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Un fabricant de dés garantit qu’ils sont parfaitement équilibrés. Tu en lances un 200 fois et tu obtiens 46 fois le « 6 », soit une fréquence de 0,23 alors que tu attendais environ 0,167. Le dé est-il truqué, ou est-ce simplement le hasard qui a joué ? L’intervalle de fluctuation est précisément l’outil qui permet de trancher. Dans cet article, tu vas comprendre ce qu’il représente, apprendre à le calculer avec la formule de Seconde puis la formule asymptotique, et t’en servir pour prendre une décision.
La réponse en bref. Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est l’intervalle dans lequel la fréquence observée d’un caractère a environ 95 % de chances de tomber, lorsqu’on prélève un échantillon de taille \(n\) dans une population où la proportion vaut \(p\). En Seconde, il s’écrit \(\left[ p- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \, ; \, p + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \right]\). Il sert à décider si un échantillon est « normal » ou surprenant.
I. Qu’est-ce qu’un intervalle de fluctuation ?
L’idée de départ est simple : quand tu prélèves un \(\text{échantillon}\) dans une population, la fréquence que tu observes n’est presque jamais exactement égale à la proportion réelle. Elle « fluctue » d’un échantillon à l’autre. L’intervalle de fluctuation encadre cette fluctuation.
A. Définition
Définition — Intervalle de fluctuation
On considère une population dans laquelle une proportion \(p\) d’individus possède un certain caractère. On prélève au hasard un échantillon de taille \(n\) et on note \(f\) la fréquence du caractère dans cet échantillon.
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est un intervalle qui contient la fréquence \(f\) avec une probabilité d’au moins 0,95.
Autrement dit : si tu répétais l’expérience un très grand nombre de fois, environ 95 % des échantillons donneraient une fréquence située à l’intérieur de cet intervalle, et seulement 5 % en sortiraient. C’est un résultat qui va de la population vers l’échantillon : on connaît \(p\), on prévoit où \(f\) va tomber.
B. L’intuition : la fréquence fluctue autour de p
Reprends l’exemple d’une pièce équilibrée, donc \(p = 0{,}5\) pour « pile ». Si tu la lances 100 fois, tu n’obtiendras pas systématiquement 50 piles : tu peux tomber sur 47, 53, 48, 55… Ces fréquences « tournent » autour de 0,5 sans jamais s’en écarter énormément. Plus l’échantillon est grand, plus la fréquence se resserre autour de \(p\) : c’est exactement ce que garantit la loi des grands nombres.
II. La formule de l’intervalle de fluctuation
Il existe deux formules selon ton niveau : la formule simplifiée de Seconde, et la formule asymptotique vue en Première et Terminale. Voyons les deux, car elles reposent sur la même idée.
A. La formule de Seconde 🟢
Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % (Seconde)
Sous les conditions \(n \geq 25\) et \(0{,}2 \leq p \leq 0{,}8\), l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est :
\(I = \left[ \, p- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \; ; \; p + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \, \right]\)
Sa largeur vaut \(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{n}}\) : elle ne dépend que de \(n\). Plus l’échantillon est grand, plus l’intervalle est étroit, donc plus la prévision est précise. Pour diviser la largeur par 2, il faut multiplier la taille de l’échantillon par 4.
Exemple : Dans une ville, 60 % des habitants sont favorables à un projet (\(p = 0{,}6\)). On interroge \(n = 100\) personnes.
Conditions : \(n = 100 \geq 25\) et \(0{,}2 \leq 0{,}6 \leq 0{,}8\) ✓
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{100}} = \displaystyle\frac{1}{10} = 0{,}1\), donc \(I = [\, 0{,}6- 0{,}1 \; ; \; 0{,}6 + 0{,}1 \,] = [\, 0{,}5 \; ; \; 0{,}7 \,]\).
Dans 95 % des échantillons de 100 personnes, la fréquence de favorables sera comprise entre 0,5 et 0,7.
La fiche de cours « Intervalle de fluctuation » en 1 page
Les deux formules, les conditions d’application et la méthode de décision, prêtes à réviser avant un contrôle ou le bac.
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B. La formule asymptotique (Première / Terminale) 🟡
La formule de Seconde est volontairement simplifiée. La formule dite asymptotique, plus précise, s’appuie sur la loi normale et fait intervenir la valeur 1,96.
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %
Sous les conditions \(n \geq 30\), \(np \geq 5\) et \(n(1-p) \geq 5\) :
\(I_n = \left[ \, p- 1{,}96 \, \displaystyle\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \; ; \; p + 1{,}96 \, \displaystyle\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \, \right]\)
Le coefficient 1,96 correspond au seuil de 95 %. Pour un seuil de 99 %, on le remplace par 2,58. Le terme \(\sqrt{p(1-p)}\) est lié à l’écart-type de la fréquence : il rend l’intervalle plus fin que la formule de Seconde, surtout quand \(p\) est proche de 0 ou de 1.
C. Les deux formules, côte à côte
Comparons les bornes obtenues pour \(p = 0{,}5\), selon la taille de l’échantillon. La formule de Seconde est toujours un peu plus large : c’est une majoration prudente.
| Taille \(n\) | Formule Seconde | Formule asymptotique | Largeur (Seconde / asympt.) |
|---|---|---|---|
| \(n = 100\) | \([0{,}400 \, ; \, 0{,}600]\) | \([0{,}402 \, ; \, 0{,}598]\) | 0,200 / 0,196 |
| \(n = 400\) | \([0{,}450 \, ; \, 0{,}550]\) | \([0{,}451 \, ; \, 0{,}549]\) | 0,100 / 0,098 |
| \(n = 1000\) | \([0{,}468 \, ; \, 0{,}532]\) | \([0{,}469 \, ; \, 0{,}531]\) | 0,063 / 0,062 |
Conclusion : pour \(p\) proche de 0,5, les deux formules donnent quasiment le même résultat. C’est pour les valeurs extrêmes de \(p\) que la formule asymptotique devient nettement plus précise.
III. L’intervalle de fluctuation d’une loi binomiale 🟡
Les deux formules précédentes sont des approximations. En Terminale, on peut construire un intervalle de fluctuation exact à partir de la loi binomiale, en s’appuyant sur la calculatrice ou un tableur.
Si \(X\) compte le nombre de succès dans \(n\) épreuves indépendantes de probabilité \(p\), alors \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\). On cherche deux entiers \(a\) et \(b\) tels que :
- \(a\) est le plus petit entier tel que \(P(X \leq a)\) > \(0{,}025\) ;
- \(b\) est le plus petit entier tel que \(P(X \leq b) \geq 0{,}975\).
L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence est alors \(\left[ \displaystyle\frac{a}{n} \; ; \; \displaystyle\frac{b}{n} \right]\).
Exemple : Une pièce équilibrée, \(X \sim \mathcal{B}(100 \, ; \, 0{,}5)\). À la calculatrice, on trouve :
\(P(X \leq 39) \approx 0{,}018\) et \(P(X \leq 40) \approx 0{,}028\) > \(0{,}025\), donc \(a = 40\).
\(P(X \leq 60) \approx 0{,}982 \geq 0{,}975\) et \(P(X \leq 59) \approx 0{,}972\), donc \(b = 60\).
L’intervalle de fluctuation exact est \(\left[ \displaystyle\frac{40}{100} \; ; \; \displaystyle\frac{60}{100} \right] = [\, 0{,}40 \; ; \; 0{,}60 \,]\).
On retrouve presque exactement l’intervalle donné par les formules approchées !
Cette méthode a l’avantage d’être valable même quand les conditions des formules approchées ne sont pas remplies (petit échantillon, \(p\) proche de 0 ou 1).
IV. Prendre une décision avec un intervalle de fluctuation
C’est l’usage central de cet outil : décider si une hypothèse sur la proportion \(p\) est crédible au vu d’un échantillon.
A. La règle de décision
Méthode en 4 étapes :
- On formule une hypothèse sur la proportion (ex : « le dé est équilibré, donc \(p = \displaystyle\frac{1}{6}\) »).
- On calcule l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % à partir de cette valeur de \(p\).
- On calcule la fréquence \(f\) observée dans l’échantillon.
- Si \(f\) est dans l’intervalle, on accepte l’hypothèse ; si \(f\) est hors de l’intervalle, on la rejette (au risque de se tromper dans 5 % des cas).
Exemple — le dé du début : On teste l’hypothèse « le dé est équilibré », donc \(p = \displaystyle\frac{1}{6} \approx 0{,}167\) pour le « 6 », sur \(n = 200\) lancers.
Première décision : quelle formule ? Ici \(p \approx 0{,}167\) est inférieur à \(0{,}2\) : la formule de Seconde est hors de ses conditions, on ne peut pas l’utiliser. La formule asymptotique, elle, s’applique — \(np \approx 33 \geq 5\) et \(n(1-p) \approx 167 \geq 5\).
Demi-largeur : \(1{,}96 \times \displaystyle\frac{\sqrt{0{,}167 \times 0{,}833}}{\sqrt{200}} \approx 1{,}96 \times \displaystyle\frac{0{,}373}{14{,}1} \approx 0{,}052\), donc \(I \approx [\, 0{,}115 \; ; \; 0{,}218 \,]\).
Fréquence observée : \(f = \displaystyle\frac{46}{200} = 0{,}23\).
Comme \(0{,}23\) n’appartient pas à \([\, 0{,}115 \; ; \; 0{,}218 \,]\), on rejette l’hypothèse au seuil de 95 % : l’écart est trop grand pour être mis sur le compte du hasard. Ce dé est statistiquement suspect.
Contrôle par l’intervalle exact de la loi binomiale \(\mathcal{B}(200 \, ; \, 1/6)\) : \(\left[ \displaystyle\frac{23}{200} \; ; \; \displaystyle\frac{44}{200} \right] = [\, 0{,}115 \; ; \; 0{,}220 \,]\). Même verdict.
Et si on avait forcé la formule de Seconde ? Elle aurait donné \([\, 0{,}096 \; ; \; 0{,}238 \,]\), donc « dé non truqué » : la conclusion inverse. Voilà pourquoi vérifier \(0{,}2 \leq p \leq 0{,}8\) n’est pas une formalité de rédaction.
B. Simuler la fluctuation en Python
Un petit programme permet de « voir » la fluctuation. On simule des échantillons de 100 lancers d’une pièce et on affiche les fréquences de pile :
import random
def frequence_pile(n):
piles = 0
for _ in range(n): # on lance n fois la pièce
if random.random() < 0.5: # 0.5 = probabilité de pile
piles += 1
return piles / n # fréquence de pile dans l'échantillon
for essai in range(5): # 5 échantillons de taille 100
print(round(frequence_pile(100), 2))
Un résultat possible : 0.48 0.53 0.47 0.51 0.55. Toutes ces valeurs tombent dans l’intervalle \([\, 0{,}40 \; ; \; 0{,}60 \,]\). En lançant le programme sur des milliers d’échantillons, environ 95 % des fréquences seraient dans cet intervalle : c’est exactement ce que promet le seuil de 95 %.
V. Intervalle de fluctuation ou intervalle de confiance ?
C’est la confusion numéro un. Les deux notions se ressemblent (même formule en \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\) en Seconde), mais elles répondent à deux questions inverses. Retiens cette distinction, elle vaut des points au bac.
| Critère | Intervalle de fluctuation | Intervalle de confiance |
|---|---|---|
| Ce que l’on connaît | La proportion \(p\) de la population | On ne connaît PAS \(p\) |
| Ce que l’on cherche | Où va tomber la fréquence \(f\) | Encadrer \(p\) inconnu |
| Sens du raisonnement | Population → échantillon | Échantillon → population |
| Centre de l’intervalle | \(p\) (connu) | \(f\) (observé) |
| Formule simple | \(\left[ p- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \, ; \, p + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \right]\) | \(\left[ f- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \, ; \, f + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \right]\) |
| À quoi ça sert | Prise de décision, test d’hypothèse | Estimation, sondage |
En une phrase : l’intervalle de fluctuation part de \(p\) connu pour prévoir \(f\) ; l’intervalle de confiance part de \(f\) observé pour estimer \(p\) inconnu.
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Piège n°1 — utiliser la formule de Seconde hors de ses conditions. La formule \(\left[ p- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \, ; \, p + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \right]\) n’est valable que si \(n \geq 25\) et \(0{,}2 \leq p \leq 0{,}8\). Avec \(p = 0{,}03\), elle donnerait une borne basse négative, ce qui n’a aucun sens pour une fréquence. Vérifie toujours les conditions avant de l’appliquer.
Piège n°2 — confondre \(p\) et \(f\). On construit l’intervalle de fluctuation autour de \(p\) (la proportion supposée), pas autour de \(f\) (la fréquence observée). Inverser les deux, c’est calculer un intervalle de confiance sans le savoir.
Piège n°3 — croire qu’une fréquence hors intervalle « prouve » quelque chose. Rejeter l’hypothèse au seuil de 95 % signifie qu’on accepte un risque de 5 % de se tromper. Une fréquence hors intervalle rend l’hypothèse peu crédible, mais ne constitue jamais une preuve absolue.
VII. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calcul direct (Seconde) ★
Dans une population, 40 % des individus possèdent un caractère (\(p = 0{,}4\)). On prélève un échantillon de taille \(n = 100\). Détermine l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
Voir la correction de l’exercice 1
Conditions : \(n = 100 \geq 25\) et \(0{,}2 \leq 0{,}4 \leq 0{,}8\) ✓
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{100}} = \displaystyle\frac{1}{10} = 0{,}1\) \(I = [\, 0{,}4- 0{,}1 \; ; \; 0{,}4 + 0{,}1 \,] = [\, 0{,}3 \; ; \; 0{,}5 \,]\)La fréquence observée aura 95 % de chances d’être comprise entre 0,3 et 0,5.
Exercice 2 — Vérifier les conditions ★
On veut appliquer la formule de Seconde avec \(p = 0{,}15\) et \(n = 50\). Est-ce possible ? Justifie.
Voir la correction de l’exercice 2
On vérifie les deux conditions.
Taille : \(n = 50 \geq 25\) ✓
Proportion : il faut \(0{,}2 \leq p \leq 0{,}8\). Or \(p = 0{,}15\) < \(0{,}2\). ✗
La formule de Seconde ne s’applique pas ici : la proportion est trop faible. Il faudrait utiliser la formule asymptotique (si \(np \geq 5\) et \(n(1-p) \geq 5\)) ou l’intervalle exact avec la loi binomiale.
Exercice 3 — Prise de décision ★★
Un fabricant affirme que 90 % de ses ampoules durent plus de 1000 heures. Une association teste 400 ampoules : 344 dépassent 1000 heures. L’affirmation du fabricant est-elle crédible au seuil de 95 % ? (On admettra que les conditions de la formule asymptotique sont remplies.)
Voir la correction de l’exercice 3
Hypothèse : \(p = 0{,}9\), avec \(n = 400\).
Comme \(p = 0{,}9\) > \(0{,}8\), on utilise la formule asymptotique.
\(1{,}96 \times \displaystyle\frac{\sqrt{0{,}9 \times 0{,}1}}{\sqrt{400}} = 1{,}96 \times \displaystyle\frac{0{,}3}{20} = 1{,}96 \times 0{,}015 = 0{,}0294\) \(I \approx [\, 0{,}9- 0{,}029 \; ; \; 0{,}9 + 0{,}029 \,] = [\, 0{,}871 \; ; \; 0{,}929 \,]\)Fréquence observée : \(f = \displaystyle\frac{344}{400} = 0{,}86\).
Comme \(0{,}86\) n’appartient PAS à \([\, 0{,}871 \; ; \; 0{,}929 \,]\), on rejette l’affirmation du fabricant au seuil de 95 %. La proportion réelle semble inférieure à 90 %.
Exercice 4 — Seuil de 99 % ★★
Reprends l’exemple d’un référendum où \(p = 0{,}5\) et \(n = 900\). Détermine l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 99 % (coefficient 2,58) et compare sa largeur à celle du seuil de 95 %.
Voir la correction de l’exercice 4
\(\sqrt{p(1-p)} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) et \(\sqrt{900} = 30\).
Seuil 99 % : \(2{,}58 \times \displaystyle\frac{0{,}5}{30} = 2{,}58 \times 0{,}0167 \approx 0{,}043\), donc \(I_{99} \approx [\, 0{,}457 \; ; \; 0{,}543 \,]\) (largeur ≈ 0,086).
Seuil 95 % : \(1{,}96 \times 0{,}0167 \approx 0{,}033\), donc \(I_{95} \approx [\, 0{,}467 \; ; \; 0{,}533 \,]\) (largeur ≈ 0,066).
Conclusion : plus le seuil de confiance est élevé, plus l’intervalle est large. Pour être « plus sûr » (99 %), on accepte d’être moins précis.
Exercice 5 — Intervalle exact avec la loi binomiale ★★★
Un QCM comporte 20 questions à 4 choix. Un élève répond totalement au hasard : \(X \sim \mathcal{B}(20 \, ; \, 0{,}25)\). On donne \(P(X \leq 1) \approx 0{,}024\), \(P(X \leq 2) \approx 0{,}091\), \(P(X \leq 8) \approx 0{,}959\) et \(P(X \leq 9) \approx 0{,}986\). Détermine l’intervalle de fluctuation exact au seuil de 95 % de la fréquence de bonnes réponses, puis dis si un élève ayant 12 bonnes réponses répond « au hasard ».
Voir la correction de l’exercice 5
Détermination de \(a\) : plus petit entier avec \(P(X \leq a)\) > \(0{,}025\). Comme \(P(X \leq 1) \approx 0{,}024 \leq 0{,}025\) et \(P(X \leq 2) \approx 0{,}091\) > \(0{,}025\), on a \(a = 2\).
Détermination de \(b\) : plus petit entier avec \(P(X \leq b) \geq 0{,}975\). Comme \(P(X \leq 8) \approx 0{,}959\) < \(0{,}975\) et \(P(X \leq 9) \approx 0{,}986 \geq 0{,}975\), on a \(b = 9\).
Intervalle sur la fréquence : \(\left[ \displaystyle\frac{2}{20} \; ; \; \displaystyle\frac{9}{20} \right] = [\, 0{,}10 \; ; \; 0{,}45 \,]\).
Avec 12 bonnes réponses, \(f = \displaystyle\frac{12}{20} = 0{,}6\). Comme \(0{,}6\) est hors de \([\, 0{,}10 \; ; \; 0{,}45 \,]\), il est très peu crédible que l’élève ait répondu au hasard : il a probablement des connaissances.
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance ?
L’intervalle de fluctuation part d’une proportion \(p\) connue pour prévoir où tombera la fréquence \(f\) d’un échantillon : le raisonnement va de la population vers l’échantillon. L’intervalle de confiance fait l’inverse : à partir d’une fréquence \(f\) observée, il encadre une proportion \(p\) inconnue. Le premier sert à décider, le second à estimer.
Comment calculer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % en Seconde ?
On applique la formule \(\left[ p- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \; ; \; p + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \right]\), à condition que \(n \geq 25\) et \(0{,}2 \leq p \leq 0{,}8\). Il suffit de calculer \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\), puis de le soustraire et de l’ajouter à \(p\).
Que signifie au seuil de 95 pour cent ?
Cela signifie que, si l’on répétait l’expérience un grand nombre de fois, environ 95 % des échantillons donneraient une fréquence située dans l’intervalle, et seulement 5 % en sortiraient. Le seuil mesure la « fiabilité » de la prévision, pas une certitude.
Pourquoi apparaît la valeur 1,96 dans la formule de Première ?
Le coefficient 1,96 provient de la loi normale : c’est la valeur telle que 95 % des données d’une loi normale centrée réduite se situent entre \(-1{,}96\) et \(1{,}96\). Pour un seuil de 99 %, on le remplace par 2,58.
Une fréquence hors de l’intervalle prouve-t-elle qu’une hypothèse est fausse ?
Non. Rejeter une hypothèse au seuil de 95 % revient à accepter un risque de 5 % de se tromper. Une fréquence hors intervalle rend l’hypothèse peu crédible, mais il reste toujours une petite probabilité que ce soit simplement dû au hasard de l’échantillonnage.
Quand faut-il utiliser la loi binomiale plutôt que les formules approchées ?
Dès que les conditions des formules approchées ne sont pas remplies (échantillon petit, ou \(p\) proche de 0 ou de 1), on construit l’intervalle exact à partir de la loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) et de la calculatrice. C’est la méthode la plus rigoureuse.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’intervalle de fluctuation, sa formule et son usage en prise de décision. Pour approfondir et relier cette notion au reste du chapitre :
- Loi Normale : Cours Complet, Propriétés et Exercices Corrigés
- Écart-type (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- 20 exercices corrigés : inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres (Terminale)
- Table de la Loi Normale Centrée Réduite N(0,1)
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