Matrice inversible : définition, critères d’inversibilité et propriétés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur

L’inversibilité est la question centrale de l’algèbre matricielle : une matrice carrée peut-elle être « inversée » pour retrouver l’information qu’elle encode ? Ce concept unifie déterminant, rang, noyau et systèmes linéaires en un unique théorème d’équivalence. Tu trouveras ici la définition formelle, les critères d’inversibilité avec leurs démonstrations, les propriétés algébriques fondamentales et des exercices corrigés progressifs.

I. Définition et premières propriétés

A. Définition formelle

On fixe \(\mathbb{K}\) un corps (\(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)) et \(n \in \mathbb{N}^*\).

Trois points fondamentaux méritent d’être soulignés dès maintenant :

• Seules les matrices carrées peuvent être inversibles. La notion n’a aucun sens pour une matrice rectangulaire \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) avec \(n \neq p\).
• La condition porte a priori sur deux égalités : \(AB = I_n\) et \(BA = I_n\). Mais en dimension finie, une seule suffit (voir la proposition ci-dessous).
• L’ensemble des matrices inversibles de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est noté \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) — c’est le groupe linéaire.

Démonstration ⋆

Supposons \(AB = I_n\). Alors \(\det(A)\det(B) = \det(I_n) = 1\), donc \(\det(A) \neq 0\) et \(\det(B) \neq 0\). En particulier, \(A\) est inversible (par le critère du déterminant) et possède un inverse \(A^{-1}\).

On a alors : \(B = I_n \cdot B = (A^{-1}A)B = A^{-1}(AB) = A^{-1}I_n = A^{-1}\).

Donc \(B = A^{-1}\), ce qui donne \(BA = A^{-1}A = I_n\). ∎

B. Unicité de l’inverse

Démonstration ⋆

Supposons que \(B\) et \(C\) sont deux inverses de \(A\), c’est-à-dire \(AB = BA = I_n\) et \(AC = CA = I_n\). Alors :

\(B = B \cdot I_n = B(AC) = (BA)C = I_n \cdot C = C\)

Donc \(B = C\). La notation \(A^{-1}\) est bien définie. ∎

Cette propriété est essentielle : elle garantit que la notation \(A^{-1}\) n’est pas ambiguë. La démonstration est un classique de début de cours — elle repose uniquement sur l’associativité du produit matriciel.

C. Exemples et contre-exemples fondamentaux

---

II. Le théorème d’inversibilité — critères équivalents

Voici le théorème le plus important du cours : il rassemble en une seule proposition toutes les caractérisations de l’inversibilité. Connaître cette liste par cœur, c’est disposer d’un arsenal complet pour aborder tout exercice d’algèbre linéaire.

A. Énoncé du théorème

La puissance de ce théorème tient dans le mot « équivalentes » : savoir que l’une de ces propositions est vraie, c’est savoir que toutes le sont. En pratique, tu choisis le critère le plus commode selon la situation (voir la section IV.D).

B. Démonstrations des implications clés ⋆

On ne démontre pas les dix équivalences de manière circulaire — on établit les implications les plus significatives. Le schéma est :

\((1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (1)\) (via le déterminant), \((1) \Leftrightarrow (4) \Leftrightarrow (5)\) (via la théorie des applications linéaires), et \((4) \Leftrightarrow (6) \Leftrightarrow (7)\) (via les familles libres/génératrices).

Implication \((1) \Rightarrow (2)\) — inversible ⟹ déterminant non nul

Démonstration ⋆

Si \(A\) est inversible, alors \(AA^{-1} = I_n\). Par multiplicativité du déterminant :

\(\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = \det(I_n) = 1\)

Donc \(\det(A) \neq 0\) (et \(\det(A^{-1}) = \displaystyle\frac{1}{\det(A)}\)). ∎

Implication \((2) \Rightarrow (1)\) — déterminant non nul ⟹ inversible

Démonstration ⋆

Si \(\det(A) \neq 0\), on pose \(B = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \, {}^t\!\mathrm{Com}(A)\), où \(\mathrm{Com}(A)\) est la comatrice de \(A\). La formule de la comatrice donne :

\(AB = A \cdot \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \, {}^t\!\mathrm{Com}(A) = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \cdot \det(A) \cdot I_n = I_n\)

Donc \(A\) est inversible d’inverse \(A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\det(A)} \, {}^t\!\mathrm{Com}(A)\). ∎

Implication \((1) \Rightarrow (4)\) — inversible ⟹ noyau trivial

Démonstration ⋆

Soit \(X \in \ker(A)\), c’est-à-dire \(AX = 0\). En multipliant à gauche par \(A^{-1}\) :

\(X = I_n X = (A^{-1}A)X = A^{-1}(AX) = A^{-1} \cdot 0 = 0\)

Donc \(\ker(A) = \{0\}\). ∎

Implication \((4) \Rightarrow (1)\) — noyau trivial ⟹ inversible

Démonstration ⋆

L’application linéaire \(f_A : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n\) définie par \(f_A(X) = AX\) a pour noyau \(\ker(A)\). Si \(\ker(A) = \{0\}\), alors \(f_A\) est injective.

Or, un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est injectif si et seulement s’il est bijectif (théorème du rang : \(\dim(\ker f_A) + \dim(\mathrm{Im}\, f_A) = n\), donc \(\dim(\mathrm{Im}\, f_A) = n = \dim(\mathbb{K}^n)\)).

Donc \(f_A\) est bijective, ce qui signifie que \(A\) est inversible. ∎

Équivalence \((4) \Leftrightarrow (6)\) — noyau trivial ⟺ colonnes libres

Démonstration ⋆

Notons \(C_1, \ldots, C_n\) les colonnes de \(A\). Dire que \(X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in \ker(A)\) signifie \(AX = x_1 C_1 + \cdots + x_n C_n = 0\).

Donc \(\ker(A) = \{0\}\) si et seulement si la seule combinaison linéaire nulle des colonnes est la combinaison triviale, c’est-à-dire si et seulement si \((C_1, \ldots, C_n)\) est une famille libre. ∎

Équivalence \((6) \Leftrightarrow (7)\) — colonnes libres ⟺ colonnes = base

Démonstration ⋆

Les colonnes de \(A\) sont \(n\) vecteurs de \(\mathbb{K}^n\). Or, \(\dim(\mathbb{K}^n) = n\). Donc :

• \(n\) vecteurs libres dans un espace de dimension \(n\) forment une base.
• Réciproquement, toute base est une famille libre.

D’où l’équivalence. ∎

Équivalence \((2) \Leftrightarrow (10)\) — déterminant ⟺ valeur propre

Démonstration ⋆

\(0\) est valeur propre de \(A\) si et seulement si \(\det(A – 0 \cdot I_n) = 0\), c’est-à-dire \(\det(A) = 0\). Donc \(0\) n’est pas valeur propre si et seulement si \(\det(A) \neq 0\). ∎

---

III. Propriétés algébriques des matrices inversibles

Maintenant que tu sais reconnaître une matrice inversible, voyons comment se comportent les opérations algébriques vis-à-vis de l’inversibilité.

A. Formules fondamentales

Démonstration de (2) ⋆ — Inverse d’un produit

On vérifie que \(B^{-1}A^{-1}\) est l’inverse de \(AB\) :

\((AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AI_nA^{-1} = AA^{-1} = I_n\)

Donc \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\). ∎

Démonstration de (3) ⋆ — Inverse de la transposée

On part de \(AA^{-1} = I_n\) et on transpose les deux membres :

\({}^t(AA^{-1}) = {}^tI_n = I_n\)

Or \({}^t(AA^{-1}) = {}^t(A^{-1}) \cdot {}^tA\) (la transposée d’un produit inverse l’ordre). Donc :

\({}^t(A^{-1}) \cdot {}^tA = I_n\)

Ce qui signifie que \({}^t(A^{-1})\) est l’inverse de \({}^tA\), d’où \(({}^tA)^{-1} = {}^t(A^{-1})\). ∎

On généralise immédiatement au produit de \(k\) matrices :

\((A_1 A_2 \cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}\)

B. Le groupe linéaire \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\)

Vérifions les quatre axiomes de groupe :

C. Inversibilité et applications linéaires bijectives

Le lien entre matrices inversibles et applications linéaires est fondamental.

Ce résultat permet de traduire les problèmes d’inversibilité matricielle en problèmes d’injectivité/surjectivité d’applications linéaires, et réciproquement. En pratique :

• Montrer qu’un endomorphisme est bijectif ⟹ sa matrice est inversible.
• Les matrices de changement de base sont toujours inversibles (car un changement de base est un isomorphisme).
• La diagonalisation \(A = PDP^{-1}\) repose sur l’inversibilité de la matrice de passage \(P\).

---

IV. Méthodes pour démontrer l’inversibilité en pratique

Le théorème de la section II te donne dix critères. Mais face à un exercice concret, lequel choisir ? Cette section te donne la réponse.

A. Par le déterminant

Quand l’utiliser : matrice numérique de petite taille (\(n \leq 4\)), ou matrice avec paramètre dont on veut discuter l’inversibilité.

Méthode :

1. Calculer \(\det(A)\) (par Sarrus, développement par cofacteurs, ou opérations sur les lignes).
2. Conclure : \(\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A\) inversible.

B. Par le noyau

Quand l’utiliser : grande matrice, matrice définie abstraitement, contexte d’application linéaire.

Méthode :

1. Poser \(AX = 0\).
2. Montrer que nécessairement \(X = 0\).
3. Conclure : \(\ker(A) = \{0\} \Rightarrow A\) inversible.

C. Par une relation polynomiale

C’est la technique la plus élégante — et la plus fréquente en concours.

Quand l’utiliser : l’énoncé donne (ou tu démontres) une relation algébrique du type \(P(A) = 0\) avec \(P(0) \neq 0\).

D. Quelle méthode choisir ?

Voici un arbre de décision qui couvre la quasi-totalité des situations rencontrées en DS et en concours :

---

V. Exercices corrigés

Voici 7 exercices classés par difficulté croissante. Les exercices marqués I sont des incontournables : ils tombent très régulièrement en DS et en concours.

Exercice 1 (★) — Inversibilité par le déterminant

Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles :

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\)

Voir la correction

Pour \(A\) : \(\det(A) = 1 \times 4 – 2 \times 3 = -2 \neq 0\). Donc \(A\) est inversible.

Pour \(B\) : \(\det(B) = 1 \times 4 – 2 \times 2 = 0\). Donc \(B\) n’est pas inversible. On remarque d’ailleurs que la deuxième ligne est le double de la première.

Pour \(C\) : \(\det(C) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \neq 0\). Donc \(C\) est inversible pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\). Son inverse est \(C^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = {}^tC\), ce qui signifie que \(C\) est une matrice orthogonale.

---

Exercice 2 (★★) — Déterminant 3×3

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}\). Montrer que \(A\) est inversible.

Voir la correction

On calcule \(\det(A)\) en développant par rapport à la première colonne (qui contient un zéro) :

\(\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} – 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}\) \(= 1 \cdot (0 – 24) + 5 \cdot (8 – 3) = -24 + 25 = 1\)

Comme \(\det(A) = 1 \neq 0\), la matrice \(A\) est inversible.

Remarque : \(\det(A) = 1\) signifie que \(A \in \mathrm{SL}_3(\mathbb{R})\) (le groupe spécial linéaire).

---

Exercice 3 (★★ I) — Relation polynomiale

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que \(A^2 – 5A + 6I_n = 0\).

1. Montrer que \(A\) est inversible.
2. Exprimer \(A^{-1}\) en fonction de \(A\) et \(I_n\).

Voir la correction

1. On a \(A^2 – 5A + 6I_n = 0\), soit \(P(A) = 0\) avec \(P(X) = X^2 – 5X + 6\). Comme \(P(0) = 6 \neq 0\), on en déduit que \(A\) est inversible.

Justification rigoureuse : on réécrit la relation :

\(A^2 – 5A + 6I_n = 0 \iff A(A – 5I_n) = -6I_n \iff A \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{6}(A – 5I_n)\right) = I_n\)

On a exhibé un inverse à droite de \(A\), donc \(A\) est inversible.

2. De la relation ci-dessus :

\(\fbox{A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{6}(5I_n – A)}\)

Vérification : \(A \cdot \displaystyle\frac{1}{6}(5I_n – A) = \displaystyle\frac{1}{6}(5A – A^2) = \displaystyle\frac{1}{6}(5A – (5A – 6I_n)) = \displaystyle\frac{1}{6} \cdot 6I_n = I_n\). ✓

---

Exercice 4 (★★★ I) — \(I_n + AB\) et \(I_p + BA\)

Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})\). Montrer que :

\(I_n + AB \text{ inversible} \iff I_p + BA \text{ inversible}\)

Voir la correction

On montre l’implication directe ; l’implication réciproque s’obtient en échangeant les rôles de \((A, B, n, p)\) et \((B, A, p, n)\).

Sens \(\Rightarrow\) : supposons \(I_n + AB\) inversible. Posons \(C = (I_n + AB)^{-1}\). On va montrer que \(I_p – BCA\) est l’inverse de \(I_p + BA\).

Calculons :

\((I_p + BA)(I_p – BCA) = I_p – BCA + BA – BABCA\) \(= I_p + BA – B(I_n + AB)CA\) \(= I_p + BA – B \underbrace{(I_n + AB)C}_{= I_n} A\) \(= I_p + BA – BA = I_p\)

Donc \((I_p + BA)^{-1} = I_p – B(I_n + AB)^{-1}A\), ce qui prouve que \(I_p + BA\) est inversible.

Sens \(\Leftarrow\) : par symétrie — on échange \((A, n)\) et \((B, p)\) dans l’argument ci-dessus — si \(I_p + BA\) est inversible, alors \(I_n + AB\) l’est aussi.

Remarque : ce résultat est vrai même si \(A\) et \(B\) sont rectangulaires (de dimensions compatibles). C’est un grand classique des concours X, Mines-Ponts et Centrale.

---

Exercice 5 (★★★) — Matrice paramétrique

Soit \(a \in \mathbb{R}\) et \(A_a = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{pmatrix}\). Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(A_a\) est inversible.

Voir la correction

On calcule \(\det(A_a)\). En effectuant \(C_2 \leftarrow C_2 – C_1\) et \(C_3 \leftarrow C_3 – C_1\) :

\(\det(A_a) = \begin{vmatrix} 1 & a-1 & a-1 \\ a & 1-a & 0 \\ a & 0 & 1-a \end{vmatrix}\)

On factorise \((a-1)\) dans \(C_2\) et \((a-1)\) dans \(C_3\) (si \(a \neq 1\)) :

\(= (a-1)^2 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & -1 & 0 \\ a & 0 & -1 \end{vmatrix}\)

En développant par rapport à la première ligne :

\(= (a-1)^2 \left[1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 0 \\ a & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} a & -1 \\ a & 0 \end{vmatrix}\right]\) \(= (a-1)^2 [1 \cdot 1 – 1 \cdot (-a) + 1 \cdot a] = (a-1)^2(1 + 2a)\)

Donc :

\(\det(A_a) = (a-1)^2(2a+1)\)

On a \(\det(A_a) = 0 \iff a = 1\) ou \(a = -\displaystyle\frac{1}{2}\).

Conclusion : \(A_a\) est inversible si et seulement si \(a \neq 1\) et \(a \neq -\displaystyle\frac{1}{2}\).

---

Exercice 6 (★★★) — Inversibilité par factorisation

Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telles que \(AB = A + B\).

1. Montrer que \(A – I_n\) et \(B – I_n\) sont inversibles et que \((A – I_n)^{-1} = B – I_n\).
2. En déduire que \(AB = BA\).

Voir la correction

1. On réécrit la relation \(AB = A + B\) :

\(AB – A – B = 0 \iff AB – A – B + I_n = I_n \iff (A – I_n)(B – I_n) = I_n\)

On a exhibé un produit de deux matrices qui donne \(I_n\). En dimension finie (rappel de la section I), cela suffit à conclure que les deux facteurs sont inversibles et que :

\((A – I_n)^{-1} = B – I_n \quad \text{et} \quad (B – I_n)^{-1} = A – I_n\)

2. Puisque \((A – I_n)(B – I_n) = I_n\), on a aussi \((B – I_n)(A – I_n) = I_n\) (propriété vue en I.A). En développant :

\((B – I_n)(A – I_n) = BA – A – B + I_n = I_n\)

Donc \(BA = A + B = AB\). Les matrices \(A\) et \(B\) commutent.

---

Exercice 7 (★★★★) — Matrice nilpotente et série géométrique matricielle

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) une matrice nilpotente d’indice \(k\) (c’est-à-dire \(A^k = 0\) et \(A^{k-1} \neq 0\)).

1. Montrer que \(I_n – A\) est inversible.
2. Exprimer \((I_n – A)^{-1}\) sous forme de somme finie.
3. En déduire que \(I_n + A\) est inversible et donner son inverse.

Voir la correction

1. On utilise l’identité algébrique (valable car le produit matriciel est associatif et \(I_n\) commute avec toute matrice) :

\((I_n – A)(I_n + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}) = I_n – A^k = I_n – 0 = I_n\)

On a exhibé un inverse à droite, donc \(I_n – A\) est inversible.

2.

\((I_n – A)^{-1} = \sum_{j=0}^{k-1} A^j = I_n + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}\)

C’est l’analogue matriciel de la somme géométrique : \(\displaystyle\frac{1}{1-x} = \sum_{j=0}^{\infty} x^j\), mais ici la somme est finie car \(A^k = 0\).

3. La matrice \(-A\) est aussi nilpotente d’indice \(k\) (car \((-A)^k = (-1)^k A^k = 0\)). En appliquant le résultat précédent à \(-A\) :

\((I_n + A)^{-1} = (I_n – (-A))^{-1} = \sum_{j=0}^{k-1} (-A)^j = \sum_{j=0}^{k-1} (-1)^j A^j\) \(= I_n – A + A^2 – A^3 + \cdots + (-1)^{k-1} A^{k-1}\)

---

VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Voici les erreurs les plus fréquentes relevées dans les copies de DS et de concours.

Erreur n°1 — Inverser l’ordre dans \((AB)^{-1}\)

Erreur n°2 — Confondre \(A\) inversible et \(A \neq 0\)

Erreur n°3 — Raisonnement circulaire

Erreur n°4 — Croire que \(A^2 = I_n \Rightarrow A = \pm I_n\)

---

VII. Questions fréquentes

---

VIII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la notion de matrice inversible, ses critères de reconnaissance et ses propriétés algébriques. Voici les prolongements naturels dans le programme de CPGE :

• Calculer l’inverse : la page Inverse d’une matrice détaille les méthodes de calcul effectif (Gauss-Jordan, comatrice), avec des fiches dédiées pour les matrices 2×2 et 3×3.
• Déterminant : le cours sur le déterminant approfondit les propriétés de \(\det\), outil central pour le critère d’inversibilité.
• Rang et noyau : les pages rang d’une matrice et noyau d’une matrice développent ces notions indissociables de l’inversibilité via le théorème du rang.
• Diagonalisation : diagonaliser une matrice repose fondamentalement sur l’inversibilité de la matrice de passage \(P\).
• Applications linéaires : la page matrice d’une application linéaire formalise le lien entre inversibilité et bijectivité.
• S’entraîner : retrouve des dizaines de problèmes sur les exercices corrigés sur les matrices, incluant des sujets type X, Mines-Ponts et Centrale.

Applications concrètes : les matrices inversibles interviennent en cryptographie (chiffrement de Hill : le message se déchiffre en multipliant par \(A^{-1} \pmod{26}\)), en résolution de systèmes physiques (lois de Kirchhoff, mécanique des structures), et dans les chaînes de Markov (existence d’une distribution stationnaire).

Conforme au programme officiel des CPGE scientifiques 2025-2026.

—