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Un sondage annonce « 42 % d’intentions de vote, à plus ou moins 3 points ». Ce « plus ou moins 3 points », c’est un intervalle de confiance. Tu n’as interrogé que 1 000 personnes, pas toute la population : la fréquence observée sur ton échantillon fluctue autour de la vraie proportion inconnue. L’intervalle de confiance transforme cette incertitude en une fourchette chiffrée et honnête. Dans cet article, tu vas apprendre à le calculer, à l’interpréter sans te tromper, et à repérer le contresens que presque tout le monde commet.
En bref — L’intervalle de confiance
Un intervalle de confiance à 95 % est une fourchette calculée à partir d’un échantillon, qui encadre une proportion (ou une moyenne) inconnue de la population. Au lycée, pour une fréquence \(f\) observée sur \(n\) individus, il vaut \(\left[\,f-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\;;\;f+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\,\right]\). Sa fiabilité tient à la méthode, pas à un seul calcul.
I. La formule de l’intervalle de confiance
Un intervalle de confiance encadre une proportion inconnue de la population à partir d’une fréquence observée sur un échantillon. La formule dépend du niveau de confiance choisi, presque toujours 95 %. Commençons par la version que tu utilises en Terminale, la plus simple.
A. La formule à connaître au lycée
On tire au hasard un échantillon de \(n\) individus dans une population. On observe une fréquence \(f\) (par exemple la proportion de personnes favorables à une mesure). On veut estimer la proportion inconnue \(p\) de la population entière.
Formule — Intervalle de confiance à 95 % (Terminale)
\(IC_{95\%} = \left[\,f-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\;;\;f+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\,\right]\)
où \(f\) est la fréquence observée sur l’échantillon et \(n\) la taille de l’échantillon.
Le point remarquable : cette amplitude \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\) ne dépend que de la taille \(n\) de l’échantillon, pas de la taille de la population. Interroger 1 000 personnes donne la même précision, que ce soit dans une ville de 50 000 habitants ou dans un pays de 60 millions. Ce résultat déroute au premier abord, il est pourtant central.
B. Les conditions de validité
La formule n’est justifiée que si l’échantillon est assez grand et la fréquence pas trop proche de 0 ou de 1. Trois conditions doivent être vérifiées avant tout calcul.
Les trois conditions à vérifier (à écrire sur ta copie)
- \(n \geq 30\) : l’échantillon est suffisamment grand ;
- \(n f \geq 5\) : au moins 5 individus dans la catégorie observée ;
- \(n(1-f) \geq 5\) : au moins 5 individus dans l’autre catégorie.
Si l’une de ces conditions n’est pas remplie, la formule simplifiée ne s’applique pas.
C. La formule précise (au seuil de 95 %)
La formule \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\) est en réalité une majoration commode d’une formule plus fine, celle qu’on utilise dès le post-bac :
Intervalle de confiance asymptotique d’une proportion
\(IC_{95\%} = \left[\,f-1{,}96\sqrt{\displaystyle\frac{f(1-f)}{n}}\;;\;f+1{,}96\sqrt{\displaystyle\frac{f(1-f)}{n}}\,\right]\)
Le nombre \(1{,}96\) est le quantile de la \(\text{loi normale}\) correspondant à 95 %.
Comme \(f(1-f) \leq \displaystyle\frac{1}{4}\) pour tout \(f\), on a \(1{,}96\sqrt{\displaystyle\frac{f(1-f)}{n}} \leq 1{,}96 \times \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{n}} \approx \displaystyle\frac{0{,}98}{\sqrt{n}}\), que le programme de lycée arrondit prudemment à \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\). La version lycée est donc toujours un peu plus large que nécessaire : elle « joue la sécurité ». Le lien exact avec la \(\text{loi normale}\) provient du théorème de Moivre-Laplace.
II. Calculer un intervalle de confiance en 3 étapes
Une fois la formule en tête, le calcul se fait toujours de la même manière. Voici la méthode à dérouler à chaque exercice.
- Vérifier les conditions \(n \geq 30\), \(nf \geq 5\) et \(n(1-f) \geq 5\). Si l’énoncé donne un effectif brut, calcule d’abord \(f\).
- Calculer l’amplitude \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\) (version lycée) ou \(1{,}96\sqrt{\displaystyle\frac{f(1-f)}{n}}\) (version précise).
- Écrire l’intervalle \(\left[\,f-\text{amplitude}\;;\;f+\text{amplitude}\,\right]\) et arrondir en gardant les bornes cohérentes (2 à 3 décimales).
Exemple — Un sondage sur 400 personnes. Sur un échantillon de \(n=400\) personnes, \(220\) déclarent utiliser les transports en commun. Estime la proportion dans la population au seuil de 95 %.
Étape 1. \(f = \displaystyle\frac{220}{400} = 0{,}55\). Conditions : \(n=400 \geq 30\), \(nf=220 \geq 5\), \(n(1-f)=180 \geq 5\) ✓.
Étape 2. \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{400}} = \displaystyle\frac{1}{20} = 0{,}05\).
Étape 3. \(IC = [\,0{,}55-0{,}05\;;\;0{,}55+0{,}05\,] = [\,0{,}50\;;\;0{,}60\,]\).
On estime qu’entre 50 % et 60 % de la population utilise les transports en commun.
Ta fiche cours-méthode « Intervalle de confiance »
Formule, méthode en 3 étapes, conditions de validité et interprétation correcte, tout sur une page à imprimer et glisser dans ton classeur.
📄 L’essentiel du cours en 1 pageLe contresens sur le « 95 % » y est expliqué clairement — celui qui coûte le plus de points.
Pour aller vite lors des révisions, tu peux retenir un ordre de grandeur : avec \(n=100\), l’amplitude vaut \(0{,}1\) (soit \(\pm 10\) points) ; avec \(n=1000\), elle tombe à \(0{,}032\) (soit \(\pm 3\) points environ). Multiplier la taille par 100 divise la marge par 10 seulement : la précision coûte cher, c’est tout l’enjeu du calcul de la marge d’erreur d’un sondage.
III. Comment interpréter un intervalle de confiance
C’est ici que se joue la vraie compréhension. Une fois l’intervalle \([\,0{,}50\;;\;0{,}60\,]\) obtenu, la question naturelle est : « quelle est la probabilité que \(p\) soit dedans ? ». Et la réponse, contre-intuitive, est le cœur du chapitre.
A. Ce que signifie vraiment « 95 % »
Le contresens classique : dire « il y a 95 % de chances que la vraie proportion \(p\) soit dans l’intervalle \([\,0{,}50\;;\;0{,}60\,]\) ». C’est faux.
Une fois l’intervalle calculé, \(p\) y est ou n’y est pas : \(p\) est un nombre fixe (inconnu, mais fixe), il n’y a plus de hasard. Ce qui est aléatoire, c’est l’intervalle, qui change à chaque nouvel échantillon.
La bonne lecture porte sur la méthode, pas sur un intervalle particulier :
Interprétation correcte. Si on répétait le sondage un grand nombre de fois, en construisant à chaque fois un intervalle de confiance à 95 %, alors environ 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie proportion \(p\). Le niveau de confiance décrit la fiabilité du procédé, pas la position de \(p\) dans un intervalle donné.
Autrement dit : tu ne sais pas si ton intervalle fait partie des 95 % qui « tombent juste » ou des 5 % qui ratent. Mais tu sais que la recette qui l’a produit réussit 19 fois sur 20. C’est exactement ce que montre la figure suivante.
B. Niveau de confiance et amplitude : le compromis
Plus tu exiges de confiance, plus ton intervalle s’élargit. Rien n’est gratuit : la certitude se paie en précision.
| Niveau de confiance | Quantile (loi normale) | Amplitude relative |
|---|---|---|
| 90 % | \(1{,}645\) | Plus étroit |
| 95 % | \(1{,}96\) | Référence usuelle |
| 99 % | \(2{,}576\) | Plus large |
Un intervalle à 99 % est plus « sûr » de contenir \(p\), mais il est aussi plus large, donc moins informatif. Le 95 % est le compromis standard dans les sondages et l’enseignement.
C. Longueur, amplitude, nombre d’intervalles
La longueur (ou amplitude) de l’intervalle vaut deux fois la marge : \(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{n}}\) au lycée. Pour la diviser par 2, il faut multiplier \(n\) par 4. Une question fréquente : « combien de personnes interroger pour une marge donnée ? ». On résout \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \leq m\), soit \(n \geq \displaystyle\frac{1}{m^2}\). Pour \(\pm 2\) points (\(m=0{,}02\)) : \(n \geq 2500\). C’est précisément le calcul détaillé sur la page échantillon représentatif.
IV. Double lecture : au lycée, en prépa
La même notion se travaille à deux niveaux d’exigence. Voici ce qui est attendu de toi selon ta classe.
🟢 Au lycée (Terminale)
Tu utilises la formule \(\left[\,f-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\;;\;f+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\,\right]\) sans la démontrer. Tu dois : vérifier les trois conditions, calculer, arrondir, et interpréter correctement le niveau de confiance (le piège du III est le plus sanctionné). Le mot attendu dans une copie : « on estime que \(p\) appartient à cet intervalle avec un niveau de confiance de 95 % ».
🔴 En prépa et post-bac
Tu construis l’intervalle asymptotique \(\left[\,f \pm 1{,}96\sqrt{\displaystyle\frac{f(1-f)}{n}}\,\right]\) à partir du théorème central limite : \(\displaystyle\frac{\hat{F}_n- p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\) converge en loi vers \(\mathcal{N}(0,1)\). Le vocabulaire change : on parle d’estimation ponctuelle (la valeur \(f\)) et d’estimation par intervalle, et \(f\) devient la réalisation d’un estimateur sans biais de \(p\). La justification devient une démonstration de cours.
A. Petits échantillons : la loi de Student
Quand on estime une moyenne \(\mu\) (et non une proportion) sur un petit échantillon avec écart-type inconnu, le quantile \(1{,}96\) de la loi normale est remplacé par le quantile d’une loi de Student à \(n-1\) degrés de liberté. C’est une notion post-bac, mentionnée ici pour que tu saches qu’elle existe : l’intervalle s’écrit \(\left[\,\bar{x} \pm t \cdot \displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}\,\right]\), où \(s\) est l’écart-type corrigé de l’échantillon.
V. L’intervalle de confiance en enseignement scientifique
En Terminale, l’intervalle de confiance figure au programme d’enseignement scientifique (tronc commun), pas seulement de la spécialité maths. On y rencontre une application concrète emblématique : estimer la taille d’une population animale par capture-marquage-recapture.
A. La méthode capture-marquage-recapture (CMR)
Pour estimer le nombre de poissons \(N\) dans un lac, on en capture \(M\), on les marque, on les relâche. Plus tard, on capture un second échantillon de \(n\) poissons dont \(m\) sont marqués. La fréquence de marqués dans le second échantillon, \(f = \displaystyle\frac{m}{n}\), estime la fréquence de marqués dans le lac, \(\displaystyle\frac{M}{N}\).
Exemple — Estimer une population de truites. On marque \(M=120\) truites. Sur une seconde pêche de \(n=150\) truites, \(m=30\) sont marquées.
\(f = \displaystyle\frac{30}{150} = 0{,}20\). On pose \(\displaystyle\frac{M}{N} \approx f\), d’où \(N \approx \displaystyle\frac{M}{f} = \displaystyle\frac{120}{0{,}20} = 600\) truites.
Intervalle de confiance sur \(f\) : conditions \(nf=30\geq 5\), \(n(1-f)=120\geq 5\) ✓, amplitude \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{150}} \approx 0{,}082\), donc \(f \in [\,0{,}118\;;\;0{,}282\,]\). En inversant, on obtient une fourchette pour \(N\) entre \(\displaystyle\frac{120}{0{,}282}\approx 426\) et \(\displaystyle\frac{120}{0{,}118}\approx 1017\) truites.
L’intervalle sur \(N\) est large : c’est normal, un petit échantillon donne une estimation grossière. C’est là qu’on comprend, chiffres à l’appui, pourquoi les biologistes marquent beaucoup d’individus.
B. Selon ta filière
Le vocabulaire et la formule varient selon les cursus. Dans l’ancien programme de Terminale ES, on utilisait déjà l’intervalle de confiance d’une proportion. En BTS et à l’université, on rencontre l’intervalle de confiance d’une moyenne et le formalisme complet de la statistique inférentielle. Le principe reste le même partout : passer de l’échantillon à la population.
VI. Ne pas confondre : confiance, fluctuation, marge d’erreur
Trois notions du chapitre se ressemblent et se mélangent souvent. Le tableau suivant les remet en place.
| Critère | Intervalle de fluctuation | Intervalle de confiance |
|---|---|---|
| On connaît… | la proportion \(p\) de la population | la fréquence \(f\) de l’échantillon |
| On cherche… | où va tomber la fréquence \(f\) | où se situe la proportion \(p\) |
| Sens du raisonnement | population \(\to\) échantillon | échantillon \(\to\) population |
| Centre de l’intervalle | \(p\) | \(f\) |
Retiens la formule choc : la fluctuation part de la population et prévoit l’échantillon ; la confiance part de l’échantillon et remonte à la population. Le tableau comparatif complet et détaillé se trouve sur la page intervalle de fluctuation.
Quant à la marge d’erreur, ce n’est pas une notion à part : c’est simplement la demi-longueur de l’intervalle de confiance, soit \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\) au lycée. Le « \(\pm 3\) points » d’un sondage est la marge de son intervalle de confiance à 95 %.
Erreur classique : comparer deux sondages sans tenir compte des marges. Un candidat à \(51\%\) contre \(49\%\), avec \(\pm 3\) points chacun, n’est pas en tête : les intervalles \([\,48\%;54\%\,]\) et \([\,46\%;52\%\,]\) se chevauchent largement.
VII. Applications corrigées
Voici quatre applications pour ancrer la méthode, de la simple lecture au raisonnement. Pour un entraînement complet, la page dédiée propose 15 exercices corrigés sur l’intervalle de confiance.
Exercice 1 — Calcul direct ★
Un institut interroge \(n=625\) personnes : \(375\) approuvent une réforme. Détermine l’intervalle de confiance à 95 % (formule lycée).
Voir la correction de l’exercice 1
Fréquence : \(f = \displaystyle\frac{375}{625} = 0{,}6\).
Conditions : \(n=625\geq 30\), \(nf=375\geq 5\), \(n(1-f)=250\geq 5\) ✓.
Amplitude : \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{625}} = \displaystyle\frac{1}{25} = 0{,}04\).
\(IC = [\,0{,}60-0{,}04\;;\;0{,}60+0{,}04\,] = [\,0{,}56\;;\;0{,}64\,]\).
On estime la proportion d’approbation dans la population entre 56 % et 64 %, au niveau de confiance de 95 %.
Exercice 2 — Choisir la taille de l’échantillon ★★
Un journal veut une marge d’erreur inférieure ou égale à \(2{,}5\) points. Combien de personnes doit-il interroger au minimum (formule lycée) ?
Voir la correction de l’exercice 2
La marge est \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\). On veut \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0{,}025\).
Cela équivaut à \(\sqrt{n} \geq \displaystyle\frac{1}{0{,}025} = 40\), donc \(n \geq 1600\).
Il faut interroger au moins 1 600 personnes. On remarque que la taille ne dépend que de la marge visée, jamais de la taille de la population.
Exercice 3 — Interprétation (vrai ou faux) ★★
Un sondage donne l’intervalle \([\,0{,}47\;;\;0{,}53\,]\) à 95 %. Ces affirmations sont-elles correctes ? (a) « \(p\) a 95 % de chances d’être dans \([\,0{,}47\;;\;0{,}53\,]\). » (b) « Si on refaisait 100 sondages, environ 95 intervalles contiendraient \(p\). »
Voir la correction de l’exercice 3
(a) Faux. Une fois l’intervalle calculé, \(p\) (fixe) y est ou n’y est pas. Il n’y a plus de probabilité à attribuer à un intervalle particulier. Le « 95 % » ne décrit pas la position de \(p\) dans cet intervalle-là.
(b) Vrai. Le niveau de confiance porte sur le procédé : sur un grand nombre de répétitions, environ 95 % des intervalles construits contiennent \(p\). C’est la formulation exacte attendue en copie.
Ce que le correcteur attend : justifier que le hasard est dans l’intervalle, pas dans \(p\). Confondre les deux coûte des points systématiquement.
Exercice 4 — Formule précise vs formule lycée ★★★
Sur \(n=1000\) sondés, \(f=0{,}30\). Compare l’amplitude donnée par la formule lycée \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\) et par la formule précise \(1{,}96\sqrt{\displaystyle\frac{f(1-f)}{n}}\). Commente.
Voir la correction de l’exercice 4
Formule lycée : \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 0{,}0316\), soit \(\pm 3{,}2\) points.
Formule précise : \(f(1-f) = 0{,}30\times 0{,}70 = 0{,}21\), donc \(1{,}96\sqrt{\displaystyle\frac{0{,}21}{1000}} = 1{,}96\times\sqrt{0{,}00021} \approx 1{,}96\times 0{,}0145 \approx 0{,}0284\), soit \(\pm 2{,}8\) points.
Commentaire. La formule lycée donne un intervalle plus large (3,2 contre 2,8 points). C’est cohérent : elle majore \(f(1-f)\) par \(\displaystyle\frac{1}{4}\), ce qui « surestime » l’incertitude par sécurité. Plus \(f\) s’éloigne de \(0{,}5\), plus l’écart entre les deux formules grandit.
VIII. Questions fréquentes
C’est quoi un intervalle de confiance en une phrase ?
C’est une fourchette de valeurs, calculée à partir d’un échantillon, qui encadre une proportion (ou une moyenne) inconnue de la population, avec un niveau de fiabilité donné (le plus souvent 95 %). Il traduit l’incertitude liée au fait qu’on n’a interrogé qu’une partie de la population.
Que veut dire un intervalle de confiance à 95 % exactement ?
Cela signifie que la méthode de construction est fiable 19 fois sur 20 : si on répétait l’échantillonnage un grand nombre de fois, environ 95 % des intervalles obtenus contiendraient la vraie valeur. Cela ne veut PAS dire que la vraie proportion a 95 % de chances d’être dans un intervalle déjà calculé.
Quelle est la formule de l’intervalle de confiance au lycée ?
Pour une fréquence \(f\) observée sur \(n\) individus, l’intervalle à 95 % est \(\left[\,f-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\;;\;f+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\,\right]\), valable si \(n\geq 30\), \(nf\geq 5\) et \(n(1-f)\geq 5\).
Quelle différence entre intervalle de confiance et de fluctuation ?
L’intervalle de fluctuation part d’une proportion \(p\) connue et prévoit où tombera la fréquence d’un échantillon (population vers échantillon). L’intervalle de confiance part d’une fréquence \(f\) observée et remonte à la proportion inconnue (échantillon vers population). Le premier est centré sur \(p\), le second sur \(f\).
Comment rendre un intervalle de confiance plus précis ?
En augmentant la taille \(n\) de l’échantillon. L’amplitude vaut \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\) : pour diviser la marge par 2, il faut multiplier \(n\) par 4. La taille de la population, elle, n’intervient pas dans le calcul.
Le quantile 1,96 vient d’où ?
De la loi normale : \(1{,}96\) est la valeur telle que 95 % de la loi normale centrée réduite se trouve entre \(-1{,}96\) et \(1{,}96\). On la lit dans la table de la loi normale. Pour 90 % on utilise \(1{,}645\), pour 99 % on utilise \(2{,}576\).
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer un intervalle de confiance, l’interpréter sans te tromper et le distinguer de ses voisins. Pour approfondir le chapitre :
- Loi Normale : Cours Complet, Propriétés et Exercices Corrigés
- Écart-type (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- 20 exercices corrigés : inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres (Terminale)
- 18 Exercices de Statistiques en Seconde Corrigés (PDF)
Conforme au programme officiel 2026-2027 (enseignement scientifique et spécialité mathématiques de Terminale, voie générale).
