Quand tu calcules 4 + 7, obtiens-tu le même résultat qu’avec 7 + 4 ? Oui, bien sûr : 11 dans les deux cas. Cette liberté de changer l’ordre sans changer le résultat porte un nom savant : la commutativité. C’est l’une des toutes premières grandes propriétés des opérations, et tu l’utilises sans même y penser dès que tu fais un calcul mental.
En une phrase : une opération est commutative lorsqu’on peut changer l’ordre des deux nombres qu’on calcule sans changer le résultat. L’addition et la multiplication sont commutatives : \(a + b = b + a\) et \(a \times b = b \times a\). La soustraction et la division, elles, ne le sont pas.
À quoi sert la commutativité concrètement
La commutativité n’est pas un mot compliqué juste pour faire savant : c’est une astuce de calcul que tu utilises tous les jours. Elle te permet de ranger les nombres dans l’ordre le plus pratique avant de calculer.
Imagine que tu doives calculer \(17 + 48 + 3\). Dans cet ordre, ce n’est pas évident. Mais comme l’addition est commutative, tu as le droit d’écrire \(17 + 3 + 48\). Là, tu vois tout de suite que \(17 + 3 = 20\), puis \(20 + 48 = 68\). Beaucoup plus rapide !
Même idée en multiplication. Pour calculer \(25 \times 7 \times 4\), tu regroupes \(25 \times 4 = 100\), puis \(100 \times 7 = 700\). Sans la commutativité, tu serais obligé de calculer dans l’ordre imposé, souvent bien plus difficile.
Le réflexe à prendre : avant de te lancer dans un calcul, demande-toi si tu ne peux pas réorganiser les nombres pour tomber sur des résultats ronds (10, 20, 100…). C’est exactement ce que la commutativité (changer l’ordre) et l’associativité (regrouper) t’autorisent à faire ensemble.
Définition et règle à retenir
Voici la définition propre, valable pour n’importe quels nombres.
Définition — Commutativité
Une opération est commutative si, pour deux nombres \(a\) et \(b\) quelconques, on obtient toujours le même résultat en les prenant dans un ordre ou dans l’autre :
\(a + b = b + a\) (l’addition est commutative)
\(a \times b = b \times a\) (la multiplication est commutative)
Le mot « quelconques » est important : pour dire qu’une opération est commutative, il faut que l’égalité soit vraie pour tous les nombres, pas seulement pour un exemple bien choisi. À l’inverse, un seul contre-exemple suffit à prouver qu’une opération n’est PAS commutative — on verra ça plus bas.
Comment retenir le mot : « commuter », c’est échanger, permuter. Le mot vient du latin commutare, « échanger » : un commutateur électrique fait passer d’une position à l’autre. En maths, la commutativité, c’est le droit d’échanger la place des deux nombres.
Toute la commutativité résumée en 1 page
Définition, opérations commutatives ou non, pièges à éviter et astuces de calcul mental : la fiche parfaite à garder sous la main.
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Les opérations commutatives : addition et multiplication
Au collège, deux opérations sont commutatives, et il faut les connaître par cœur.
La commutativité de l’addition
Peu importe l’ordre dans lequel tu additionnes, la somme reste la même :
\(8 + 15 = 15 + 8 = 23\)C’est logique : additionner, c’est réunir deux quantités. Que tu poses 8 billes puis 15 billes, ou 15 billes puis 8 billes, tu as toujours le même tas de 23 billes.
La commutativité de la multiplication
Même chose pour la multiplication :
\(6 \times 9 = 9 \times 6 = 54\)Tu peux le voir avec un rectangle : un rectangle de 6 lignes et 9 colonnes contient exactement le même nombre de cases qu’un rectangle de 9 lignes et 6 colonnes. On a juste tourné la feuille d’un quart de tour.
Exemple : combien font \(2 \times 17 \times 5\) ?
Grâce à la commutativité (et à l’associativité, pour regrouper), on réorganise : \(2 \times 5 \times 17\).
Puis \(2 \times 5 = 10\), et enfin \(10 \times 17 = 170\).
Résultat : 170, obtenu en quelques secondes de tête.
Les opérations qui ne sont PAS commutatives
C’est le point que presque aucun cours ne détaille clairement, et c’est pourtant là que se cachent les pièges. Deux opérations très courantes ne sont pas commutatives : la soustraction et la division.
La soustraction
Regarde attentivement :
\(9- 4 = 5\) mais \(4- 9 = -5\)
Les deux résultats sont différents. Donc changer l’ordre change le résultat : la soustraction n’est pas commutative. Un seul exemple comme celui-ci suffit à le prouver définitivement.
La division
Pareil pour la division :
\(10 \div 2 = 5\) mais \(2 \div 10 = 0{,}2\)
Là encore, l’ordre compte énormément. Partager 10 gâteaux entre 2 personnes n’a rien à voir avec partager 2 gâteaux entre 10 personnes !
Erreur classique : écrire \(12- 5 = 5- 12\) en pensant « c’est comme l’addition ». C’est faux. La commutativité fonctionne pour l’addition et la multiplication, jamais pour la soustraction ni la division. Quand tu changes l’ordre d’une soustraction, tu changes le résultat.
| Opération | Commutative ? | Exemple |
|---|---|---|
| Addition \(+\) | ✅ Oui | \(3 + 8 = 8 + 3\) |
| Multiplication \(\times\) | ✅ Oui | \(4 \times 7 = 7 \times 4\) |
| Soustraction \({-}\) | ❌ Non | \(9- 4 \neq 4- 9\) |
| Division \(\div\) | ❌ Non | \(10 \div 2 \neq 2 \div 10\) |
Ne confonds pas non plus la commutativité avec l’associativité, qui parle des parenthèses et non de l’ordre, ni avec la distributivité, qui relie deux opérations différentes. Chacune a sa propre page et son propre rôle.
Et plus tard : la commutativité en prépa 🔴
La propriété que tu apprends au collège se retrouve, presque mot pour mot, dans les études supérieures — mais avec un vocabulaire plus abstrait. Voici un aperçu, à lire si tu es curieux ou déjà au lycée.
En prépa, on ne parle plus « d’opération » mais de loi de composition interne : une règle qui, à deux éléments, associe un troisième. On la note souvent \(\ast\). La commutativité s’écrit alors : la loi \(\ast\) est commutative si \(a \ast b = b \ast a\) pour tous les éléments \(a\) et \(b\).
Notion avancée — Groupe abélien
Un groupe dont la loi est commutative s’appelle un groupe abélien (ou groupe commutatif), en l’honneur du mathématicien Niels Abel. C’est une des premières structures algébriques que l’on étudie en MPSI.
Et là, une surprise attend beaucoup d’élèves : en maths avancées, énormément d’opérations ne sont PAS commutatives. Trois exemples célèbres :
- Le produit de deux matrices : en général \(AB \neq BA\).
- La composition de deux fonctions : faire \(f\) puis \(g\) ne donne pas la même chose que \(g\) puis \(f\).
- Le produit vectoriel de deux vecteurs, qui n’est ni commutatif ni associatif.
Le produit scalaire, lui, est symétrique : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\). Autrement dit : la commutativité, si évidente au collège, devient une propriété rare et précieuse qu’on doit toujours vérifier avant de l’utiliser.
Exercices corrigés
Passe à la pratique. Essaie chaque exercice seul, puis déplie la correction pour vérifier ta démarche.
Exercice 1 — Reconnaître une égalité vraie ★
Sans calculer, dis si chaque égalité est vraie ou fausse, et pourquoi : (a) \(7 + 12 = 12 + 7\) (b) \(15- 6 = 6- 15\) (c) \(4 \times 9 = 9 \times 4\).
Voir la correction de l’exercice 1
(a) Vraie : l’addition est commutative.
(b) Fausse : la soustraction n’est pas commutative. En effet \(15- 6 = 9\) alors que \(6- 15 = -9\).
(c) Vraie : la multiplication est commutative.
Exercice 2 — Calcul mental malin ★
Calcule de tête en réorganisant les nombres : (a) \(8 + 27 + 2\) (b) \(5 \times 13 \times 2\).
Voir la correction de l’exercice 2
(a) On regroupe \(8 + 2 = 10\), puis \(10 + 27 = 37\). Résultat : 37.
(b) On regroupe \(5 \times 2 = 10\), puis \(10 \times 13 = 130\). Résultat : 130.
Exercice 3 — Trouver le contre-exemple ★★
Léo affirme : « La division est commutative, on peut toujours échanger les deux nombres. » Prouve qu’il a tort avec un exemple.
Voir la correction de l’exercice 3
Il suffit d’un seul contre-exemple. Prenons \(8 \div 4\) :
\(8 \div 4 = 2\) mais \(4 \div 8 = 0{,}5\).
Les deux résultats sont différents, donc la division n’est pas commutative : Léo a tort.
Exercice 4 — Vrai ou faux justifié ★★
« Si une égalité du type \(a + b = b + a\) est vraie pour \(a = 3\) et \(b = 5\), alors l’addition est commutative. » Cette phrase est-elle correcte ?
Voir la correction de l’exercice 4
Le raisonnement est mal formulé. Un exemple, même juste, ne suffit jamais à prouver une propriété générale : il faudrait le vérifier pour tous les nombres.
Ici, l’addition est bien commutative, mais pas « à cause » de cet exemple. C’est une propriété qu’on admet pour tous les nombres. En revanche, un exemple suffit pour réfuter une propriété (comme à l’exercice 3).
Conclusion : un exemple prouve qu’une opération n’est PAS commutative ; il ne prouve jamais qu’elle l’est.
Exercice 5 — Vers la prépa 🔴 ★★★
On munit l’ensemble des nombres d’une opération \(\ast\) définie par \(a \ast b = a + 2b\). Cette loi est-elle commutative ?
Voir la correction de l’exercice 5
On compare \(a \ast b\) et \(b \ast a\) :
\(a \ast b = a + 2b\) et \(b \ast a = b + 2a\).
Cherchons un contre-exemple avec \(a = 1\) et \(b = 3\) :
\(1 \ast 3 = 1 + 6 = 7\) alors que \(3 \ast 1 = 3 + 2 = 5\).
\(7 \neq 5\), donc la loi \(\ast\) n’est pas commutative.
Erreurs fréquentes à éviter
Voici les trois pièges qui reviennent le plus souvent dans les copies.
Erreur 1 — Croire que la soustraction est commutative. Beaucoup d’élèves écrivent \(7- 10 = 10- 7\). Faux : \(7- 10 = -3\) et \(10- 7 = 3\). L’ordre change tout.
Erreur 2 — Confondre commutativité et associativité. La commutativité concerne l’ordre (\(a + b = b + a\)). L’associativité concerne les parenthèses (\((a + b) + c = a + (b + c)\)). Ce ne sont pas les mêmes propriétés.
Erreur 3 — Prouver la commutativité avec un seul exemple. Un exemple ne démontre jamais qu’une opération est commutative pour tous les nombres. Il peut seulement servir à prouver qu’elle ne l’est PAS.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la commutativité ?
La commutativité est la propriété d’une opération qui permet de changer l’ordre des deux nombres sans changer le résultat. L’addition et la multiplication sont commutatives : \(a + b = b + a\) et \(a \times b = b \times a\). La soustraction et la division ne le sont pas.
Quelle est la différence entre commutativité et associativité ?
La commutativité parle de l’ordre des nombres : \(a + b = b + a\). L’associativité parle des parenthèses, c’est-à-dire de l’ordre dans lequel on regroupe les calculs : \((a + b) + c = a + (b + c)\). Ce sont deux propriétés distinctes.
Qu’est-ce que l’associativité ?
L’associativité est la propriété qui permet de déplacer les parenthèses dans un calcul sans changer le résultat, quand on enchaîne trois nombres avec la même opération. Comme la commutativité, l’addition et la multiplication sont associatives, mais pas la soustraction.
La multiplication est-elle toujours commutative ?
Au collège et au lycée, oui : \(a \times b = b \times a\) pour tous les nombres. Mais dans les études supérieures, la multiplication de certains objets comme les matrices n’est plus commutative : en général \(AB \neq BA\). La commutativité doit alors toujours être vérifiée.
Existe-t-il un synonyme de commutativité ?
Il n’y a pas de vrai synonyme mathématique. On dit qu’une opération est « commutative » ou qu’elle « permet de permuter les termes ». Le mot vient de « commuter », qui signifie échanger. Attention : en droit, un « contrat commutatif » désigne tout autre chose.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la commutativité, sa définition, ses exemples et ses contre-exemples. Pour continuer :
- Au lycée et en prépa, ces propriétés des opérations deviennent le point de départ d’une réflexion plus large sur les règles du raisonnement : découvre Logique et raisonnement en mathématiques pour comprendre comment on démontre (ou réfute) une propriété générale.
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