Sous-espaces Vectoriels : Définition et Propriétés

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En algèbre linéaire, un espace vectoriel est rarement étudié seul : on explore ses sous-structures. Noyaux, images, espaces propres, espaces de solutions — tous ces objets fondamentaux sont des sous-espaces vectoriels. Ce cours te donne les définitions, les théorèmes avec leurs démonstrations, les méthodes de preuve et 8 exercices corrigés pour maîtriser ce chapitre incontournable de CPGE.

I. Définition et caractérisation d’un sous-espace vectoriel

A. Définition formelle

Dans toute la suite, \((E, +, \cdot)\) désigne un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, où \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).

En pratique, vérifier l’ensemble des axiomes d’espace vectoriel est inutile : la plupart sont automatiquement hérités de \(E\) (associativité, commutativité, distributivité…). Seules la stabilité et l’existence des éléments neutres et symétriques doivent être contrôlées, ce que résume le théorème suivant.

B. Caractérisation pratique — les trois conditions

Démonstration ⋆.

(i) \(\Rightarrow\) (ii) : si \(F\) est un espace vectoriel, il admet un élément neutre (qui est \(0_E\) par unicité dans \(E\)) et est stable par les lois.

(ii) \(\Rightarrow\) (iii) : soient \(x, y \in F\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\). Par stabilité scalaire, \(\lambda x \in F\) et \(\mu y \in F\). Par stabilité additive, \(\lambda x + \mu y \in F\). De plus, \(0_E \in F\) assure \(F \neq \emptyset\).

(iii) \(\Rightarrow\) (i) : vérifions les axiomes d’espace vectoriel pour \(F\). Puisque \(F \neq \emptyset\), il existe \(x \in F\). En prenant \(\lambda = \mu = 0\), on obtient \(0_E = 0 \cdot x + 0 \cdot x \in F\). L’opposé : pour \(x \in F\), on a \(-x = (-1) \cdot x + 0 \cdot x \in F\) (avec \(\lambda = -1\), \(\mu = 0\)). La stabilité par addition correspond à \(\lambda = \mu = 1\), la stabilité scalaire à \(\mu = 0\). Les autres axiomes (associativité de \(+\), commutativité, distributivité…) sont hérités de \(E\) car \(F \subset E\).

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C. Premiers exemples et contre-exemples

Exemples fondamentaux :

• Sous-espaces triviaux : \(\{0_E\}\) et \(E\) sont toujours des sev de \(E\).
• Droites vectorielles dans \(\mathbb{R}^2\) : pour \(u \neq 0\), \(\mathrm{Vect}(u) = \{\lambda u : \lambda \in \mathbb{R}\}\) est un sev de \(\mathbb{R}^2\) (droite passant par l’origine).
• Plans vectoriels dans \(\mathbb{R}^3\) : \(\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : ax + by + cz = 0\}\) avec \((a,b,c) \neq (0,0,0)\).
• Polynômes de degré borné : \(\mathbb{R}_n[X] \subset \mathbb{R}[X]\) est un sev de \(\mathbb{R}[X]\).
• Fonctions nulles en un point : \(\{f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) : f(0) = 0\}\) est un sev de \(\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).

Contre-exemples :

• \(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x + y = 1\}\) : le vecteur nul \((0,0)\) n’appartient pas à cet ensemble (car \(0 + 0 \neq 1\)). Ce n’est pas un sev — c’est un sous-espace affine.
• \(\mathbb{N} \subset \mathbb{R}\) : non stable par multiplication scalaire (\((-1) \cdot 1 = -1 \notin \mathbb{N}\)).
• \(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : xy \geq 0\}\) : contient \((0,0)\), mais n’est pas stable par addition. Prends \((2, -1)\)… en fait \((2)(-1) = -2\) < \(0\), donc ce vecteur n’est pas dedans. Considérons plutôt : \((1,0)\) et \((0,-1)\) vérifient \(xy = 0 \geq 0\), mais \((1,0) + (0,-1) = (1,-1)\) donne \((1)(-1) = -1\) < \(0\). Pas de stabilité.

Tu connais maintenant la définition et la caractérisation. Voyons comment les utiliser concrètement pour rédiger une démonstration de sous-espace vectoriel.

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II. Démontrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel

A. Méthode systématique

B. Exemples résolus

Contre-exemple commenté — Copie fautive

La méthode est en place. Passons en revue les sous-espaces vectoriels que tu rencontreras le plus souvent en CPGE.

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III. Sous-espaces vectoriels fondamentaux

A. Sous-espace engendré — \(\mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_k)\)

Démonstration. Tout sev \(G\) contenant \(x_1, \ldots, x_k\) est stable par combinaison linéaire, donc contient \(\displaystyle\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i\) pour tous \(\lambda_i \in \mathbb{K}\). Ainsi \(\mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_k) \subset G\). Par ailleurs, \(\mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_k)\) est bien un sev de \(E\) (vérification immédiate par la caractérisation).

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Le lien avec les familles est direct : \((x_1, \ldots, x_k)\) est génératrice de \(F\) si \(F = \mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_k)\), libre si aucun \(x_i\) n’est combinaison linéaire des autres, et c’est une base de \(F\) si elle est à la fois libre et génératrice.

B. Noyau et image d’une application linéaire

Parmi les sous-espaces vectoriels les plus importants en CPGE figurent le noyau et l’image d’une application linéaire.

Démonstration.

Pour \(\ker f\) : \(f(0_E) = 0_G\) (linéarité), donc \(0_E \in \ker f\). Soient \(x, y \in \ker f\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\). On a \(f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y) = \lambda \cdot 0_G + \mu \cdot 0_G = 0_G\). Donc \(\lambda x + \mu y \in \ker f\).

Pour \(\mathrm{Im}\, f\) : \(f(0_E) = 0_G\), donc \(0_G \in \mathrm{Im}\, f\). Soient \(y_1, y_2 \in \mathrm{Im}\, f\) : il existe \(x_1, x_2 \in E\) tels que \(f(x_1) = y_1\) et \(f(x_2) = y_2\). Pour \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\) : \(\lambda y_1 + \mu y_2 = \lambda f(x_1) + \mu f(x_2) = f(\lambda x_1 + \mu x_2) \in \mathrm{Im}\, f\).

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C. Espaces propres et hyperplans

Espaces propres. Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\) une valeur propre de \(f\). L’espace propre associé est :

\(E_\lambda = \ker(f – \lambda \, \mathrm{Id}_E) = \{x \in E : f(x) = \lambda x\}\)

C’est un sev de \(E\) (noyau de l’application linéaire \(f – \lambda \, \mathrm{Id}_E\)). La diagonalisation consiste précisément à décomposer \(E\) en somme directe d’espaces propres.

Hyperplans. Un hyperplan de \(E\) (en dimension finie) est un sev de dimension \(\dim E – 1\). Tout hyperplan est le noyau d’une forme linéaire non nulle : \(H = \ker \varphi\) avec \(\varphi \in E^* \setminus \{0\}\).

Ces sous-espaces classiques ne vivent pas isolément : on les combine par intersection, somme et somme directe.

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IV. Opérations sur les sous-espaces vectoriels

A. Intersection de sous-espaces vectoriels

Démonstration ⋆. \(0_E \in F\) et \(0_E \in G\), donc \(0_E \in F \cap G\). Soient \(x, y \in F \cap G\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\). Puisque \(x, y \in F\) et \(F\) est un sev, \(\lambda x + \mu y \in F\). De même, \(\lambda x + \mu y \in G\). Donc \(\lambda x + \mu y \in F \cap G\).

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Et la réunion ? Contrairement à l’intersection, la réunion de deux sev n’est presque jamais un sev.

Démonstration ⋆.

\(\Leftarrow\) : si \(F \subset G\), alors \(F \cup G = G\) qui est un sev.

\(\Rightarrow\) : par contraposée. Supposons \(F \not\subset G\) et \(G \not\subset F\). Il existe \(x \in F \setminus G\) et \(y \in G \setminus F\). Montrons que \(x + y \notin F \cup G\), ce qui prouvera que \(F \cup G\) n’est pas stable par addition.

Par l’absurde, supposons \(x + y \in F \cup G\).

• Si \(x + y \in F\), alors \(y = (x + y) – x \in F\) (stabilité de \(F\)), contradiction avec \(y \notin F\).
• Si \(x + y \in G\), alors \(x = (x + y) – y \in G\), contradiction avec \(x \notin G\).

Donc \(x + y \notin F \cup G\), et \(F \cup G\) n’est pas un sev.

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B. Somme de sous-espaces vectoriels

Démonstration. \(0_E = 0_E + 0_E \in F + G\). Soient \(u = x_F + x_G \in F + G\) et \(v = y_F + y_G \in F + G\), avec \(x_F, y_F \in F\) et \(x_G, y_G \in G\). Pour \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\) :

\(\lambda u + \mu v = \underbrace{(\lambda x_F + \mu y_F)}_{\in F} + \underbrace{(\lambda x_G + \mu y_G)}_{\in G} \in F + G\)

Pour la minimalité : tout sev contenant \(F \cup G\) est stable par addition, donc contient \(x_F + x_G\) pour \(x_F \in F, x_G \in G\).

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En termes de familles génératrices : si \((e_1, \ldots, e_p)\) engendre \(F\) et \((f_1, \ldots, f_q)\) engendre \(G\), alors \((e_1, \ldots, e_p, f_1, \ldots, f_q)\) engendre \(F + G\).

C. Somme directe et sous-espaces supplémentaires

Démonstration ⋆.

(i) \(\Leftrightarrow\) (iii) par définition.

(ii) \(\Rightarrow\) (iii) : supposons \(F \cap G = \{0_E\}\) et soient \(x = x_F + x_G = x_F^\prime + x_G^\prime\) deux décompositions. Alors \(x_F – x_F^\prime = x_G^\prime – x_G\). Le membre de gauche est dans \(F\), le membre de droite dans \(G\), donc leur valeur commune est dans \(F \cap G = \{0_E\}\). Ainsi \(x_F = x_F^\prime\) et \(x_G = x_G^\prime\).

(iii) \(\Rightarrow\) (ii) : soit \(x \in F \cap G\). Alors \(x = x + 0_E = 0_E + x\) donne deux décompositions de \(x\) dans \(F + G\). Par unicité, \(x = 0_E\).

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Démonstration. Soit \((e_1, \ldots, e_p)\) une base de \(F\). Par le théorème de la base incomplète (cf. section V.B), on la complète en une base \((e_1, \ldots, e_p, e_{p+1}, \ldots, e_n)\) de \(E\). Posons \(G = \mathrm{Vect}(e_{p+1}, \ldots, e_n)\). Par construction, \(F + G = E\) (la famille réunie engendre \(E\)) et la liberté de la base totale assure \(F \cap G = \{0_E\}\).

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Le cas de \(n\) sous-espaces se généralise : \(E = F_1 \oplus \cdots \oplus F_p\) signifie que tout vecteur de \(E\) s’écrit de façon unique comme \(x_1 + \cdots + x_p\) avec \(x_i \in F_i\). La caractérisation utile est : \(F_1 + \cdots + F_p = E\) et \(\forall\, i,\; F_i \cap \displaystyle\sum_{j \neq i} F_j = \{0_E\}\).

Pour mesurer la taille de ces sous-espaces et de leurs combinaisons, il faut savoir en déterminer une base et une dimension.

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V. Base, dimension et formule de Grassmann

A. Base d’un sous-espace vectoriel

Trouver une base d’un sous-espace vectoriel est une tâche omniprésente en CPGE. Deux situations se présentent selon la façon dont \(F\) est défini :

B. Théorème de la base incomplète et dimension

Ce théorème a des conséquences fondamentales pour les sous-espaces vectoriels :

Démonstration (point 2). \(\Leftarrow\) : évident. \(\Rightarrow\) : si \(\dim F = n\), soit \((e_1, \ldots, e_n)\) une base de \(F\). C’est une famille libre de \(n\) vecteurs dans \(E\) de dimension \(n\), donc c’est une base de \(E\). En particulier, \(E = \mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_n) = F\).

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En somme directe, la dimension se comporte additivement :

C. Formule de Grassmann

Démonstration ⋆. Posons \(k = \dim(F \cap G)\) et soit \((e_1, \ldots, e_k)\) une base de \(F \cap G\).

Par le théorème de la base incomplète appliqué dans \(F\), on complète en une base \((e_1, \ldots, e_k, f_1, \ldots, f_p)\) de \(F\), avec \(\dim F = k + p\).

De même dans \(G\), on complète en une base \((e_1, \ldots, e_k, g_1, \ldots, g_q)\) de \(G\), avec \(\dim G = k + q\).

Montrons que \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_k, f_1, \ldots, f_p, g_1, \ldots, g_q)\) est une base de \(F + G\).

Famille génératrice : tout \(x \in F + G\) s’écrit \(x = x_F + x_G\) avec \(x_F \in F\) et \(x_G \in G\). Or \(x_F\) se décompose sur \((e_i, f_j)\) et \(x_G\) sur \((e_i, g_l)\), donc \(x\) est combinaison linéaire de \(\mathcal{B}\).

Famille libre : supposons

\(\displaystyle\sum_{i=1}^k \alpha_i e_i + \displaystyle\sum_{j=1}^p \beta_j f_j + \displaystyle\sum_{l=1}^q \gamma_l g_l = 0_E\)

Alors \(\displaystyle\sum_{l=1}^q \gamma_l g_l = -\displaystyle\sum_{i=1}^k \alpha_i e_i – \displaystyle\sum_{j=1}^p \beta_j f_j\). Le membre de gauche est dans \(G\), le membre de droite dans \(F\). Leur valeur commune \(w\) appartient à \(F \cap G\), donc s’écrit \(w = \displaystyle\sum_{i=1}^k \delta_i e_i\).

On a alors \(\displaystyle\sum_{l=1}^q \gamma_l g_l – \displaystyle\sum_{i=1}^k \delta_i e_i = 0_E\). Puisque \((e_1, \ldots, e_k, g_1, \ldots, g_q)\) est une base de \(G\) (famille libre), tous les coefficients sont nuls : \(\gamma_1 = \cdots = \gamma_q = 0\) et \(\delta_1 = \cdots = \delta_k = 0\).

Il reste \(\displaystyle\sum_{i=1}^k \alpha_i e_i + \displaystyle\sum_{j=1}^p \beta_j f_j = 0_E\), et la liberté de la base de \(F\) donne \(\alpha_1 = \cdots = \alpha_k = \beta_1 = \cdots = \beta_p = 0\).

Ainsi \(\mathcal{B}\) est une base de \(F + G\), de cardinal \(k + p + q\). Donc :

\(\dim(F + G) = k + p + q = (k + p) + (k + q) – k = \dim F + \dim G – \dim(F \cap G)\)

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Tu as maintenant tous les outils théoriques. Passe à la pratique avec ces exercices corrigés.

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VI. Exercices corrigés

Voici 10 exercices classés par difficulté croissante, du calcul direct (★) aux problèmes de synthèse type concours (★★★). Chaque correction est détaillée avec le niveau de rédaction attendu en DS.

Exercice 1 ★ — Noyau d’une forme linéaire

Montrer que \(F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : 2x – y + z = 0\}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\). En déterminer une base et la dimension.

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\(F = \ker \varphi\) où \(\varphi : (x,y,z) \mapsto 2x – y + z\) est une forme linéaire sur \(\mathbb{R}^3\). Donc \(F\) est un sev de \(\mathbb{R}^3\) (noyau d’une application linéaire).

Base : la condition \(2x – y + z = 0\) donne \(y = 2x + z\), soit :

\((x, y, z) = x(1, 2, 0) + z(0, 1, 1)\)

La famille \(\{(1,2,0),\; (0,1,1)\}\) est libre (non colinéaire) et engendre \(F\). C’est une base de \(F\).

\(\dim F = 2\). On retrouve \(\dim F = \dim \mathbb{R}^3 – \mathrm{rg}\,\varphi = 3 – 1 = 2\) par le théorème du rang.

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Exercice 2 ★ — Contre-exemple : une partie qui n’est pas un sev

Montrer que \(G = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 = y^2\}\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^2\).

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On exhibe un contre-exemple à la stabilité par addition. Posons \(u = (1, 1)\) et \(v = (1, -1)\).

\(u \in G\) : \(1^2 = 1^2\) ✓. \(v \in G\) : \(1^2 = (-1)^2 = 1\) ✓.

Mais \(u + v = (2, 0)\) : \(2^2 = 4 \neq 0^2 = 0\), donc \(u + v \notin G\).

Conclusion : \(G\) n’est pas stable par addition, ce n’est pas un sev de \(\mathbb{R}^2\).

Remarque : géométriquement, \(G\) est la réunion des droites \(y = x\) et \(y = -x\), deux sev distincts dont la réunion n’est pas un sev.

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Exercice 3 ★★ — Sous-espace de polynômes avec conditions d’annulation

Soit \(E = \mathbb{R}_3[X]\) (polynômes de degré \(\leq 3\)) et \(F = \{P \in E : P(1) = 0 \text{ et } P^\prime(1) = 0\}\). Montrer que \(F\) est un sev de \(E\) et déterminer une base et la dimension de \(F\).

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Sous-espace vectoriel : les applications \(P \mapsto P(1)\) et \(P \mapsto P^\prime(1)\) sont des formes linéaires sur \(E\). Donc \(F\) est l’intersection de deux noyaux de formes linéaires, c’est un sev de \(E\).

Base : écrivons \(P(X) = a + bX + cX^2 + dX^3\).

• \(P(1) = 0\) : \(a + b + c + d = 0\)
• \(P^\prime(1) = 0\) : \(b + 2c + 3d = 0\)

De la deuxième équation : \(b = -2c – 3d\). De la première : \(a = -b – c – d = 2c + 3d – c – d = c + 2d\).

Donc :

\(P(X) = (c + 2d) + (-2c – 3d)X + cX^2 + dX^3 = c(1 – 2X + X^2) + d(2 – 3X + X^3)\)

Or \(1 – 2X + X^2 = (X-1)^2\) et \(2 – 3X + X^3 = (X-1)^2(X+2)\) (vérifiable par développement).

La famille \(\{(X-1)^2,\; (X-1)^2(X+2)\}\) est libre (degrés 2 et 3 distincts) et engendre \(F\). C’est une base de \(F\).

\(\dim F = 2 = \dim E – 2 = 4 – 2\), cohérent avec le fait que \(F\) est défini par 2 équations indépendantes.

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Exercice 4 ★★ — Formule de Grassmann dans \(\mathbb{R}^4\)

Soient \(F = \mathrm{Vect}((1,0,1,0),\; (0,1,0,1))\) et \(G = \mathrm{Vect}((1,1,0,0),\; (0,0,1,1))\) dans \(\mathbb{R}^4\). Calculer \(\dim(F + G)\) et \(\dim(F \cap G)\). Déterminer une base de \(F \cap G\).

Voir la correction

\(\dim F = 2\) et \(\dim G = 2\) (chaque paire est libre, ce qu’on vérifie par non-colinéarité).

Pour \(\dim(F + G)\), on échelonne la famille réunie :

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

\(L_3 \leftarrow L_3 – L_1\) : \((0, 0, -1, 1)\). \(L_4 \leftarrow L_4 – L_2\) : \((0, 0, -1, 1)\). \(L_4 \leftarrow L_4 – L_3\) : \((0, 0, 0, 0)\).

La matrice échelonnée a 3 pivots, donc \(\dim(F + G) = 3\).

Par la formule de Grassmann : \(\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G – \dim(F + G) = 2 + 2 – 3 = 1\).

Base de \(F \cap G\) : on cherche \(v \in F \cap G\). Écrivons \(v = \alpha(1,0,1,0) + \beta(0,1,0,1) = \gamma(1,1,0,0) + \delta(0,0,1,1)\). L’identification composante par composante donne \(\alpha = \gamma\), \(\beta = \gamma\), \(\alpha = \delta\), \(\beta = \delta\), soit \(\alpha = \beta = \gamma = \delta\). D’où \(v = \alpha(1,1,1,1)\).

Une base de \(F \cap G\) est \(\{(1,1,1,1)\}\).

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Exercice 5 ★★ — Encadrement de la dimension d’une intersection

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension 7, et \(F, G\) deux sev de \(E\) avec \(\dim F = 4\) et \(\dim G = 5\). Quelles sont les valeurs possibles de \(\dim(F \cap G)\) ?

Voir la correction

Par la formule de Grassmann : \(\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G – \dim(F + G) = 9 – \dim(F + G)\).

Encadrement de \(\dim(F + G)\) :

• \(F \subset F + G\) et \(G \subset F + G\), donc \(\dim(F + G) \geq \max(\dim F, \dim G) = 5\).
• \(F + G \subset E\), donc \(\dim(F + G) \leq \dim E = 7\).

Ainsi \(5 \leq \dim(F + G) \leq 7\), soit \(9 – 7 \leq \dim(F \cap G) \leq 9 – 5\), c’est-à-dire :

\(2 \leq \dim(F \cap G) \leq 4\)

Chaque valeur est atteinte. Par exemple dans \(E = \mathbb{R}^7\) avec base canonique \((e_1, \ldots, e_7)\) :

• \(\dim(F \cap G) = 2\) : \(F = \mathrm{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4)\), \(G = \mathrm{Vect}(e_3, e_4, e_5, e_6, e_7)\).
• \(\dim(F \cap G) = 4\) : \(F = \mathrm{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4)\), \(G = \mathrm{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4, e_5)\) (car \(F \subset G\)).

Les valeurs possibles sont \(\{2, 3, 4\}\).

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Exercice 6 ★★★ — Décomposition \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\)

Soit \(E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On note \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices symétriques et \(\mathcal{A}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices antisymétriques.

1. Montrer que \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) et \(\mathcal{A}_n(\mathbb{R})\) sont des sev de \(E\).
2. Montrer que \(E = \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) + \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\).
3. Montrer que \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \cap \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) = \{0_n\}\).
4. En déduire les dimensions de \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) et \(\mathcal{A}_n(\mathbb{R})\).

Voir la correction

1. \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R}) = \ker \varphi\) où \(\varphi : M \mapsto M – M^\top\) est un endomorphisme de \(E\) (linéarité immédiate). Donc \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) est un sev. De même, \(\mathcal{A}_n(\mathbb{R}) = \ker \psi\) avec \(\psi : M \mapsto M + M^\top\).

2. Soit \(M \in E\). On écrit :

\(M = \underbrace{\frac{M + M^\top}{2}}_{\in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})} + \underbrace{\frac{M – M^\top}{2}}_{\in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})}\)

Vérification : \(\left(\frac{M + M^\top}{2}\right)^\top = \frac{M^\top + M}{2}\) (symétrique ✓) et \(\left(\frac{M – M^\top}{2}\right)^\top = \frac{M^\top – M}{2} = -\frac{M – M^\top}{2}\) (antisymétrique ✓).

3. Soit \(M \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \cap \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\). Alors \(M^\top = M\) et \(M^\top = -M\), d’où \(M = -M\), soit \(2M = 0\), donc \(M = 0_n\).

4. La somme est directe : \(E = \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\), donc \(\dim \mathcal{S}_n + \dim \mathcal{A}_n = \dim E = n^2\).

Une base de \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) est formée des \(E_{ii}\) (\(1 \leq i \leq n\)) et des \(E_{ij} + E_{ji}\) (\(1 \leq i \lt j \leq n\)), soit \(n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}\) vecteurs.

Par complémentarité : \(\dim \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) = n^2 – \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\).

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Exercice 7 ★★★ — Réunion de deux sous-espaces vectoriels (classique concours)

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Démontrer que :

\(F \cup G \text{ est un sev de } E \iff F \subset G \text{ ou } G \subset F\)

Voir la correction

Sens \(\Leftarrow\) : si \(F \subset G\), alors \(F \cup G = G\) qui est un sev. Idem si \(G \subset F\).

Sens \(\Rightarrow\) (contraposée) : supposons que \(F \not\subset G\) et \(G \not\subset F\). Il existe alors \(x \in F \setminus G\) et \(y \in G \setminus F\).

Considérons \(z = x + y\). Montrons que \(z \notin F \cup G\) :

• Si \(z \in F\) : alors \(y = z – x \in F\) (car \(F\) est un sev et \(z, x \in F\)), ce qui contredit \(y \notin F\).
• Si \(z \in G\) : alors \(x = z – y \in G\) (car \(G\) est un sev et \(z, y \in G\)), ce qui contredit \(x \notin G\).

Donc \(x + y \notin F \cup G\) alors que \(x \in F \cup G\) et \(y \in F \cup G\) : \(F \cup G\) n’est pas stable par addition, ce n’est pas un sev.

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Exercice 8 ★★★ — Sous-espaces supplémentaires dans \(\mathbb{R}^4\)

Soit \(E = \mathbb{R}^4\) et :

\(F = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x + y = 0 \text{ et } z – t = 0\}\)

\(G = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x + z = 0 \text{ et } y + t = 0\}\)

1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont des sev de \(\mathbb{R}^4\) et calculer leurs dimensions.
2. Déterminer \(F \cap G\).
3. Montrer que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^4\).
4. Exprimer la projection sur \(F\) parallèlement à \(G\).

Voir la correction

1. \(F\) et \(G\) sont des noyaux de systèmes d’équations linéaires homogènes, donc des sev de \(\mathbb{R}^4\).

Pour \(F\) : \(x = -y\), \(z = t\), soit \((x,y,z,t) = y(-1,1,0,0) + t(0,0,1,1)\). Donc \(\dim F = 2\) avec base \(\{(-1,1,0,0),\; (0,0,1,1)\}\).

Pour \(G\) : \(x = -z\), \(y = -t\), soit \((x,y,z,t) = z(-1,0,1,0) + t(0,-1,0,1)\). Donc \(\dim G = 2\) avec base \(\{(-1,0,1,0),\; (0,-1,0,1)\}\).

2. \((x,y,z,t) \in F \cap G\) vérifie les 4 équations : \(x + y = 0\), \(z – t = 0\), \(x + z = 0\), \(y + t = 0\).

De \(x = -y\) et \(x = -z\) : \(z = y\). De \(z = t\) : \(t = y\). De \(y + t = 0\) : \(2y = 0\), soit \(y = 0\). Donc \(x = y = z = t = 0\).

\(F \cap G = \{0\}\).

3. \(\dim F + \dim G = 2 + 2 = 4 = \dim \mathbb{R}^4\) et \(F \cap G = \{0\}\), donc \(\mathbb{R}^4 = F \oplus G\).

4. Soit \(v = (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4\). On décompose \(v = v_F + v_G\) avec \(v_F \in F\) et \(v_G \in G\).

Posons \(v_F = \alpha(-1,1,0,0) + \beta(0,0,1,1)\) et \(v_G = \gamma(-1,0,1,0) + \delta(0,-1,0,1)\).

Le système \(v = v_F + v_G\) s’écrit :

\(x = -\alpha – \gamma, \quad y = \alpha – \delta, \quad z = \beta + \gamma, \quad t = \beta + \delta\)

En résolvant : \(\alpha = \frac{-x+y}{2}\), \(\beta = \frac{z+t}{2}\), \(\gamma = \frac{-x-y}{2}\), \(\delta = \frac{-y+t}{2}\).

La projection sur \(F\) parallèlement à \(G\) est :

\(p_F(x,y,z,t) = \left(\frac{x-y}{2},\; \frac{-x+y}{2},\; \frac{z+t}{2},\; \frac{z+t}{2}\right)\)

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Exercice 9 ★★★ — Projecteur et décomposition en somme directe

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(p \in \mathcal{L}(E)\) un projecteur, c’est-à-dire \(p^2 = p\). Démontrer que \(E = \ker p \oplus \mathrm{Im}\, p\).

Voir la correction

Étape 1 — \(\ker p \cap \mathrm{Im}\, p = \{0_E\}\) :

Soit \(x \in \ker p \cap \mathrm{Im}\, p\). Alors \(p(x) = 0_E\) et il existe \(y \in E\) tel que \(x = p(y)\). Donc \(0_E = p(x) = p(p(y)) = p^2(y) = p(y) = x\).

Étape 2 — \(E = \ker p + \mathrm{Im}\, p\) :

Soit \(x \in E\). Écrivons :

\(x = (x – p(x)) + p(x)\)

Vérifions : \(p(x – p(x)) = p(x) – p^2(x) = p(x) – p(x) = 0_E\), donc \(x – p(x) \in \ker p\). Et \(p(x) \in \mathrm{Im}\, p\) par définition.

Conclusion : \(E = \ker p \oplus \mathrm{Im}\, p\).

Remarque : cette décomposition montre que \(p\) est la projection sur \(\mathrm{Im}\, p\) parallèlement à \(\ker p\). De plus, \(\mathrm{Im}\, p = \ker(p – \mathrm{Id}_E)\) car \(p(x) = x \iff x \in \mathrm{Im}\, p\) (puisque si \(x = p(y)\), alors \(p(x) = p^2(y) = p(y) = x\)).

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Exercice 10 ★★★ — Endomorphisme involutif et décomposition (type oral X-ENS)

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie (\(\mathrm{car}(\mathbb{K}) \neq 2\)) et \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^2 = \mathrm{Id}_E\) (on dit que \(f\) est une involution).

1. Montrer que \(\ker(f – \mathrm{Id}_E)\) et \(\ker(f + \mathrm{Id}_E)\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\).
2. Montrer que \(\ker(f – \mathrm{Id}_E) \cap \ker(f + \mathrm{Id}_E) = \{0_E\}\).
3. Montrer que \(E = \ker(f – \mathrm{Id}_E) + \ker(f + \mathrm{Id}_E)\).
4. En déduire que \(E = \ker(f – \mathrm{Id}_E) \oplus \ker(f + \mathrm{Id}_E)\).
5. Application : retrouver la décomposition de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) en matrices symétriques et antisymétriques.

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1. Ce sont les noyaux des endomorphismes \(f – \mathrm{Id}_E\) et \(f + \mathrm{Id}_E\), qui sont bien des éléments de \(\mathcal{L}(E)\). Tout noyau d’application linéaire est un sev.

2. Soit \(x \in \ker(f – \mathrm{Id}_E) \cap \ker(f + \mathrm{Id}_E)\). Alors \(f(x) = x\) et \(f(x) = -x\), d’où \(x = -x\), soit \(2x = 0_E\). Comme \(\mathrm{car}(\mathbb{K}) \neq 2\), on obtient \(x = 0_E\).

3. L’idée clé est de factoriser le polynôme annulateur \(X^2 – 1 = (X-1)(X+1)\). Pour tout \(x \in E\) :

\(x = \frac{x + f(x)}{2} + \frac{x – f(x)}{2}\)

Posons \(u = \frac{x + f(x)}{2}\) et \(v = \frac{x – f(x)}{2}\).

• \(f(u) = \frac{f(x) + f^2(x)}{2} = \frac{f(x) + x}{2} = u\), donc \(u \in \ker(f – \mathrm{Id}_E)\).
• \(f(v) = \frac{f(x) – f^2(x)}{2} = \frac{f(x) – x}{2} = -v\), donc \(v \in \ker(f + \mathrm{Id}_E)\).

4. Les questions 2 et 3 donnent exactement la définition de somme directe :

\(E = \ker(f – \mathrm{Id}_E) \oplus \ker(f + \mathrm{Id}_E)\)

5. L’application \(\sigma : M \mapsto M^\top\) (transposition) est une involution de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On a \(\ker(\sigma – \mathrm{Id}) = \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) et \(\ker(\sigma + \mathrm{Id}) = \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\). Le théorème donne \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\), avec la décomposition explicite \(M = \frac{M + M^\top}{2} + \frac{M – M^\top}{2}\).

Remarque : cet exercice illustre un principe fondamental en algèbre : un polynôme annulateur scindé à racines simples entraîne une décomposition en somme directe des sous-espaces propres. Ici, \(f^2 – \mathrm{Id}_E = 0\) et \(X^2 – 1 = (X-1)(X+1)\) est scindé à racines simples dans \(\mathbb{K}\).

📄 L’essentiel du cours en 1 page

Pour t’entraîner davantage, retrouve nos exercices corrigés sur les espaces vectoriels avec des problèmes type concours.

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VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

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VIII. Questions fréquentes

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IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la théorie des sous-espaces vectoriels : définition, caractérisation, opérations, base et dimension. Pour approfondir, voici les prolongements naturels :

• Espaces vectoriels : cours complet — les fondations sur lesquelles repose ce chapitre.
• Noyau d’une matrice : définition et calcul — calcul concret du noyau via l’échelonnement.
• Matrice d’une application linéaire — traduire les sev en termes matriciels.
• Rang d’une matrice — le théorème du rang relie \(\dim \ker f\) et \(\dim \mathrm{Im}\, f\).
• Diagonalisation d’une matrice — décomposer \(E\) en somme directe d’espaces propres.
• Valeurs propres et vecteurs propres — les espaces propres sont des sous-espaces vectoriels fondamentaux.
• Matrice symétrique et antisymétrique — la décomposition \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\) est un exemple canonique de somme directe.
• Exercices corrigés : espaces vectoriels — pour t’entraîner sur des problèmes type concours.

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