Une fenêtre arrondie, une piste d’athlétisme, un tapis de gym : le demi-cercle est partout. Encore faut-il savoir calculer sa surface (l’aire) et son contour (le périmètre) sans se tromper. Cette méthode s’adresse aux élèves de 6ème et de 5ème : deux formules, trois étapes, et le fameux piège du diamètre à ne jamais oublier.
I. Les deux formules d’un demi-cercle
Vocabulaire : un demi-cercle est un arc de longueur \(\pi r\). La surface fermée par cet arc et le diamètre est un demi-disque. C’est son aire \(\displaystyle\frac{\pi r^2}{2}\) et son périmètre \(\pi r+2r\) que l’on calcule ici, souvent sous le nom usuel « aire et périmètre d’un demi-cercle ».
Les deux formules à connaître
On note \(r\) le rayon du demi-cercle.
- Aire (la surface, l’intérieur) : \(\displaystyle\frac{\pi r^2}{2}\)
- Périmètre (le contour, le tour) : \(\pi r + 2r\)
L’aire se mesure en cm² ou m², le périmètre en cm ou m.
Pourquoi ces deux formules ? L’aire d’un demi-cercle est la moitié de l’aire d’un disque entier, qui vaut \(\pi r^2\) : on divise donc par 2. Pour le périmètre, c’est plus subtil. Le contour d’un demi-cercle est fait de deux morceaux : l’arc arrondi (la moitié du périmètre d’un cercle complet, soit \(\pi r\)) et le côté droit, qui est le diamètre, soit \(2r\).
L’erreur numéro 1 : confondre le rayon \(r\) et le diamètre \(d\). Le diamètre est le trait qui coupe le cercle en deux, il vaut le double du rayon : \(d = 2r\). Si un exercice te donne le diamètre, commence toujours par le diviser par 2 pour obtenir le rayon.
II. Aire ou périmètre : quelle formule choisir ?
Avant de calculer, pose-toi une seule question : « Est-ce que je cherche la surface à l’intérieur, ou la longueur du tour ? » La réponse détermine tout. Le tableau ci-dessous te permet de choisir la bonne formule d’un coup d’œil, et de comparer le demi-cercle au cercle complet et au quart de cercle.
| Figure | Aire (surface) | Périmètre (contour) | Quand l’utiliser |
|---|---|---|---|
| Disque complet | \(\pi r^2\) | \(2\pi r\) | Cercle entier |
| Demi-cercle | \(\displaystyle\frac{\pi r^2}{2}\) | \(\pi r + 2r\) | Moitié de cercle (ajouter le diamètre au contour) |
| Quart de cercle | \(\displaystyle\frac{\pi r^2}{4}\) | \(\displaystyle\frac{\pi r}{2} + 2r\) | Quart de cercle (ajouter les deux rayons droits) |
Remarque importante : pour l’aire, passer du cercle au demi-cercle revient juste à diviser par 2. Pour le périmètre, non ! On ne divise pas simplement le périmètre du cercle par 2 : il faut aussi rajouter le trait droit. C’est justement ce point qui fait la différence entre un bon calcul et une erreur classique.
Le formulaire des aires, périmètres et volumes — 2 pages
Les formules et les unités dans une fiche recto-verso, avec les longueurs et les hauteurs à utiliser.
Télécharger le PDF gratuitAccès après inscription par e-mail. Format A4 à imprimer.
III. Calculer l’aire d’un demi-cercle en 3 étapes
Une réponse directe pour commencer : pour calculer l’aire d’un demi-cercle, on calcule d’abord l’aire du disque entier avec la formule \(\pi r^2\), puis on divise le résultat par 2. Voici le détail, étape par étape.
Étape 1 — Repérer le rayon. Cherche le rayon \(r\) dans l’énoncé. Si on te donne le diamètre, divise-le par 2.
Étape 2 — Calculer l’aire du disque entier. Multiplie \(\pi\) par le rayon au carré : \(\pi \times r \times r\).
Étape 3 — Diviser par 2. Le demi-cercle, c’est la moitié : divise le résultat de l’étape 2 par 2.
Astuce : garde \(\pi\) dans la valeur exacte, puis utilise la touche π pour l’arrondi final demandé. Si la consigne impose 3,14, indique que tu utilises cette approximation. Une valeur arrondie s’écrit avec \(\approx\), pas avec un signe égal.
IV. Calculer le périmètre d’un demi-cercle en 3 étapes
Réponse directe : le périmètre d’un demi-cercle est la somme de l’arc arrondi \(\pi r\) et du diamètre droit \(2r\), soit \(\pi r + 2r\). La plupart des élèves oublient le diamètre — voici comment ne plus jamais le rater.
Étape 1 — Repérer le rayon. Comme pour l’aire : trouve \(r\), et divise le diamètre par 2 si besoin.
Étape 2 — Calculer l’arc (la partie arrondie). C’est la moitié du tour du cercle complet : \(\pi \times r\).
Étape 3 — Ajouter le diamètre (le trait droit). Le contour se ferme par le côté plat, qui vaut \(2r\). Ajoute-le : \(\pi r + 2r\).
Piège classique : penser que le périmètre d’un demi-cercle est simplement la moitié du périmètre du cercle. C’est faux : la moitié du cercle donne seulement l’arc arrondi. Il manque le côté droit ! Le demi-disque est une surface fermée par l’arc et le diamètre.
V. Exemples résolus
Passons à la pratique avec deux exemples entièrement détaillés : le premier avec le rayon donné, le second avec le diamètre donné (le cas qui piège le plus d’élèves).
Exemple 1 — Rayon donné. Calcule l’aire et le périmètre d’un demi-cercle de rayon \(r = 4\) cm (arrondis au centième).
Aire : \(\displaystyle\frac{\pi \times 4^2}{2} = \displaystyle\frac{16\pi}{2} = 8\pi \approx 25{,}13\) cm².
Périmètre : \(\pi \times 4 + 2 \times 4 = 4\pi + 8 \approx 20{,}57\) cm.
Exemple 2 — Diamètre donné. Un demi-disque a un diamètre de 10 cm. Calcule son aire et son périmètre.
Étape 1 : on trouve le rayon. \(r = 10 \div 2 = 5\) cm.
Aire : \(\displaystyle\frac{\pi \times 5^2}{2} = \displaystyle\frac{25\pi}{2} = 12{,}5\pi \approx 39{,}27\) cm².
Périmètre : \(\pi \times 5 + 2 \times 5 = 5\pi + 10 \approx 25{,}71\) cm.
Vérification : le diamètre valait bien 10 cm, ce qui correspond au \(2r = 2 \times 5\) du périmètre. ✓
VI. Les erreurs fréquentes
Trois erreurs reviennent sans cesse dans les copies. Les repérer maintenant, c’est gagner des points au prochain contrôle. Ces pièges font d’ailleurs partie des erreurs de géométrie au collège les plus courantes.
Erreur 1 — Oublier le diamètre dans le périmètre.
❌ Copie fautive : « Périmètre \(= \pi \times 5 \approx 15{,}7\) cm ».
🔍 Diagnostic : l’élève n’a calculé que l’arc arrondi. Il a oublié que le contour se ferme par le côté droit.
✅ Correction : \(\pi \times 5 + 2 \times 5 = 5\pi + 10 \approx 25{,}7\) cm.
Erreur 2 — Utiliser le diamètre à la place du rayon.
❌ Copie fautive : pour un diamètre de 10 cm, « Aire \(= \displaystyle\frac{\pi \times 10^2}{2}\) ».
🔍 Diagnostic : l’élève a mis le diamètre dans la formule, alors que c’est le rayon qu’il faut. Il faut d’abord faire \(10 \div 2 = 5\).
✅ Correction : \(\displaystyle\frac{\pi \times 5^2}{2} \approx 39{,}27\) cm².
Erreur 3 — Se tromper d’unité.
❌ Copie fautive : « Aire \(= 39{,}27\) cm ».
🔍 Diagnostic : une aire ne se mesure jamais en cm, mais en cm². N’oublie pas non plus de convertir les unités si l’énoncé mélange les mètres et les centimètres.
✅ Correction : « Aire \(\approx 39{,}27\) cm² » (le périmètre, lui, est bien en cm).
VII. Exercices d’application corrigés
À toi de jouer. Prends \(\pi \approx 3{,}14\) et n’oublie pas d’écrire les unités. Cache la correction, cherche, puis vérifie.
Exercice 1 — Aire avec le rayon ★
Calcule l’aire d’un demi-cercle de rayon 3 cm. Arrondis au dixième.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique la formule de l’aire du demi-cercle.
\(\displaystyle\frac{\pi \times 3^2}{2} = \displaystyle\frac{9\pi}{2} = 4{,}5\pi\) \(4{,}5 \times 3{,}14 \approx 14{,}1\)L’aire vaut environ 14,1 cm².
Exercice 2 — Périmètre avec le diamètre ★★
Un demi-disque a un diamètre de 14 cm. Calcule son périmètre. Arrondis au dixième.
Voir la correction de l’exercice 2
On commence par trouver le rayon : \(r = 14 \div 2 = 7\) cm.
On calcule l’arc, puis on ajoute le diamètre.
\(\pi \times 7 + 2 \times 7 = 7\pi + 14\) \(7 \times 3{,}14 + 14 = 21{,}98 + 14 = 35{,}98\)Le périmètre vaut environ 36 cm (le diamètre, 14 cm, ne doit surtout pas être oublié).
Exercice 3 — Vrai ou faux ? ★★
Léa affirme : « Le périmètre d’un demi-cercle est exactement la moitié du périmètre du cercle entier. » A-t-elle raison ? Justifie ta réponse.
Voir la correction de l’exercice 3
Léa a tort. La moitié du périmètre du cercle donne uniquement l’arc arrondi : \(\displaystyle\frac{2\pi r}{2} = \pi r\).
Mais le contour d’un demi-cercle se referme par le côté droit, c’est-à-dire le diamètre \(2r\). Il faut donc l’ajouter :
\(\pi r + 2r\)Le vrai périmètre est donc plus grand que la moitié du périmètre du cercle, exactement de la longueur du diamètre. Léa a oublié le trait droit.
VIII. Questions fréquentes
Comment calculer l’aire d’un demi-cercle ?
On calcule l’aire du disque entier avec la formule \(\pi r^2\), puis on divise par 2. La formule directe est donc \(\displaystyle\frac{\pi r^2}{2}\), où \(r\) est le rayon. Le résultat s’exprime en cm² ou en m².
Comment calculer le périmètre d’un demi-cercle ?
Le périmètre est la somme de l’arc arrondi et du diamètre droit : \(\pi r + 2r\). L’arc vaut \(\pi r\) (la moitié du tour du cercle) et le côté plat vaut \(2r\). Ne jamais oublier ce diamètre, c’est l’erreur la plus fréquente.
Comment trouver l’aire d’un demi-cercle quand on connaît le diamètre ?
On divise d’abord le diamètre par 2 pour obtenir le rayon, puis on applique la formule. Par exemple, avec un diamètre de 8 cm, le rayon vaut \(r = 4\) cm, et l’aire vaut \(\displaystyle\frac{\pi \times 4^2}{2} = 8\pi \approx 25{,}13\) cm².
Quelle est la différence entre l’aire et le périmètre d’un demi-cercle ?
L’aire mesure la surface intérieure (en cm²) avec \(\displaystyle\frac{\pi r^2}{2}\). Le périmètre mesure la longueur du contour (en cm) avec \(\pi r + 2r\). Pour l’aire on divise le cercle par 2 ; pour le périmètre on divise l’arc mais on rajoute le diamètre.
Comment calculer l’aire d’un quart de cercle ?
Un quart de cercle est la moitié d’un demi-cercle, donc le quart du disque entier. Son aire vaut \(\displaystyle\frac{\pi r^2}{4}\). Son périmètre est \(\displaystyle\frac{\pi r}{2} + 2r\) : un quart de l’arc plus les deux rayons droits qui ferment le secteur.
Quelle est la surface d’un cercle de 2 mètres de diamètre ?
Le rayon vaut \(r = 2 \div 2 = 1\) m. La surface (l’aire) du disque entier est \(\pi \times 1^2 = \pi \approx 3{,}14\) m². S’il s’agissait d’un demi-cercle, on diviserait encore par 2, soit environ 1,57 m².
IX. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer l’aire et le périmètre d’un demi-cercle. Le demi-cercle apparaît souvent comme une brique d’une figure composée (fenêtre, terrain). Pour continuer à progresser :
- Calcul de volumes en 5ème : 15 exercices corrigés pas à pas
- Les solides en 6ème : 14 exercices corrigés pas à pas
- Plus tard au lycée, le cercle mène à la Trigonométrie : Cours Complet du Collège à la Prépa, où l’on mesure les arcs avec des angles.
- Patrons du cylindre, du cône et de la pyramide : méthodes et PDF à imprimer
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le collège.
