est le cas particulier où ces variables sont des lois de Bernoulli : la somme est alors une loi binomiale. Autrement dit, Moivre-Laplace est un cas particulier du TCL.
Le théorème de Moivre-Laplace est-il au programme du bac ?
Le théorème lui-même est le plus souvent admis et sert à justifier les intervalles de fluctuation. Il n'est pas demandé de le démontrer en Terminale. En revanche, les applications (approximation d'une binomiale par une loi normale, intervalles de fluctuation) sont pleinement évaluables.
Quelles conditions pour approcher une binomiale par une loi normale ?
Les conditions usuelles sont : \(n \geq 30\), \(np \geq 5\) et \(n(1-p) \geq 5\). Elles garantissent que la « cloche » binomiale est suffisamment centrée et symétrique pour être bien approchée par la loi normale.
D’où vient le coefficient 1,96 des intervalles de fluctuation ?
Il provient directement de la loi normale centrée réduite : \(P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) \approx 0{,}95\). Comme Moivre-Laplace autorise à remplacer la binomiale standardisée par \(\mathcal{N}(0,1)\), ce coefficient se transfère à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le pont entre loi binomiale et loi normale. Pour consolider tout le chapitre :
