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En Seconde, les statistiques changent d’échelle : tu ne te contentes plus de calculer une moyenne, tu apprends à décrire une série complète avec des indicateurs de position (moyenne, médiane, quartiles) et de dispersion (étendue, écart interquartile, écart-type). Voici 18 exercices corrigés pas à pas, classés par difficulté croissante, du calcul direct au problème de synthèse type contrôle. Chaque correction est entièrement rédigée, avec une justification à chaque étape — exactement ce qu’attend ton professeur sur une copie. Un PDF téléchargeable (énoncés + corrigés) t’attend en fin de page pour t’entraîner sans écran.
Rappel des formules essentielles
Avant de te lancer, garde ces formules sous les yeux. Elles couvrent tout le programme de statistiques de Seconde.
Les indicateurs à connaître en Seconde
- Moyenne d’une série à effectifs : \(\bar{x} = \displaystyle\frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_p x_p}{N}\), où \(N\) est l’effectif total.
- Médiane \(M_e\) : valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif.
- Premier quartile \(Q_1\) : plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
- Troisième quartile \(Q_3\) : plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
- Étendue \(e = x_{\max} – x_{\min}\).
- Écart interquartile : \(Q_3 – Q_1\).
- Variance : \(V = \displaystyle\frac{1}{N}\sum n_i (x_i – \bar{x})^2\) et écart-type \(\sigma = \sqrt{V}\).
Méthode des quartiles au programme : pour trouver le rang de \(Q_1\), calcule \(\displaystyle\frac{N}{4}\). Si le résultat n’est pas entier, tu arrondis à l’entier supérieur. Pour \(Q_3\), calcule \(\displaystyle\frac{3N}{4}\) et applique la même règle.
Exercices d’application directe (★)
On commence en douceur : un calcul, un indicateur, pas de piège. L’objectif est de rendre chaque formule automatique.
Exercice 1 — Moyenne simple ★
Lors d’un trimestre, Léa a obtenu les notes suivantes en mathématiques : 12, 15, 8, 14, 11, 10. Calcule sa moyenne.
Voir la correction de l’exercice 1
On additionne les six notes puis on divise par 6 :
\(\bar{x} = \displaystyle\frac{12 + 15 + 8 + 14 + 11 + 10}{6} = \displaystyle\frac{70}{6} \approx 11{,}67\)La moyenne de Léa est d’environ 11,67.
Exercice 2 — Moyenne pondérée par coefficients ★
Au bac blanc, un élève obtient 14 en maths (coefficient 7), 11 en français (coefficient 4) et 16 en histoire (coefficient 3). Calcule sa moyenne pondérée.
Voir la correction de l’exercice 2
On multiplie chaque note par son coefficient, on additionne, puis on divise par la somme des coefficients :
\(\bar{x} = \displaystyle\frac{14 \times 7 + 11 \times 4 + 16 \times 3}{7 + 4 + 3} = \displaystyle\frac{98 + 44 + 48}{14} = \displaystyle\frac{190}{14} \approx 13{,}57\)La moyenne pondérée est d’environ 13,57. Retrouve la méthode complète sur la page moyenne pondérée.
Exercice 3 — Médiane, série impaire ★
Voici les tailles (en cm) de 7 élèves : 158, 162, 171, 155, 168, 160, 165. Détermine la médiane.
Voir la correction de l’exercice 3
On ordonne la série : 155, 158, 160, 162, 165, 168, 171. L’effectif est \(N = 7\) (impair). La médiane est la valeur de rang \(\displaystyle\frac{7+1}{2} = 4\), soit la 4ᵉ valeur.
La médiane est \(M_e = 162\) cm : la moitié des élèves mesurent 162 cm ou moins.
Exercice 4 — Médiane, série paire ★
On relève le nombre de SMS envoyés en une journée par 8 personnes : 12, 5, 20, 8, 15, 9, 30, 11. Trouve la médiane.
Voir la correction de l’exercice 4
Série ordonnée : 5, 8, 9, 11, 12, 15, 20, 30. Ici \(N = 8\) (pair). La médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, celles de rang 4 et 5 :
\(M_e = \displaystyle\frac{11 + 12}{2} = 11{,}5\)La médiane vaut 11,5 SMS. Pour tous les cas (paire, impaire, groupée), consulte la page médiane.
Exercice 5 — Étendue ★
Les températures (en °C) relevées à midi pendant une semaine sont : 18, 22, 15, 25, 19, 21, 17. Calcule l’étendue de la série.
Voir la correction de l’exercice 5
L’étendue mesure la dispersion totale : \(e = x_{\max} – x_{\min}\).
Ici \(x_{\max} = 25\) et \(x_{\min} = 15\), donc \(e = 25 – 15 = 10\) °C.
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Exercice 6 — Tableau de fréquences ★
Dans une classe de 25 élèves, on a compté le nombre de frères et sœurs. 4 élèves en ont 0, 10 en ont 1, 8 en ont 2 et 3 en ont 3. Calcule la fréquence (en %) des élèves ayant exactement 1 frère ou sœur.
Voir la correction de l’exercice 6
La fréquence est le rapport de l’effectif à l’effectif total :
\(f = \displaystyle\frac{10}{25} = 0{,}4 = 40\,\%\)40 % des élèves ont exactement 1 frère ou sœur.
Exercice 7 — Quartiles sur une petite série ★
On dispose des notes de 12 élèves, déjà rangées : 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18. Détermine \(Q_1\), \(Q_3\) et l’écart interquartile.
Voir la correction de l’exercice 7
Effectif \(N = 12\).
- Rang de \(Q_1\) : \(\displaystyle\frac{N}{4} = \displaystyle\frac{12}{4} = 3\). La 3ᵉ valeur est 8, donc \(Q_1 = 8\).
- Rang de \(Q_3\) : \(\displaystyle\frac{3N}{4} = \displaystyle\frac{36}{4} = 9\). La 9ᵉ valeur est 14, donc \(Q_3 = 14\).
L’écart interquartile vaut \(Q_3 – Q_1 = 14 – 8 = 6\). La moitié centrale des élèves a des notes comprises entre 8 et 14. Méthode détaillée sur la page quartiles.
Exercices d’approfondissement (★★)
On passe aux séries à effectifs, à l’écart-type et aux diagrammes en boîte. Ici, il faut organiser les données avant de calculer.
Exercice 8 — Médiane et quartiles dans un tableau d’effectifs ★★
Une enquête porte sur le nombre d’heures d’écran par jour dans une classe de 20 élèves :
| Heures | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 5 | 7 | 4 | 2 |
Détermine la médiane, \(Q_1\) et \(Q_3\).
Voir la correction de l’exercice 8
Effectif total \(N = 2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20\). On construit les effectifs cumulés croissants : 2 ; 7 ; 14 ; 18 ; 20.
- Médiane : avec \(N = 20\) (pair), on prend les valeurs de rang 10 et 11. Le cumul atteint 7 à « 2 h » puis 14 à « 3 h » : les rangs 10 et 11 valent donc 3. \(M_e = 3\) h.
- \(Q_1\) : rang \(\displaystyle\frac{20}{4} = 5\). Le cumul atteint 7 à « 2 h » : le 5ᵉ élève est à 2 h, donc \(Q_1 = 2\).
- \(Q_3\) : rang \(\displaystyle\frac{3 \times 20}{4} = 15\). Le cumul passe de 14 à 18 en « 4 h » : le 15ᵉ élève est à 4 h, donc \(Q_3 = 4\).
Exercice 9 — Variance et écart-type ★★
Une série contient 5 valeurs : 4, 6, 8, 10, 12. Calcule la moyenne, la variance puis l’écart-type.
Voir la correction de l’exercice 9
Moyenne : \(\bar{x} = \displaystyle\frac{4+6+8+10+12}{5} = \displaystyle\frac{40}{5} = 8\).
On calcule les écarts au carré :
\((4-8)^2 = 16\), \((6-8)^2 = 4\), \((8-8)^2 = 0\), \((10-8)^2 = 4\), \((12-8)^2 = 16\).
Variance : \(V = \displaystyle\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \displaystyle\frac{40}{5} = 8\).
Écart-type : \(\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83\). Approfondis sur la page écart-type et la page variance.
Exercice 10 — Comparer deux séries ★★
Deux élèves ont la même moyenne de 12 sur 5 devoirs.
Élève A : 11, 12, 13, 12, 12 — Élève B : 5, 18, 8, 16, 13.
Lequel est le plus régulier ? Justifie avec un indicateur de dispersion.
Voir la correction de l’exercice 10
Même moyenne (12), donc il faut regarder la dispersion.
Élève A : les notes sont proches de 12. Étendue \(= 13 – 11 = 2\).
Élève B : notes très éclatées. Étendue \(= 18 – 5 = 13\).
L’écart-type confirme : pour A, \(\sigma_A \approx 0{,}63\) ; pour B, \(\sigma_B \approx 4{,}73\). Plus l’écart-type est petit, plus la série est régulière : l’élève A est le plus régulier.
Réflexe de comparaison : à moyenne égale, la série la plus « fiable » est celle dont l’écart-type (ou l’écart interquartile) est le plus faible. C’est exactement le raisonnement attendu au contrôle.
Exercice 11 — Construire un diagramme en boîte ★★
Pour une série de 15 valeurs, on a obtenu : minimum = 3, \(Q_1 = 7\), médiane = 10, \(Q_3 = 14\), maximum = 20. Décris le diagramme en boîte à tracer.
Voir la correction de l’exercice 11
Le diagramme en boîte se lit sur un axe gradué :
- La boîte va de \(Q_1 = 7\) à \(Q_3 = 14\) : elle contient la moitié centrale des données.
- Un trait vertical à l’intérieur de la boîte marque la médiane : ici à 10.
- Les moustaches s’étendent du minimum (3) au maximum (20).
L’écart interquartile vaut \(14 – 7 = 7\). Méthode complète sur la page diagramme en boîte.
Exercice 12 — Lire un diagramme en boîte ★★
Le diagramme en boîte des résultats d’un contrôle donne : minimum 4, \(Q_1 = 9\), médiane 11, \(Q_3 = 15\), maximum 19. Que peut-on dire de la proportion d’élèves ayant au moins 15 ?
Voir la correction de l’exercice 12
Par définition, \(Q_3 = 15\) signifie qu’au moins 75 % des élèves ont une note inférieure ou égale à 15. Donc au plus 25 % des élèves ont une note supérieure ou égale à 15. La moitié centrale des notes se situe entre 9 et 15 (écart interquartile de 6).
Exercice 13 — Effectifs cumulés et médiane ★★
Une série de 40 valeurs a les effectifs cumulés croissants suivants pour les valeurs 5, 6, 7, 8 : 6 ; 18 ; 33 ; 40. Détermine la médiane.
Voir la correction de l’exercice 13
\(N = 40\) (pair) : la médiane est la moyenne des valeurs de rang 20 et 21. Le cumul passe de 18 (à la valeur 6) à 33 (à la valeur 7) : les rangs 19 à 33 correspondent tous à la valeur 7. Donc les rangs 20 et 21 valent 7.
\(M_e = \displaystyle\frac{7 + 7}{2} = 7\). Voir la construction du tableau sur effectifs et fréquences.
Exercice 14 — Moyenne d’une série groupée en classes ★★
On a regroupé les temps de trajet (en min) de 30 élèves :
| Classe (min) | Centre | Effectif |
|---|---|---|
| \(\left[0\,;10\right[\) | 5 | 8 |
| \(\left[10\,;20\right[\) | 15 | 12 |
| \(\left[20\,;30\right[\) | 25 | 7 |
| \(\left[30\,;40\right[\) | 35 | 3 |
Estime le temps de trajet moyen.
Voir la correction de l’exercice 14
Pour une série groupée, on remplace chaque classe par son centre, puis on calcule une moyenne pondérée :
\(\bar{x} = \displaystyle\frac{8 \times 5 + 12 \times 15 + 7 \times 25 + 3 \times 35}{30} = \displaystyle\frac{40 + 180 + 175 + 105}{30} = \displaystyle\frac{500}{30} \approx 16{,}7\)Le temps de trajet moyen est d’environ 16,7 minutes.
Exercices de synthèse type contrôle (★★★)
Place aux problèmes complets, comme au devoir surveillé : plusieurs indicateurs, une interprétation et un vrai raisonnement à rédiger.
Exercice 15 — Comparaison de deux classes ★★★
Deux classes passent le même contrôle sur 20.
Classe A (résumé) : minimum 6, \(Q_1 = 9\), médiane 11, \(Q_3 = 13\), maximum 17.
Classe B (résumé) : minimum 4, \(Q_1 = 8\), médiane 12, \(Q_3 = 16\), maximum 20.
1) Calcule l’écart interquartile de chaque classe. 2) Compare la dispersion. 3) Quelle classe a les résultats les plus homogènes ?
Voir la correction de l’exercice 15
1) Classe A : \(Q_3 – Q_1 = 13 – 9 = 4\). Classe B : \(Q_3 – Q_1 = 16 – 8 = 8\).
2) L’écart interquartile de B (8) est le double de celui de A (4) : les notes de B sont beaucoup plus dispersées. L’étendue le confirme (A : \(17-6=11\) ; B : \(20-4=16\)).
3) La classe A a les résultats les plus homogènes : la moitié centrale de ses élèves se concentre sur un intervalle plus resserré, même si la classe B a une médiane légèrement plus haute.
Exercice 16 — Étude complète d’une série à effectifs ★★★
On relève le nombre de buts marqués par match par une équipe sur 25 matchs :
| Buts | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 7 | 8 | 5 | 2 |
1) Calcule la moyenne. 2) Détermine la médiane, \(Q_1\) et \(Q_3\). 3) Calcule l’étendue et l’écart interquartile.
Voir la correction de l’exercice 16
Effectif total \(N = 3+7+8+5+2 = 25\).
1) Moyenne : \(\bar{x} = \displaystyle\frac{0\times 3 + 1\times 7 + 2\times 8 + 3\times 5 + 4\times 2}{25} = \displaystyle\frac{0 + 7 + 16 + 15 + 8}{25} = \displaystyle\frac{46}{25} = 1{,}84\) but par match.
2) Effectifs cumulés croissants : 3 ; 10 ; 18 ; 23 ; 25.
- Médiane : \(N = 25\) (impair), rang \(\displaystyle\frac{25+1}{2} = 13\). Le cumul atteint 18 à la valeur 2 : le 13ᵉ match est à 2 buts, donc \(M_e = 2\).
- \(Q_1\) : rang \(\displaystyle\frac{25}{4} = 6{,}25\), arrondi à 7. Le 7ᵉ match est à 1 but (cumul 10), donc \(Q_1 = 1\).
- \(Q_3\) : rang \(\displaystyle\frac{3 \times 25}{4} = 18{,}75\), arrondi à 19. Le 19ᵉ match est à 3 buts (cumul 23), donc \(Q_3 = 3\).
3) Étendue : \(4 – 0 = 4\). Écart interquartile : \(3 – 1 = 2\).
Exercice 17 — Raisonnement : l’effet d’une valeur extrême ★★★
Dans une petite entreprise, les 8 salaires mensuels nets (en euros) sont : 2200, 2300, 2400, 2500, 2600, 2800, 3000, 5500.
1) Calcule la moyenne et la médiane. 2) Le patron affirme : « Le salaire moyen ici est de 2 913 € ». Est-ce trompeur ? Explique.
Voir la correction de l’exercice 17
1) Moyenne : \(\bar{x} = \displaystyle\frac{2200+2300+2400+2500+2600+2800+3000+5500}{8} = \displaystyle\frac{23300}{8} = 2912{,}5\) €.
Médiane : \(N = 8\) (pair), moyenne des rangs 4 et 5 : \(M_e = \displaystyle\frac{2500 + 2600}{2} = 2550\) €.
2) La moyenne (≈ 2 913 €) est nettement tirée vers le haut par le salaire de 5 500 €, très supérieur aux autres. La médiane (2 550 €) reflète mieux le salaire « typique » : la moitié des salariés gagnent 2 550 € ou moins. Le patron utilise l’indicateur le plus flatteur : c’est trompeur.
À retenir : la médiane résiste aux valeurs extrêmes, la moyenne non. C’est pour cela que l’on communique souvent le « salaire médian » plutôt que le « salaire moyen ».
Exercice 18 — Synthèse avec diagramme en boîte ★★★
Les notes (sur 20) de 16 élèves, rangées, sont : 4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19.
1) Détermine \(Q_1\), la médiane, \(Q_3\), le minimum et le maximum. 2) Trace (décris) le diagramme en boîte. 3) Que peut-on dire de la moitié centrale de la classe ?
Voir la correction de l’exercice 18
Effectif \(N = 16\).
1)
- Minimum = 4, maximum = 19.
- Médiane : rangs 8 et 9, \(M_e = \displaystyle\frac{11 + 12}{2} = 11{,}5\).
- \(Q_1\) : rang \(\displaystyle\frac{16}{4} = 4\), la 4ᵉ valeur vaut 8, donc \(Q_1 = 8\).
- \(Q_3\) : rang \(\displaystyle\frac{3 \times 16}{4} = 12\), la 12ᵉ valeur vaut 14, donc \(Q_3 = 14\).
2) La boîte s’étend de 8 à 14, avec la médiane à 11,5 ; les moustaches vont de 4 à 19.
3) La moitié centrale des élèves (écart interquartile \(= 14 – 8 = 6\)) a des notes comprises entre 8 et 14 : le groupe est plutôt homogène autour de la moyenne, avec quelques élèves aux extrêmes (4 et 19).
Erreurs fréquentes à éviter
Ces erreurs coûtent des points à chaque contrôle. Repère-les avant qu’elles ne te piègent.
Erreur n°1 — Oublier d’ordonner la série. ❌ Calculer la médiane directement sur les données « en vrac ». → Diagnostic : la médiane et les quartiles n’ont de sens que sur une série rangée par ordre croissant. → ✅ Toujours ordonner (ou vérifier les effectifs cumulés) avant tout calcul de position.
Erreur n°2 — Confondre valeur et effectif. ❌ Dans un tableau, calculer la moyenne des valeurs sans tenir compte des effectifs. → Diagnostic : chaque valeur pèse selon son effectif. → ✅ Utiliser \(\bar{x} = \displaystyle\frac{\sum n_i x_i}{N}\), jamais la simple moyenne des \(x_i\).
Erreur n°3 — Mal arrondir le rang d’un quartile. ❌ Arrondir \(\displaystyle\frac{N}{4} = 6{,}25\) à 6. → Diagnostic : pour un rang de quartile non entier, on arrondit toujours à l’entier supérieur. → ✅ Ici, \(6{,}25\) donne le rang 7.
Erreur n°4 — Confondre écart interquartile et intervalle interquartile. ❌ Écrire « écart interquartile \(= \left[Q_1\,;Q_3\right]\) ». → Diagnostic : l’écart interquartile est un nombre. → ✅ C’est \(Q_3 – Q_1\), pas l’intervalle.
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Questions fréquentes
Comment calculer les quartiles Q1 et Q3 en Seconde ?
On range la série par ordre croissant, puis on calcule le rang de chaque quartile. Pour \(Q_1\), on calcule \(\displaystyle\frac{N}{4}\) (arrondi à l’entier supérieur si besoin) et on lit la valeur correspondante. Pour \(Q_3\), on calcule \(\displaystyle\frac{3N}{4}\) de la même façon.
Quelle est la différence entre étendue et écart interquartile ?
L’étendue mesure la dispersion totale de la série : \(x_{\max} – x_{\min}\). Elle est très sensible aux valeurs extrêmes. L’écart interquartile \(Q_3 – Q_1\) mesure la dispersion de la moitié centrale des données et résiste aux valeurs aberrantes. C’est un indicateur plus robuste.
Pourquoi utiliser la médiane plutôt que la moyenne ?
La médiane n’est pas influencée par les valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne. Sur une série de salaires où une seule valeur est très élevée, la moyenne est « tirée » vers le haut alors que la médiane reflète mieux la valeur typique. Les deux indicateurs sont complémentaires.
Comment lire un diagramme en boîte ?
La boîte va de \(Q_1\) à \(Q_3\) et contient la moitié centrale des données. Le trait à l’intérieur est la médiane. Les moustaches relient la boîte au minimum et au maximum. La largeur de la boîte donne directement l’écart interquartile.
Les statistiques sont-elles au programme du bac de maths ?
En Seconde, les statistiques descriptives (indicateurs de position et de dispersion) font partie du programme. En spécialité maths de Première et Terminale, elles laissent la place aux probabilités et aux variables aléatoires, mais les indicateurs vus en Seconde restent utiles pour interpréter des données.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les exercices de statistiques en Seconde. Pour approfondir et faire le lien avec les chapitres voisins :
- Moyenne pondérée : définition, formule et calcul
- Espérance (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- Taux de variation : définition, calcul et exemples simples
- Variable Aléatoire : Cours Complet du Lycée à la Prépa
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