Tu multiplies 25 × 12 de tête en quelques secondes ? Tu développes une expression comme 5(x + 3) sans réfléchir ? Derrière ces deux réflexes se cache une seule et même règle : la distributivité. C’est l’une des propriétés les plus utiles de tout le collège, parce qu’elle sert au calcul mental, au développement et à la factorisation. Dans cet article, tu vas comprendre la règle, la voir en dessin, et surtout apprendre à repérer les pièges où beaucoup d’élèves se trompent.
En bref : la distributivité est une règle de calcul qui relie la multiplication à l’addition (et à la soustraction). Multiplier une somme par un nombre revient à multiplier chaque terme de la somme par ce nombre, puis à additionner les résultats. Autrement dit : \(k \times (a + b) = k \times a + k \times b\).
À quoi sert la distributivité ?
Avant de voir la règle en détail, regardons pourquoi elle est si pratique. La distributivité te rend service dans trois situations que tu croises tout le temps en maths.
Pour calculer plus vite de tête. Comment faire 7 × 102 sans calculatrice ? Tu remarques que 102 = 100 + 2, puis tu distribues : 7 × 100 + 7 × 2 = 700 + 14 = 714. Beaucoup plus rapide que de poser la multiplication.
Pour développer une expression. Développer, c’est transformer un produit (une multiplication) en une somme. Par exemple, 4(x + 5) devient 4 × x + 4 × 5, soit 4x + 20. C’est exactement ce que tu fais en calcul littéral.
Pour factoriser. C’est l’opération inverse du développement : tu pars d’une somme et tu la transformes en produit, en repérant un facteur commun. Par exemple, 6x + 9 s’écrit 3 × 2x + 3 × 3, donc 3(2x + 3).
À retenir : développer et factoriser sont les deux faces de la même pièce, et cette pièce, c’est la distributivité. Développer va du produit vers la somme ; factoriser va de la somme vers le produit.
La règle à retenir : distributivité simple et double
Il existe deux versions de la distributivité, selon le nombre de termes que tu multiplies. Voyons-les l’une après l’autre.
La distributivité simple
Distributivité simple
Pour tous les nombres \(k\), \(a\) et \(b\) :
\(k \times (a + b) = k \times a + k \times b\)
et de la même façon avec une soustraction :
\(k \times (a- b) = k \times a- k \times b\)
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction : le facteur \(k\) se « distribue » sur chaque terme de la parenthèse, comme si tu donnais \(k\) à chacun des deux termes \(a\) et \(b\).
Pour comprendre vraiment pourquoi c’est vrai, le mieux est de le dessiner avec des aires de rectangles.
Exemple : calcule 6 × 53 de tête.
On écrit 53 = 50 + 3, puis on distribue :
\(6 \times 53 = 6 \times 50 + 6 \times 3 = 300 + 18 = 318\)
La distributivité double
Quand tu multiplies deux parenthèses l’une par l’autre, chaque terme de la première parenthèse doit multiplier chaque terme de la seconde. C’est la distributivité double.
Distributivité double
Pour tous les nombres \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) :
\((a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d\)
Le truc pour ne rien oublier : tu obtiens toujours quatre produits. On peut le voir, là encore, comme le découpage d’un grand rectangle en quatre morceaux.
Exemple : développe \((x + 2)(x + 5)\).
On fait les quatre produits :
\((x + 2)(x + 5) = x \times x + x \times 5 + 2 \times x + 2 \times 5\)
\(= x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10\)
N’oublie pas de regrouper les termes semblables à la fin (ici \(5x + 2x = 7x\)).
Toute la distributivité résumée sur une seule page
Distributivité simple, double, les fausses distributivités à éviter et des exemples corrigés : la fiche à imprimer et à glisser dans ton classeur.
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Les fausses distributivités : les pièges à éviter
Voici la partie que la plupart des cours oublient, et qui te fera gagner des points en contrôle. La distributivité marche pour la multiplication par rapport à l’addition… mais certains élèves croient qu’elle marche partout. C’est faux, et ça se vérifie avec un simple exemple chiffré.
La racine carrée ne se distribue pas : \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
Vérifie : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), alors que \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\). On a bien 5 ≠ 7.
Le carré ne se distribue pas : \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\).
Vérifie : \((2 + 3)^2 = 5^2 = 25\), alors que \(2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\). Le bon développement passe par la double distributivité : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Le cas de la division est plus subtil, car il dépend de la place de la somme : au numérateur ou au dénominateur.
La division est distributive… mais d’un seul côté.
- Quand la somme est au-dessus (au numérateur), ça marche : \(\displaystyle\frac{a + b}{c} = \displaystyle\frac{a}{c} + \displaystyle\frac{b}{c}\). Exemple : \(\displaystyle\frac{6 + 8}{2} = \displaystyle\frac{14}{2} = 7\) et \(\displaystyle\frac{6}{2} + \displaystyle\frac{8}{2} = 3 + 4 = 7\). ✓
- Quand la somme est en dessous (au dénominateur), ça ne marche pas : \(\displaystyle\frac{c}{a + b} \neq \displaystyle\frac{c}{a} + \displaystyle\frac{c}{b}\). Exemple : \(\displaystyle\frac{12}{2 + 4} = \displaystyle\frac{12}{6} = 2\), alors que \(\displaystyle\frac{12}{2} + \displaystyle\frac{12}{4} = 6 + 3 = 9\). On a 2 ≠ 9.
Le réflexe à garder : dès que tu vois une racine, une puissance, ou une division avec la parenthèse en dessous, méfie-toi et vérifie avec des nombres simples avant de distribuer.
Distributivité, commutativité, associativité : trois propriétés à ne pas confondre
Tu rencontres souvent ces trois mots ensemble, et il est facile de les mélanger. Chacune décrit un « droit » différent que tu as sur un calcul.
| Propriété | Ce qu’elle autorise | Exemple |
|---|---|---|
| Commutativité | Changer l’ordre des nombres | \(3 + 5 = 5 + 3\) |
| Associativité | Changer les regroupements (parenthèses) | \((2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)\) |
| Distributivité | Faire passer une multiplication à travers une somme | \(4 \times (2 + 3) = 4 \times 2 + 4 \times 3\) |
La distributivité est la seule des trois qui relie deux opérations différentes (la multiplication et l’addition). Les deux autres ne parlent que d’une seule opération à la fois. Pour tout comprendre sur les deux premières, va voir la fiche dédiée sur la commutativité et l’associativité.
Et plus tard : la distributivité au lycée et en prépa
La distributivité ne s’arrête pas au collège : c’est une idée qui grandit avec toi. Voici où tu la retrouveras. Ces parties sont un aperçu pour les curieux, tu n’as pas besoin de tout maîtriser maintenant.
🟡 Au lycée — sur les ensembles et en logique. La distributivité existe aussi entre l’intersection \(\cap\) et la réunion \(\cup\) de deux ensembles :
\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\).
Le même mécanisme se retrouve en logique entre le « et » et le « ou ». C’est un des outils derrière les lois de De Morgan, et tu le rencontreras dans la théorie des ensembles.
🔴 En prépa — un axiome fondamental. En MPSI, la distributivité devient l’une des règles de base qui définissent une structure appelée anneau : dès qu’un ensemble possède une addition et une multiplication, on exige que la multiplication soit distributive sur l’addition. C’est le point de départ de tout le chapitre sur les structures algébriques.
Attention aux objets où l’ordre compte. Avec les matrices, la multiplication reste distributive sur l’addition, mais elle n’est plus commutative : \(A \times B\) et \(B \times A\) peuvent être différents. La distributivité, elle, tient toujours.
Exercices corrigés
Passons à la pratique. Essaie chaque exercice seul, papier et crayon, avant d’ouvrir la correction. Les étoiles indiquent la difficulté : ★ pour t’échauffer, ★★★ pour te dépasser.
Exercice 1 — Calcul mental ★
Calcule \(8 \times 104\) de tête en utilisant la distributivité.
Voir la correction de l’exercice 1
On décompose 104 en 100 + 4, puis on distribue :
\(8 \times 104 = 8 \times 100 + 8 \times 4 = 800 + 32\)Le résultat est 832.
Exercice 2 — Développer (simple) ★
Développe l’expression \(5(x + 7)\).
Voir la correction de l’exercice 2
Le facteur 5 se distribue sur chaque terme de la parenthèse :
\(5(x + 7) = 5 \times x + 5 \times 7 = 5x + 35\)Résultat : \(\mathbf{5x + 35}\).
Exercice 3 — Factoriser ★★
Factorise l’expression \(12x + 18\).
Voir la correction de l’exercice 3
On cherche le facteur commun aux deux termes. On remarque que \(12 = 6 \times 2\) et \(18 = 6 \times 3\) : le facteur commun est 6.
\(12x + 18 = 6 \times 2x + 6 \times 3 = 6(2x + 3)\)Résultat : \(\mathbf{6(2x + 3)}\). Tu peux vérifier en redéveloppant.
Exercice 4 — Développer (double) ★★
Développe et réduis \((x + 3)(x + 4)\).
Voir la correction de l’exercice 4
On fait les quatre produits de la double distributivité :
\((x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12\)On regroupe les termes semblables \(4x + 3x = 7x\) :
Résultat : \(\mathbf{x^2 + 7x + 12}\).
Exercice 5 — Vrai ou faux ? ★★
Un élève écrit : \((3 + 4)^2 = 3^2 + 4^2\). A-t-il raison ? Justifie ta réponse par un calcul.
Voir la correction de l’exercice 5
C’est faux. Le carré n’est pas distributif sur l’addition. On le prouve avec les nombres :
\((3 + 4)^2 = 7^2 = 49\) \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)Comme 49 ≠ 25, l’égalité est fausse. Le bon développement est \((3+4)^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times 4 + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49\).
Exercice 6 — Synthèse ★★★
Développe et réduis \((2x + 3)(x- 5)\).
Voir la correction de l’exercice 6
Attention aux signes : le second terme de la deuxième parenthèse est \(-5\). On applique la double distributivité :
\((2x + 3)(x- 5) = 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5)\) \(= 2x^2- 10x + 3x- 15\)On regroupe \(-10x + 3x = -7x\) :
Résultat : \(\mathbf{2x^2- 7x- 15}\).
Questions fréquentes
C’est quoi la distributivité en maths ?
La distributivité est une règle de calcul qui relie la multiplication à l’addition (et à la soustraction). Elle dit que multiplier une somme par un nombre revient à multiplier chaque terme, puis à additionner les résultats : \(k \times (a + b) = k \times a + k \times b\). Elle sert au calcul mental, au développement et à la factorisation.
Quelle est la différence entre distributivité simple et double ?
La distributivité simple concerne un nombre multiplié par une parenthèse : \(k(a + b) = ka + kb\). La distributivité double concerne deux parenthèses multipliées entre elles : \((a + b)(c + d)\), qui donne toujours quatre produits. La double n’est en fait qu’une application répétée de la simple.
La division est-elle distributive ?
Oui, mais d’un seul côté. Quand la parenthèse est au-dessus, ça marche : \(\displaystyle\frac{a + b}{c} = \displaystyle\frac{a}{c} + \displaystyle\frac{b}{c}\). Quand la parenthèse est en dessous, c’est faux : \(\displaystyle\frac{c}{a + b} \neq \displaystyle\frac{c}{a} + \displaystyle\frac{c}{b}\). Vérifie toujours avec des nombres simples.
Quelle est la différence entre distributivité, commutativité et associativité ?
La commutativité autorise à changer l’ordre (\(3 + 5 = 5 + 3\)). L’associativité autorise à changer les regroupements de parenthèses. La distributivité, elle, est la seule des trois à relier deux opérations différentes : elle fait passer une multiplication à travers une somme.
À quel niveau apprend-on la distributivité ?
La distributivité simple s’apprend dès la 5ème, la double distributivité arrive en 4ème et 3ème avec le développement d’expressions. Elle reste ensuite un outil central au lycée (identités remarquables) et en prépa (structures d’anneau).
Pourquoi (a + b)² n’est pas égal à a² + b² ?
Parce que le carré n’est pas distributif sur l’addition. En développant \((a+b)^2 = (a+b)(a+b)\) avec la double distributivité, on obtient \(a^2 + 2ab + b^2\) : il y a un terme supplémentaire \(2ab\) que l’on oublie souvent.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la distributivité, sa version simple, sa version double et les pièges à éviter. Pour voir comment cette même règle réapparaît au lycée dans un cadre plus riche :
- Au lycée, la distributivité est au cœur d’un outil géométrique majeur, où l’on développe des produits de vecteurs : Le produit scalaire : cours complet, formules et propriétés.
