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En mathématiques, le volume d’un solide mesure la place qu’il occupe dans l’espace, c’est-à-dire ce qu’il peut contenir. Calculer un volume répond à une question très concrète : combien de litres dans cet aquarium, combien de béton pour cette dalle ? Ce cours réunit toutes les formules de volume du collège, la méthode pour choisir la bonne, et des exercices corrigés pas à pas.
I. Qu’est-ce que le volume d’un solide ?
Le volume d’un solide est la mesure de la place qu’il occupe dans l’espace. On l’exprime en unités cubes : le mètre cube (m³), le décimètre cube (dm³) ou le centimètre cube (cm³). Calculer un volume revient à compter combien de petits cubes-unités remplissent exactement le solide.
Définition — Le volume
Le volume d’un solide est la quantité d’espace qu’il occupe. Un cube de 1 cm de côté a un volume de 1 cm³ : il sert d’unité de mesure. Le volume d’un solide, c’est le nombre de ces petits cubes qu’il contient.
A. Volume, aire, contenance : trois notions à ne pas confondre
Ces trois mots reviennent souvent, mais ils ne mesurent pas la même chose.
- L’aire mesure une surface (le sol, une paroi). Elle s’exprime en unités carrées : cm², m².
- Le volume mesure l’espace intérieur d’un solide. Il s’exprime en unités cubes : cm³, m³.
- La contenance est ce que le solide peut contenir de liquide. Elle s’exprime en litres, et se déduit du volume.
Erreur classique : mélanger aire et volume. L’aire d’un rectangle se calcule avec deux longueurs, le volume d’un pavé avec trois. Si ton résultat est en cm², ce n’est pas un volume. Un volume est toujours en unité cube.
B. Les unités de volume (m³, dm³, L)
Le pont le plus utile du collège relie les volumes et les litres : 1 dm³ = 1 L et 1 m³ = 1 000 L. C’est ce qui permet de passer d’un calcul géométrique à une contenance concrète. La méthode complète est détaillée sur la page calculer un volume en litres et en m³.
II. Le tableau de toutes les formules de volume
Voici les formules à connaître au collège. Chacune renvoie vers son cours détaillé, avec méthode, exemples et exercices.
| Solide | Formule du volume | Niveau |
|---|---|---|
| Cube (côté \(c\)) | \(V = c^3\) | 6ème |
| Pavé droit | \(V = L \times l \times h\) | 6ème |
| Prisme droit | \(V = B \times h\) | 5ème |
| Cylindre (rayon \(r\)) | \(V = \pi \times r^2 \times h\) | 5ème |
| Pyramide | \(V = \displaystyle\frac{B \times h}{3}\) | 4ème |
| Cône (rayon \(r\)) | \(V = \displaystyle\frac{\pi \times r^2 \times h}{3}\) | 4ème |
| Boule (rayon \(r\)) | \(V = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times r^3\) | 3ème |
Les 7 formules de volume sur une seule fiche
Cube, pavé, prisme, cylindre, pyramide, cône et boule : toutes les formules du collège réunies, avec les unités et les conversions litres.
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Dans ce tableau, \(B\) désigne l’aire de la base et \(h\) la hauteur du solide.
A. À quel niveau apprend-on quelle formule ?
Les formules arrivent progressivement : pavé et cube en 6ème, prisme et cylindre en 5ème, pyramide et cône en 4ème, boule en 3ème. Tu peux donc retrouver dans ce tableau exactement ce qui correspond à ta classe.
B. Aires et volumes : ne pas mélanger les deux tableaux
Chaque solide possède aussi une formule d’aire, différente de sa formule de volume, et il ne faut jamais réutiliser l’une pour l’autre. Deux cas à distinguer :
- l’aire des figures planes (rectangle, triangle, disque) et le périmètre : c’est un autre chapitre, traité dans le cours dédié aux aires et périmètres ;
- l’aire des solides (aire de base, aire latérale, aire totale) : elle est détaillée sur chaque page de solide, par exemple l’aire du cylindre, celle du cône ou celle de la sphère.
III. Quelle formule pour quel solide : l’arbre de décision
Beaucoup de cours donnent les formules, mais personne ne dit comment choisir la bonne. Voici la méthode en trois questions à te poser devant n’importe quel solide.
- Est-ce une boule ? Utilise \(V=4\pi r^3/3\), avec r son rayon.
- Est-ce un cône ou une pyramide ? Utilise \(V=Bh/3\), avec B l’aire de base et h la hauteur perpendiculaire.
- Est-ce un prisme ou un cylindre ? Utilise \(V=Bh\). Le pavé droit et le cube sont des cas particuliers de prismes.
Le réflexe qui sauve : avant tout calcul, identifie d’abord le nom du solide. Une fois le solide reconnu, la formule vient toute seule. Pour t’entraîner à reconnaître les formes, va voir les solides et polyèdres.
IV. Les solides à faces planes
Les solides polyédriques ont des faces polygonales. Pour les prismes, le volume vaut Bh ; pour les pyramides, il vaut Bh/3. On ne peut pas étendre ces formules à tous les polyèdres sans les décomposer.
- Le volume d’un pavé droit et d’un cube : \(V = L \times l \times h\). C’est la brique de base de tout le chapitre.
- Le volume d’un prisme droit : \(V = B \times h\), où \(B\) est l’aire du polygone de base.
- Le volume d’une pyramide : \(V = \displaystyle\frac{B \times h}{3}\). Le calcul de la hauteur demande parfois le théorème de Pythagore.
Pour visualiser ces solides avant de les calculer, tu peux imprimer les 11 patrons du cube et les découper.
V. Les solides de révolution
Ces solides sont ronds : leur base ou leur surface est courbe. La lettre \(\pi\) apparaît donc dans chaque formule.
- Le volume d’un cylindre : \(V = \pi \times r^2 \times h\).
- Le volume d’un cône : \(V = \displaystyle\frac{\pi \times r^2 \times h}{3}\).
- Le volume d’une sphère et d’une boule : \(V = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times r^3\).
Le piège n°1 sur les solides ronds : confondre le rayon et le diamètre. La formule utilise toujours le rayon \(r\). Si l’énoncé donne un diamètre de 10 cm, le rayon vaut 5 cm. Oublier de diviser par 2 fausse tout le résultat.
VI. Pourquoi le facteur 1/3 : le principe de Cavalieri
Pourquoi les solides à sommet (pyramide, cône) ont-ils un \(\displaystyle\frac{1}{3}\) dans leur formule ? Cette question, presque jamais expliquée ailleurs, a une réponse visuelle très simple.
Prends un cube. On peut le découper exactement en trois pyramides identiques, chacune ayant pour base une face du cube et pour hauteur l’arête. Comme les trois remplissent le cube, chacune vaut le tiers du cube. C’est de là que vient le \(\displaystyle\frac{1}{3}\).
Le principe de Cavalieri compare deux solides de même hauteur : si leurs sections ont la même aire à chaque niveau, leurs volumes sont égaux. Le découpage du cube illustre directement un cas particulier. Autre relation utile, vérifiable avec les formules : un cylindre de rayon r et de hauteur 2r, un cône de mêmes dimensions et une boule de rayon r ont des volumes dans le rapport 3 : 1 : 2.
VII. « Volume d’un rectangle », « volume d’un triangle » : ce que ces recherches veulent dire
Beaucoup d’élèves cherchent « volume d’un rectangle » ou « volume d’un triangle ». Ce n’est pas une faute grave : c’est simplement qu’il manque un mot de vocabulaire. Un rectangle, un triangle, un cercle sont des figures plates : elles ont une aire, mais pas de volume.
- Un rectangle est plat ; le solide correspondant s’appelle un pavé droit.
- Un triangle est plat ; en lui donnant de l’épaisseur, on obtient un prisme.
- Un cercle est plat ; le solide associé est un cylindre (ou une boule).
La méthode générale consiste à identifier le solide, choisir sa formule et vérifier les unités. Avec B l’aire de base et h la hauteur, prismes et cylindres donnent Bh, cônes et pyramides donnent Bh/3. Pour une boule, on utilise directement \(4\pi r^3/3\).
VIII. Trois exemples d’application corrigés
Voici trois situations classiques, résolues pas à pas. Essaie de les faire seul avant d’ouvrir la solution.
Exemple 1 — Un aquarium en pavé droit ★
Un aquarium a pour dimensions 80 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de haut. Quel est son volume ? Combien de litres d’eau contient-il ?
Voir la solution de l’exemple 1
C’est un pavé droit, donc \(V = L \times l \times h\).
\(V = 80 \times 30 \times 40 = 96\,000\) cm³.
On convertit : \(96\,000\) cm³ \(= 96\) dm³, et comme 1 dm³ = 1 L :
L’aquarium contient 96 litres d’eau.
Exemple 2 — Une boîte de conserve cylindrique ★★
Une boîte cylindrique a un diamètre de 10 cm et une hauteur de 15 cm. Calcule son volume (valeur arrondie au cm³).
Voir la solution de l’exemple 2
Attention : l’énoncé donne le diamètre. Le rayon vaut donc \(r = 10 \div 2 = 5\) cm.
\(V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 5^2 \times 15 = \pi \times 375\).
\(V \approx 1\,178\) cm³, soit environ 1,18 litre.
Exemple 3 — Une pyramide à base carrée ★★
Une pyramide a une base carrée de 6 cm de côté et une hauteur de 10 cm. Quel est son volume ?
Voir la solution de l’exemple 3
On calcule d’abord l’aire de la base carrée : \(B = 6 \times 6 = 36\) cm².
Puis on applique la formule de la pyramide : \(V = \displaystyle\frac{B \times h}{3} = \displaystyle\frac{36 \times 10}{3}\).
\(V = \displaystyle\frac{360}{3} = 120\) cm³.
La pyramide a un volume de 120 cm³.
Pour t’entraîner davantage, chaque niveau a sa page dédiée : exercices corrigés 6ème, 5ème, 4ème et 3ème.
IX. Du pavé droit de 6ème au déterminant de prépa
L’idée qui se prolonge ensuite est d’additionner les volumes de tranches. Leur aire est constante pour un prisme ou un cylindre, mais varie pour une pyramide, un cône ou une boule.
🟢 3ème — Agrandissement et réduction. Quand on agrandit un solide d’un coefficient \(k\), son volume est multiplié par \(k^3\). Doubler les dimensions d’un cube multiplie son volume par 8, pas par 2.
🔵 Lycée — Le volume par intégration. On découpe le solide en tranches très fines et on additionne leurs volumes. C’est ce calcul qui explique le fameux \(\displaystyle\frac{1}{3}\) du cône, obtenu à partir de l’intégrale de \(x^2\).
🟠 Prépa — Le volume et le déterminant. Le volume d’un parallélépipède construit sur trois vecteurs est la valeur absolue de leur déterminant. La même notion de volume devient un outil d’algèbre, relié au calcul par intégrales doubles et triples.
X. Les erreurs les plus fréquentes sur les volumes
Ces pièges reviennent dans presque toutes les copies. Les connaître, c’est déjà les éviter.
Erreur n°1 — L’unité oubliée. Un volume s’exprime toujours en unité cube (cm³, m³). Écrire « 96 cm » au lieu de « 96 cm³ » coûte des points au brevet.
Erreur n°2 — Le diamètre à la place du rayon. Sur un cylindre, un cône ou une boule, la formule utilise le rayon. Diviser le diamètre par 2 est un réflexe à automatiser.
Erreur n°3 — Le facteur 1 000 dans les conversions. Pour les volumes, on multiplie ou divise par 1 000 à chaque changement d’unité (pas par 10). Ce piège est détaillé dans nos erreurs classiques en géométrie.
XI. Questions fréquentes
C’est quoi le volume d’un solide en maths ?
Le volume d’un solide est la mesure de la place qu’il occupe dans l’espace. On l’exprime en unités cubes (cm³, dm³, m³). Concrètement, c’est le nombre de petits cubes de 1 cm de côté nécessaires pour remplir entièrement le solide.
Comment calculer un volume en m³ ?
On applique la formule du solide en gardant toutes les longueurs en mètres : le résultat est alors directement en m³. Par exemple, un pavé droit de 2 m × 3 m × 1,5 m a un volume de \(2 \times 3 \times 1,5 = 9\) m³.
Comment convertir un volume en litres ?
On utilise les ponts 1 dm³ = 1 L et 1 m³ = 1 000 L. On convertit d’abord le volume en dm³ ou en m³, puis on remplace par les litres. Par exemple, 96 000 cm³ = 96 dm³ = 96 L.
Quelle est la différence entre aire et volume ?
L’aire mesure une surface plate et s’exprime en unités carrées (cm²). Le volume mesure l’espace intérieur d’un solide et s’exprime en unités cubes (cm³). L’aire utilise deux dimensions, le volume en utilise trois.
Quelle formule utiliser pour quel solide ?
Identifie d’abord la famille : boule → \(4\pi r^3/3\) ; cône ou pyramide → Bh/3 ; prisme ou cylindre → Bh. Le cube et le pavé droit sont des prismes. Une pointe ou une surface arrondie ne suffisent pas à elles seules pour choisir une formule.
Faut-il une calculatrice pour calculer un volume ?
Pour les pavés et les prismes, un calcul à la main suffit. Pour les solides ronds (cylindre, cône, boule), la calculatrice est utile à cause de \(\pi\). L’essentiel reste de poser correctement la formule avant de taper les nombres.
Comment calculer le volume d’un rectangle ?
Un rectangle est une figure plane : il n’a pas de volume, mais une aire. Le solide qui lui correspond, quand on lui donne une épaisseur, est le pavé droit, dont le volume vaut longueur × largeur × hauteur.
Quel est le tableau des formules de volume ?
Le tableau du chapitre II réunit les sept formules du collège : cube, pavé, prisme, cylindre, pyramide, cône et boule. Tu peux le télécharger en fiche PDF pour le garder dans ton classeur.
XII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les grandes formules de volume et la méthode pour choisir la bonne. Pour continuer :
- Les 11 patrons du cube et du pavé droit : la méthode pour tous les reconnaître (avec PDF à imprimer)
- Les solides en CM1-CM2 : exercices et évaluation à imprimer
- Les solides en 6ème : 14 exercices corrigés pas à pas
- Le tableau de proportionnalité : méthode, exemples et exercices
- Le théorème de Pythagore : cours complet, formule et exemples
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