Partager une pizza en parts égales, mesurer un demi-litre de lait, calculer les trois quarts d’une réduction… Les fractions sont partout, dès qu’on partage ou qu’on mesure. Elles apparaissent au CM1 et t’accompagnent jusqu’au brevet, puis au lycée. Dans ce cours complet, tu vas comprendre ce qu’est vraiment une fraction, apprendre le vocabulaire indispensable, découvrir les différents types de fractions et surtout toutes les méthodes de calcul, avec des exercices corrigés pas à pas.
I. C’est quoi une fraction ?
Imagine une tablette de chocolat partagée en 4 carrés égaux. Si tu en manges 3, tu as mangé 3 carrés sur les 4 : tu as mangé trois quarts de la tablette. On l’écrit \(\displaystyle\frac{3}{4}\). Une fraction, c’est exactement ça : une manière d’écrire un partage en parts égales.
Définition — Une fraction
Une fraction est un nombre qui s’écrit sous la forme \(\displaystyle\frac{a}{b}\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers et où \(b\) n’est pas égal à 0.
Le nombre du bas, \(b\), s’appelle le dénominateur : il indique en combien de parts égales on a partagé.
Le nombre du haut, \(a\), s’appelle le numérateur : il indique combien de parts on prend.
Pour ne plus jamais confondre les deux mots : le dénominateur est en bas, comme le mot « dessous ». Le numérateur, lui, compte le nombre de parts prises.
A. Une fraction, c’est aussi un nombre
C’est l’idée la plus importante à retenir, et c’est justement celle que beaucoup d’élèves ratent. Une fraction n’est pas seulement un « dessin de partage » : c’est un nombre à part entière, comme 3 ou comme 12,5.
Écrire \(\displaystyle\frac{3}{4}\), c’est aussi écrire le résultat de la division « 3 divisé par 4 ». C’est pour ça qu’on parle aussi de quotient. On peut donc le placer sur une droite graduée, entre 0 et 1, exactement comme n’importe quel autre nombre. Tu apprendras à le faire dans le cours sur la droite graduée.
À retenir : une fraction = un partage = une division = un nombre. Ces quatre idées désignent la même chose. Comprendre ça change tout pour la suite du collège.
II. Les différents types de fractions
Maintenant que tu sais lire une fraction, découvrons qu’il en existe plusieurs sortes. Les reconnaître t’aidera à choisir la bonne méthode de calcul.
A. Fractions plus petites ou plus grandes que 1
Quand le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que 1. Par exemple \(\displaystyle\frac{3}{4}\) est plus petit que \(1\) : on n’a pas pris toute la tablette.
Quand le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que 1. Par exemple \(\displaystyle\frac{7}{4}\) correspond à une tablette entière (soit \(\displaystyle\frac{4}{4}\)) plus \(\displaystyle\frac{3}{4}\) d’une deuxième.
B. Les fractions décimales
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1000, etc. Elles sont très pratiques car elles se transforment facilement en nombre à virgule :
\(\displaystyle\frac{7}{10} = 0{,}7\) et \(\displaystyle\frac{25}{100} = 0{,}25\)
Elles font le pont entre les fractions et les nombres décimaux. Tout est détaillé dans le cours sur les fractions décimales.
C. Les fractions égales (ou équivalentes)
Deux fractions différentes peuvent représenter le même nombre. Par exemple, si tu coupes ta demi-tablette en deux, tu obtiens deux quarts : c’est toujours la même quantité de chocolat.
\(\displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{2}{4} = \displaystyle\frac{5}{10}\)
Pour passer d’une fraction à une fraction égale, on multiplie (ou on divise) le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
Exemple : Montrer que \(\displaystyle\frac{3}{4}\) et \(\displaystyle\frac{9}{12}\) sont égales.
On multiplie le numérateur et le dénominateur de \(\displaystyle\frac{3}{4}\) par 3 :
\(\displaystyle\frac{3}{4} = \displaystyle\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \displaystyle\frac{9}{12}\) ✓
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III. Simplifier une fraction
Puisqu’une même quantité peut s’écrire de plusieurs façons, on cherche toujours la forme la plus simple. Simplifier une fraction, c’est la réécrire avec des nombres plus petits, sans changer sa valeur.
Pour cela, on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre, autant de fois que possible.
Exemple : Simplifier \(\displaystyle\frac{12}{18}\).
12 et 18 sont tous les deux divisibles par 6 :
\(\displaystyle\frac{12}{18} = \displaystyle\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \displaystyle\frac{2}{3}\)
On ne peut plus diviser 2 et 3 par un même nombre : la fraction est irréductible.
Le nombre par lequel on divise est le plus grand diviseur commun des deux nombres. C’est ce qu’on appelle le PGCD. La méthode complète, avec toutes les astuces, est dans le cours simplifier une fraction.
Astuce : quand un numérateur et un dénominateur se terminent tous les deux par 0, ou sont tous les deux pairs, tu peux déjà simplifier. C’est un bon réflexe pour démarrer.
IV. Calculer avec les fractions
Au collège, tu vas apprendre à faire les quatre opérations avec les fractions. Chaque opération a sa propre règle : voici l’essentiel, avec un lien vers le cours détaillé de chacune.
A. Additionner et soustraire
On ne peut additionner deux fractions que si elles ont le même dénominateur. On additionne alors seulement les numérateurs :
\(\displaystyle\frac{2}{7} + \displaystyle\frac{3}{7} = \displaystyle\frac{5}{7}\)Si les dénominateurs sont différents, il faut d’abord les rendre égaux (on dit « mettre au même dénominateur »). Tout est expliqué dans additionner et soustraire des fractions.
B. Multiplier et diviser
La multiplication est la plus simple : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans se soucier du dénominateur commun.
\(\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{4}{5} = \displaystyle\frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \displaystyle\frac{8}{15}\)Pour diviser, on multiplie par l’inverse de la deuxième fraction. La méthode pas à pas est dans multiplier et diviser des fractions.
C. Comparer
Pour savoir quelle fraction est la plus grande, on les met au même dénominateur puis on compare les numérateurs. La technique complète est détaillée dans comparer des fractions.
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Addition / soustraction | Même dénominateur obligatoire, on calcule les numérateurs | \(\displaystyle\frac{2}{7} + \displaystyle\frac{3}{7} = \displaystyle\frac{5}{7}\) |
| Multiplication | Numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux | \(\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{4}{5} = \displaystyle\frac{8}{15}\) |
| Division | On multiplie par l’inverse | \(\displaystyle\frac{2}{3} \div \displaystyle\frac{4}{5} = \displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{5}{4}\) |
| Simplification | On divise numérateur et dénominateur par un même nombre | \(\displaystyle\frac{12}{18} = \displaystyle\frac{2}{3}\) |
V. Exercices corrigés
À toi de jouer ! Essaie chaque exercice sur ton cahier avant de regarder la correction. Cherche vraiment : c’est en te trompant que tu progresses.
Exercice 1 — Lire et écrire une fraction ★
Un gâteau est partagé en 8 parts égales. Léa en mange 3.
a) Quelle fraction du gâteau Léa a-t-elle mangée ?
b) Quelle fraction reste-t-il ?
Voir la correction de l'exercice 1
a) Le gâteau est en 8 parts (dénominateur 8), Léa en mange 3 (numérateur 3). Elle a mangé \(\displaystyle\frac{3}{8}\) du gâteau.
b) Le gâteau entier vaut \(\displaystyle\frac{8}{8}\). Il reste donc \(\displaystyle\frac{8}{8} - \displaystyle\frac{3}{8} = \displaystyle\frac{5}{8}\) du gâteau.
Exercice 2 — Simplifier ★★
Simplifie au maximum les fractions suivantes :
a) \(\displaystyle\frac{6}{9}\) b) \(\displaystyle\frac{20}{30}\) c) \(\displaystyle\frac{15}{25}\)
Voir la correction de l'exercice 2
a) 6 et 9 sont divisibles par 3 : \(\displaystyle\frac{6}{9} = \displaystyle\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \displaystyle\frac{2}{3}\).
b) 20 et 30 sont divisibles par 10 : \(\displaystyle\frac{20}{30} = \displaystyle\frac{2}{3}\).
c) 15 et 25 sont divisibles par 5 : \(\displaystyle\frac{15}{25} = \displaystyle\frac{3}{5}\).
Exercice 3 — Additionner ★★
Calcule et simplifie si possible :
a) \(\displaystyle\frac{2}{5} + \displaystyle\frac{1}{5}\) b) \(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{4}\)
Voir la correction de l'exercice 3
a) Même dénominateur, on additionne les numérateurs : \(\displaystyle\frac{2}{5} + \displaystyle\frac{1}{5} = \displaystyle\frac{3}{5}\).
b) Les dénominateurs sont différents. On transforme \(\displaystyle\frac{1}{2}\) en quarts : \(\displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{2}{4}\). Puis \(\displaystyle\frac{2}{4} + \displaystyle\frac{1}{4} = \displaystyle\frac{3}{4}\).
Exercice 4 — Un peu de raisonnement ★★★
Tom affirme : « \(\displaystyle\frac{1}{3}\) est plus grand que \(\displaystyle\frac{1}{2}\), parce que 3 est plus grand que 2. » A-t-il raison ? Explique.
Voir la correction de l'exercice 4
Tom a tort. Plus on partage en un grand nombre de parts, plus chaque part est petite. Partager un gâteau en 3 donne des parts plus petites que le partager en 2.
Pour le prouver, on met au même dénominateur (6) : \(\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{2}{6}\) et \(\displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{3}{6}\). Comme \(2\) < \(3\), on a bien \(\displaystyle\frac{1}{3}\) < \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
Leçon : quand les numérateurs sont égaux à 1, la plus grande fraction est celle qui a le plus petit dénominateur.
VI. Erreurs fréquentes à éviter
Les fractions provoquent toujours les mêmes erreurs. Les connaître, c’est déjà à moitié les éviter.
Erreur n°1 : additionner les numérateurs et les dénominateurs.
❌ Copie fautive : \(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{2}{5}\)
Diagnostic : on ne peut pas additionner des parts qui n’ont pas la même taille. Un demi et un tiers, ce ne sont pas des « cinquièmes ».
✅ Correction : on met au même dénominateur (6) : \(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{3}{6} + \displaystyle\frac{2}{6} = \displaystyle\frac{5}{6}\).
Erreur n°2 : oublier de simplifier le résultat final. Un exercice n’est vraiment terminé que si la fraction est irréductible. \(\displaystyle\frac{4}{8}\) doit être écrit \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
Erreur n°3 : confondre l’inverse et l’opposé. L’inverse de \(\displaystyle\frac{2}{3}\) est \(\displaystyle\frac{3}{2}\) (on retourne la fraction). L’opposé serait \(-\displaystyle\frac{2}{3}\). Pour diviser, c’est l’inverse qu’il faut utiliser.
Les erreurs de fractions typiques de la quatrième
En 4ème, les fractions deviennent négatives, s’enchaînent avec des priorités et se mélangent au calcul littéral. Trois erreurs de plus reviennent alors dans les copies, différentes de celles du haut de page. Les voici, décortiquées.
Erreur n°4 : mettre au même dénominateur pour multiplier.
❌ Copie fautive : \(\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{1}{4} = \displaystyle\frac{8}{12} \times \displaystyle\frac{3}{12}\)
Pourquoi c’est tentant : on vient de passer des semaines sur l’addition, où le dénominateur commun est obligatoire. Le réflexe reste collé aux doigts.
✅ À faire : pour la multiplication, on ne cherche jamais de dénominateur commun. On multiplie en ligne : \(\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{1}{4} = \displaystyle\frac{2 \times 1}{3 \times 4} = \displaystyle\frac{2}{12} = \displaystyle\frac{1}{6}\).
Erreur n°5 : perdre le signe moins d’une fraction négative.
❌ Copie fautive : \(\displaystyle\frac{5}{6}- \displaystyle\frac{7}{6} = \displaystyle\frac{2}{6}\)
Diagnostic : on calcule 7 moins 5 au lieu de 5 moins 7, pour éviter le résultat négatif. Mais \(5- 7\) vaut bien \(-2\).
✅ Correction : \(\displaystyle\frac{5}{6}- \displaystyle\frac{7}{6} = \displaystyle\frac{5- 7}{6} = \displaystyle\frac{-2}{6} = -\displaystyle\frac{1}{3}\). Le résultat est plus petit que zéro, c’est normal.
Erreur n°6 : ignorer les priorités dans un calcul mélangé.
❌ Copie fautive : \(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{5}{6} \times \displaystyle\frac{1}{2}\)
Diagnostic : on calcule de gauche à droite, comme si l’ordre d’écriture donnait l’ordre des opérations.
✅ À faire : la multiplication passe avant l’addition. On calcule d’abord \(\displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{1}{6}\), puis \(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{3}{6} + \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{4}{6} = \displaystyle\frac{2}{3}\).
Le réflexe qui élimine la moitié de ces fautes
Avant de rendre un calcul de fractions, pose-toi une seule question : mon résultat est-il crédible ? Une somme de deux fractions positives ne peut pas être plus petite que chacune d’elles. Un produit de deux nombres plus petits que 1 est plus petit que chaque facteur. Cet ordre de grandeur détecte l’erreur n°1 comme l’erreur n°4.
Test express : \(\displaystyle\frac{2}{3} \times \displaystyle\frac{1}{4}\) doit être plus petit que \(\displaystyle\frac{1}{4}\). Si tu trouves quelque chose de plus grand, tu t’es trompé quelque part. Un simple coup d’œil te sauve un point au brevet.
Pour t’entraîner spécifiquement sur ces pièges de 4ème, enchaîne avec les exercices de fractions 4ème : chaque erreur ci-dessus y a son exercice dédié.
VII. Questions fréquentes
C'est quoi une fraction en maths ?
Une fraction est un nombre qui représente un partage en parts égales. Elle s’écrit \(\displaystyle\frac{a}{b}\) : le nombre du bas (le dénominateur) indique en combien de parts on partage, le nombre du haut (le numérateur) indique combien de parts on prend. C’est aussi le résultat de la division de \(a\) par \(b\).
Quels sont les différents types de fractions ?
On distingue notamment : les fractions plus petites que 1 (numérateur plus petit que le dénominateur), les fractions plus grandes que 1, les fractions décimales (dénominateur 10, 100, 1000…), les fractions égales entre elles, et les fractions irréductibles (celles qu’on ne peut plus simplifier).
Comment simplifier une fraction ?
Il faut diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre, autant de fois que possible. Par exemple \(\displaystyle\frac{12}{18} = \displaystyle\frac{2}{3}\) en divisant par 6. Quand on ne peut plus diviser, la fraction est irréductible. Le détail est dans notre cours sur la simplification.
Quelle est la différence entre une fraction et un nombre décimal ?
Ce sont deux façons d’écrire un nombre. Une fraction, comme \(\displaystyle\frac{3}{4}\), montre un partage. Un nombre décimal, comme 0,75, s’écrit avec une virgule. Souvent on peut passer de l’un à l’autre : \(\displaystyle\frac{3}{4} = 0{,}75\). Mais certaines fractions, comme \(\displaystyle\frac{1}{3}\), donnent un nombre décimal infini.
Pourquoi peut-on écrire une même fraction de plusieurs façons ?
Parce qu’une fraction est un nombre, et un même nombre peut s’écrire différemment. \(\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\displaystyle\frac{2}{4}\) et \(\displaystyle\frac{5}{10}\) représentent tous la même quantité. On choisit en général la forme la plus simple.
À quoi servent les fractions dans la vie de tous les jours ?
Elles servent à partager (une pizza, un gâteau), à mesurer (un quart d’heure, un demi-litre), à cuisiner (les trois quarts d’une recette) et à calculer des proportions ou des réductions. Au lycée, elles deviennent indispensables pour le calcul littéral et les probabilités.
Quelle fraction est la plus grande ?
Si les fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Sinon, on les met au même dénominateur avant de comparer. Attention : quand les numérateurs valent 1, c’est le contraire, \(\displaystyle\frac{1}{2}\) est plus grand que \(\displaystyle\frac{1}{3}\).
VIII. Pour aller plus loin
Tu connais maintenant l’essentiel sur les fractions. Pour approfondir chaque technique et t’entraîner, continue avec :
- Additionner et soustraire des fractions : la méthode complète
- Multiplier et diviser des fractions : la méthode simple
- Factorisation : cours et méthodes (collège/lycée)
- Nombres entiers : définition, exemples (ℕ/ℤ) et méthodes
Les fractions sont le socle de tout le calcul au collège, puis au lycée avec le calcul littéral et les fractions rationnelles. Bien les maîtriser aujourd’hui, c’est éviter le grand blocage de demain.
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