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Un test d’hypothèse est une procédure de décision qui confronte deux hypothèses sur une population — l’hypothèse nulle \(H_0\) et l’hypothèse alternative \(H_1\) — à partir d’un échantillon. On rejette \(H_0\) si la p-value est inférieure au seuil \(\alpha\) (souvent 5 %), en contrôlant le risque de se tromper.
Un laboratoire annonce que son nouveau médicament réduit le temps de guérison. Un sondage donne 52 % d’intentions de vote à un candidat. Une machine est réglée pour produire des pièces de 20 mm. Dans les trois cas, la même question revient : l’écart observé est-il un signal réel, ou un simple effet du hasard de l’échantillonnage ? Le test d’hypothèse est l’outil qui répond à cette question avec un niveau de rigueur mesuré et contrôlé. C’est la pierre angulaire de la statistique inférentielle : on part d’un échantillon pour décider quelque chose sur toute une population.
I. Le principe : hypothèse nulle et hypothèse alternative
Un test d’hypothèse tranche entre deux affirmations concurrentes sur une population, à partir des seules données d’un échantillon. Tout repose sur une asymétrie fondamentale entre ces deux hypothèses, qu’il faut comprendre avant toute formule.
Définition — Hypothèses nulle et alternative
On considère un paramètre inconnu \(\theta\) d’une population (une proportion \(p\), une moyenne \(\mu\), une variance…). Un test d’hypothèse oppose :
- l’hypothèse nulle \(H_0\) : l’hypothèse « par défaut », que l’on suppose vraie tant que les données ne la contredisent pas ;
- l’hypothèse alternative \(H_1\) : l’hypothèse concurrente, celle que l’on cherche à mettre en évidence.
L’asymétrie est essentielle : on ne cherche jamais à « prouver \(H_0\) ». On cherche à voir si les données apportent une preuve suffisamment forte contre \(H_0\) pour la rejeter. C’est le raisonnement de la présomption d’innocence : \(H_0\) est présumée vraie, et il faut des preuves accablantes pour la condamner.
A. Test unilatéral ou bilatéral
La forme de \(H_1\) détermine la nature du test. Pour un test sur une moyenne avec valeur de référence \(\mu_0\) :
Trois formes d’alternative
- Bilatéral : \(H_1 : \mu \neq \mu_0\) — on veut détecter tout écart, dans un sens ou dans l’autre.
- Unilatéral à droite : \(H_1 : \mu\) > \(\mu_0\) — on veut détecter une augmentation.
- Unilatéral à gauche : \(H_1 : \mu\) < \(\mu_0\) — on veut détecter une diminution.
Le choix se fait avant de regarder les données, à partir de la question posée. « Le médicament est-il efficace ? » (on n’attend une action que dans un sens) appelle un test unilatéral ; « la machine est-elle déréglée ? » (dans un sens comme dans l’autre) appelle un test bilatéral.
B. La statistique de test
Le test résume l’échantillon en un seul nombre, la statistique de test \(T\), dont on connaît la loi sous l’hypothèse \(H_0\). C’est le point technique central : tout le raisonnement consiste à calculer une probabilité en supposant \(H_0\) vraie, puis à juger si la valeur observée est « trop improbable » pour être crédible sous \(H_0\).
Par exemple, pour un test sur une moyenne d’un échantillon gaussien de variance connue \(\sigma^2\), la statistique de test est
Le fait que \(Z\) suive une loi connue sous \(H_0\) découle directement du théorème central limite et du théorème de Moivre-Laplace pour les proportions : c’est ce qui rend le test possible. Voyons maintenant comment enchaîner concrètement les étapes.
II. La méthode d’un test en 5 étapes
Un test d’hypothèse suit toujours la même trame, quel que soit le paramètre étudié. Maîtriser ces cinq étapes, c’est savoir mener n’importe quel test rencontré en prépa ou en post-bac.
- Poser les hypothèses. Écrire \(H_0\) et \(H_1\), et décider si le test est uni- ou bilatéral, avant de regarder les données.
- Choisir le risque \(\alpha\). Fixer le seuil de signification, typiquement \(\alpha = 0{,}05\) (5 %) ou \(\alpha = 0{,}01\). C’est le risque maximal de rejeter \(H_0\) à tort que l’on s’autorise.
- Calculer la statistique de test. À partir de l’échantillon, calculer la valeur observée \(t_{\text{obs}}\) de \(T\).
- Prendre la décision. Deux méthodes équivalentes : comparer \(t_{\text{obs}}\) à la valeur critique (région de rejet), ou comparer la p-value à \(\alpha\).
- Conclure dans le contexte. Reformuler la décision statistique en langage courant, en rappelant le risque assumé.
Exemple fil rouge — Une pièce est-elle équilibrée ?
On lance une pièce \(n = 100\) fois et on obtient 61 « Pile ». La pièce est-elle truquée ?
1. \(H_0 : p = 0{,}5\) contre \(H_1 : p \neq 0{,}5\) (bilatéral). 2. \(\alpha = 0{,}05\). 3. Sous \(H_0\), \(Z = \displaystyle\frac{F_n- 0{,}5}{\sqrt{0{,}5 \times 0{,}5 / 100}}\) suit approximativement \(\mathcal{N}(0,1)\). Ici \(F_n = 0{,}61\), donc \(z_{\text{obs}} = \displaystyle\frac{0{,}11}{0{,}05} = 2{,}2\). 4. Pour un test bilatéral à 5 %, la valeur critique est \(1{,}96\). Comme \(|2{,}2|\) > \(1{,}96\), on rejette \(H_0\). 5. Au seuil de 5 %, les données sont incompatibles avec une pièce équilibrée : on conclut qu’elle est probablement truquée.
La comparaison à la valeur critique et la p-value donnent toujours la même décision. Comprendre pourquoi exige de distinguer clairement les deux façons de se tromper.
La fiche cours-méthode « Test d’hypothèse »
Définition de H₀/H₁, la méthode en 5 étapes, le tableau des tests classiques et les 3 pièges — tout tient sur une page recto-verso, à imprimer avant ton DS ou ta colle.
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III. Les deux risques d’erreur, la p-value et la puissance
C’est ici que réside toute la subtilité du test d’hypothèse. Une décision statistique peut se tromper de deux manières radicalement différentes, et le test contrôle prioritairement l’une d’elles.
A. Erreurs de première et de deuxième espèce
Définition — Les deux risques
- Erreur de première espèce : rejeter \(H_0\) alors qu’elle est vraie. Sa probabilité est le risque \(\alpha\) : \(\alpha = P(\text{rejeter } H_0 \mid H_0 \text{ vraie})\).
- Erreur de deuxième espèce : ne pas rejeter \(H_0\) alors qu’elle est fausse. Sa probabilité est notée \(\beta\) : \(\beta = P(\text{ne pas rejeter } H_0 \mid H_1 \text{ vraie})\).
| Décision \ Réalité | \(H_0\) est vraie | \(H_0\) est fausse |
|---|---|---|
| Ne pas rejeter \(H_0\) | Bonne décision (\(1- \alpha\)) | Erreur 2ᵉ espèce (\(\beta\)) |
| Rejeter \(H_0\) | Erreur 1ʳᵉ espèce (\(\alpha\)) | Bonne décision (\(1- \beta\), la puissance) |
Le point crucial : le test contrôle \(\alpha\), pas \(\beta\). C’est pourquoi on ne peut jamais « accepter \(H_0\) » : ne pas rejeter signifie seulement que les données ne suffisent pas à condamner \(H_0\), pas qu’elle est prouvée. Reprenons l’analogie judiciaire : un verdict « non coupable » ne signifie pas « innocent », mais « preuves insuffisantes ».
B. La p-value
Définition — p-value
La p-value est la probabilité, calculée sous \(H_0\), d’observer une statistique de test au moins aussi extrême que celle effectivement observée. Formellement, pour un test bilatéral : \(p\text{-value} = P\big(|T| \geq |t_{\text{obs}}| \mid H_0\big)\).
La règle de décision devient alors d’une simplicité redoutable :
Dans l’exemple de la pièce, \(z_{\text{obs}} = 2{,}2\) donne une p-value bilatérale d’environ \(0{,}028\). Comme \(0{,}028\) < \(0{,}05\), on rejette \(H_0\) — cohérent avec la comparaison \(2{,}2\) > \(1{,}96\).
Erreur classique : croire que la p-value est « la probabilité que \(H_0\) soit vraie ». C’est faux, et c’est le contresens le plus répandu. La p-value est \(P(\text{données} \mid H_0)\), pas \(P(H_0 \mid \text{données})\). On ne calcule jamais une probabilité sur \(H_0\) elle-même : dans le cadre fréquentiste, \(H_0\) est vraie ou fausse, ce n’est pas un événement aléatoire.
C. La puissance d’un test
La puissance \(1- \beta\) est la probabilité de rejeter \(H_0\) quand elle est effectivement fausse — autrement dit, la capacité du test à détecter un vrai effet. Elle augmente avec la taille \(n\) de l’échantillon, avec l’ampleur de l’écart réel à \(H_0\), et diminue quand on réduit \(\alpha\).
Le compromis fondamental : à taille d’échantillon fixée, diminuer \(\alpha\) (être plus exigeant pour rejeter) augmente \(\beta\) (on rate plus de vrais effets). Le seul moyen de réduire les deux simultanément est d’augmenter \(n\). Cette logique rejoint la loi des grands nombres : plus l’échantillon est grand, plus l’estimation se resserre autour de la vraie valeur.
Une fois ce cadre posé, il reste à savoir quel test utiliser selon la situation concrète.
IV. Les grands tests classiques
Le squelette en 5 étapes est universel ; seule la statistique de test change selon le paramètre étudié et les informations disponibles. Voici les tests que tout étudiant doit reconnaître.
A. Le test de proportion
On teste \(H_0 : p = p_0\) à partir de la fréquence observée \(F_n\). Sous \(H_0\) et pour \(n\) assez grand (conditions \(n \geq 30\), \(n p_0 \geq 5\), \(n(1-p_0) \geq 5\)), la statistique
\(Z = \displaystyle\frac{F_n- p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\)suit approximativement \(\mathcal{N}(0,1)\). C’est le test de l’exemple de la pièce.
B. Le test t de Student sur une moyenne
Quand l’écart-type \(\sigma\) de la population est inconnu — la situation réelle presque toujours — on l’estime par l’écart-type empirique corrigé \(s\) (celui qui divise par \(n-1\), cf. estimateur sans biais). La statistique de test devient
C’est le fameux test t de Student. Pour \(n\) grand, la loi de Student converge vers la loi normale : au-delà de \(n \approx 30\), on retrouve les valeurs critiques usuelles (\(1{,}96\) à 5 %).
C. Comparer deux moyennes
Pour tester l’égalité des moyennes de deux populations (\(H_0 : \mu_A = \mu_B\)), on utilise un test t à deux échantillons. La forme exacte de la statistique dépend de la structure des données — c’est l’objet de la section V.
D. L’ANOVA : comparer plus de deux moyennes
Dès qu’il faut comparer trois moyennes ou plus simultanément (par exemple l’effet de trois traitements différents), enchaîner des tests t deux à deux gonfle mécaniquement le risque de première espèce. L’analyse de la variance (ANOVA) résout ce problème : elle teste d’un coup \(H_0 : \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k\) à l’aide d’une statistique \(F\) qui compare la variance entre les groupes à la variance à l’intérieur des groupes. Ce test relève du programme de statistique inférentielle post-bac et n’est ici mentionné que pour situer le paysage.
| Question | Test | Loi sous H0 | Condition clé |
|---|---|---|---|
| Une proportion vaut-elle \(p_0\) ? | Test de proportion (Z) | \(\mathcal{N}(0,1)\) | \(n\) grand, \(np_0 \geq 5\) |
| Une moyenne vaut-elle \(\mu_0\), \(\sigma\) connu ? | Test Z | \(\mathcal{N}(0,1)\) | Population gaussienne ou \(n\) grand |
| Une moyenne vaut-elle \(\mu_0\), \(\sigma\) inconnu ? | Test t de Student | Student \((n-1)\) | Échantillon gaussien |
| Deux moyennes sont-elles égales ? | Test t à 2 échantillons | Student | Appariés ou indépendants |
| Trois moyennes ou plus égales ? | ANOVA | Fisher \(F\) | Homogénéité des variances |
La ligne « deux moyennes » cache un choix décisif : selon que les échantillons sont appariés ou indépendants, le test change complètement.
V. Choisir le bon test : échantillons appariés ou indépendants, et normalité
Deux erreurs de choix guettent l’étudiant : confondre échantillons appariés et indépendants, et appliquer un test paramétrique sans vérifier ses conditions. Traitons-les l’une après l’autre.
A. Appariés ou indépendants : quel test choisir
Définition — Deux structures de données
- Échantillons indépendants : deux groupes distincts d’individus (ex. un groupe traité, un groupe placebo, sans lien individu à individu).
- Échantillons appariés : les mêmes individus mesurés deux fois, ou des paires naturelles (ex. tension artérielle avant/après traitement chez chaque patient).
La distinction n’est pas cosmétique : dans le cas apparié, on travaille sur les différences individuelles \(D_i = X_i- Y_i\) et l’on ramène le problème à un test t sur une seule moyenne (celle des \(D_i\), testée contre 0). L’appariement élimine la variabilité entre individus, ce qui rend le test bien plus puissant lorsqu’il est justifié.
| Critère | Échantillons appariés | Échantillons indépendants |
|---|---|---|
| Structure des données | Mêmes individus (2 mesures) ou paires | Deux groupes séparés |
| Exemple type | Avant / après chez chaque sujet | Groupe test vs groupe témoin |
| Objet du test | Moyenne des différences \(D_i\) | Différence \(\mu_A- \mu_B\) |
| Statistique | Test t sur \(\bar{D}\) contre 0 | Test t à 2 échantillons |
| Degrés de liberté | \(n- 1\) (\(n\) paires) | Dépend de l’égalité des variances |
| Puissance | Élevée si forte corrélation intra-paire | Plus faible à effectif égal |
En une phrase : on choisit un test apparié dès qu’un lien individuel relie chaque donnée du premier groupe à une donnée du second ; sinon, le test est à échantillons indépendants.
B. Comment savoir si un échantillon suit une loi normale
Les tests t reposent sur l’hypothèse de normalité des données (ou sur un \(n\) grand, via le théorème central limite). Avant d’appliquer un test paramétrique, il faut donc vérifier cette hypothèse. Trois approches, de la plus visuelle à la plus formelle :
- Graphiquement : un histogramme en cloche, ou surtout un droite de Henry (QQ-plot) où les points s’alignent sur une droite si les données sont gaussiennes.
- Par des indicateurs : une asymétrie (skewness) et un aplatissement (kurtosis) proches de 0.
- Par un test de normalité : le test de Shapiro-Wilk (le plus puissant pour de petits échantillons) ou celui de Kolmogorov-Smirnov, où \(H_0\) est « les données suivent une loi normale ».
Piège d’interprétation : dans un test de normalité, ne pas rejeter \(H_0\) ne prouve pas la normalité — surtout sur un petit échantillon où la puissance est faible. Un grand échantillon, à l’inverse, rejette \(H_0\) au moindre écart insignifiant. Le test de normalité se lit toujours en complément du graphique, jamais seul.
Quand la normalité est franchement violée et \(n\) petit, on bascule vers des tests non paramétriques (Mann-Whitney pour deux groupes indépendants, Wilcoxon pour des données appariées), qui ne supposent pas de loi particulière.
VI. Ne pas confondre : test d’hypothèse et intervalle de confiance
Test d’hypothèse et intervalle de confiance reposent sur la même machinerie (échantillon, loi d’échantillonnage, niveau de confiance), mais répondent à deux questions différentes. Les confondre est une source d’erreurs fréquente.
| Critère | Test d’hypothèse | Intervalle de confiance |
|---|---|---|
| Question posée | \(H_0\) est-elle compatible avec les données ? | Dans quelle plage se trouve le paramètre ? |
| Résultat | Une décision : rejeter ou non | Un intervalle de valeurs plausibles |
| Point de départ | Une valeur de référence \(\theta_0\) | Aucune valeur imposée |
| Paramètre de contrôle | Risque \(\alpha\) | Niveau de confiance \(1- \alpha\) |
Les deux sont en fait deux faces d’une même pièce. Il existe une équivalence remarquable :
Le lien exact : rejeter \(H_0 : \theta = \theta_0\) par un test bilatéral au seuil \(\alpha\) équivaut à constater que \(\theta_0\) n’appartient pas à l’intervalle de confiance de niveau \(1- \alpha\). L’IC contient exactement toutes les valeurs \(\theta_0\) que le test ne rejetterait pas.
Erreur classique sur l’intervalle de confiance : dire « il y a 95 % de chances que le paramètre soit dans l’intervalle ». Faux : une fois l’intervalle calculé, le paramètre y est ou n’y est pas. Le « 95 % » porte sur la procédure : si l’on répétait l’échantillonnage un grand nombre de fois, 95 % des intervalles produits contiendraient la vraie valeur. Même contresens que sur la p-value.
Passons maintenant à la pratique avec des applications entièrement corrigées.
VII. Applications corrigées
Quatre exercices de difficulté croissante, du test de proportion au raisonnement sur la puissance. Rédige ta solution complète avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Test de proportion (sondage) ★
Un institut affirme qu’un candidat est crédité de 50 %. Un sondage sur \(n = 400\) personnes donne 46 % d’intentions. Au seuil de 5 %, peut-on affirmer que le candidat est en dessous de 50 % ?
Voir la correction de l’exercice 1
Étape 1. On veut détecter une baisse, donc test unilatéral à gauche : \(H_0 : p = 0{,}5\) contre \(H_1 : p\) < \(0{,}5\).
Étape 2. \(\alpha = 0{,}05\).
Étape 3. Sous \(H_0\) : \(Z = \displaystyle\frac{F_n- 0{,}5}{\sqrt{0{,}5 \times 0{,}5 / 400}}\). Avec \(F_n = 0{,}46\) : \(z_{\text{obs}} = \displaystyle\frac{-0{,}04}{0{,}025} = -1{,}6\).
Étape 4. Pour un test unilatéral à gauche à 5 %, la valeur critique est \(-1{,}645\). Comme \(-1{,}6\) > \(-1{,}645\) (on n’est pas dans la région de rejet), on ne rejette pas \(H_0\).
Étape 5. Au seuil de 5 %, les données ne permettent pas d’affirmer que le candidat est passé sous 50 %. Attention à la rédaction : on ne conclut jamais « le candidat est à 50 % », seulement « rien ne permet de rejeter cette valeur ». C’est exactement ce qu’un correcteur attend : la nuance entre « ne pas rejeter » et « accepter » vaut des points.
Exercice 2 — Test t sur une moyenne ★★
Une machine doit remplir des sachets de 250 g. Un contrôle de \(n = 16\) sachets donne une moyenne \(\bar{x} = 248{,}2\) g et un écart-type empirique corrigé \(s = 3{,}2\) g. Le contenu est supposé gaussien. La machine est-elle déréglée, au seuil de 5 % ?
Voir la correction de l’exercice 2
Étape 1. « Déréglée » signifie un écart dans les deux sens : test bilatéral. \(H_0 : \mu = 250\) contre \(H_1 : \mu \neq 250\).
Étape 2. \(\alpha = 0{,}05\).
Étape 3. \(\sigma\) est inconnu et \(n\) petit : test t à \(n- 1 = 15\) degrés de liberté.
\(t_{\text{obs}} = \displaystyle\frac{\bar{x}- \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \displaystyle\frac{248{,}2- 250}{3{,}2 / 4} = \displaystyle\frac{-1{,}8}{0{,}8} = -2{,}25\)Étape 4. La valeur critique de la loi de Student à 15 ddl pour un test bilatéral à 5 % est \(t_{0{,}975} \approx 2{,}131\). Comme \(|-2{,}25| = 2{,}25\) > \(2{,}131\), on rejette \(H_0\).
Étape 5. Au seuil de 5 %, la machine est significativement déréglée (elle sous-remplit). Remarque de rédaction : on justifie le choix du test t (et non Z) par « \(\sigma\) inconnu, \(n\) petit » — c’est une justification systématiquement attendue.
Exercice 3 — Appariés ou indépendants ? ★★
Pour chacune des situations, indique s’il faut un test à échantillons appariés ou indépendants, puis précise l’objet du test.
(a) On mesure le rythme cardiaque de 20 sportifs avant puis après un entraînement.
(b) On compare la note moyenne de deux classes distinctes à un même examen.
(c) On compare l’usure de deux marques de pneus montées sur les mêmes 15 voitures (une de chaque marque par voiture).
Voir la correction de l’exercice 3
(a) Apparié. Les mêmes 20 individus sont mesurés deux fois. On travaille sur les différences \(D_i = \text{après}_i- \text{avant}_i\) et on teste \(H_0 : \mu_D = 0\).
(b) Indépendant. Deux groupes d’élèves distincts, sans lien individuel. On teste \(H_0 : \mu_A = \mu_B\) par un test t à deux échantillons.
(c) Apparié. Le lien est la voiture : chaque voiture porte une paire (marque A, marque B), ce qui neutralise l’effet « conduite » et « kilométrage ». On teste la moyenne des différences d’usure par voiture.
Le réflexe : chercher s’il existe un appariement naturel qui relie chaque donnée d’un groupe à une donnée précise de l’autre. S’il existe, l’ignorer (traiter comme indépendant) gaspille de la puissance.
Exercice 4 — Erreurs, p-value et puissance ★★★
Un test unilatéral à droite \(H_0 : \mu = 0\) contre \(H_1 : \mu\) > \(0\) est mené au seuil \(\alpha = 0{,}05\) sur un échantillon gaussien de variance connue.
(a) Un statisticien conclut « la p-value vaut 0,03, donc \(H_0\) est vraie avec probabilité 0,03 ». Où est l’erreur ?
(b) On obtient \(z_{\text{obs}} = 1{,}5\). Quelle décision au seuil de 5 % ? Et au seuil de 10 % ?
(c) On double la taille de l’échantillon, tout étant égal par ailleurs. Comment évoluent \(\alpha\) et la puissance ?
Voir la correction de l’exercice 4
(a) Contresens classique. La p-value est \(P(\text{observer un résultat au moins aussi extrême} \mid H_0)\), et non \(P(H_0 \mid \text{données})\). En cadre fréquentiste, \(H_0\) n’a pas de probabilité : elle est vraie ou fausse. La bonne lecture : « si \(H_0\) était vraie, on n’aurait que 3 % de chances d’observer des données aussi favorables à \(H_1\) ».
(b) Valeur critique unilatérale à droite : \(1{,}645\) à 5 %, \(1{,}282\) à 10 %.
- À 5 % : \(1{,}5\) < \(1{,}645\) → on ne rejette pas \(H_0\).
- À 10 % : \(1{,}5\) > \(1{,}282\) → on rejette \(H_0\).
La p-value vaut ici environ \(P(Z \geq 1{,}5) \approx 0{,}067\), comprise entre 0,05 et 0,10 : cohérent avec les deux décisions. Cela illustre que la conclusion dépend du seuil choisi a priori.
(c) Le risque \(\alpha\) est fixé par le statisticien : il ne change pas avec \(n\). En revanche, doubler \(n\) réduit l’écart-type de la statistique de test (facteur \(1/\sqrt{n}\)), donc pour un même effet réel la puissance \(1- \beta\) augmente. Augmenter \(n\) est le seul levier qui améliore la détection sans toucher à \(\alpha\).
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un test d’hypothèse et un intervalle de confiance ?
Le test d’hypothèse part d’une valeur de référence et rend une décision (rejeter ou non). L’intervalle de confiance ne suppose aucune valeur et rend une plage de valeurs plausibles. Les deux sont liés : rejeter \(H_0 : \theta = \theta_0\) au seuil \(\alpha\) (test bilatéral) équivaut à constater que \(\theta_0\) est hors de l’intervalle de confiance de niveau \(1- \alpha\).
Peut-on prouver que l’hypothèse nulle est vraie ?
Non. Un test ne peut que rejeter \(H_0\) ou ne pas la rejeter. « Ne pas rejeter » signifie que les données sont insuffisantes pour la contredire, pas qu’elle est prouvée. On dit « on ne rejette pas \(H_0\) », jamais « on accepte \(H_0\) » : cette nuance est systématiquement valorisée en correction.
Que signifie vraiment une p-value de 0,03 ?
Elle signifie que, si \(H_0\) était vraie, la probabilité d’observer un résultat au moins aussi extrême que celui obtenu ne serait que de 3 %. Ce n’est pas la probabilité que \(H_0\) soit vraie. Comme \(0{,}03\) < \(0{,}05\), on rejette \(H_0\) au seuil de 5 %.
Comment choisir entre un test unilatéral et un test bilatéral ?
Le choix dépend de la question, et se fait avant de voir les données. Si l’on veut détecter un écart dans un sens précis (une hausse, une baisse), le test est unilatéral. Si tout écart compte (dans les deux sens), il est bilatéral. Choisir le sens après avoir vu les données fausse le risque \(\alpha\) réel.
Comment vérifier qu’un échantillon suit une loi normale avant un test t ?
On combine une lecture graphique (histogramme, droite de Henry / QQ-plot) et éventuellement un test de normalité (Shapiro-Wilk pour de petits échantillons). Si \(n\) est grand, le théorème central limite rend le test t robuste même sans normalité stricte. Si la normalité est violée et \(n\) petit, on passe à un test non paramétrique.
Quand utiliser une ANOVA plutôt que plusieurs tests t ?
Dès qu’on compare trois moyennes ou plus. Multiplier les tests t deux à deux augmente le risque global de première espèce. L’ANOVA teste l’égalité de toutes les moyennes d’un seul coup en contrôlant ce risque global, à l’aide d’une statistique de Fisher.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais la logique du test d’hypothèse. Pour consolider les briques qui le sous-tendent :
- Loi Normale : Cours Complet, Propriétés et Exercices Corrigés
- Écart-type (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- Espérance (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- Loi Binomiale : Cours, Formules et Exercices — du Lycée à la Prépa
