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Une recette pour 4 personnes que tu veux adapter pour 6, un prix au kilo à la caisse, une distance sur une carte… Derrière toutes ces situations se cache le même outil, tout simple : le tableau de proportionnalité. Dans cette fiche, tu vas apprendre à le compléter sans te tromper, à comprendre pourquoi les méthodes marchent, et à repérer les pièges qui coûtent des points en contrôle.
En deux phrases
Un tableau de proportionnalité est un tableau à deux lignes dans lequel on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre : le coefficient de proportionnalité. Pour compléter une case, on utilise ce coefficient, le produit en croix ou les propriétés de linéarité.
I. Qu’est-ce qu’un tableau de proportionnalité ?
Un tableau de proportionnalité range deux grandeurs qui varient « en même temps » : le nombre de croissants et le prix à payer, le nombre de litres et la distance parcourue, la quantité d’un ingrédient et le nombre de personnes.
Prenons un exemple tout simple. Des croissants coûtent 1,20 € pièce. On peut ranger les prix dans un tableau :
| Nombre de croissants | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| Prix (en €) | 2,40 | 3,60 | 6 |
Ce tableau est un tableau de proportionnalité, car pour passer de la première ligne à la seconde, on multiplie toujours par le même nombre : 1,20. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité. Vérifie : 2 × 1,20 = 2,40, puis 3 × 1,20 = 3,60, puis 5 × 1,20 = 6. Toujours le même 1,20.
Le mot-clé : « toujours ». Un tableau est proportionnel seulement si le même coefficient marche sur toutes les colonnes. Si un seul coefficient est différent, ce n’est plus de la proportionnalité.
Pour aller plus loin sur cette notion de nombre unique, tu peux consulter la fiche dédiée au coefficient de proportionnalité.
II. Pourquoi ça marche (les propriétés de linéarité)
La plupart des cours te donnent la règle sans l’expliquer. Ici, on va comprendre pourquoi on a le droit de calculer comme on le fait. Ces deux « pourquoi » s’appellent les propriétés de linéarité, et elles te donnent des raccourcis très pratiques.
A. Si tu multiplies une grandeur, l’autre est multipliée pareil
Reprenons les croissants. 3 croissants coûtent 3,60 €. Que coûtent 6 croissants ? Il y en a deux fois plus, donc le prix est deux fois plus grand : 3,60 × 2 = 7,20 €. Pas besoin du coefficient : on peut « recopier » l’opération d’une ligne sur l’autre.
B. Tu peux additionner deux colonnes
C’est le raccourci que personne ne montre. 3 croissants coûtent 3,60 € et 2 croissants coûtent 2,40 €. Alors 3 + 2 = 5 croissants coûtent 3,60 + 2,40 = 6 €. On ajoute les deux colonnes, en haut comme en bas, et le résultat reste vrai.
Exemple concret : tu connais le prix de 4 stylos (2 €) et de 1 stylo (0,50 €). Combien coûtent 5 stylos ?
5 = 4 + 1, donc le prix de 5 stylos = 2 + 0,50 = 2,50 €. Aucun coefficient à calculer, juste une addition intelligente.
Ces deux propriétés sont la vraie raison pour laquelle un tableau de proportionnalité fonctionne. Elles expliquent aussi pourquoi, sur un graphique, une situation de proportionnalité donne toujours une droite qui passe par l’origine.
La méthode du tableau de proportionnalité en une fiche recto-verso
Coefficient, linéarité, produit en croix : les 4 étapes et les pièges à éviter, prêtes à imprimer et à coller dans le cahier.
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III. La méthode pas à pas pour compléter un tableau
Voici la marche à suivre à appliquer à chaque fois. Elle marche pour tous les niveaux, du CM2 à la 4ème.
- Range les deux grandeurs en deux lignes. Une grandeur par ligne (par exemple « quantité » en haut, « prix » en bas), une valeur par colonne.
- Cherche le coefficient de proportionnalité. Trouve une colonne complète (les deux cases remplies), puis divise la valeur du bas par celle du haut. Ce nombre te sert pour toute la ligne.
- Complète chaque case manquante. Pour descendre d’une ligne : tu multiplies par le coefficient. Pour remonter : tu divises par le coefficient.
- Vérifie avec le produit en croix. Sur deux colonnes complètes, les produits « en diagonale » doivent être égaux.
Quand une colonne complète n’existe pas encore, deux outils te dépannent : le produit en croix et la règle de trois. On les compare plus bas.
Astuce du sens de la flèche. Note ton coefficient avec une flèche : « du haut vers le bas, × 1,20 ». Tu ne confondras plus jamais « multiplier » et « diviser ».
IV. Exemples résolus
A. Compléter avec le coefficient
On sait que 4 kg de pommes coûtent 6 €. Complète le tableau pour 2 kg et 10 kg.
| Masse (kg) | 4 | 2 | 10 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 6 | ? | ? |
Coefficient : 6 ÷ 4 = 1,5 (c’est le prix d’1 kg). Donc pour 2 kg : 2 × 1,5 = 3 €. Pour 10 kg : 10 × 1,5 = 15 €.
B. Compléter avec la linéarité (plus rapide)
Même tableau. 2 kg, c’est la moitié de 4 kg, donc 6 ÷ 2 = 3 €. Et 10 kg = 4 kg + 4 kg + 2 kg, donc 6 + 6 + 3 = 15 €. Même résultat, sans calculer le coefficient.
C. Compléter avec le produit en croix
Une voiture parcourt 150 km avec 10 L d’essence. Combien de litres pour 240 km ?
On pose le produit en croix : la case manquante vaut \(\displaystyle\frac{240 \times 10}{150} = \displaystyle\frac{2400}{150} = 16\). Il faut donc 16 L.
V. Quand un tableau n’est PAS proportionnel
C’est le point que la plupart des sites oublient : avant de calculer, il faut vérifier qu’on a bien affaire à de la proportionnalité. Sinon, on applique une méthode qui donne un faux résultat.
Contre-exemple 1 — l’âge. Si un enfant a 5 ans et son grand frère 10 ans, l’enfant n’aura pas « la moitié » de l’âge de son frère toute sa vie. Dans 10 ans, ils auront 15 et 20 ans : le coefficient change. L’âge n’est pas proportionnel au temps entre deux personnes.
Contre-exemple 2 — l’aire d’un carré. Un carré de côté 2 a une aire de 4, un carré de côté 4 a une aire de 16. Le côté est multiplié par 2, mais l’aire par 4 : ce n’est pas proportionnel.
Le test à faire avant tout calcul : calcule le coefficient sur chaque colonne complète. S’il est identique partout, c’est proportionnel. Si un seul est différent, tu ne peux pas utiliser le tableau de proportionnalité.
Pour t’entraîner uniquement à ce diagnostic, va voir la fiche reconnaître une situation de proportionnalité.
VI. Coefficient, produit en croix ou linéarité : quelle méthode choisir ?
Ces trois techniques servent toutes à compléter un tableau. Elles ne sont pas concurrentes : elles brillent dans des situations différentes.
| Méthode | Quand l’utiliser | Quand l’éviter |
|---|---|---|
| Coefficient | Une colonne complète existe et le coefficient tombe juste (nombre simple). | Le coefficient donne un nombre à rallonge (ex. 7 ÷ 3). |
| Linéarité (× ou +) | Les nombres se déduisent facilement l’un de l’autre (moitié, double, somme). | Aucune colonne ne se déduit simplement d’une autre. |
| Produit en croix | Trois cases sur quatre sont connues et les nombres ne sont pas ronds. | Tableau avec beaucoup de colonnes à remplir d’un coup. |
En résumé : réflexe linéarité quand les nombres sont sympas, réflexe coefficient quand une colonne complète donne un joli nombre, et produit en croix comme méthode « qui marche toujours » quand rien ne se déduit facilement. La règle de trois est simplement une autre façon de raconter le produit en croix.
VII. Exercices d’application corrigés
Prends une feuille, essaie chaque exercice, puis vérifie. Les corrections sont détaillées pas à pas.
Exercice 1 — Trouver le coefficient ★
7 cahiers identiques coûtent 21 €. Complète le tableau pour 3 cahiers et 10 cahiers.
Voir la correction de l’exercice 1
Coefficient : 21 ÷ 7 = 3 (c’est le prix d’un cahier).
Pour 3 cahiers : 3 × 3 = 9 €. Pour 10 cahiers : 10 × 3 = 30 €.
3 cahiers → 9 € ; 10 cahiers → 30 €.
Exercice 2 — Utiliser la linéarité ★
On sait que 6 personnes mangent 900 g de pâtes, et que 2 personnes en mangent 300 g. Combien pour 8 personnes ?
Voir la correction de l’exercice 2
8 = 6 + 2, donc on additionne les deux colonnes.
900 + 300 = 1200 g.
8 personnes → 1200 g (soit 1,2 kg) de pâtes. Ici la propriété d’addition est plus rapide que le coefficient.
Exercice 3 — Produit en croix ★★
Une imprimante imprime 45 pages en 3 minutes. Combien de temps pour 120 pages ?
Voir la correction de l’exercice 3
Le tableau : 45 pages ↔ 3 min, 120 pages ↔ ? min.
Produit en croix : \(\displaystyle\frac{120 \times 3}{45} = \displaystyle\frac{360}{45} = 8\).
Il faut 8 minutes pour 120 pages.
Exercice 4 — Ce tableau est-il proportionnel ? ★★
Un magasin propose : 2 tickets de cinéma pour 16 €, 5 tickets pour 40 €, 8 tickets pour 60 €. Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?
Voir la correction de l’exercice 4
On calcule le prix d’un ticket sur chaque colonne :
16 ÷ 2 = 8 ; 40 ÷ 5 = 8 ; mais 60 ÷ 8 = 7,5.
Les deux premiers coefficients valent 8, mais le troisième vaut 7,5 : ils ne sont pas tous égaux.
Non, ce n’est pas un tableau de proportionnalité (il y a sans doute une remise sur les gros achats).
Exercice 5 — Problème de synthèse ★★★
Pour une recette de crêpes pour 4 personnes, il faut 250 g de farine et 3 œufs. Adrien veut faire des crêpes pour 10 personnes. De combien de farine et de combien d’œufs a-t-il besoin ?
Voir la correction de l’exercice 5
Farine. Coefficient : 250 ÷ 4 = 62,5 g par personne. Pour 10 personnes : 10 × 62,5 = 625 g. (Ou par linéarité : 10 = 4 + 4 + 2, donc 250 + 250 + 125 = 625 g.)
Œufs. Produit en croix : \(\displaystyle\frac{10 \times 3}{4} = \displaystyle\frac{30}{4} = 7,5\) œufs.
Comme on ne casse pas un demi-œuf, Adrien prendra 8 œufs en pratique.
Réponse : 625 g de farine et environ 8 œufs. Cet exercice montre que le résultat mathématique (7,5) doit parfois être adapté à la réalité.
VIII. Les erreurs classiques
Erreur 1 — additionner le coefficient au lieu de multiplier. Copie fautive : « 3 croissants coûtent 3,60, donc 4 croissants coûtent 3,60 + 1 = 4,60 ». Diagnostic : l’élève ajoute 1 au lieu d’ajouter un croissant (1,20 €). Correction : 4 croissants = 4 × 1,20 = 4,80 €.
Erreur 2 — multiplier en croix les mauvaises cases. Dans le produit en croix, on multiplie les cases en diagonale, puis on divise par la case restante. Copie fautive : multiplier les deux cases de la même colonne. Correction : repère bien la diagonale « ×… » et la case « ÷… ».
Erreur 3 — appliquer la proportionnalité sans vérifier. Beaucoup d’élèves posent un produit en croix alors que la situation n’est pas proportionnelle (âge, tarif par paliers). Correction : toujours faire le test des coefficients avant de calculer.
IX. Questions fréquentes
Comment calculer un tableau de proportionnalité ?
Trouve d’abord une colonne dont les deux cases sont remplies, puis divise la valeur du bas par celle du haut : tu obtiens le coefficient. Pour compléter une case du bas, multiplie par ce coefficient ; pour compléter une case du haut, divise par lui. Vérifie ensuite avec le produit en croix.
C'est quoi un tableau proportionnel ?
C’est un tableau à deux lignes où l’on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient de proportionnalité). Par exemple, un tableau qui donne le prix selon le nombre d’objets, si le prix par objet ne change jamais.
Comment justifier qu'un tableau est un tableau de proportionnalité ?
Il faut montrer que le coefficient est le même sur toutes les colonnes. On calcule, colonne par colonne, la valeur du bas divisée par celle du haut. Si on obtient à chaque fois le même nombre, le tableau est proportionnel. Si un seul résultat diffère, il ne l’est pas.
Quelle est la différence entre le tableau et le produit en croix ?
Le tableau de proportionnalité est l’outil qui range les données. Le produit en croix est une technique pour compléter une case manquante à l’intérieur de ce tableau. On peut aussi remplir un tableau avec le coefficient ou la linéarité : le produit en croix n’est qu’une méthode parmi d’autres.
Comment expliquer la proportionnalité à un enfant ?
Partez d’une situation qu’il connaît : « Si un croissant coûte 1 €, alors 2 croissants coûtent 2 €, et 5 croissants coûtent 5 € : il faut toujours multiplier par le même prix. » L’idée de « toujours le même nombre » est le cœur de la notion, avant même le vocabulaire.
X. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant construire, compléter et vérifier un tableau de proportionnalité. Pour continuer à progresser :
