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Le théorème de Schwarz affirme que, pour une fonction suffisamment régulière de plusieurs variables, l’ordre dans lequel on dérive n’a aucune importance : dériver d’abord par rapport à \(x\) puis par rapport à \(y\) donne le même résultat que l’inverse. Cette égalité des dérivées partielles croisées est un pilier discret de tout le calcul différentiel de prépa.
En prépa, tu vas croiser le théorème de Schwarz dans presque tous les chapitres d’analyse à plusieurs variables : c’est lui qui rend la matrice hessienne symétrique, lui qui légitime les développements de Taylor à l’ordre 2, lui encore qui distingue une forme différentielle exacte d’une forme qui ne l’est pas. Il a pourtant une réputation trompeuse de « théorème évident » — jusqu’au jour où l’on rencontre le contre-exemple qui casse tout. Cet article te donne l’énoncé exact, sa démonstration complète, la notion de fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) qui l’entoure, une méthode fiable pour l’appliquer sans se faire piéger, et le contre-exemple célèbre où les dérivées croisées ne sont pas égales.
I. Définitions et notations
Avant d’énoncer le théorème, il faut poser proprement le vocabulaire : dérivées partielles secondes, fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(\mathcal{C}^2\). C’est précisément là que se logent la plupart des erreurs de copie : on applique le théorème sans avoir vérifié l’hypothèse de régularité.
A. Rappel — dérivées partielles secondes
Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{R}^2\) et \(f : U \to \mathbb{R}\) une fonction admettant des dérivées partielles premières sur \(U\). On note ces dérivées :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} \quad \text{et} \quad \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\)Chacune est encore une fonction de deux variables sur \(U\). On peut donc la dériver à nouveau. On obtient quatre dérivées partielles secondes.
Définition — Dérivées partielles secondes
Lorsque les dérivées existent, on note :
- \(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)\) et \(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\right)\) : les dérivées pures.
- \(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\right)\) et \(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)\) : les dérivées croisées.
Attention à la convention de lecture. Dans \(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), on lit de droite à gauche : on dérive d’abord par rapport à \(y\), puis par rapport à \(x\). La notation « Monge » \(f_{xy}\) se lit à l’inverse (d’abord \(x\)). Les deux notations coexistent dans les manuels : précise toujours celle que tu utilises sur ta copie. Justement, le théorème de Schwarz va rendre cette ambiguïté sans conséquence… quand ses hypothèses sont vérifiées.
B. Fonctions de classe C¹ et C²
La régularité d’une fonction de plusieurs variables ne se mesure pas seulement à l’existence de ses dérivées, mais à leur continuité. C’est cette exigence qui fait toute la puissance de la théorie.
Définition — Fonction de classe \(\mathcal{C}^1\)
Une fonction \(f : U \to \mathbb{R}\) (avec \(U\) ouvert de \(\mathbb{R}^n\)) est dite de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(U\) lorsque toutes ses dérivées partielles premières existent en tout point de \(U\) et sont continues sur \(U\).
Définition — Fonction de classe \(\mathcal{C}^2\)
\(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(U\) lorsque toutes ses dérivées partielles secondes existent sur \(U\) et y sont continues. De manière équivalente : \(f\) est \(\mathcal{C}^1\) et ses dérivées partielles premières sont elles-mêmes \(\mathcal{C}^1\). Plus généralement, \(f\) est \(\mathcal{C}^k\) si toutes ses dérivées partielles jusqu’à l’ordre \(k\) existent et sont continues.
Deux résultats structurent tout le cours et méritent d’être connus avant même le théorème de Schwarz.
Le théorème fondamental de la classe \(\mathcal{C}^1\) : si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un ouvert \(U\), alors \(f\) est différentiable sur \(U\) (et donc continue). La réciproque est fausse : une fonction peut être différentiable sans être \(\mathcal{C}^1\). La chaîne d’implications à mémoriser est :
\(\mathcal{C}^1 \Longrightarrow \text{différentiable} \Longrightarrow \text{continue et dérivées partielles existent}\)
et aucune de ces flèches ne se remonte gratuitement.
C. Énoncé du théorème de Schwarz
Nous pouvons maintenant énoncer le résultat central. Il porte le nom du mathématicien allemand Hermann Schwarz (1843–1921), même si des versions antérieures sont dues à Euler et Clairaut.
Théorème de Schwarz ⋆ (exigible)
Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{R}^2\) et \(f : U \to \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(U\). Alors, en tout point \((a,b)\) de \(U\) :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b) = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a,b)\)
Autrement dit, les dérivées partielles croisées d’une fonction \(\mathcal{C}^2\) sont égales : l’ordre de dérivation n’importe pas.
La forme la plus fine du théorème n’exige pas la classe \(\mathcal{C}^2\) complète : il suffit que les deux dérivées croisées existent au voisinage du point et soient continues en ce point. En prépa, on retient l’hypothèse commode « \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) », qui la garantit d’emblée. Pour \(n\) variables, l’énoncé se généralise : pour toute paire d’indices \(i, j\), si \(f\) est \(\mathcal{C}^2\),
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}\)Le théorème de Schwarz sur une fiche synthétique
Énoncé, hypothèses, plan de démonstration et contre-exemple : tout l’essentiel condensé en une page prête à réviser avant une colle.
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II. Interprétation géométrique
Pourquoi les dérivées croisées « devraient »-elles être égales ? L’intuition passe par une quantité symétrique : la différence double associée à un petit rectangle.
Fixons un point \((a,b)\) et deux petits accroissements \(h\) et \(k\). Considérons les quatre coins du rectangle \(\left[a, a+h\right] \times \left[b, b+k\right]\) et formons la combinaison alternée :
\(\Delta(h,k) = f(a+h,\, b+k)- f(a+h,\, b)- f(a,\, b+k) + f(a,\, b)\)Cette quantité mesure la « torsion » de la surface \(z = f(x,y)\) au-dessus du rectangle. Le point crucial : elle est parfaitement symétrique en \(h\) et \(k\). On peut la regrouper de deux façons :
- en variations selon \(x\) d’une variation selon \(y\) : \(\Delta = \big(f(a+h,b+k)-f(a,b+k)\big)- \big(f(a+h,b)-f(a,b)\big)\) ;
- en variations selon \(y\) d’une variation selon \(x\) : \(\Delta = \big(f(a+h,b+k)-f(a+h,b)\big)- \big(f(a,b+k)-f(a,b)\big)\).
La première regroupement fait apparaître \(\partial^2 f / \partial y \partial x\) à la limite, la seconde \(\partial^2 f / \partial x \partial y\). Comme \(\Delta\) est une seule et même quantité, ses deux lectures limites doivent coïncider. Le théorème de Schwarz n’est rien d’autre que la formalisation rigoureuse de cette symétrie — sous réserve que les secondes dérivées soient continues, condition qui autorise le passage à la limite.
À retenir : le théorème de Schwarz est une conséquence de la symétrie de la différence double \(\Delta(h,k)\). C’est exactement cette différence double que l’on va exploiter dans la démonstration ci-dessous.
III. Démonstration du théorème
Aucun des concurrents qui rankent sur ce sujet ne donne la démonstration proprement rédigée : Wikipédia la renvoie en note, Larousse et Universalis ne la donnent pas. La voici, complète, telle qu’attendue en colle. L’outil clé est le théorème des accroissements finis à une variable, appliqué deux fois.
A. Le cadre : la différence double
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert \(U\), et \((a,b) \in U\). Comme \(U\) est ouvert, il existe \(r > 0\) tel que le rectangle \(\left[a-r, a+r\right] \times \left[b-r, b+r\right]\) soit inclus dans \(U\). Pour \(h\) et \(k\) non nuls et de valeur absolue \(\leq r\), on pose :
\(\Delta(h,k) = f(a+h,\, b+k)- f(a+h,\, b)- f(a,\, b+k) + f(a,\, b)\)B. Première application du TAF
Introduisons la fonction auxiliaire d’une variable :
\(\varphi(x) = f(x,\, b+k)- f(x,\, b)\)Elle est dérivable sur \(\left[a, a+h\right]\) (car \(f\) admet une dérivée partielle en \(x\)), et l’on a \(\Delta(h,k) = \varphi(a+h)- \varphi(a)\). Le théorème des accroissements finis fournit un réel \(c\) strictement compris entre \(a\) et \(a+h\) tel que :
\(\Delta(h,k) = h\,\varphi^\prime(c) = h\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(c,\, b+k)- \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(c,\, b)\right)\)Appliquons maintenant le TAF à la fonction \(y \mapsto \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(c, y)\) sur \(\left[b, b+k\right]\) : il existe \(d\) strictement compris entre \(b\) et \(b+k\) tel que :
\(\Delta(h,k) = h\,k\,\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(c,\, d)\)C. Seconde application du TAF
Recommençons le raisonnement en échangeant les rôles de \(x\) et \(y\). Posons :
\(\psi(y) = f(a+h,\, y)- f(a,\, y)\)de sorte que \(\Delta(h,k) = \psi(b+k)- \psi(b)\). Deux applications successives du TAF donnent l’existence de \(c^\prime\) entre \(a\) et \(a+h\), et \(d^\prime\) entre \(b\) et \(b+k\), tels que :
\(\Delta(h,k) = h\,k\,\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(c^\prime,\, d^\prime)\)D. Passage à la limite
En égalisant les deux expressions de \(\Delta(h,k)\) et en divisant par \(hk \neq 0\) :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(c,\, d) = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(c^\prime,\, d^\prime)\)Faisons tendre \((h,k)\) vers \((0,0)\). Comme \(c, c^\prime\) sont coincés entre \(a\) et \(a+h\), et \(d, d^\prime\) entre \(b\) et \(b+k\), les quatre nombres tendent : \(c, c^\prime \to a\) et \(d, d^\prime \to b\). La continuité des dérivées secondes croisées (c’est ici, et seulement ici, que l’hypothèse \(\mathcal{C}^2\) est utilisée) permet de conclure :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a,\, b) = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,\, b)\)∎
Le point de bascule de la preuve. Tout le reste (les deux TAF) ne fait que produire deux points d’évaluation différents. C’est la continuité des dérivées croisées qui écrase cette différence à la limite. Un correcteur cherche exactement cette phrase : « par continuité des dérivées secondes en \((a,b)\) ». Sans elle, la démonstration est fausse — et c’est précisément ce qu’illustre le contre-exemple de la section V.
IV. Méthode pas à pas pour appliquer Schwarz
Dans un exercice, le théorème de Schwarz intervient soit pour gagner du temps (on calcule une seule croisée), soit comme test de cohérence, soit comme outil de raisonnement (formes différentielles exactes, hessienne symétrique). Voici la méthode qui évite les fautes de rédaction.
Étape 1 — Vérifier la régularité
Avant toute chose, justifie que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) (ou au moins que les croisées existent et sont continues). Sur un ouvert où \(f\) est un polynôme, une fraction rationnelle sans annulation du dénominateur, une composée de fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, sinus…), c’est immédiat par opérations sur les fonctions \(\mathcal{C}^\infty\). Une seule phrase suffit — mais elle est obligatoire.
Étape 2 — Calculer une seule dérivée croisée
Choisis l’ordre de dérivation le plus commode. Par exemple, si \(\partial f / \partial y\) est plus simple à dériver ensuite par rapport à \(x\), calcule \(\partial^2 f / \partial x \partial y\). Le théorème garantit que l’autre croisée est identique.
Étape 3 — Conclure ou vérifier
Selon l’exercice : soit tu conclus (« par Schwarz, \(\partial^2 f / \partial x \partial y = \partial^2 f / \partial y \partial x\) »), soit tu utilises la propriété pour justifier la symétrie de la matrice hessienne, soit tu détectes qu’une forme différentielle n’est pas exacte (si les croisées d’un potentiel candidat diffèrent).
Astuce de contrôle. Après tout calcul de dérivées secondes, vérifie mentalement que tes deux croisées coïncident. Si elles diffèrent et que ta fonction est \(\mathcal{C}^2\), tu as fait une erreur de calcul, pas une découverte : recompte. Schwarz devient alors un détecteur d’erreurs gratuit.
V. Exemples résolus
Cinq applications de difficulté croissante, du calcul direct au contre-exemple qui fait la réputation du théorème. Essaie chaque exercice avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Vérification directe sur un polynôme ★
Soit \(f(x,y) = x^3 y^2- 2x y^4 + 5x\). Vérifier que les dérivées croisées de \(f\) sont égales.
Voir la correction de l’exercice 1
La fonction \(f\) est polynomiale, donc de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}^2\) : le théorème de Schwarz s’applique. Calculons quand même les deux croisées pour vérifier.
Dérivées premières :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 y^2- 2y^4 + 5, \qquad \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3 y- 8x y^3\)Dérivée croisée \(\partial^2 f / \partial y \partial x\) (on dérive \(\partial f / \partial x\) par rapport à \(y\)) :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 6x^2 y- 8y^3\)Dérivée croisée \(\partial^2 f / \partial x \partial y\) (on dérive \(\partial f / \partial y\) par rapport à \(x\)) :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 6x^2 y- 8y^3\)Les deux expressions coïncident : l’égalité de Schwarz est bien vérifiée, conformément au théorème.
Exercice 2 — Gagner du temps avec Schwarz ★
Soit \(f(x,y) = e^{xy} \sin(x)\). Calculer \(\partial^2 f / \partial y \partial x\) en n’utilisant qu’un seul ordre de dérivation.
Voir la correction de l’exercice 2
\(f\) est produit et composée de fonctions \(\mathcal{C}^\infty\), donc \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\). Par Schwarz, \(\partial^2 f / \partial y \partial x = \partial^2 f / \partial x \partial y\). On choisit l’ordre le plus court : dériver d’abord en \(y\) est immédiat car \(\sin(x)\) est constant vis-à-vis de \(y\).
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = x\, e^{xy} \sin(x)\)On dérive ensuite par rapport à \(x\) (règle du produit sur \(x\), \(e^{xy}\) et \(\sin x\)) :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = e^{xy}\sin(x) + x\big(y\,e^{xy}\sin(x) + e^{xy}\cos(x)\big)\)Soit, en factorisant :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = e^{xy}\big((1 + xy)\sin(x) + x\cos(x)\big)\)Schwarz nous a évité de repartir de \(\partial f / \partial x\), qui aurait fait apparaître \(y\,e^{xy}\sin x + e^{xy}\cos x\), plus lourd à re-dériver.
Exercice 3 — Symétrie de la hessienne ★★
Soit \(f(x,y) = \ln(1 + x^2 + y^2)\). Écrire la matrice hessienne de \(f\) et vérifier qu’elle est symétrique.
Voir la correction de l’exercice 3
Posons \(s = 1 + x^2 + y^2 > 0\). Comme \(s\) ne s’annule pas, \(f\) est \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}^2\).
Dérivées premières :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = \displaystyle\frac{2x}{s}, \qquad \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = \displaystyle\frac{2y}{s}\)Dérivées secondes pures :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \displaystyle\frac{2s- 2x \cdot 2x}{s^2} = \displaystyle\frac{2(1- x^2 + y^2)}{s^2}\) \(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \displaystyle\frac{2(1 + x^2- y^2)}{s^2}\)Dérivée croisée (on dérive \(2x/s\) par rapport à \(y\)) :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 2x \cdot \left(-\displaystyle\frac{2y}{s^2}\right) = -\displaystyle\frac{4xy}{s^2}\)La hessienne s’écrit donc :
\(H_f(x,y) = \displaystyle\frac{2}{s^2}\begin{pmatrix} 1- x^2 + y^2 & -2xy \\ -2xy & 1 + x^2- y^2 \end{pmatrix}\)Les deux coefficients hors diagonale valent \(-4xy/s^2\) : la hessienne est symétrique, ce qui était garanti par le théorème de Schwarz appliqué à une fonction \(\mathcal{C}^2\).
Exercice 4 — Une forme différentielle est-elle exacte ? ★★
La forme différentielle \(\omega = (2xy + y^2)\,dx + (x^2 + 2xy)\,dy\) peut-elle être la différentielle d’une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) ? Et \(\omega^\prime = y^2\,dx + 3x\,dy\) ?
Voir la correction de l’exercice 4
Principe. Si \(\omega = P\,dx + Q\,dy\) était \(df\) avec \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\), alors \(P = \partial f/\partial x\) et \(Q = \partial f/\partial y\). Le théorème de Schwarz impose \(\partial P / \partial y = \partial Q / \partial x\) (les deux croisées de \(f\)). C’est une condition nécessaire (elle devient suffisante sur un ouvert étoilé, par le théorème de Poincaré).
Cas de \(\omega\) : \(P = 2xy + y^2\), \(Q = x^2 + 2xy\).
\(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = 2x + 2y, \qquad \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x + 2y\)Elles sont égales : la condition de Schwarz est satisfaite, \(\omega\) peut être exacte (elle l’est ici : \(f(x,y) = x^2 y + x y^2\) convient).
Cas de \(\omega^\prime\) : \(P = y^2\), \(Q = 3x\).
\(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = 2y, \qquad \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} = 3\)Ces deux fonctions ne sont pas égales. Par contraposée du théorème de Schwarz, \(\omega^\prime\) n’est la différentielle d’aucune fonction \(\mathcal{C}^2\) : elle n’est pas exacte.
Ta fiche méthode Schwarz + les exercices types
Le théorème, sa démonstration en 3 lignes et les cas d’application (hessienne, formes différentielles) réunis sur une page à imprimer.
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Exercice 5 — Le contre-exemple qui casse Schwarz ★★★
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x,y) = \displaystyle\frac{xy(x^2- y^2)}{x^2 + y^2}\) pour \((x,y) \neq (0,0)\), et \(f(0,0) = 0\). Montrer que \(\partial^2 f / \partial x \partial y (0,0) \neq \partial^2 f / \partial y \partial x (0,0)\). Pourquoi Schwarz ne s’applique-t-il pas ?
Voir la correction de l’exercice 5
Étape 1 — Dérivées partielles premières sur les axes. Pour \(y \neq 0\), calculons \(\partial f / \partial x (0,y)\) par la définition :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(0,y) = \lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(h,y)- f(0,y)}{h} = \lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{y(h^2- y^2)}{h^2 + y^2} = \displaystyle\frac{y(-y^2)}{y^2} = -y\)De même, pour \(x \neq 0\) :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x,0) = \lim_{k \to 0} \displaystyle\frac{f(x,k)- f(x,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \displaystyle\frac{x(x^2- k^2)}{x^2 + k^2} = x\)Étape 2 — Dérivées croisées en l’origine.
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0) = \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\left[\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right](0,0) = \left.\displaystyle\frac{d}{dy}(-y)\right|_{y=0} = -1\) \(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) = \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left[\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\right](0,0) = \left.\displaystyle\frac{d}{dx}(x)\right|_{x=0} = 1\)Conclusion : \(\partial^2 f / \partial y \partial x (0,0) = -1\) tandis que \(\partial^2 f / \partial x \partial y (0,0) = 1\). Les deux croisées diffèrent.
Pourquoi Schwarz échoue. Il n’y a aucune contradiction : \(f\) n’est pas de classe \(\mathcal{C}^2\) en \((0,0)\). Précisément, les dérivées secondes croisées existent en l’origine mais ne sont pas continues en ce point. L’hypothèse cruciale de la démonstration (continuité des croisées, section III.D) tombe, et avec elle la conclusion. Ce contre-exemple, dû essentiellement à Peano, montre que la classe \(\mathcal{C}^2\) n’est pas une coquetterie : c’est le cœur du théorème.
Tu veux t’entraîner davantage ? Retrouve une série complète corrigée sur la page exercices sur les fonctions de plusieurs variables.
VI. Pièges classiques
Le théorème de Schwarz a mauvaise réputation d’« évidence », et c’est exactement pour cela qu’il piège. Voici les deux erreurs qui coûtent le plus de points en colle et en concours.
Piège n°1 — Appliquer Schwarz sans vérifier la classe \(\mathcal{C}^2\).
❌ Copie fautive : « Les dérivées croisées d’une fonction sont toujours égales, donc \(\partial^2 f / \partial x \partial y = \partial^2 f / \partial y \partial x\). »
🔍 Diagnostic : c’est faux en général, comme le prouve l’exercice 5. L’égalité n’est garantie que sous l’hypothèse de continuité des croisées (ou plus simplement \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\)).
✅ Correction : « Comme \(f\) est une fraction rationnelle sans annulation du dénominateur sur \(U\), elle y est de classe \(\mathcal{C}^2\). Par le théorème de Schwarz, \(\partial^2 f / \partial x \partial y = \partial^2 f / \partial y \partial x\) sur \(U\). » Toujours nommer l’hypothèse avant d’invoquer la conclusion.
Piège n°2 — Conclure la continuité d’une fonction à partir de ses limites selon les axes.
❌ Copie fautive : « \(f(x,0) \to 0\) et \(f(0,y) \to 0\) quand on approche l’origine, donc \(f\) est continue en \((0,0)\). »
🔍 Diagnostic : la continuité en un point d’une fonction de deux variables exige la limite selon toutes les directions (et même selon tous les chemins). Les limites selon \(x\) et selon \(y\) ne suffisent jamais. Contre-exemple type : \(g(x,y) = \displaystyle\frac{xy}{x^2 + y^2}\) vaut \(0\) sur les deux axes, mais vaut \(1/2\) sur la droite \(y = x\) : elle n’a pas de limite en \((0,0)\).
✅ Correction : pour prouver la continuité, majore \(\vert f(x,y)- f(a,b)\vert\) par une quantité qui tend vers \(0\) indépendamment de la direction (souvent via \(\Vert(x,y)-(a,b)\Vert\) ou le passage en coordonnées polaires). Pour prouver la discontinuité, exhibe deux chemins donnant des limites différentes.
Ce second piège concerne aussi bien les limites et la continuité des fonctions de plusieurs variables que la vérification des hypothèses de Schwarz : les deux notions se répondent en permanence.
VII. Rédaction au concours
Ce que le correcteur attend d’une copie qui invoque Schwarz est extrêmement codifié. Voici comment sécuriser tes points.
A. Ce que le correcteur attend
- Vérification d’hypothèse d’abord. Aucune application de Schwarz sans une phrase justifiant la classe \(\mathcal{C}^2\) (ou la continuité des croisées). C’est le réflexe « hypothèses avant théorème » valable pour tous les grands théorèmes d’analyse.
- Nommer le théorème. Écrire explicitement « par le théorème de Schwarz » : le correcteur cherche le mot-clé.
- Dans une démonstration exigée, le point noté est le passage à la limite par continuité, pas les applications du TAF. Ne bâcle jamais la dernière ligne.
Plan de démonstration à mémoriser (3 lignes) : (1) former la différence double \(\Delta(h,k)\) ; (2) l’exprimer de deux façons par deux applications successives du TAF, faisant apparaître \(\partial^2 f/\partial y\partial x\) et \(\partial^2 f/\partial x\partial y\) en des points intermédiaires ; (3) passer à la limite \((h,k)\to(0,0)\) en invoquant la continuité des croisées.
B. Au programme de quelle filière ?
| Filière | Statut du théorème | Démonstration exigible ? |
|---|---|---|
| MPSI / MP2I → MP / MPI | Au programme (calcul différentiel) | Résultat admis ; preuve possible en approfondissement |
| PCSI / PTSI → PC / PSI / PT | Au programme, usage sur les hessiennes et EDP de physique | Généralement admis |
| ECG (voie mathématiques appliquées) | Utilisé via la symétrie de la hessienne en optimisation | Non |
Dans toutes les filières, l’usage attendu est le même : justifier la symétrie de la hessienne pour l’étude des extremums, et manipuler les formules de Taylor à l’ordre 2 à plusieurs variables.
VIII. Questions fréquentes
Quelle est l’hypothèse exacte du théorème de Schwarz ?
La version pratique retenue en prépa demande que \(f\) soit de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert. La version optimale est plus fine : il suffit que les deux dérivées croisées existent au voisinage du point et soient continues en ce point. Dans les deux cas, la continuité des croisées est l’ingrédient indispensable — c’est elle qui autorise le passage à la limite dans la démonstration.
Le théorème de Schwarz est-il toujours vrai ?
Non, et c’est un point fréquemment mal compris. Sans l’hypothèse de continuité des croisées, l’égalité peut être fausse. Le contre-exemple classique est \(f(x,y) = xy(x^2- y^2)/(x^2 + y^2)\) prolongée par \(0\) en l’origine : en \((0,0)\), une croisée vaut \(1\) et l’autre \(-1\). Cette fonction n’est pas \(\mathcal{C}^2\) en l’origine, donc le théorème ne s’applique pas.
Quelle est la différence entre une fonction de classe C1 et une fonction différentiable ?
Ce sont deux notions distinctes, souvent confondues. « \(\mathcal{C}^1\) » signifie que les dérivées partielles existent et sont continues : c’est une condition sur la régularité des dérivées. « Différentiable » signifie qu’il existe une approximation linéaire du premier ordre en chaque point. Le lien : \(\mathcal{C}^1 \Longrightarrow\) différentiable, mais la réciproque est fausse. Une fonction peut être différentiable sans que ses dérivées partielles soient continues.
Pourquoi la matrice hessienne est-elle symétrique ?
Précisément grâce au théorème de Schwarz. Les coefficients hors diagonale de la hessienne sont les dérivées croisées \(\partial^2 f / \partial x_i \partial x_j\). Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\), Schwarz garantit \(\partial^2 f / \partial x_i \partial x_j = \partial^2 f / \partial x_j \partial x_i\), donc \(H_f\) est symétrique. C’est cette symétrie qui permet de la diagonaliser dans une base orthonormée et d’utiliser le signe de ses valeurs propres pour classer les points critiques.
À quoi sert concrètement le théorème de Schwarz ?
Trois usages majeurs en prépa : (1) gagner du temps de calcul en ne calculant qu’une seule croisée ; (2) garantir la symétrie de la hessienne, base de l’étude des extremums ; (3) fournir la condition nécessaire d’exactitude d’une forme différentielle (\(\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x\)), utile en physique pour les champs de gradient et les fonctions potentielles.
Comment vérifier qu’une fonction est de classe C2 rapidement ?
Sur un ouvert donné, une fonction obtenue par somme, produit, quotient (dénominateur ne s’annulant pas) ou composée de fonctions usuelles (\(\mathcal{C}^\infty\) : polynômes, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, racine sur son domaine) est automatiquement \(\mathcal{C}^2\), et même \(\mathcal{C}^\infty\). Une seule phrase de justification suffit. La vérification par la définition n’est nécessaire qu’aux points « suspects », typiquement là où une fonction est prolongée par continuité.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le théorème de Schwarz, la notion de fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) et le contre-exemple qui délimite leur portée. Pour approfondir le chapitre :
- Tableau de variation d’une fonction
- Coordonnées d’un Vecteur : Cours Complet, Formules et Exercices Corrigés
- Déterminant d’une Matrice : Définition, Calcul, Propriétés et Exercices Corrigés
- Développements limités et formules de Taylor
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